人教版八年级上册 第十二章 12.3 角平分线的性质 学案(无答案)-精选教学文档

角平分线的性质
一、导入
情境1、如何将一个角平分是一个有趣的实验课题，有一个简易平分角的仪器（如图），其中AB=AD,BC=DC,
将A点放角的顶点，AB和AD与角的两边重合,沿AC画一条射线AE,AE
就是∠BAD的平分线，你能说明它的道理吗？
问题1、已知一个角你会将它平分吗？说一说，你有哪些方法？有没有既简单又准
确的方法？
问题2、从上面的探究中，可以得出作已知角的平分线的方法。

(1)已知什么？求作什么？
(2)把简易平分角的仪器放在角的两边.且平分角的仪器两边相等,从几何角度怎么画?
(3)简易平分角的仪器BC=DC,从几何角度如何画？
(4)OC与简易平分角的仪器中,AE是同一条射线吗?
(5)你能说明OC是∠AOB的平分线吗?
(6)归纳角平分线的作法
情境2、如图，将∠AOB的两边对折，再折个直角三角形（以第一条折痕为斜边），然后展开，观察两次折叠形成的三条折痕，你能得到什么结论？你能利用所学过的说明你的结论的正确性吗？
问题3、观察折纸（得角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等 .）
（1）折痕PE和PD与角的两边OA、OB有什么关系？PD和PE相等吗？
（2）两次折叠形成的三条折痕与角的两边形成了两个直角三角形，两个直角三角形全等吗？
（3）你能归纳出角平分线的性质吗？
（4）请证明你的结论？
小结：证明几何命题的步骤
（1）明确已知和求证。

（2）根据题意画出图形，用数学符号写出已知和求证。

（3）经过分析，写出证明过程。

情境3、如图，要在S区建一个贸易市场，使它到铁路和公路距离相等，离公路与铁路交叉处500米，这个集贸市场应建在何处？为什么？
情境4、当移动∠AOB内部的点P时，在保持PM＝PN(PM⊥OA，PN⊥OB)的前提下，观察点P留下的痕迹。

（发现：射线OP是∠AOB的平分线，即角平分线的判定方法。

）
问题4、你能利用三角形全等知识进行解释吗？
情境5、剪一个三角形纸片，通过折叠找出每个角的平分线，观察这三条角平分线，你发现了什么?
画一个三角形，利用尺规作出这个三角形三个内角的平分线，你是否也发现了同样的结果?与同伴进行交流．
问题5、画一个任意三角形，并作出两个角的平分线，观察交点与这个三角形三条边的距离。

（1）你发现了什么？
（2）点P在∠A的平分线上吗？
问题6、如图，为了促进当地旅游发展，某地要在三条公路围成的一块平地上修建一个度假村。

（1）要使这个度假村到三条公路的距离相等,应在何处修建?
（2）在确定度假村的位置时,一定要画出三个角的平分线吗?你是怎样思考的?你是如何证明的?
二、知识梳理+经典例题
1．角的平分线的性质
(1)内容：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
(2)书写格式：如图所示，
∵点P在∠AOB的角平分线上，PD⊥OA，PE⊥OB，
∴PD＝PE.
谈重点角平分线的性质的理解和应用
(1)使用角的平分线的性质有两个条件：①点在角的平分线上；②过这一点
作角的两边的垂线段．结论是：这点到角的两边的距离相等，即两条垂线段相
等．
(2)角的平分线的性质是证明两线段相等的方法之一，而且不用再证明两个
三角形全等．
(3)如果已知一个点在角的平分线上，常作出该点到角两边的垂线段，运用性质得到两线段相等．
例1、如图，△ABC中，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB
于E，F在AC上，BD=DF，
求证：CF=EB。

练习、如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB交BC
于点0，DE⊥AB，垂足为E，且AB＝6 cm，则△DEB的周长为_______cm。

2．角的平分线的判定
(1)内容：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．
(2)书写格式：如图所示，
∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD＝PE，
∴点P在∠AOB的角平分线上．
(3)作用
运用角的平分线的判定，可以证明两个角相等和一条射线是角的平分线．
警误区角的平分线的性质和判定适用的条件在运用角的平分线的性质和判定时，往往错误地将一线段当作“距离
．．”，主要原因是不能正确理解角平分线的性质和判定，因此在运用角的平分线的性质和判定时，一定要注意“距离”必须有垂直的条件
例2、如图BD⊥AM于点D，CE⊥AN于点E，BD、CE交点F，CF＝BF，
求证：点F在∠A的平分线上．
三、随堂检测
1、直线表示三条相互交叉的公路,现要建一个货物中转站,要求它到三条公路的距离相等,则可供选择的地址有( ).
A.一处
B.两处
C.三处
D.四处
2、如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，若BC＝8，BD＝5，则点D到AB的距离为多少?
3、如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，且
BE＝CF。

求证：AD是△ABC的角平分线。

4、如图，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F.
求证：点F在∠DAE的平分线上。