上海上海外国语大学附属浦东外国语学校数学整式的乘法与因式分解易错题(Word版 含答案)

一、八年级数学整式的乘法与因式分解解答题压轴题（难）
1．数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A 种纸片边长为a 的正方形，B 中纸片是边长为b 的正方形，C 种纸片是长为a 、宽为b 的长方形．并用A 种纸片一张，B 种纸片一张，C 种纸片两张拼成如图2的大正方形．
（1）请问两种不同的方法求图2大正方形的面积．
方法1：s =____________________；方法2：s =________________________； （2）观察图2，请你写出下列三个代数式：()2
22,,a b a b ab ++之间的等量关系． _______________________________________________________；
（3）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：
①已知：225,11a b a b +=+=，求ab 的值；
②已知()()22202020195a a -+-=，则()()20202019a a --的值是____． 【答案】（1）()2a b +，222a ab b ++；（2）()2
222a b a ab b +=++；（3）①7ab =，②2-
【解析】
【分析】
（1）依据正方形的面积计算公式即可得到结论；
（2）依据（1）中的代数式，即可得出（a+b ）2，a 2+b 2，ab 之间的等量关系；
（3）①依据a+b=5，可得（a+b ）2=25，进而得出a 2+b 2+2ab=25，再根据a 2+b 2=11，即可得到ab=7；②设2020-a=x ，a-2019=y ，即可得到x+y=1，x 2+y 2=5，依据（x+y ）2=x 2+2xy+y 2，即可得出xy=
()222()2
x y x y +-+=2-，进而得到()()20202019a a --=2-． 【详解】
解：（1）图2大正方形的面积=()2a b +，图2大正方形的面积=222a ab b ++
故答案为：()2a b +，222a ab b ++；
（2）由题可得()2a b +，22a b +，ab 之间的等量关系为：()2222a b a ab b +=++故答案为：()2222a b a ab b +=++；
（3）①()()2222a b a b ab +-+=
2251114ab ∴=-=
7ab ∴=
②设2020-a=x ，a-2019=y ，则x+y=1，
∵()()22
202020195a a -+-=，
∴x 2+y 2=5，
∵（x+y ）2=x 2+2xy+y 2，
∴xy=()222()2x y x y +-+=-2， 即()()202020192a a --=-．
【点睛】
本题主要考查了完全平方公式的几何背景，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
2．阅读下列材料：利用完全平方公式，可以将多项式2
(0)ax bx c a ++≠变形为2()a x m n ++的形式，我们把这种变形方法，叫做配方法．运用配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解．例如：
22222
111111251151151124112422242222x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=++-+=+-=+++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝
⎭⎝⎭⎝⎭根据以上材料，解答下列问题： （1）用配方法将281x x +-化成2()x m n ++的形式，则281=x x +- ________；
（2）用配方法和平方差公式把多项式228x x --进行因式分解；
（3）对于任意实数x ，y ，多项式222416x y x y +--+的值总为______（填序号）．
①正数②非负数 ③ 0
【答案】（1）2(4)17x +-；（2）(2)(4)x x +-；（3）①
【解析】
【分析】
（1）根据材料所给方法解答即可；
（2）材料所给方法进行解答即可；
（3）局部进行因式分解，最后写成非负数的积的形式即可完成解答.
【详解】
解：（1）281x x +-
=2816116x x ++--
2(4)17x +-.
（2）原式=22118x x -+--
=2(1)9x --
=(13)(13)x x -+--
=(2)(4)x x +-．
（3）222416x y x y +--+
=()()22214411x x y y -++-++
=()()221211x y -+-+
＞11
故答案为①.
【点睛】
本题考查了配方法，根据材料学会配方法并灵活运用配方法解题是解答本题的关键.
3．阅读材料：若m 2﹣2mn+2n 2﹣8n+16=0，求m 、n 的值．
解：∵m 2﹣2mn+2n 2﹣8n+16=0，∴（m 2﹣2mn+n 2）+（n 2﹣8n+16）=0
∴（m ﹣n ）2+（n ﹣4）2=0，∴（m ﹣n ）2=0，（n ﹣4）2=0，∴n=4，m=4．
根据你的观察，探究下面的问题：
（1）已知x 2﹣2xy+2y 2+6y+9=0，求xy 的值；
（2）已知△ABC 的三边长a 、b 、c 都是正整数，且满足a 2+b 2﹣10a ﹣12b+61=0，求△ABC 的最大边c 的值；
（3）已知a ﹣b=8，ab+c 2﹣16c+80=0，求a+b+c 的值．
【答案】(1)9；（2）△ABC 的最大边c 的值可能是6、7、8、9、10；（3）8.
【解析】
试题分析：（1）直接利用配方法得出关于x ，y 的值即可求出答案；
（2）直接利用配方法得出关于a ，b 的值即可求出答案；
（3）利用已知将原式变形，进而配方得出答案．
试题解析：（1）∵x 2﹣2xy+2y 2+6y+9=0，
∴（x 2﹣2xy+y 2）+（y 2+6y+9）=0，
∴（x ﹣y ）2+（y+3）2=0，
∴x ﹣y=0，y+3=0，
∴x=﹣3，y=﹣3，
∴xy=（﹣3）×（﹣3）=9，
即xy 的值是9．
（2）∵a 2+b 2﹣10a ﹣12b+61=0，
∴（a 2﹣10a+25）+（b 2﹣12b+36）=0，
∴（a ﹣5）2+（b ﹣6）2=0，
∴a ﹣5=0，b ﹣6=0，
∴a=5，b=6，
∵6﹣5＜c ＜6+5，c≥6，
∴6≤c ＜11，
∴△ABC 的最大边c 的值可能是6、7、8、9、10．
（3）∵a ﹣b=8，ab+c 2﹣16c+80=0，
∴a （a ﹣8）+16+（c ﹣8）2=0，
∴（a ﹣4）2+（c ﹣8）2=0，
∴a ﹣4=0，c ﹣8=0，
∴a=4，c=8，b=a ﹣8=4﹣8=﹣4，
∴a+b+c=4﹣4+8=8，
即a+b+c 的值是8．
4．在我国南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算术》（1261年）一书中，用下图的三角形解释二项和的乘方规律．杨辉在注释中提到，在他之前北宋数学家贾宪
（1050年左右）也用过上述方法，因此我们称这个三角形为“杨辉三角”或“贾宪三角”．杨辉三角两腰上的数都是1，其余每一个数为它上方（左右）两数的和．事实上，这个三角形给出了()n a b +(1,2,3,4,5,6)n =的展开式（按a 的次数由大到小的顺序）的系数规
律．例如，此三角形中第三行的3个数1,2,1，恰好对应着222()2a b a ab b +=++展开式
中的各项系数，第四行的4个数1,3,3,1，恰好对应着
+=+++33223()33a b a a b ab b 展开式中的各项系数，等等．请依据上面介绍的数学知识，解决下列问题：
（1）写出4()a b +的展开式；
（2）利用整式的乘法验证你的结论．
【答案】（1）++++432234a 4a b 6a b 4ab b ；（2）见解析
【解析】
【分析】
(1)运用材料所提供的结论即可写出；（2）利用整式的乘法求解验证即可.
【详解】
（1）4322344()464a b a a b a b ab b +=++++，
（2）方法一：()()()43a b a b a b +=+•+
=()()322333a b a a b ab b ++++
4322332234=33+33a a b a b ab a b a b ab b ++++++
432234464a a b a b ab b =++++
方法二：()()()422
a b a b a b +=+•+
=2222(2)(2)a ab b a ab b ++++
=43223223223422422a a b a b a b a b ab a b ab b ++++++++
= ++++432234a 4a b 6a b 4ab b .
【点睛】
解决阅读题的关键是读懂题目所给材料并理解，应用题目中给出的信息解决问题.
5．若一个正整数x 能表示成22a b -(,a b 是正整数，且a b >)的形式，则称这个数为“明礼崇德数”，a 与b 是x 的一个平方差分解. 例如：因为22532=-，所以5是“明礼崇德数”，3与2是5的平方差分解；再如：22222222()M x xy x xy y y x y y =+=++-=+-(,x y 是正整数)，所以M 也是“明礼崇德数”，()x y +与y 是M 的一个平方差分解.
(1)判断：9_______“明礼崇德数”(填“是”或“不是”)；
(2)已知2246N x y x y k =-+-+(,x y 是正整数，k 是常数，且1x y >+)，要使N 是“明礼崇德数”，试求出符合条件的一个k 值，并说明理由；
(3)对于一个三位数，如果满足十位数字是7，且个位数字比百位数字大7，称这个三位数为“七喜数”.若m 既是“七喜数”，又是“明礼崇德数”，请求出m 的所有平方差分解.
【答案】（1）是；（2）k=-5；（3）m=279，222794845=-，222792011=-.
【解析】
【分析】
(1)根据9=52-42，确定9是“明礼崇德数”；
(2)根据题意分析N 应是两个完全平方式的差，得到k=-5，将k=-5代入计算即可将N 平方差分解，得到答案；
(3)确定“七喜数”m 的值，分别将其平方差分解即可.
【详解】
(1)∵9=52-42，
∴9是“明礼崇德数”，
故答案为：是；
(2)当k=-5时，N 是“明礼崇德数”，
∵当k=-5时，
22465N x y x y =-+--，
=224649x y x y -+-+-，
=22(44)(69)x x y y ++-++，
=22(2)(3)x y +-+，
=(23)(23)x y x y ++++--
=(5)(1)x y x y ++--.
∵,x y 是正整数，且1x y >+，
∴N 是正整数，符合题意，
∴当k=-5时，N 是“明礼崇德数”；
(3)由题意得：“七喜数”m=178或279，
设m=22a b -=（a+b ）（a-b ），
当m=178时，
∵178=2⨯89，
∴892a b a b +=⎧⎨-=⎩，得45.543.5a b =⎧⎨=⎩
（不合题意，舍去）； 当m=279时，
∵279=3⨯93=9⨯31，
∴①933a b a b +=⎧⎨-=⎩，得4845
a b =⎧⎨=⎩，∴222794845=-， ②319a b a b +=⎧⎨-=⎩，得2011
a b =⎧⎨=⎩，∴222792011=-， ∴既是“七喜数”又是“明礼崇德数”的m 是279，222794845=-，222792011=-.
【点睛】
此题考查因式分解，熟练掌握平方差公式和完全平方公式是解此题的前提，(3)是此题的难点，解题时需根据百位与个位数字的关系确定具体的数据，再根据“明礼崇德数”的要求进行平方差分解.
6．请你观察下列式子：
2(1)(1)1x x x -+=-
()()23111x x x x -++=-
()()324111x x x x x -+++=-
()()4325111x x x x x x -++++=-
……
根据上面的规律，解答下列问题：
（1）当3x =时，
计算201720162015(31)(333-+++…323331)++++=_________；
（2）设201720162015222a =+++…322221++++，则a 的个位数字为 ；
（3）求式子201720162015555+++…32555+++的和．
【答案】（1）20183
1-；（2）3；（3）2018554- 【解析】
【分析】
（1）根据已知的等式发现规律即可求解；
（2）先根据x=2,求出a=20182-1，再发现2的幂个位数字的规律，即可求出a 的个位数字；
（3）利用已知的等式运算规律构造（5-1）×（2016201520142555...551++++++）即可
求解.
【详解】
（1）∵2(1)(1)1x x x -+=-
()()23111x x x x -++=-
()()324111x x x x x -+++=-
()()4325111x x x x x x -++++=-
……
∴()()1122.1..11n n n n x x x x x x x --+-+++++=-+
故x=3时，201720162015(31)(3
33-+++…323331)++++=201831-
故填：201831-； （2）201720162015222a =+++…322221++++
=（2-1）201720162015(222+++…322221)++++=201821-
∵21=2,22=4,23=8,24=16,25=32,26=64
∴2n 的个位数按2,4,8,6,依次循环排列，
∵2018÷4=504…2，
∴20182的个位数为4，
∴201821-的个位数为3，
故填：3；
（3）201720162015555+++…32555+++ =
1(51)54-⨯⨯（201620152014555+++…2551+++） =
54×（5-1）（201620152014555+++…2551+++） =54
×（201751-） =2018554
- 【点睛】
此题主要考查等式的规律探索及应用，解题的关键是根据已知等式找到规律.
7．阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：
1+x +x (x +1)+x (x +1)2=(1+x )[1+x +x (x +1)]
=(1+x )2(1+x )
=(1+x )3
(1)上述分解因式的方法是 ，共应用了 次.
(2)若分解1+x +x (x +1)+x (x +1)2+…+ x (x +1)2004，则需应用上述方法 次，结果是 .
(3)分解因式：1+x+x(x+1)+x(x+1)2+…+ x(x+1)n(n为正整数).
【答案】（1）提公因式，两次；（2）2004次，（x＋1）2005；(3) (x＋1)1n+【解析】
【分析】
（1）根据已知材料直接回答即可；
（2）利用已知材料进而提取公因式（1+x），进而得出答案；
（3）利用已知材料提取公因式进而得出答案．
【详解】
（1）上述分解因式的方法是：提公因式法，共应用了2次．
故答案为提公因式法，2次；
（2）1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+ x(x+1)2004，
=（1+x）[1+x+x（1+x）+…+ x(x+1)2003]
⋯
=
2
2003(1) (1)(1)(1)(1)
x
x x x x
+
++++
个
=（1+x）2005，
故分解1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+ x(x+1)2004，，则需应用上述方法2004次，结果是：（x+1）2005．
（3）分解因式：1+x+x（x+1）+x（x+1）2…+x（x+1）n（n为正整数）的结果是：（x+1）n+1．
故答案为（x+1）n+1．
【点睛】
此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确提取公因式是解题关键．
8．阅读下列材料：
在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”．
下面是小涵同学用换元法对多项式（x2﹣4x+1）（x2﹣4x+7）+9进行因式分解的过程．解：设x2﹣4x＝y
原式＝（y+1）（y+7）+9（第一步）
＝y2+8y+16（第二步）
＝（y+4）2（第三步）
＝（x2﹣4x+4）2（第四步）
请根据上述材料回答下列问题：
（1）小涵同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的；
A．提取公因式法B．平方差公式法C．完全平方公式法
（2）老师说，小涵同学因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后结
果：；
（3）请你用换元法对多项式（x2+2x）（x2+2x+2）+1进行因式分解．
【答案】（1）C；（2）（x﹣2）4；（3）（x+1）4．
【解析】
【分析】
（1）根据完全平方公式进行分解因式；
（2）最后再利用完全平方公式将结果分解到不能分解为止；
（3）根据材料，用换元法进行分解因式．
【详解】
（1）故选C；
（2）（x2﹣4x+1）（x2﹣4x+7）+9，设x2﹣4x=y，则：
原式=（y+1）（y+7）+9=y2+8y+16=（y+4）2=（x2﹣4x+4）2=（x﹣2）4．
故答案为：（x﹣2）4；
（3）设x2+2x=y，原式=y（y+2）+1=y2+2y+1=（y+1）2=（x2+2x+1）2=（x+1）4．
【点睛】
本题考查了因式分解﹣换元法，公式法，也是阅读材料问题，熟练掌握利用公式法分解因式是解题的关键．
9．由多项式的乘法：(x＋a)(x＋b)＝x2＋(a＋b)x＋ab，将该式从右到左使用，即可得到用“十字相乘法”进行因式分解的公式：
x2＋(a＋b)x＋ab＝(x＋a)(x＋b)．
实例分解因式：x2＋5x＋6＝x2＋(2＋3)x＋2×3＝(x＋2)(x＋3)．
(1)尝试分解因式：x2＋6x＋8；
(2)应用请用上述方法解方程：x2－3x－4＝0.
【答案】(1) (x+2)(x＋4)；(2) x＝4或x＝－1.
【解析】
【分析】
（1）类比题干因式分解方法求解可得；
（2）利用十字相乘法将左边因式分解后求解可得．
【详解】
(1)原式=(x+2)(x＋4)；
(2)x2－3x－4＝(x－4)(x＋1)＝0，所以x－4＝0或x＋1＝0，即x＝4或x＝－1.
【点睛】
本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
10．（观察）
1×49=49，2×48=96，3×47=141，…，23×27=621，24×26=624，25×25=625，26×24=624，27×23=621，…，47×3=141，48×2=96，49×1=49．
（发现）根据你的阅读回答问题：
（1）上述内容中，两数相乘，积的最大值为；
（2）设参与上述运算的第一个因数为a，第二个因数为b，用等式表示a与b的数量关系是．
（类比）观察下列两数的积：
1×59，2×58，3×57，4×56，…，m×n，…，56×4，57×3，58×2，59×1．
猜想mn的最大值为，并用你学过的知识加以证明．
【答案】（1）625；（2）a+b=50； 900；证明见解析.
【解析】
【分析】
发现：（1）观察题目给出的等式即可发现两数相乘，积的最大值为625；
（2）观察题目给出的等式即可发现a与b的数量关系是a＋b＝50；
类比：由于m＋n＝60，将n＝60−m代入mn，得mn＝−m2＋60m＝−（m−30）2＋900，利用二次函数的性质即可得出m＝30时，mn的最大值为900．
【详解】
解：发现：（1）上述内容中，两数相乘，积的最大值为625．
故答案为625；
（2）设参与上述运算的第一个因数为a，第二个因数为b，用等式表示a与b的数量关系是a+b=50．
故答案为a+b=50；
类比：由题意，可得m+n=60，将n=60﹣m代入mn，
得mn=﹣m2+60m=﹣（m﹣30）2+900，
∴m=30时，mn的最大值为900．
故答案为900．
【点睛】
本题考查了因式分解的应用，配方法，二次函数的性质，是基础知识，需熟练掌握．。