河北省2019届中考数学系统复习 第七单元 图形变换 第28讲 图形的平移、旋转与位似(8年真题训练)练习

第28讲 图形的平移、旋转与位似
图形的平移 1
图1 图2 2如图，在6×8网格图中，每个小正方形边长均为1，点O
解：(1)如图所示． (2)AA ′＝CC ′＝2.
在Rt△OA ′C ′中，OA ′＝OC ′＝2，∴A ′C ′＝2 2. 同理可得，AC ＝4 2.
∴四边形AA ′C ′C 的周长为4＋6 2.
重难点1 图形的平移
在由相同的小正方形组成的3×4的网格中，有3个小正方形已经涂黑，请你再涂黑一个小正方形，使涂黑的四个小正方形中，其中两个可以由另外两个平移得到，则还需要涂黑的小正方形序号是(D )
A ．①或②
B ．③或④
C ．⑤或⑥
D ．①或⑨
【变式训练1】 (2017·石家庄模拟)如图，将边长为2个单位长度的等边△ABC 沿边BC 向右平移1个单位长度得到△DEF，则四边形ABFD 的周长为8个单位长度．
【变式训练2】 如图，边长为8 cm 的正方形ABCD 先向上平移4 cm ，再向右平移2 cm ，得到正方形A′B′C′D′，
此时阴影部分的面积为24__cm 2
．
方法指导判断两个图形之间的平移情况时，两个图形必须全等，才可以转化成图形上对应点的平移． 易错提示易把图形的平移与图形轴对称混淆，从而产生错误．
重难点2 与图形的旋转相关的计算与证明
如图，在Rt △ABC 中，∠C＝90°，点D 为AC 边上一点，将线段AD 绕点A 逆时针旋转到线段AE ，使得AE⊥AB，且点E ，D ，B 恰好在同一直线上，作EM⊥AC 于点M.
(1)若线段AD 逆时针旋转了54°，求∠CBD 的度数； (2)求证：AB ＝EM ＋BC.
【思路点拨】 (1)求∠CBD 的度数可以转化成求∠ADE 的度数，求∠ADE 的度数相当于在等腰△ADE 中，已知顶角求底角；(2)对于证明AB ＝EM ＋BC ，可作DF⊥AB 于F ，先证明AF ＝EM ，再证明BF ＝BC.
【自主解答】 解：(1)由旋转的性质，得AD ＝AE ， ∵∠DAE＝54°，
∴∠ADE＝12(180°－∠DAE)＝1
2×(180°－54°)＝63°.
∵∠BDC＝∠ADE＝63°，∠C＝90°，
∴∠CBD＝90°－∠BDC＝90°－63°＝27°. (2)证明：过点D 作DF⊥AB 于点F. ∵AE⊥AB，EM⊥AC，
∴∠AEM＋∠EA M ＝∠DAF＋∠EAM＝90°，即∠AEM＝∠DAF. 在△AEM 和△DAF 中，⎩⎪⎨⎪
⎧∠AEM＝∠DAF，∠AME＝∠DFA＝90°，AE ＝DA ，
∴△AEM≌△DAF(AAS )．∴AF＝EM.
∵∠CBD＋∠BDC＝90°，∠ABD＋∠AED＝90°，∠AED＝∠ADE＝∠BDC， ∴∠CBD＝∠ABD.又∵DC⊥BC，DF⊥BF，∴CD＝FD.
在Rt △BCD 和Rt △BFD 中，⎩
⎪⎨⎪⎧BD ＝BD ，
CD ＝FD ，
∴Rt △BCD≌Rt △BFD(HL )．∴BC＝BF.
又∵AB＝AF ＋BF ，∴AB＝EM ＋BC.
【变式训练3】 (2018·南充)如图，在矩形ABCD 中，AC ＝2AB ，将矩形ABCD 绕点A 旋转得到矩形AB′C′D′，使点B 的对应点B′落在AC 上，B′C′交AD 于点E ，在B′C′上取点F ，使B′F＝AB.
(1)求证：AE ＝C′E； (2)求∠FBB′的度数；
(3)已知AB ＝2，求BF 的长．
解：(1)证明：∵在Rt △ABC 中，AC ＝2AB ， ∴∠ACB＝∠AC′B′＝30°，∠B AC ＝60°. 由旋转，得AB′＝AB ，∠B′AC＝∠BAC＝60°. ∴∠EAC′＝∠AC′B′＝30°. ∴AE＝C′E.
(2)∵∠BAC＝60°，AB ＝AB′，∴△ABB′为等边三角形． ∴AB＝BB′，∠AB′B＝60°. ∴∠FB′B＝150°.
∵B′F＝AB ＝BB′，∴∠FBB′＝1
2×(180°－∠FB′B)＝15°.
(3)过点B 作BH⊥B′C′，垂足为H.
∵∠BB′H＝30°，B′B＝2，∴BH＝1，B′H＝3.∴FH＝3＋2. ∴BF＝12＋（2＋3）2
＝8＋43＝6＋ 2. 方法指导
1．一条线段旋转相当于形成一个等腰三角形，旋转角是等腰三角形的顶角，同样等腰三角形也可以看作一条线段绕它的一个端点旋转得到图形．
2．证明一条线段等于两条线段的和，通常用截长法或补短法，表示为：若证明a＝b＋c，先从a中截取d＝c，再证明剩下的e＝b或先把b，c补成一条线段，再证明补得的线段与a相等．
注：本题还可以先截取AF＝EM，再证明BF＝BC.
重难点3位似
如图，等腰△OBA和等腰△ACD是位似图形，则这两个等腰三角形位似中心的坐标是(－2，0)．
【思路点拨】由于位似中心是对应点连线的交点，对应边平行或在同一条直线上，因此连接CB并延长与x 轴的交点即所求．
【变式训练4】
A．①
【变式训练5】在平面直角坐标系中，点A(6，3)，以原点
段OA的坐标为(A)
A．(2，0) C．(3，3)
方法指导
1．位似的两个图形，只可能有一个位似中心，位似中心是两对对应点连线的交点．
2．位似比确定，位似中心确定，可作一个图形的两个位似图形，且分居位似中心两侧，大小、形状相等．易错提示作一个图形的位似图形时，可能漏掉一个．
1．如图，将方格纸中上面的图形平移后和下面的图形拼成一个长方形，那么正确的平移方法是(C)
A．先向下移动1格，再向左移动1格
B．先向下移动1格，再向左移动2格
C．先向下移动2格，再向左移动1格
D．先向下移动2格，再向左移动2格
2．(2018·唐山路北区二模)如图，将正方形ABCD中的阴影三角形绕点A顺时针旋转90°后，得到的图形为(A)
A B C D 3．(2017·枣庄)将数字“6”旋转180°，得到数字“9”，将数字“9”旋转180°，得到数字“6”，现将数字“69”旋转180°，得到的数字是(B)
A．96 B．69 C．66 D．99
4．如图，将△ABC的三边分别扩大一倍，得△A1B1C1(顶点均在格点上)，它们是以点P为位似中心的位似图形，则点P的坐标是(D)
A．(－2，0) B．(－1，0) C．(0，－2) D．(0，－1)
5．如图，若正六边形ABCDEF绕着中心点O旋转α度后得到的图形与原来图形重合，则α的最小值为(D) A．120 B．90 C．45 D．60
6．(2017·天津)如图，将△ABC绕点B顺时针旋转60°得到△DBE，点C的对应点E恰好落在AB延长线上，连接AD.下列结论一定正确的是(C)
A．∠ABD＝∠E B．∠CBE＝∠C
C．AD∥BC D．AD＝BC
7．(2018·大连)如图，将△ABC绕点B逆时针旋转α，得到△EBD.若点A恰好在ED的延长线上，则∠CAD的度数为(C)
A．90°－αB．αC．180°－αD．2α
8．(2018·唐山乐亭县一模)如图，网格纸上正方形小格的边长为1.图中线段AB和点P绕着同一个点做相同的旋转，分别得到线段A′B′和点P′，则点P′所在的单位正方形区域是(D)
A．① B．② C．③ D．④
9．(2018·枣庄)，连接AP并延长交CD于点E－53．
10．(2018·曲靖为圆心，1个单位长度为半径的扇形，将图形①②③分别沿东北，正
个单位长度，第一次移动后图形①②③的圆心依次为，P3；第二次移动
；…；依此规律，P0P2 018＝673个单位长度．
11．(2018·吉林)如图是由边长为1的小正方形组成的4×8网格，每个小正方形的顶点叫做格点，点A，B，C，D 均在格点上，在网格中将点D按下列步骤移动：
第一步：点D绕点A顺时针旋转180°得到点D1；
第二步：点D1绕点B顺时针旋转90°得到点D2；
第三步：点D2绕点C顺时针旋转90°回到点D.
(1)请用圆规画出点D→D1→D2→D经过的路径；
(2)所画图形是轴对称图形；
(3)求所画图形的周长(结果保留π)．
解：(1)如图所示．
(3)所画图形周长为4×90×π×4
180＝8π.
12．(2017·徐州)如图，已知AC⊥BC，垂足为C ，AC ＝4，BC ＝33，将线段AC 绕点A 按逆时针方向旋转60°，得到线段AD ，连接DC ，DB.
(1)线段DC ＝4；
(2)求线段DB 的长度．
解：∵AC＝AD ，∠CAD＝60°，∴△ACD 是等边三角形． ∴DC＝AC ＝4.
过点D 作DE⊥BC 于点E.
∵△ACD 是等边三角形，∴∠ACD＝60°. 又∵AC⊥BC，
∴∠DCE＝∠ACB－∠ACD＝90°－60°＝30°.
∴在Rt △CDE 中，DE ＝12DC ＝2，CE ＝DC·cos 30°＝4×3
2＝2 3.
∴BE＝BC －CE ＝33－23＝ 3.
∴在Rt △BDE 中，BD ＝DE 2＋BE 2
＝7.
13．(2018·宜宾)如图，将△ABC 沿BC 边上的中线AD 平移到△A′B′C′的位置，已知△ABC 的面积为9，阴影部分三角形的面积为4.若AA′＝1，则A′D 等于(A )
A ．2
B ．3
C .23
D .32
14．(2018·邯郸模拟)一个数学游戏，正六边形被平均分为6格(其中1格涂有阴影)，规则如下：若第一个正六边形下面标的数字为a(a 为正整数)，则先绕正六边形的中心顺时针旋转a 格；再沿某条边所在的直线l 翻折，得到第二个图形．例如：若第一个正六边形下面标的数字为2，如图，则先绕其中心顺时针旋转2格；再沿直线l 翻折，得到第二个图形．若第一个正六边形下面标的数字为4，如图，按照游戏规则，得到第二个图形应是(A )
15．(2018·石家庄模拟)如图，已知∠AOB＝90°，点A 绕点O 顺时针旋转后的对应点A 1落在射线OB 上，点A 绕点A 1顺时针旋转后的对应点A 2落在射线OB 上，点A 绕点A 2顺时针旋转后的对应点A 3落在射线OB 上，…，连接AA 1，AA 2，AA 3，…，依此作法，则∠AA 2A 3＝157.5°，∠AA n A n ＋1＝(180－90
2
n )°．(用含n 的代数式表示，n 为正整数)
16．如图，△ABC AE ，使得∠DAE＝∠BAC，F ，G ，H (1)求证：GH (2)
解：(1)证明：∵∠DAE＝∠BAC，∴∠BAD＝∠CAE. 在△ABD ⎩⎪⎨⎪
⎧AB ＝AC ，AD ＝AE ，
∵F，G ，H
BD.∴GH＝GF.
∵HG∥CE，GF∥BD，
∴∠HGD＝∠ECD，∠GFC＝∠DBC.
∴∠HGD＝∠ACD＋∠ACE＝∠ACD＋∠ABD，∠DGF＝∠GFC＋∠GCF＝∠DBC＋∠GCF.
∴∠FGH＝∠DGF＋∠HGD＝∠DBC＋∠GCF＋∠AC D ＋∠ABD＝∠ABC＋∠ACB＝180°－∠BAC. ∴∠FGH 与∠BAC 互补．
17．如图1，在▱ABCD 中，AB ＝10 cm ，BC ＝4 cm ，∠BCD＝120°，CE 平分∠BCD 交AB 于点E.点P 从A 点出发，沿AB 方向以1 cm /s 的速度运动，连接CP ，将△PCE 绕点C 逆时针旋转，使CE 与CB 重合，得到△QCB ，连接PQ.
(1)求证：△PCQ 是等边三角形；
(2)如图2，当点P 在线段EB 上运动时，△PBQ 的周长是否存在最小值？若存在，求出△PBQ 周长的最小值；若不存在，请说明理由；
(3)如图3，当点P在射线AB上运动时，是否存在以点P，B，Q为顶点的直角三角形？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
解：(1)证明：由旋转性质，得△PCE≌△QCB，
∴CP＝CQ，∠PCE＝∠QCB.
∵∠BCD＝120°，CE平分∠BCD，∴∠BCE＝60°.
∴∠PCQ＝60°.
∴△PCQ为等边三角形．
(2)∵CE平分∠BCD，∴∠BCE＝60°.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD.∴∠ABC＝180°－120°＝60°.
∴△BCE为等边三角形．
∴BE＝CB＝4.
由(1)得，△PCE≌△QCB，∴EP＝BQ.
∴C△PBQ＝PB＋BQ＋PQ＝PB＋EP＋PQ＝BE＋PQ＝4＋CP.
∴当CP⊥AB时，CP最小．
∴CP最小值＝BC·sin60°＝2 3.
∴△PBQ周长最小值为4＋2 3.
(3)①当0≤t＜6时，由旋转可知，∠CPE＝∠CQB，∠CEP＝∠CBQ，
由(2)知，△BCE为等边三角形，
∴∠CEB＝60°.∴∠CBQ＝∠CEP＝180°－60°＝120°.
∴∠PBQ＝120°－60°＝60°.
又∵∠BPQ＝∠CPQ－∠CPB<60°，
∴∠PQB可能为直角．
由(1)知，△PCQ为等边三角形，
∴∠PQC＝60°，∠CQB＝30°.
∵∠CQB＝∠CPB，
∴∠CPB＝30°.
∵∠CEB＝60°，
∴∠ECP＝∠EPC＝30°.
∴PE＝CE＝4.
∴AP＝AE－EP＝6－4＝2.
∴t＝2÷1＝2(s)．
②当t＝6时，点P，C，E不能构成三角形．
③当6＜t≤10时，由∠PBQ＝120°＞90°，
∴不存在．
④当t＞10时，由旋转得，∠PBQ＝60°，由(1)得，∠CPQ＝60°，
∴∠BPQ＝∠CPQ＋∠BPC＝60°＋∠BPC.
∵∠BPC＞0°，
∴∠BPQ＞60°.∴∠BPQ＝90°.
∴∠BCP＝30°.
∴BP＝BC＝4.∴AP＝14 cm.∴t＝14 s.
综上所述，t为2 s或14 s时，符合题意．。