【2019-2020】高中数学学业分层测评9参数方程的意义苏教版选修4_4

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【2019-2020】高中数学学业分层测评9参数方程的意义苏教
版选修4_4
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[学业达标]
1．如图4­4­2，OB 是机器上的曲柄，长是r ，绕点O 转动，AB 是连杆，M 是AB 上一点，MA ＝a ，MB ＝b(2r ＜a ＋b)．当点A 在Ox 上做往返运动，点B 绕着O 做圆周运动时，求点M 的轨迹方程．
图4­4­2
【解】 如题图，设点M(x ，y)，θ＝∠BAO，由点B 作BC⊥Ox，交Ox 于点C ，由点M 作MD⊥Ox，交Ox 于点D ，由点M 作ME⊥BC，交BC 于点E ，那么y ＝DM ＝asin θ，
x ＝OD ＝OC ＋CD ＝OC ＋EM
＝±＋EM
＝±＋bcos θ，
得到点M(x ，y)的坐标满足方程组
⎩⎨
⎧
x＝bcos θ±θ，
y＝asin θ，
即为点M 的轨迹方程．
2．动点M 作匀速直线运动，它在x 轴和y 轴方向上的分速度分别为9 m/s 和12 m/s ，运动开始时，点M 位于A(1,1)，求点M 的轨迹方程．
【解】 设t s 后点M 的坐标为(x ，y)，
则所以点M 的轨迹方程为
⎩⎨
⎧ x＝1＋9t，y＝1＋12t
(t≥0)．
3．以椭圆＋y2＝1的长轴的左端点A 与椭圆上任意一点连线的斜率k 为参数，将椭圆方程化为参数方程．
【导学号：98990028】
【解】 椭圆＋y2＝1的长轴的左端点A 的坐标为(－2,0)． 设P(x ，y)为椭圆上任意一点(除点A)，则点P 的坐标满足
⎩⎪⎨⎪⎧
y x＋2＝k，x24＋y2＝1.
将＝k 代入＋y2＝1，消去x ， 得(＋4)y2－y ＝0. 解得y ＝0，或y ＝. 由y ＝，解得x ＝； 由y ＝0，解得x ＝2.
由于(2,0)满足方程组⎩⎪⎨
⎪⎧
x＝1＋4k2
，
y＝4k 1＋4k2，
所以椭圆＋y2＝1的参数方程为
⎩⎪⎨⎪⎧
x＝1＋4k2
，
y＝4k 1＋4k2.
4．△ABC 是圆x2＋y2＝1的内接三角形，已知A(1,0)，∠BAC＝60°，求△ABC 的重心的轨迹方程．
【解】 因为∠BAC＝60°，所以∠BOC＝120°. 设B(cos θ，sin θ)(0°＜θ＜240°)，
则有C(cos(θ＋120°)，sin(θ＋120°))．设重心坐标为(x ，y)，则
⎩⎪⎨⎪
⎧
x＝1＋cos θθ3，
y＝
sin θθ3
.
所以⎩⎪⎨⎪⎧
x＝
1＋12cos θ－3
2
sin θ
3
y＝12
sin θ＋3
2cos θ
3
，
即⎩⎪⎨⎪⎧
x＝θ
3，
y＝
θ3
. 消去θ＋60°，得(3x －1)2＋9y2＝1， ∵0°＜θ＜240°， ∴－1≤cos(θ＋60°)＜，
∴0≤＜， 即0≤x＜.
∴△ABC 的重心的轨迹方程为(x －)2＋y2＝(0≤x<)．
5．如图4­4­3，过抛物线y2＝4x 上任一点M 作MQ 垂直于准线l ，垂足为Q ，连接OM 和QF(F 为焦点)相交于点P ，当M 在抛物线上运动时，求点P 的轨迹方程．
图4­4­3
【解】 设直线OM 的方程为y ＝kx(k≠0)， 由得或所以M(，)，
则Q(－1，)，于是直线QF 的方程为
y ＝(x －1)，即y ＝－(x －1)．
由⎩
⎨⎧
y＝kx，y＝－
2
k
消去k ，得2x2＋y2－2x ＝0.
所以点P 的轨迹方程为2x2＋y2－2x ＝0(y≠0)．
6．如图4­4­4所示，OA 是圆C 的直径，且OA ＝2a ，射线OB 与圆交于Q 点，和经过A 点的切线交于B 点，作PQ⊥OA，PB∥OA，试求点P 的轨迹方程．
图4­4­4
【解】 设P(x ，y)是轨迹上任意一点，取∠DOQ＝θ，由PQ⊥OA，PB∥OA，得
x ＝OD ＝OQcos θ＝OAcos2θ＝2acos2θ， y ＝AB ＝OAtan θ＝2atan θ.
所以P 点轨迹的参数方程为
⎩⎨
⎧ x＝2acos2θ，y＝2atan θ，
θ∈(－，)．
7．已知点P(x ，y)是曲线C ：上的任意一点，求3x ＋y 的取值范围．
【解】 设P(3＋cos θ，2＋sin θ)， 则3x ＋y ＝3(3＋cos θ)＋(2＋sin θ) ＝11＋3cos θ＋sin θ＝11＋2sin(θ＋)，
∴3x ＋y 的最大值为11＋2，最小值为11－2，取值范围是[11－2，11＋2]．
[能力提升]
8．如图4­4­5，已知曲线4x2＋9y2＝36(x ＞0，y ＞0)，点A 在曲线上移动，点C(6,4)，以AC 为对角线作矩形ABCD ，使AB∥x 轴，AD∥y 轴，求矩形ABCD 的面积最小时点A 的坐标．
图4­4­5
【解】∵椭圆方程为＋＝1(x＞0，y＞0)，
设A(3cos θ，2sin θ)，θ∈(0，)，
则B(6,2sin θ)，C(6,4)，D(3cos θ，4)，
所以SABCD＝AB·AD＝(6－3cos θ)(4－2sin θ)
＝24－12(sin θ＋cos θ)＋6sin θcos θ.
令t＝sin θ＋cos θ，则t∈(1，]，sin θcos θ＝，则SABCD＝3(t－2)2＋9.
因为t∈(1，]，所以当t＝时，
矩形面积最小，即t＝sin θ＋cos θ＝sin(θ＋)＝，此时，θ＝.
所以矩形ABCD的面积最小时点A坐标是(，)．。