因式分解分类讲解

因式分解一提公因式法
【知识要点】
1、分解因式的概念
把一个多项式公成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式。

2、分解因式与整式乘法的关系
分解因式与整式乘法是的恒等变形。

3．分解因式的一些注意点
（1）结果应该是的形式；（2）必须分解到每个因式都不能为止；
（3）如果结果有相同的因式，必须写成的形式。

4．公因式
多项式中各项都含有的公共的因式，我们把这个因式叫做这个多项式的.
5.提公因式法
如果多项式的各项有公因式,可以把这个公因式提到括号外面,将多项式写成因式乘积的形式,这种分解因式的方示叫做提公因式法.
6.确定公因式的方法
(1)系数公因式:应取多项式中各项系数为;
(2)字母公因式:应取多项式中各项字母为.
《重点辨析》
提取公因式时的注意点
【学堂练习】
1.下列各式从左边到右边的变形,哪些是分解因式,哪些不是?
(1))1
1(22x x x x +=+; (2)1)5)(5(22--+=-a a b a
(3)22))((n m n m n m -=-+ (4)22)2(44+=++x x x (5))23(232y x x x xy x -=+- (6)32)1)(3(2--=+-x x x x 2．把下列各式分解因式 （1）a ab a 3692+- （2）4324264xy y x y x +--
【经典例题】
例1、把下列各式分解因式 （1）)2(3)2(2y x b y x a --- （2）)2(4)2(3)2(2y x c x y b y x a -----
（3）32)2()2(2x y b y x a -+- （4）32)3(25)3(15a b b a b -+-
（5）432)(2)(3)(x y x y y x -+--- （6）n m n m x b x a x b x a )()()()(11++-++-+
例2．利用分解因式计算
（1）5.12346.45.12347.115.12349.2⨯-⨯+⨯ （2）99
10098
992222--
例3．已知2,3
2
==+ab b a ，求代数式22222ab b a b a ++的值。

例4、利用因式分解说明：127636-能被140整除。

【随堂练习】
1．下列各式从左到右的变形中是因式分解的是（ ） A 、2))(1(2-+=+-a a b a a B 、)1)(1(2
2y x y x y
x -+=1-
C 、))((y x y x y x -+=-
D 、2)2(4)4(+=++m m m
2．已知二次三项式c bx x ++22分解因式)1)(3(2+-x x ，则c b ,的值为（ ） A 、1,3-==c b
B 、2,6=-=c b
C 、4,6-=-=c b
D 、6,4-=-=c b
3．下列各式的公因式是a 的是（ ） A 、5++ay ax
B 、264ma ma +
C 、ab a 1052+
D 、ma a a +-42
4．将)()(3y x b y x a ---用提公因式法分解因式，应提出的公因式是（ ） A 、b a -3
B 、)(3y x -
C 、y x -
D 、b a +3
5．把多项式)2()2(2a m a m -+-分解因式的结果为（ ） A 、))(2(2m m a +- B 、))(2(2m m a -- C 、)1)(2(--m a m
D 、)1)(2(+-m a m
6．多项式xy y x -22的公因式是 ；多项式是323296c ab b a -的公因式是 。

7．分解因式：2xy xy -= 。

333)()()(n m m n b n m a -=---（ ）。

8．已知：1000,133==+ab b a 。

22ab b a +的值为 。

9．把下列各式分解因式 （1）2222262ab b a b a +- （2）32223229123bc a c b a bc a ++-
（3）)()(y x b y x a --- （4）)()(22y x x x y ---
【课后强化】
1．432-+mx x 分解因式为)1)(43(-+x x ，则m 的值为 。

2．xy nxy mxy xy 3963-=+--（ ） =---+-)()()(a x c x a b a x a 。

3．把下列各式分解因式 （1）xyz xy y x 126322+- （2）)(6)(32x y x y x x -+-
（3）23)(4)(2x y y x -+- （4）2)())((b a a b a b a a +--+
因式分解—公式法、分组分解法
【知识要点】
1．乘法公式逆变形
（1）平方差公式：))((2
2b a b a b a -+=-
（2）完全平方公式：2
22222)(2,)(2b a b ab a b a b ab a -=+-+=++ 2.常见的两个二项式幂的变号规律：
①22()
()n
n a b b a -=-； ②2121()()n n a b b a ---=--．（n 为正整数）
3．把一个多项式分解因式，一般可按下列步骤进行： （1）如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式； （2）如果多项式没有公因式，那么可以尝试运用公式来分解； （3）如果上述方法不能分解，那么可以尝试用分组分解方法。

【学堂练习】
1、如果2592
++kx x 是一个完全平方式，那么k 的值是（ ） A 15 B 15± C 30 D 30±
2、下列多项式，不能运用平方差公式分解的是（ ）
A 、42
+-m B 、22y x -- C 、122-y x D 、()()2
2
a m a m +--
3、把下列各式分解因式： （1）2
24b a - （2）2
916a - （3） 1162
2-y x
（4）36122+-m m （5）2
2
4
1y xy x +- （6）222y xy x -+-
（7）2
2
x y ax ay -++ （8）42
469x a a ---
【经典例题】
例1．用公式法分解因式：
（1）2
22224)(b a b a -+ （2）2
2)3()2(--+y x
（3）442
2+-ab b a （4）16824+-x x
(5)22)2(25)1(16+--x x (6)9)(6)(2
22+-+-x x x x
例2．用分组分解法分解因式
（1）44ax ay x y --+ （2） 22
9816a ab b -++
（3）b a b a 442
2+-- （4） 2
2
2
2
22a b c d ad bc --+--
例3 ．用合适的方法分解因式：
（1）4
24255b m a m - （2）2
22231212m n m n m +-
（3）)()(42
2m n b n m a -+- （4）)(12)(942
2
n m m n m m ++++
例4．利用分解因式计算： （1）433.1922.12
2
⨯-⨯ （2）2
298196202202+⨯+
例5．若3
2
2
3
,2,3b ab b a a ab b a +++-==+求值。

【随堂练习】
1．对于多项式532
1x x x -+-有如下四种分组方法：其中分组合理的是（ ）
①532()(1)x x x -+- ②523()(1)x x x +-+ ③532
()1x x x -+- ④5
3
2
(1)x x x --+
A ．①②
B ．①③
C ．②④
D ．③④ 2.△ABC 的三边满足a 4+b 2c 2-a 2c 2-b 4=0，则△ABC 的形状是__________. 3.已知2=+b a ，利用分解因式，求代数式222
1
21b ab a ++。

4、分解下列因式：
（1）－3x 3－12x 2＋36x （2）2
2
2
4)1(x x -+
（3） m mn n m 222
--+ （4） a 2＋2ab ＋b 2－a －b
5、计算：（1）2004200220032
⨯- （2）1
198********
2++-
因式分解一十字相乘法
例1、分解因式：652
++x x
分析：将6分成两个数相乘，且这两个数的和要等于5。

由于6=2×3=(-2)×(-3)=1×6=(-1)×(-6)，从中可以发现只有2×3的分解适合，即2+3=5。

1 2
解：652
++x x =32)32(2⨯+++x x 1 3 =)3)(2(++x x 1×2+1×3=5
用此方法进行分解的关键：将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和要等于一次项的系数。

例2、分解因式：672
+-x x
解：原式=)6)(1()]6()1[(2
--+-+-+x x 1 -1
=)6)(1(--x x 1 -6
（-1）+（-6）= -7
练习1、分解因式(1)24142++x x (2)36152+-a a (3)542
-+x x
练习2、分解因式(1)22-+x x (2)1522--y y (3)24102
--x x
（二）二次项系数不为1的二次三项式——c bx ax ++2
条件：（1）21a a a = 1a 1c
（2）21c c c = 2a 2c （3）1221c a c a b += 1221c a c a b += 分解结果：c bx ax ++2
=))((2211c x a c x a ++
例3、分解因式：101132+-x x
分析： 1 -2 3 -5 （-6）+（-5）= -11
解：101132+-x x =)53)(2(--x x
练习3、分解因式：（1）6752-+x x （2）2732
+-x x
（3）317102
+-x x （4）101162++-y y
（三）二次项系数为1的齐次多项式
例4、分解因式：2
21288b ab a --
分析：将b 看成常数，把原多项式看成关于a 的二次三项式，利用十字相乘法进行分解。

1 8b
1 -16b 8b+(-16b)= -8b
解：2
21288b ab a --=)16(8)]16(8[2b b a b b a -⨯+-++ =)16)(8(b a b a -+
练习4、分解因式(1)2223y xy x +-(2)2286n mn m +-(3)2
26b ab a --
（四）二次项系数不为1的齐次多项式
例5、2
2
672y xy x +- 例10、232
2
+-xy y x 1 -2y 把xy 看作一个整体 1 -1 2 -3y 1 -2 (-3y)+(-4y)= -7y (-1)+(-2)= -3 解：原式=)32)(2(y x y x -- 解：原式=)2)(1(--xy xy
练习5、分解因式：（1）224715y xy x -+ （2）862
2+-ax x a
综合练习10、（1）1783
6--x x （2）22151112y xy x --
（3）10)(3)(2-+-+y x y x （4）344)(2
+--+b a b a
因式分解综合复习
【考点分析】
考点1：分解因式的意义
1、下列从左到右的变形,属于分解因式的是( )
A. (x+3)(x －2)=x 2+x －6
B. ax －ay+1=a(x －y)+1
C. x 2－
2
1y
=(x+y 1)(x －y 1) D. 3x 2+3x=3x(x+1)
2 、若多项式x 2+ax+b 可分解为(x+1)(x －2),试求a 、b 的值。

考点2：提公因式法分解因式
1．多项式6a 3b 2－3a 2b 2－21a 2b 3分解因式时，应提取的公因式是 ( )
A. 3a 2b
B. 3ab 2
C. 3a 3b 2
D. 3a 2b 2
2．把多项式2(x －2)2－(2－x)3分解因式的结果是（ ）
A. (x －2)2(4－x)
B. x (x －2)2
C.－x (x －2)2
D. (x －2)2(2－x)
3．下列各组代数式没有公因式的是（ ）
A ．5a －5b 和b －a
B ．ax+1和1+ay
C ．(a －b)2和－a + b
D ．a 2－b 2和(a + b)(a + 1)
4、分解下列因式
（1）－8x 2n+2 y n+2 + 12x n+1 y 2n+3 （2）x 2y(x －y) + 2xy(y －x)
（3）16（x －y ）2－24xy （y －x ） （4）()()x y y y x x 393272
2----
考点3：运用公式法分解因式
1．如果2592
++kx x 是一个完全平方式，那么k 的值是（ ）
A 、 15
B 、 ±5
C 、 30
D ±30
2. ⑴（2009年北京）分解因式：224914b ab a ++-= 。

⑵（2005年上海市）分解因式：4416n m -= 。

3、分解下列因式：
（1）2233
1n m - （2）491422+-ab b a
（3）()()22169b a b a +-- （4）()()162492
+-+-b a b a
考点4：分组分解法分解因式
(1) y y x x ---2224 (2) 149422+--m n m
（3）22(1)(1)4a b ab --- （4） 2244c a a -+-
考点5：综合运用提公因式法、公式法分解因式
1、（1）（2009年北京）分解因式：4m 3-m= ；
（2）（2008年上海）分解因式：8x 2y-8xy+2y= 。

2、分解下列因式：
（1）8a 4－2a 2 （2）()()m n y n m x ---229
（3）222()4()a b m b a --- （4）22(161)(116)a x y b y x -++--
考点6：分解因式的应用
1、利用因式分解方法计算：
（1）4.4513.74450.88944.50.26⨯+⨯-⨯ (2) 228001600798798-⨯+
2、已知6,7b a ab -==，求22
a b ab -的值。

3、△ABC 的三边满足a 2-2bc=c 2-2ab ，则△ABC 是（ ）
A 、等腰三角形
B 、直角三角形
C 、等边三角形
D 、锐角三角形
4、若a 为整数，证明1)12(2-+a 能被8整除。

【随堂小测】
1、下列各式中从左到右的变形，是因式分解的是（ ）
(A) (a +3)(a -3)=a 2-9 (B) x 2+x -5=(x -2)(x +3)+1
(C) a 2b +ab 2=ab (a +b ) (D) x 2+1=x (x +x
1) 2、把多项式m 2(a -2)+m (2-a )分解因式等于（ ）
(A) (a -2)(m 2+m ) (B) (a -2)(m 2-m ) (C) m (a -2)(m -1) (D) m (a -2)(m+1)
3、下列多项式中不能用平方差公式分解的是（ ）
(A) -a 2+b 2 (B) -x 2-y 2 (C) 49x 2y 2-z 2 (D) 16m 4-25n 2p 2
4、下列多项式中，不能用完全平方公式分解因式的是（ ）
(A)412
m m ++ (B)2
22y xy x -+- (C)224914b ab a ++- (D)132
92
+-n n
5、把多项式()()a p a p -+-112分解因式的结果是（ ）
A 、()()p p a +-21
B 、()()p p a --21
C 、()()11--p a p
D 、()()11+-p a p
6、已知=+=+-++y x y x y x 则,0106222（ ）
A 、2
B 、－2
C 、4
D 、－4
7、若三角形的三边长分别为a 、b 、c ，满足03222=-+-b c b c a b a ，则这个三角形是（
） A 、等腰三角形 B 、直角三角形 C 、等边三角形 D 、三角形的形状不确定
6、已知x +y =6，xy =4，则x 2y +xy 2的值为 。

7、分解因式：m 3-4m = 。

8、若ax 2+24x +b =(mx -3)2，则a = ，b = ，m = 。

9、16（x －y ）2－24xy （y －x ）= 8（x －y ）（ ）
10、分解下列因式：
（1）3234241228x y x y xy --+ （2）2224)1(a a -+
11、若3223,2,3b ab b a a ab b a +++-==+求值。