安徽省合肥市第三十二中学2021年高中数学 1.1.1 集合的含义与表示教案

安徽省合肥市第三十二中学2021年高中数学集合的含义与表示教案新人教版必
修1
【教学目标】
1.了解集合、元素的概念，体会集合中元素的三个特点；
2. 明白得元素与集合的“属于”和“不属于”关系；
3. 把握经常使用数集及其记法；
4.了解集合的表示方式；
5.能正确选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用.
【导入新课】
一、实例引入：
军训前学校通知：8月20日8点，高一年级在体育馆集合进行军训动员；试问那个通知的对象是全部的高一学生仍是个别学生？
在那个地址，集合是咱们经常使用的一个词语，咱们感爱好的是问题中某些特定（是高一而不是高二、高三）对象的整体，而不是个别的对象，为此，咱们将学习一个新的概念——集合，即是一些研究对象的整体.
二、问题情境引入：咱们高一（一）班一共52人，其中班长张三，现有以下问题：
⑴52人组成的班集体可否组成一个整体？
⑵张三和52人所组成的班集体是什么关系?
⑶假设李四是相邻班的学生，问他与高一·一班是什么关系？
新讲课时期
（一）集合的有关概念
集合理论开创人康托尔称集合为一些确信的、不同的东西的全部，人们
能意识到这些东西，而且能判定一个给定的东西是不是属于那个整体.
一样地，咱们把研究对象统称为元素（element），一些元素组成的整体叫集合（set），也简称集.[
试探1：判定以下元素的全部是不是组成集合，并说明理由：
大于3小于11的偶数；
我国的小河流；
非负奇数；
x+=的解；
方程210
某校2021级新生；
血压很高的人；
闻名的数学家；
平面直角坐标系内所有第三象限的点；
全班成绩好的学生.
对学生的解答予以讨论、点评，进而讲解下面的问题.
(二) 元素与集合的关系
1. （1）若是a是集合A的元素，就说a属于（belong to）A，记作：a∈A；
（2）若是a不是集合A的元素，就说a不属于（not belong to）A，记作：a∉A，
例如，咱们A表示“1~20之内的所有质数”组成的集合，那么有3∈A，，4∉A，等等.
2．集合与元素的字母表示：集合通经常使用大写的拉丁字母A，B，C…表示，集合的元素用小写的拉丁字母a,b,c,…表示.
3．经常使用的数集及记法：
非负整数集（或自然数集），记作N ；
正整数集，记作N*或N+；
整数集，记作Z ；
有理数集，记作Q ；
实数集，记作R.
例1 假设集合A 为因此大于1 二小于3的实数组成的集合，那么下面说法正确的为（ ）
A ．0A ∈ Ｂ.1A ∉ C.0.2A ∈ D.1A -∈
解析：依照元素与集合的关系可得，答案C.
答案： C
例2用“∈”或“∉”符号填空：
（1）8 N ； （2）0 N ；
（3）-3 Z ； （4）2 Q ；
（5）设A 为所有亚洲国家组成的集合，那么中国 A ，美国 A ，印度 A ，英国
A. 答案：;;;;,,∈∈∈∉∈∉∉
例3 判定以下各句的说法是不是正确：
(1) 所有在N 中的元素都在N*中 ( )
(2) 所有在N 中的元素都在Z 中 ( )
(3) 所有不在N*中的数都不在Z 中 ( )
(4) 所有不在Q 中的实数都在R 中 ( )
(5) 由既在R 中又在N 中的数组成的集合中必然包括数0 ( )
(6) 不在N 中的数不能使方程4x ＝8成立 ( )
答案： ×，√，×，√，×，√
例 4 已知集合P 的元素为21,,33m m m -+, 假设3P ∈且-1∉P ，求实数m 的值
解：依照3P ∈，得假设23,333m m =-+=则m 现在不知足题意；假设333,m m -+=解得
现在0m =或3m =（舍），综上 符合条件的0m = .
点评：此题综合运用集合的概念和元素与集合的关系解题，注意集合的性质的运用.
（三）集合的表示方式
咱们能够用自然语言和图形语言来描述一个集合，但这将给咱们带来很多不便，除此之外还经常使用列举法和描述法来表示集合
(1) 列举法：把集合中的元素一一列举出来，并用花括号“
{}”括起来表示集合的方式叫列举法. 如：{1，2，3，4，5}，{x2，3x+2，5y3-x ，x2+y2}，…
说明：1．集合中的元素具有无序性，因此用列举法表示集合时没必要考虑元素的顺序.
2．各个元素之间要用逗号隔开；
3．元素不能重复；
4．集合中的元素能够数，点，代数式等；
5．对于含有较多元素的集合，用列举法表示时，必需把元素间的规律显示清楚后方能用省略号，象自然数集Ｎ用列举法表示为{}1,2,3,4,5,.......
例5 用列举法表示以下集合：
(1)x2－4的一次因式组成的集合. (2){y ｜y ＝－x2－2x ＋3，x ∈R,y ∈N}.
(3)方程x2＋6x ＋9＝0的解集. (4){20之内的质数}.
(5){（x ，y ）｜x2＋y2＝1，x ∈Z,y ∈Z}. (6){大于0小于3的整数}
(7){x ∈R ｜x2＋5x －14＝0}.
(8){（x ，y ）}｜x ∈N ，且1≤x ＜4，y －2x ＝0}.
(9){（x ，y ）｜x ＋y ＝6，x ∈N ，y ∈N}.
分析：用列举法表示集合的关键是找出集合中的所有元素，要注意不重不漏，不计顺序地用“，”隔开放在大括号内.
解：(1)因x2－4＝（x －2）（x ＋2），故符合题意的集合为{x －2，x ＋2}.
(2)y ＝－x2－2x ＋3＝－（x ＋1）2＋4，即y ≤4，又y ∈N ，∴y ＝0，1，2，3，4.
故{y｜y＝－x2－2x＋3，x∈R,y∈N}＝{0，1，2，3，4}.
(3)由x2＋6x＋9＝0得x1＝x2＝－3，∴方程x2＋6x＋9＝0的解集为{－3}.
(4){20之内的质数}＝{2，3，5，7，11，13，17，19}.
(5)因x∈Z , y∈Z ，那么x＝－1，0，1时，y＝0，1，－1.
那么{(x，y)｜x2＋y2＝1，x∈Z ,y∈Z}＝{（－1，0），（0，1），（0，－1），（1，0）}.
(6){大于0小于3的整数}＝{1，2}.
(7)因x2＋5x－14＝0的解为x1＝－7，x2＝2，那么{x∈R｜x2＋5x－14＝0}＝{－7，2}.
(8)当x∈N且1≤x＜4时，x＝1，2，3，现在y＝2x，即y＝2，4，6.
那么{（x，y）｜x∈N且1≤x＜4，y－2x＝0}＝{（1，2），（2，4），（3，6）}.
(9){（x，y）｜x＋y＝6，x∈N，y∈N}＝{（0，6）（1，5），（2，4），（3，3），（4，2），（5，1），（6，0）}.（2）描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在花括号{ }内.
具体方式：在花括号内先写上表示那个集合元素的一样符号及取值（或转变）范围，再画一条竖线，在竖线后写出那个集合中元素所具有的一起特点.
一样格式：{}
() x A p x
∈
如：{x|x-3>2}，{(x,y)|y=x2+1}，{x︳直角三角形}，…；
说明：
1．讲义P5最后一段话；
2．描述法表示集合应注意集合的代表元素，如{(x,y)|y= x2+3x+2}与{y|y= x2+3x+2}是不同的两个集合，只要不引发误解，集合的代表元素也可省略，例如：{x︳整数}，即代表整数集Z.
辨析：那个地址的{ }已包括“所有”的意思，因此没必要写{全部整数}.以下写法{实数集}，{R}也是错误的.说明：列举法与描述法各有优势，应该依照具体问题确信采纳哪一种表示法，要注意，一样集合中元素较多或有无穷个元素时，不宜采纳列举法.
例6 用描述法表示以下集合：
(1)方程2x＋y＝5的解集. (2)小于10的所有非负整数的集合.
(3)方程ax ＋by ＝0（ab ≠0）的解. (4)数轴上离开原点的距离大于3的点的集合.
(5)平面直角坐标系中第Ⅱ、Ⅲ象限点的集合.
(6)方程组⎩⎨⎧x + y ＝1x －y ＝1
的解的集合. (7){1，3，5，7，…}. (8)x 轴上所有点的集合. (9)非负偶数.
(10)能被3整除的整数.
分析：用描述法表示集合的关键是找出集合中元素的公共属性，确信代表元素，公共属性能够用文字直接表述，也可用数学关系表示，但要抓住其实质.
解：(1){（x ，y ）｜2x ＋y ＝5}.
(2)小于10的所有非负整数的集合用描述法表示为{x ｜0≤x ＜10，x ∈Z}.
(3)方程ax ＋by ＝0（ab ≠0）的解用描述法表示为{（x ，y ）｜ax ＋by ＝0（ab ≠0）}.
(4)数轴上离开原点的距离大于3的点的集合用描述法表示为{x ｜x ＞3}.
(5)平面直角坐标系中第Ⅱ、Ⅲ象限点的集合用描述法表示为{（x ，y ）｜xy ＜0}.
(6)方程组⎩⎨⎧x + y ＝1x －y ＝1 的解的集合用描述法表示为{（x ，y ）｜⎩⎨⎧x + y ＝1x －y ＝1
}. (7){1，3，5，7，…}用描述法表示为{x ｜x ＝2k －1，k ∈N*}.
(8)x 轴上所有点的集合用描述法表示为{（x ，y ）｜x ∈R ，y ＝0}.
(9)非负偶数用描述法表示为{x ｜x ＝2k ，k ∈N}.
(10)能被3整除的整数用描述法表示为{x ｜x ＝3k ，k ∈Z}.
（3）文恩图法：集合的表示除列举法和描述法外，还有恩韦图(文氏图)表达如下：
画一条封锁的曲线，用它的内部来表示一个集合.如图：
表示任意一个集合A
表示{3，9，27} 表示{4，6，10}
边界用直线仍是曲线，用实线仍是虚线都无关紧要，只要封锁并把有关元素和子集通通包括在里边就行，但不能明白得成圈内每一个点都是集合的元素.
例7设集合A＝{x｜x＝2k，k∈Z}，B＝{x｜x＝2k＋1，k∈Z}，C＝{x｜x＝4k＋1，k∈Z}，又有a∈A，b∈B，判定元素a＋b与集合A、B和C的关系.
解：因A＝{x｜x＝2k，k∈Z}，B＝{x｜x＝2k＋1，k∈Z}，那么集合A由偶数组成，集合B由奇数组成.
即a是偶数，b是奇数设a＝2m，b＝2n＋1（m∈Z ,n∈Z）
那么a＋b＝2（m＋n）＋1是奇数，那么a＋b∈\A，a＋b∈B.
又C＝{x｜x＝4k＋1，k∈Z}是由部份奇数组成且x＝4k＋1＝2·2k＋1.
故m＋n是偶数时，a＋b∈C；m＋n不是偶数时，a＋b∈\C
综上a＋b∈\A，a＋b∈B，a＋b∈\C.
课堂小结
1.集合的概念中，“某些指定的对象”，能够是任意的具体确信的事物，例如数、式、点、形、物等.
2.集合元素的三个特点：确信性、互异性、无序性，要能熟练运用之.
3. 集合的经常使用表示方式，包括列举法、描述法.
作业
1．习题1.1，第1- 2题；
2．预习集合的表示方式.
拓展提升
1.用集合符号表示以下集合，并写出集合中的元素：
(1)所有绝对值等于8的数的集合A；(2)所有绝对值小于8的整数的集合B.
2.以下各组对象不能形成集合的是（）
A.大于6的所有整数
B.高中数学的所有难题
C.被3除余2的所有整数
D.函数y＝1
x
图象上所有的点
3.以下条件能形成集合的是（ ）
A.充分小的负数全部
B.爱好飞机的一些人
C.某班本学期视力较差的同窗
D.某校某班某一天所有课程
4.集合A 的元素由kx2－3x ＋2＝0的解组成，其中k ∈R ，假设A 中的元素最多有一个，求k 值的范围.
5.假设x ∈R ，那么{3，x ，x2－2x}中的元素x 应知足什么条件?
6.方程 ax2＋5x ＋c ＝0的解集是{12 ，13
}，那么a ＝_______，c ＝_______. 7.集合A 的元素是由x ＝a ＋b
2 （a ∈Z,b ∈Z ）组成，判定以下元素x 与集合A 之间的关系：0，12－1 ，1
3－2 .
参考答案
1. 分析：由集合概念：一组确信对象的全部形成集合，因此可否形成集合，就看所提对象是不是确信；第二集合元素的特点也是解决问题依据所在.
解：(1)A ＝{绝对值等于8的数} 其元素为：－8，8
(2)B ＝{绝对值小于8的整数}
其元素为：－7，－6，－5，－4，－3，－2，－1，0，1，2，3，4，5，6，7.
2. 解：综观四个选择支，A 、C 、D 的对象是确信的，惟有B 中的对象不确信，故不能形成集合的是B.
3 解：综观该题的四个选择支，A 、B 、C 的对象不确信，惟有D 某校某班某一天所有课程的对象确信，故能形成集合的是D.
4. 解：由题A 中元素即方程kx2－3x ＋2＝0(k ∈R)的根
假设k ＝0，那么x ＝23
，知A 中有一个元素，符合题设[ 假设k ≠0，那么方程为一元二次方程.
当Δ＝9－8k ＝0即k ＝98 时，kx2－3x ＋2＝0有两相等的实数根，现在A 中有一个元素.又当9－8k ＜0即k ＞98
时,kx2－3x ＋2＝0无解.
现在A 中无任何元素，即A ＝∅也符合条件
综上所述 k ＝0或k ≥98
评述：解决涉及一元二次方程问题，先看二次项系数是不是确信，假设不确信，如该题，那么须分类讨论.第二最多有一个元素，决定了如此的集合或含一个元素，或不含元素，分两种情形.
5. 解：集合元素的特点说明{3，x ，x2－2x}中元素应知足关系式
⎩⎨⎧x ≠3x ≠x2－2x 3≠x2－2x 即⎩⎨⎧x ≠3x2≠3x
x2－2x －3≠0 也确实是⎩⎨⎧x ≠3
x ≠0x ≠－1
即x ≠－1，0，3知足条件.
6. 解：方程ax2＋5x ＋c ＝0的解集是{12 ，13 }，那么12 、13 是方程两根 即有⎩⎨⎧
12 ＋13 ＝－5a 12 ·13 ＝c a 得⎩⎨⎧a ＝－6c ＝－1
那么 a ＝－6，c ＝－1 7.解：因x ＝a ＋b 2 ，a ∈Z ,b ∈Z
那么当a ＝b ＝0时，x ＝0
又12－1 ＝ 2 ＋1＝1＋
2 当a ＝b ＝1时，x ＝1＋ 2
又13－2 ＝ 3 ＋ 2
当a ＝
3 ，b ＝1时，a ＋b 2 ＝ 3 ＋ 2 而现在 3 ∈\Z ，故有：
13－2 ∈\A ， 故0∈A ，12－1 ∈A ，1
3－2 ∈\A.
8.解：假设x 是整数，那么有x ＋x ＝15，x ＝152
与x 是整数相矛盾，假设x 不是整数，那么x 必在两个持续整数之间
设n ＜x ＜n ＋1
那么有n ＋（n ＋1）＝15，2n ＝14，n ＝7 即7＜x ＜8 ∴x ∈（7，8）。