19-20第1章1.31.3.2 杨辉三角课件人教新课标B版

(1)求展开式中二项式系数最大的项； (2)求展开式中系数最大的项． 【精彩点拨】 求二项式系数最大的项，利用性质知展开式中中间项 (或中间两项)是二项式系数最大的项；求展开式中系数最大的项，必须将 x，y 的系数均考虑进去，包括“＋”“－”号．
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【解】 令 x＝1，则二项式各项系数的和为 f(1)＝(1＋3)n＝4n，又展 开式中各项的二项式系数之和为 2n，由题意知，4n－2n＝992.
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3．二项式系数何时取得最大值？ 【提示】 当 n 是偶数时，中间的一项取得最大值；当 n 是奇数时， 中间的两项 Cnn－2 1，Cnn+21相等，且同时取得最大值．
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【例 3】 已知 f(x)＝(3 x2＋3x2)n 展开式中各项的系数和比各项的二 项式系数和大 992.
.
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(3)∵Tr＋1＝Cr2 019(－2x)r＝(－1)r·C2r 019·(2x)r， ∴a2k－1＜0(k∈N＋)，a2k＞0(k∈N)． ∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a2 019| ＝a0－a1＋a2－a3＋…－a2 019＝32 019.
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1．解决二项式系数和问题思维流程
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1．如图是一个类似杨辉三角的图形，则第 n 行的首尾两个数均为
________．
1 33
565
7 11 11 7
9 18 22 18 9 ……
【解析】 由 1,3,5,7,9，…可知它们成等差数列，所以 an＝2n－1.
【答案】 2n－1
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2．如图，由二项式系数构成的杨辉三角中，第________行从左到右 第 14 与第 15 个数之比为 2∶3.
“杨辉三角”问题解决的一般方法 观察—分析；试验—猜想；结论—证明，要得到杨辉三角中蕴含的诸 多规律，取决于我们的观察能力，观察能力有：横看、竖看、斜看、连续 看、隔行看，从多角度观察．如表所示：
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1．如图所示，满足如下条件： ①第 n 行首尾两数均为 n； ②表中的递推关系类似“杨辉三角”． 则第 10 行的第 2 个数是________，第 n 行的第 2 个数是________．
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所以 r＝4，常数项 T5＝C45×156＝16. 又(a2＋1)n 展开式中的各项系数之和等于 2n， 由此得到 2n＝16，n＝4. 所以(a2＋1)4 展开式中系数最大项是中间项 T3＝C24a4＝54，所以 a＝ ± 3.
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当堂达标 固双基
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【解析】 (a－x)5 展开式的通项为 Tr＋1＝(－1)rCr5a5－rxr， 令 r＝2，得 a2＝(－1)2C25a3＝80，解得 a＝2，即(2－x)5＝a0＋a1x＋a2x2 ＋…＋a5x5，令 x＝1，得 a0＋a1＋a2＋…＋a5＝1. 【答案】 1
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5．在
x－x228 的展开式中，求：
【答案】
1－310 2
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合作探究 提素养
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与“杨辉三角”有关的问题 【例 1】 如图所示，在“杨辉三角”中斜线 AB 的上方，从 1 开始箭头所示的数组成一个锯齿形数列： 1,2,3,3,6,4,10,5，….记其前 n 项和为 Sn，求 S19 的值． 【精彩点拨】 由图知，数列中的首项是 C22，第 2 项是 C12，第 3 项是 C23，第 4 项是 C13，…，第 17 项是 C210，第 18 项是 C110， 第 19 项是 C211.
∴72≤r≤92，∵r∈N，∴r＝4. ∴展开式中系数最大的项为 T5＝C45x23(3x2)4＝405x236.
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1．求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质，当 n 为奇数时， 中间两项的二项式系数最大；当 n 为偶数时，中间一项的二项式系数最大．
2．求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的，需根据 各项系数的正、负变化情况，一般采用列不等式组，解不等式的方法求得．
1
第一章 计数原理
1.3 二项式定理 1.3.2 杨辉三角
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学习目标：1.了解杨辉三角，并探索其中的规律．(难点)2.掌握二项式 系数的性质及其应用．(重点)3.掌握“赋值法”并会灵活运用．
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自主预习 探新知
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教材整理 1 杨辉三角 阅读教材 P29，完成下列问题． 杨辉三角的特点 (1)在同一行中，每行两端都是 1 ，与这两个 1 等距离的项的系数相等 . (2)在相邻的两行中，除 1 以外的每一个数都等于它“肩上”两个数 的和，即_C_mn_＋_1_＝__C_mn_－_1_＋__C_nm__.
1 11 121 1331 14641 ……
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【解析】 设第 n 行从左到右第 14 与第 15 个数之比为 2∶3， 则 3C1n3＝2C1n4， 即13！3n·n－！13！＝14！2n·n－！14！， 解得 n＝34. 【答案】 34
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教材整理 2 二项式系数的性质 阅读教材 P29 后半部分，完成下列问题． 1．每一行的两端都是 1 ，其余每个数都等于它“肩上”两个数的和. 2．每一行中，与首末两端“等距离”的两个数相等． 3．如果二项式的幂指数 n 是偶数，那么其展开式中间一项_T_n2_＋_1 __的 二项式系数最大；如果 n 是奇数，那么其展开式中间两项__T_n＋2_1__与_T_n_＋2_1＋_1_ 的二项式系数相等且最大． 4．二项展开式的二项式系数的和等于_2_n_.题] 1．根据杨辉三角的特点，在杨辉三角同一行中与两个 1 等距离的项 的系数相等，你可以得到二项式系数的什么性质？ 【提示】 对称性，因为 Cnm＝Cnn－m.
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2．计算CCkn－nk 1，并说明你得到的结论． 【提示】 CCkn－nk 1＝n－kk＋1. 当 k<n＋2 1时，CCnk－nk 1>1，说明二项式系数逐渐增大； 同理，当 k>n＋2 1时，二项式系数逐渐减小．
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【解析】 由图表可知第 10 行的第 2 个数为：
(1＋2＋3＋…＋9)＋1＝46，
第 n 行的第 2 个数为：
[1＋2＋3＋…＋(n－1)]＋1＝nn－ 2 1＋1＝n2－2n＋2.
【答案】
46
n2－n＋2 2
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求展开式的系数和 【例 2】 设(1－2x)2 019＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 019·x2 019(x∈R)． (1)求 a0＋a1＋a2＋…＋a2 019 的值； (2)求 a1＋a3＋a5＋…＋a2 019 的值； (3)求|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a2 019|的值． 【精彩点拨】 先观察所求式子与展开式各项的特点，利用赋值法求 解．
() A．64
B．32 C．63
D．31
【解析】 C0n＋2C1n＋…＋2nCnn＝(1＋2)n＝3n＝729， ∴n＝6，∴C16＋C36＋C56＝32. 【答案】 B
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3．若(x＋3y)n 的展开式中各项系数的和等于(7a＋b)10 的展开式中二项 式系数的和，则 n 的值为________．
1．(1＋x)2n＋1 的展开式中，二项式系数最大的项所在项数是( )
A．n，n＋1
B．n－1，n
C．n＋1，n＋2
D．n＋2，n＋3
【解析】 该展开式共 2n＋2 项，中间两项为第 n＋1 项与第 n＋2 项，
所以第 n＋1 项与第 n＋2 项为二项式系数最大的项．
【答案】 C
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2．已知 C0n＋2C1n＋22C2n＋…＋2nCnn＝729，则 C1n＋C3n＋C5n的值等于
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(2)展开式的通项公式为 Tr＋1＝Cr53r·x23(5＋2r)． 假设 Tr＋1 项系数最大， 则有CCr5r533rr≥ ≥CCr5r5－ ＋11··33rr－ ＋11， ，
∴55－－55rr！ ！ ！！rr！！×≥34≥－6r－！5！rr！＋5！1r－！1×！3， ，
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∴3r≥6－1 r， 5－1 r≥r＋3 1.
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【解】 (1)令 x＝0，则 a0＝－1； 令 x＝1，得 a7＋a6＋…＋a1＋a0＝27＝128，① 所以 a1＋a2＋…＋a7＝129. (2)令 x＝－1，得－a7＋a6－a5＋a4－a3＋a2－a1＋a0＝(－4)7，② 由①－②得 2(a1＋a3＋a5＋a7)＝128－(－4)7， ∴a1＋a3＋a5＋a7＝8 256. (3)由①＋②得 2(a0＋a2＋a4＋a6)＝128＋(－4)7， ∴a0＋a2＋a4＋a6＝－8 128.
【解析】 (7a＋b)10 的展开式中二项式系数的和为 C010＋C110＋…＋C1100 ＝210，令(x＋3y)n 中 x＝y＝1，则由题设知，4n＝210，即 22n＝210，解得 n ＝5.
【答案】 5
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4．已知(a－x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a5x5，若 a2＝80，则 a0＋a1＋a2 ＋…＋a5＝________.
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2．“赋值法”是解决二项展开式中项的系数常用的方法，根据题目 要求，灵活赋给字母不同值．一般地，要使展开式中项的关系变为系数的 关系，令 x＝0 可得常数项，令 x＝1 可得所有项系数之和，令 x＝－1 可 得偶次项系数之和与奇次项系数之和的差．
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2．若(3x－1)7＝a7x7＋a6x6＋…＋a1x＋a0，求： (1)a1＋a2＋…＋a7； (2)a1＋a3＋a5＋a7； (3)a0＋a2＋a4＋a6.
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1．已知(a＋b)n 展开式中只有第 5 项的二项式系数最大，则 n 等于 ________．
【解析】 因为只有第 5 项的二项式系数最大，所以n2＋1＝5，所以 n＝8.
【答案】 8
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2．已知(ax＋1)n 的展开式中，二项式系数和为 32，则 n 等于________． 【解析】 二项式系数之和为 C0n＋C1n＋…＋Cnn＝2n＝32，所以 n＝5. 【答案】 5
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3．已知(a2＋1)n
展开式中的各项系数之和等于156x2＋
1
5
x
的展开式的
常数项，而(a2＋1)n 的展开式的系数最大的项等于 54，求 a 的值．
【解】 由156x2＋ 1x5，得 Tr＋1＝C5r156x25－r 1xr＝1565－r·Cr5·x20－2 5r， 令 Tr＋1 为常数项，则 20－5r＝0，
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【解】 (1)令 x＝1，得
a0＋a1＋a2＋…＋a2 019＝(－1)2 019＝－1.① (2)令 x＝－1，得 a0－a1＋a2－…－a2 019＝32 019.② ①－②得
2(a1＋a3＋…＋a2 019)＝－1－32 019，
∴a1＋a3＋a5＋…＋a2
019＝－1－232
019
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3．(2x－1)10 展开式中 x 的奇次幂项的系数之和为________．
【解析】 因为(2x－1)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，
令 x＝1，得 a0＋a1＋a2＋…＋a10＝1，
再令 x＝－1，得
310＝a0－a1＋a2－a3＋…＋a10，
两式相减，可得 a1＋a3＋…＋a9＝1－2310.
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【解】 S19＝(C22＋C12)＋(C23＋C13)＋(C24＋C14)＋…＋(C210＋C110)＋C211＝ (C12＋C13＋C14＋…＋C110)＋(C22＋C23＋…＋C210＋C211)＝(2＋3＋4＋…＋10)＋ C312＝2＋120×9＋220＝274.
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∴(2n)2－2n－992＝0， ∴(2n＋31)(2n－32)＝0， ∴2n＝－31(舍去)或 2n＝32，∴n＝5. (1)由于 n＝5 为奇数，所以展开式中二项式系数最大的项为中间两项， 它们分别是 T3＝C25(x23)3(3x2)2＝90x6， T4＝C35(x23)2(3x2)3＝270x232.
(1)系数的绝对值最大的项；
(2)二项式系数最大的项；
(3)系数最大的项；
(4)系数最小的项．
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【解】 Tr＋1＝Cr8( x)8－r－x22r＝(－1)rCr82rx4－52r. (1)设第 r＋1 项系数的绝对值最大，