甘肃省武威市2020年高一下期末预测数学试题含解析

甘肃省武威市2020年高一下期末预测数学试题
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．己知ABC ∆的周长为207BC =， 则tan A 的值为（ ）
A B ．1 C D ．2
【答案】C 【解析】 【分析】
根据ABC ∆的周长为20，求得()11
2022
ABC S AB BC AC r ∆=++=⨯=
再利用正弦定理1sin 2ABC S AB AC A ∆=
⨯=，得到AB AC ⨯=
2222cos BC AB AC AB AC A =+-⨯⨯cos 1A A +=求解.
【详解】
因为ABC ∆的周长为20
所以()11
2022ABC S AB BC AC r ∆=++=⨯=
又因为1
sin 2ABC
S AB AC A ∆=⨯=，
所以sin AB AC A
⨯=
由余弦定理得：2222cos BC AB AC AB AC A =+-⨯⨯，()()2
21cos AB AC AB AC A =+-⨯⨯+，
所以()491692
1cos sin A A
=-+ ，
cos 1A A +=，
即1sin 62A π⎛
⎫-= ⎪⎝
⎭，
因为A 为内角， 所以,6
6
3
A A π
π
π
-
=
∴=
，
所以tan A =故选：C 【点睛】
本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
2．已知集合，则
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】B 【解析】 【分析】
直接利用交集运算得到答案. 【详解】 因为，所以
.
故答案选B 【点睛】
本题考查了交集运算，属于简单题. 3．如图所示的程序框图，若执行的运算是
，则在空白的执行框中，应该填入
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】D 【解析】
试题分析：解：运行第一次：1,1,i 2T T T =⨯==，5i >不成立；
运行第二次：11,1,i 322T T T =⨯=⨯=，5i >不成立；
运行第三次：111
,1,i 4323T T T =⨯=⨯⨯=，5i >不成立；
运行第四次：1111
,1,i 54234
T T T =⨯=⨯⨯⨯=，5i >不成立；
运行第四次：11111,1,i 65
2345
T T T =⨯=⨯⨯⨯⨯=，5i >成立；
输出1111
12345
T =⨯⨯⨯⨯
所以应选D. 考点：循环结构.
4．已知向量(2,1),(,1)a b m ==-，且()a a b ⊥-，则m 的值为（ ） A ．1 B ．3
C ．1或3
D ．4
【答案】B 【解析】 【分析】
先求出a b -，再利用向量垂直的坐标表示得到关于m 的方程，从而求出m .
【详解】
因为(2,1),(,1)a b m ==-，所以(2,2)a b m -=-，
因为()a a b ⊥-，则()2(2)20a a b m ⋅-=-+=，解得3m = 所以答案选B. 【点睛】
本题主要考查了平面向量的坐标运算，以及向量垂直的坐标表示，属于基础题.
5．在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且222b c a bc +=+若2sin sin sin B C A ⋅=，则ABC ∆的形状是（） A ．等腰三角形 B ．直角三角形
C ．等边三角形
D ．等腰直角三角形
【答案】C 【解析】 【分析】
直接利用余弦定理的应用求出A 的值，进一步利用正弦定理得到：b ＝c ，最后判断出三角形的形状． 【详解】
在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ， 且b 2+c 2＝a 2+bc ．
则：2221222
b c a bc cosA bc bc +-===，
由于：0＜A ＜π， 故：A 3
π
=
．
由于：sinBsinC ＝sin 2A ，
利用正弦定理得：bc ＝a 2， 所以：b 2+c 2﹣2bc ＝0， 故：b ＝c ，
所以：△ABC 为等边三角形． 故选C ． 【点睛】
本题考查了正弦定理和余弦定理及三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型． 6．已知4
sin 5
α，并且α是第二象限的角，那么tan α的值等于（ ） A ．43-
B ．34
-
C ．
34
D ．
43
【答案】A 【解析】 【分析】
根据同角三角函数关系，进行求解即可. 【详解】 因为45
sin α=
，
故35
cos α==± 又因为α是第二象限的角，
故3cos α5=- 故4
3
sin tan cos ααα=
=-. 故选：A. 【点睛】
本题考查同角三角函数关系的简单使用，属基础题.
7．已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，33S =，33a =，则1011a =（ ） A ．2019 B ．1010
C ．2018
D ．1011
【答案】A 【解析】 【分析】
利用基本元的思想，将已知条件转化为1a 和d 的形式，列方程组，解方程组求得1,a d ，进而求得1011a 的值.
【详解】
由于数列是等差数列，故3131
333
23S a d a a d =+=⎧⎨=+=⎩，解得11,2a d =-=，故
101111010120202019a a d =+=-+=.
故选：A. 【点睛】
本小题主要考查等差数列通项公式和前n 项和公式的基本量计算，属于基础题.
8．设x 、y 满足约束条件20x y y x x +≤⎧⎪
≥⎨⎪≥⎩
，则2z x y =+的最大值为（ ）
A ．0
B ．2
C ．3
D ．4
【答案】C 【解析】 【分析】
作出不等式组所表示的可行域，平移直线2z x y =+，观察直线2z x y =+在x 轴上的截距最大时对应的最优解，再将最优解代入目标函数可得出结果. 【详解】
作出不等式组20x y y x x +≤⎧⎪
≥⎨⎪≥⎩
所表示的可行域如下图中的阴影部分区域表示：
联立2
x y y x
+=⎧⎨
=⎩，得1x y ==，可得点A 的坐标为()1,1.
平移直线2z x y =+，当该直线经过可行域的顶点A 时，直线2z x y =+在x 轴上的截距最大，此时z 取最大值，即max 2113z =⨯+=，故选：C. 【点睛】
本题考查简单线性规划问题，一般作出可行域，利用平移直线结合在坐标轴上的截距取最值来取得，考查
数形结合思想的应用，属于中等题. 9．sin300°的值为
A B ． C ．12
-
D ．
12
【答案】B 【解析】 【分析】
利用诱导公式化简sin300sin(60)sin 60=-=-，再求出值为. 【详解】
因为3
sin 300sin(60)sin 60=-=-=-，故选B. 【点睛】
本题考查诱导公式的应用，即终边相同角的三角函数值相等及sin()sin x x -=-.
10．已知球面上有,,A B C 三点，如果||||||AB AC BC ===ABC 的距离为1，则该球的体积为 （ ）
A ．
203
π B C D 【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】
ABC
的外接圆半径为r =
⇒ 球半径R 球的体积为
3
4
3
V π
==
，故选B. 11．如果直线l 过点（2，1），且在y 轴上的截距的取值范围为（﹣1，2），那么l 的斜率k 的取值范围是（ ）
A ．（1
2
-，1） B ．（﹣1，1）
C ．（﹣∞，1
2
-）∪（1，+∞）
D ．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）
【答案】A 【解析】 【分析】
利用直线的斜率公式，求出当直线l 经过点()0,1-时，直线l 经过点()0,2时的斜率，即可得到结论. 【详解】
设要求直线l 的斜率为k ，当直线l 经过点()0,1-时，斜率为11
120
+=-， 当直线l 经过点()0,2时，斜率为121
202
-=--， 故所求直线l 的斜率为1
12
k -<<. 故选：A. 【点睛】
本题主要考查直线的斜率公式，属于基础题．
12．设△ABC 的内角A 、B 、C 所对边分别为a 、b 、c ，若a ＝3，b
，A ＝4π，则B ＝（ ） A ．
6
π
B ．
6
π或56π
C ．
3
π
D ．
3
π或23π
【答案】A 【解析】 【分析】
由已知利用正弦定理可求sin B 的值，利用大边对大角可求B 为锐角，利用特殊角的三角函数值，即可得解． 【详解】
由题意知3,,24
a b A π
==
=， 由正弦定理sin sin a b A B
=，可得sin sin b A B a ⋅=
＝223
＝12， 又因为b a <，可得B 为锐角，所以6
B π
=．
故选A ． 【点睛】
本题主要考查了正弦定理，大边对大角，特殊角的三角函数值在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题． 二、填空题：本题共4小题
13．如图，已知扇形OAB 和11OA B ，1A 为OA 的中点.若扇形11OA B 的面积为1，则扇形OAB 的面积为______.
【答案】1 【解析】 【分析】
设AOB α∠=，在扇形11OA B 中，利用扇形的面积公式可求212OA α=，根据已知12OA OA =，在扇形OAB 中，利用扇形的面积公式即可计算得解． 【详解】
解：设AOB α∠=，
扇形11OA B 的面积为1，即：2
1112
OA α=，
∴解得：212OA α=，
1A 为OA 的中点，12OA OA =，
∴在扇形OAB 中，2221111(2)222422
OAB S OA OA OA ααα==⨯==⨯=扇形．
故答案为：1． 【点睛】
本题主要考查了扇形的面积公式的应用，考查了数形结合思想和转化思想，属于基础题． 14．已知正实数,a b 满足2241a b +=，则2ab
a b
+的最大值为_______.
2 【解析】 【分析】 对所求式子2ab
a b
+平边平方，再将2241a b +=代入，从而将问题转化为求
【详解】
∵22222222(41)1421(44)a b a b a b ab b ab a ab a a b b
===+++++
∵2
2
11
144044a b ab ab ab
=+≥⇒<≤⇒≥， ∴214(
)32ab ab +≥，∴212
)2322(ab ab a b a b ≤⇒≤++
等号成立当且仅当,42
a b =
=
.
. 【点睛】
本题考查条件等式下利用基本不等式求最值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意等号成立的条件. 15．若数列{}n a 的前4项分别是1111
,,,24816
，则它的一个通项公式是______. 【答案】12n n
a = 【解析】 【分析】
根据等比数列的定义即可判断出该数列是以12为首项，1
2
为公比的等比数列，根据等比数列的通项公式即可写出该数列的一个通项公式． 【详解】
解：∵1
11
8411224
==，
∴该数列是以
12为首项，1
2
为公比的等比数列， ∴该数列的通项公式是：1111
()222
n n n a -=
=， 故答案为：1
2n n
a =． 【点睛】
本题主要考查等比数列的定义以及等比数列的通项公式，属于基础题． 16．若数列{}n a 满足220n n a a ++=（n *∈N ）,且11a =，212
a =，()12lim n n a a a →∞+++=__.
【答案】1 【解析】 【分析】
由数列{}n a 满足220n n a a ++=，即
212n n a a +=-，得到数列{}n a 的奇数项和偶数项分别构成公比为12
-的等比数列，利用等比数列的极限的求法，即可求解． 【详解】
由题意，数列{}n a 满足220n n a a ++=，即
21
2
n n a a +=-，
又由11a =，21
2a =
，所以数列{}n a 的奇数项构成首项为1，公比为12-，偶数项构成首项为12
，公比为
1
2
-的等比数列， 当n 为奇数时，可得()1312lim 1312n n a a a →∞
+++=
=
+
，
当n 为偶数时，可得()241
1
2lim 1312
n n a a a →∞
++
+==+．
所以()1221
lim 133
n n a a a →∞
++
+=
+=． 故答案为：1. 【点睛】
本题主要考查了等比数列的定义，以及无穷等比数列的极限的计算，其中解答中得出数列{}n a 的奇数项和偶数项分别构成公比为1
2
-
的等比数列是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．已知函数2()12sin 2cos 2([0,])f x x a x a x π=---∈，设其最小值为()g a （1）求()g a ；
（2）若1
()2
g a =，求a 以及此时()f x 的最大值. 【答案】（1）21,2()21,22241,2
a a
g a a a a a <-⎧⎪⎪=----⎨⎪-+>⎪⎩（2）1a =-，()max 5f x = 【解析】 【分析】
（1）利用同角三角函数间的基本关系化简函数解析式后，分三种情况112a
-、12a >和12
a <-讨论，根据二次函数求最小值的方法求出()f x 的最小值()g a 的值即可； （2）把
1
2
代入到第一问的()g a 的第二和第三个解析式中，求出a 的值，代入()f x 中得到()f x 的解析式，利用配方可得()f x 的最大值． 【详解】
（1）由题意，函数2
()122cos 2cos 2f x x a x a =-+--
2
2cos 2cos 21x a x a =---2
22cos 2122a a x a ⎛⎫=---- ⎪⎝
⎭
∵[]0,x π∈，∴cos [1,1]x ∈-， 若12
a <-，即2a <-，则当cos 1x =-时，()f x 取得最小值，()1g a =. 若112a -，即22a -，则当cos 2a x =时，()f x 取得最小值，2
()212
a g a a =---. 若12
a >即2a >，则当cos 1x =时，()f x 取得最小值，()41g a a =-+， ∴21,2()21,22241,2
a a g a a a a a <-⎧⎪⎪=----⎨⎪-+>⎪⎩． （2）由（1）及题意，得当22a -时，
令21()2122
a g a a =---=，解得1a =-或3a =-（舍去）； 当2a >时，令1()412g a a =-+=，解得18
a =（舍去）， 综上，1a =-，此时211()2cos 22f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝
⎭， 则cos 1x =时，()f x 取得最大值()max 5f x =.
【点睛】
本题主要考查了利用二次函数的方法求三角函数的最值，要求熟练掌握余弦函数图象与性质，其中解答中合理转化为二次函数的图象与性质进行求解是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力，属于中档试题．
18．已知数列{}n a 满足12a =-，124n n a a +=+．
（1）证明：{}4n a +是等比数列；
（2）求数列{}n a 的前n 项和n S ．
【答案】（1）见解析；
（2）1242n n S n +=--．
【解析】
【分析】
（1）由题设124n n a a +=+，化简得1424
n n a a ++=+，即可证得数列{}4n a +为等比数列． （2）由（1），根据等比数列的通项公式，求得24n n a =-，利用等比数列的前n 项和公式，即可求得数
列的前n 项和．
【详解】
（1）由题意，数列{}n a 满足12a =-，所以142a +=
又因为124n n a a +=+，所以()142824n n n a a a ++=+=+，即1
424
n n a a ++=+， 所以{}4n a +是以2为首项，2为公比的等比数列．
（2）由（1），根据等比数列的通项公式，可得42n n a +=，即24n n a =-， 所以()()()()22122424242224n
n n n S a a a n =++⋯+=-+-+⋯+-=++⋯+-
()1212422412n
n n n +-=-=---，
即1242n n S n +=--．
【点睛】
本题主要考查了等比数列的定义，以及等比数列的通项公式及前n 项和公式的应用，其中解答中熟记等比数列的定义，以及等比数列的通项公式和前n 项和的公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
19．如图，在三棱锥A BCD -中，,E F 分别为棱,BC CD 上的中点.
（1）求证：EF 平面ABD ；
（2）若,BD CD AE ⊥⊥平面BCD ，求证：平面AEF ⊥平面ACD .
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据线面平行的判定定理，在平面ABD 中找EF 的平行线，转化为线线平行的证明；
（2）根据面面垂直的判定定理，转化为CD ⊥平面AEF .
【详解】
（1）E ，F 分别是BC ，CD 的中点，EF ∴BD ；
又EF ⊄平面ABD ，BD ⊂平面ABD ，
EF ∴平面ABD .
（2）BD CD ⊥，EF BD ，EF CD ∴⊥； AE 平面BCD ，AE CD ∴⊥；
又EF ⊂平面AEF ，AE ⊂平面AEF ， CD 平面AEF ，又CD ⊂平面ACD ，
∴平面AEF ⊥平面ACD .
【点睛】
本题考查了面面垂直的证明，难点在于转化为线面垂直,方法：结合已知条件，选定其中一个面为垂面，在另外一个面中找垂线，不行再换另外一个面.
20．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知sin sin 4cos sin a C c A a B C +=. （Ⅰ）求B ；
（Ⅱ）若3a =，2c =，求πsin 23C +
⎛⎫ ⎪⎝⎭的值. 【答案】（Ⅰ）π3
B =；
（Ⅱ. 【解析】
【分析】
（Ⅰ）根据正弦定理将边角转化,结合三角函数性质即可求得角B .
（Ⅱ）先根据余弦定理求得b ,再由正弦定理求得sin C ,利用同角三角函数关系式求得cos C ,即可求得
sin 2,cos 2C C .即可求得πsin 23C +⎛⎫ ⎪⎝
⎭的值. 【详解】
（Ⅰ）在ABC ∆中,由正弦定理sin sin sin a b c A B C
== 可得sin sin sin sin 4sin cos sin A C C A A B C +=
即sin sin 2sin cos sin A C A B C =
因为(),0,πA C ∈,所以sin sin 0A C ≠,即1cos 2B =
又因为(0,π)B ∈,可得π3
B = （Ⅱ）在AB
C ∆中,由余弦定理及3a =,2c =,π3B =
有2222cos 7b a c ac B =+-=,故b =
由正弦定理可得sin sin 7
c C B b ==
因为c a <,故cos C ==
因此sin 22sin cos C C C ==,21cos 22cos 17C C =-=
所以,π1sin 2sin 2cos 232C C C ⎛⎫+
=⋅+= ⎪⎝⎭ 【点睛】 本题考查了正弦定理与余弦定理在解三角形中的应用,二倍角公式及正弦和角公式的用法,属于基础题.
21．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，cos 220C C ++=． （1）求角C 的大小；
（2）若b =，ABC ∆的面积为sin 2
A B ，求sin A 及c 的值．
【答案】（1）34C π=
（2）sin 10
A =，1c = 【解析】
【分析】 （1）化简等式，即可求出角C ．
（2）利用角C 的余弦公式，求出c 与a 的关系式，再由正弦定理求出角A 的正弦值，再结合面积公式求出c 的值．
【详解】
（1）∵cos 220C C ++=， ∴
22cos s 10C C +=+，即
)210C +=，
∴cos 2
C =-. 又()0,C π∈，∴34
C π=. （2）∵2222222cos 325c a b ab C a a a =+-=+=， ∴c =，即sin C A =，
∴sin
10A C ==.
∵1sin 2ABC S ab C ∆=
，且s in sin 2ABC S A B ∆=，
∴
1sin sin 22ab C A B =，
∴sin sin sin ab C A B
=
2sin sin c C C ⎛⎫= ⎪⎝⎭
1c =. 【点睛】
本题考查利用解三角形，属于基础题． 22．已知数列{}n a 满足156a =，()*11133n n a a n N +=+∈. （1）求证：数列12n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭
是等比数列； （2）求数列{}n a 的通项公式.
【答案】（1）证明见解析；（2）1123
n n a =
+. 【解析】
【分析】 （1）利用数列{}n a 的递推公式证明出11
212n n a a +-
-为非零常数，即可证明出数列12n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是等比数列； （2）确定等比数列12n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭的首项和公比，求出数列12n a ⎧⎫-⎨⎬⎩
⎭的通项公式，即可求出n a . 【详解】
（1）()*11133n n a a n N +=+∈，11111111113233236211113222
2n n n n n n n n a a a a a a a a +⎛⎫-+--- ⎪⎝⎭∴====----， 因此，数列12n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭
是等比数列； （2）由于115112623a -=-=，所以，数列12n a ⎧⎫-⎨⎬⎩
⎭是以13为首项，以13为公比的等比数列，111112333
n n n a -⎛⎫∴-=⨯= ⎪⎝⎭
，因此，1123n n a =+. 【点睛】
本题考查等比数列的证明，同时也考查了数列通项的求解，考查推理能力与计算能力，属于中等题.。