人教版2022-2021年高三二轮复习数学(文)专题试题 (17)

阶段提升突破练(一)
(三角函数及解三角形)
(60分钟100分)
一、选择题(每小题5分,共40分)
1.要得到函数f(x)=2sinxcosx,x∈R的图象,只需将函数g(x)=2cos2x-1,x∈R的图象( )
A.向左平移个单位
B.向右平移个单位
C.向左平移个单位
D.向右平移个单位
【解析】选D.因为f(x)=2sinxcosx=sin2x,g(x)=2cos2x-1=cos2x,
所以sin2x=cos=cos,所以f(x)可由g(x)向右平移个单位得到.
2.已知函数f(x)=4(ω>0)在平面直角坐标系中的部分图象如图所示,若∠ABC=90°,则ω= ( )
A. B. C. D.
【解析】选 B.根据三角函数图象的对称性可知,BC=CP=PA,又因为∠ABC=90°,所以BP是Rt△ABC斜边的中线,所以BP=BC=CP,所以△BCP
是等边三角形,所以BP=4⇒BP=8,所以=2×8⇒ω=.
3.在△ABC中,“角A,B,C成等差数列”是“sinC=(cosA+sinA)cosB”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】选A.因为角A,B,C成等差数列,所以B=,
又sinC=(cosA+sinA)cosB,
所以sin(A+B)=cosAcosB+sinAcosB,
所以cosAsinB=cosAcosB,所以cosA(sinB-cosB)=0,
即cosA=0或tanB=,即A=或B=,故选A.
4.已知tanα=-3,tan(α-2β)=1,则tan4β的值为()
A. B.- C.2 D.-2
【解析】选B.因为2β=α-(α-2β),
所以tan2β=tan[α-(α-2β)]===2,
所以tan4β===-.
5.将函数y=3sin的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍,再向右平移个单位,所得函数图象的一个对称中心为( )
A. B.
C. D.
【解析】选A.将函数y=3sin的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍变为y=3sin,再向右平移个单位变为y=3sin
=3sin,令8x-=kπ⇒x=+,k∈Z,显然A选项,当k=0时满足.
6.若α∈,且3cos2α=4sin,则sin2α的值为( )
A. B.- C.- D.
【解析】选C.3(cos2α-sin2α)=2(cosα-sinα),因为α∈,所以
cosα-sinα≠0,所以3(cosα+sinα)=2,即cosα+sinα=,
两边平方可得1+sin2α=⇒sin2α=-.
7.已知锐角A是△ABC的一个内角,a,b,c是各内角所对的边,若
sin2A-cos2A=,则下列各式正确的是( )
A.b+c≤2a
B.a+c≤2b
C.a+b≤2c
D.a2≤bc
【解题导引】根据题中条件可以求出角A,结合余弦定理求出a,b,c 三边的关系,选项可以看成比较大小,平方作差即可.
【解析】选A.因为sin2A-cos2A=-cos2A=,且A为锐角,所以cos2A=-
⇒2A=⇒A=,由余弦定理可得a2=b2+c2-2bccos,即a2=b2+c2-bc,对于选项A,(b+c)2-4a2
=b2+c2+2bc-4(b2+c2-bc)=-3b2-3c2+6bc=-3(b-c)2≤0,故选A.
8.已知函数f(x)=2sin(ωx-φ)-1(ω>0,<π)的一个零点是
x=,x=-是y=f(x)的图象的一条对称轴,则ω取最小值时,f(x)的单调增区间是( )
世纪金榜导学号46854167
A.,k∈Z
B.,k∈Z
C.,k∈Z
D.,k∈Z
【解题导引】首先根据x=,x=-分别是零点和对称轴表示出ω,结合ω的范围求出其最小值,根据对称轴的取值,求出φ的值,然后再求单调增区间.
【解析】选 B.由条件得sin=,sin=±1,所以-φ=2kπ+或2kπ+(k∈Z).--φ=tπ+(t∈Z),所以ω=2(2k-t)±.因为ω>0,k,t∈Z,所以ωmin=,此时--φ=tπ+,t∈Z,所以φ=-tπ-π(t∈Z),因为<π,所以φ=-,所以f(x)=2sin-1,由-+2kπ≤x+≤+2kπ(k∈Z),得-+3kπ≤x≤-+3kπ(k∈Z).所以f(x)的单调增区间是
,k∈Z.
二、填空题(每小题5分,共20分)
9.已知函数f(x)=2sinxcosx-2sin2x,x∈R,则函数f(x)在上的最大值为__________.
世纪金榜导学号46854168 【解析】
f(x)=sin2x+cos2x-1=2(sin2x+cos2x)-1=2sin-1.因
为0≤x≤,所以≤2x+≤,所以≤sin≤1,于是1≤
2sin≤2,所以0≤f(x)≤1.所以当且仅当2x+=,即x=
时,f(x)在上取最大值,最大值为f=1.
答案:1
10.函数f(x)=2sin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则f(0)的值是____________.
【解析】因为T=-=π,所以T=π,所以ω=2.把代入,
得2sin=2⇒π+φ=+2kπ,所以φ=-+2kπ,k∈Z,因为-<φ<,所以φ=-,所以f(x)=2sin,所以
f(0)=2sin=-.
答案:-
11.若tanα+=,α∈,则sin+2cos cos2α的值为__________.
【解题导引】首先求出tanα的值,然后结合sin2α+cos2α=1,整体转化成正切求解即可.
【解析】因为tanα+=,所以3tan2α-10tanα+3=0,解得tan α=或tanα=3,又α∈,所以tanα=3,sin+2cos cos2
α=(sin2α+
cos2α)+cos2α
=
==0.
答案:0
12.在△ABC中,角A,B,C所对边分别为a,b,c且a2+b2-c2=ab,c=3,sinA+sinB=
2sinAsinB,则△ABC的周长为__________.
世纪金榜导学号46854169 【解题导引】首先求出角C,然后将sinA+sinB=2sinAsinB两边同乘以sinC并结合正弦定理求出边的关系.
【解析】由a2+b2-c2=ab及余弦定理,得cosC===,又
C∈(0,π),所以C=,由sinA+sinB=2sinAsinB,
得(sinA+sinB)sinC=2sinCsinAsinB,
(sinA+sinB)sinC=2sin sinAsinB得
(sinA+sinB)sinC=3sinAsinB,
再结合正弦定理,得(a+b)c=3ab,代入c=3,得a+b=ab.再结合a2+b2-c2=ab,得(a+b)2-2ab-9=ab,得(ab)2-3ab-9=0,得2(ab)2-3ab-9=0,得(2ab+3)(ab-3)
=0,解得ab=-(舍去)或ab=3.所以a+b=3,a+b+c=3+3.
答案:3+3
三、解答题(每小题10分,共40分)
13.已知函数f(x)=sinωx-cosωx(ω>0)的最小正周期为π.
世纪金榜导学号46854170 (1)求函数y=f(x)图象的对称轴方程.
(2)讨论函数f(x)在上的单调性.
【解析】(1)因为f(x)=sinωx-cosωx
=sin,且T=π,所以ω=2.
于是f(x)=sin,令2x-=kπ+(k∈Z),得x=+(k∈Z),
即函数f(x)的对称轴方程为x=+(k∈Z).
(2)令2kπ-≤2x-≤2kπ+(k∈Z),
得函数f(x)的单调增区间为(k∈Z).
注意到x∈,令k=0,得函数f(x)在上的单调增区间为;
同理,其单调减区间为.
14.在△ABC中,角A,B,C所对边分别为a,b,c,且4bsinA= a.
(1)求sinB的值.
(2)若a,b,c成等差数列,且公差大于0,求cosA-cosC的值.
【解析】(1)由4bsinA=a,根据正弦定理得4sinBsinA=sinA,所以sinB=.
(2)由已知和正弦定理以及(1)得sinA+sinC=①,
设cosA-cosC=x ②,
①2+②2,得2-2cos(A+C)=+x2③,又a<b<c,A<B<C,所以0<B<,cosA>cosC,故cos(A+C)=-cosB=-,代入③式得x2=,因此
cosA-cosC=.
15.公园里有一扇形湖面,管理部门打算在湖中建一三角形观景平台,
希望面积与周长都最大.如图所示扇形AOB,圆心角AOB的大小等于,半径为2百米,在半径OA上取一点C,过点C作平行于OB的直线交弧AB于点P.设∠COP=θ. 世纪金榜导学号46854171
(1)求△POC面积S(θ)的函数表达式.
(2)求S(θ)的最大值及此时θ的值.
【解题导引】(1)根据正弦定理求出对应边长,然后利用面积公式求出.
(2)根据(1)的结果展开,重新化一,转化成三角最值问题即可.
【解析】(1)因为CP∥OB,所以∠CPO=∠POB=-θ,
在△POC中,由正弦定理得=,即=,所以CP=sinθ,
又=,所以OC=sin.于是S(θ)=CP·OCsin
=·sinθ·sin×
=sinθ·sin.
(2)由(1)知S(θ)=sinθ·sin
=sinθ=2sinθcosθ-sin2θ
=sin2θ+cos2θ-=sin-,
令2θ+=2kπ+,k∈Z,
即θ=kπ+,k∈Z,因为0<θ<,
所以当θ=时,S(θ)取得最大值为.
16.已知a=,b=,函数f=a·b+. 世纪金榜导学号46854172
(1)求函数y=f图象的对称轴方程.
(2)若方程f=在上的解为x1,x2,求cos的值.
【解题导引】(1)根据向量的数量积,表示出f(x),并化简即可. (2)根据对称性找到x1,x2的等量关系,结合三角恒等变换知识可解.
【解析】(1)f=a·b+=·+
=sinx·cosx-cos2x+=sin2x-cos2x
=sin,
令2x-=kπ+,得x=+π,
即y=f的对称轴方程为x=+π.
(2)由条件知sin=sin=>0,
且0<x1<<x2<,
易知与关于x=对称,则x1+x2=,所以cos
=cos=cos=cos
=sin=.。