2020年高中数学人教A版选修1-1 第二章圆锥曲线与方程 练习10 Word版含答案

学业分层测评
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[学业达标]
一、选择题
1．双曲线x 29－y 2
16＝1的渐近线方程是( ) A ．4x ±3y ＝0 B ．16x ±9y ＝0 C ．3x ±4y ＝0
D ．9x ±16y ＝0
【解析】 由题意知，双曲线焦点在x 轴上，且a ＝3，b ＝4，∴渐近线方程为y ＝±43x ，即4x ±
3y ＝0. 【答案】 A
2．中心在原点，实轴在x 轴上，一个焦点在直线3x －4y ＋12＝0上的等轴双曲线方程是( )
A ．x 2－y 2＝8
B ．x 2－y 2＝4
C ．y 2－x 2＝8
D ．y 2－x 2＝4
【解析】 令y ＝0，得x ＝－4， ∴等轴双曲线的一个焦点坐标为(－4,0)， ∴c ＝4，a 2＝b 2＝12c 2＝1
2×16＝8，故选A. 【答案】 A
3．设双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)的虚轴长为2，焦距为23，则双曲线的渐近线方程为( )
A ．y ＝±2x
B ．y ＝±2x
C ．y ＝±2
2x
D ．y ＝±12x
【解析】 由已知，得b ＝1，c ＝3，a ＝c 2－b 2＝ 2. 因为双曲线的焦点在x 轴上， 所以渐近线方程为y ＝±b a x ＝±2
2x . 【答案】 C
4．(2014·全国卷Ⅰ)已知双曲线x 2a 2－y 23＝1(a >0)的离心率为2，则a ＝( )
A ．2 B.62 C.52
D ．1
【解析】 由题意得e ＝a 2＋3
a ＝2，∴a 2＋3＝2a ， ∴a 2＋3＝4a 2，∴a 2＝1，∴a ＝1. 【答案】 D
5．与曲线x 224＋y 249＝1共焦点，且与曲线x 236－y 2
64＝1共渐近线的双曲线的方程为( )
A.y 216－x 2
9＝1 B.x 216－y 2
9＝1 C.y 29－x 2
16＝1
D.x 29－y 2
16＝1
【解析】 根据椭圆方程可知焦点为(0，－5)，(0,5)．设所求双曲线方程为x 236－y 264＝λ(λ＜0)，即y 2－64λ－x 2
－36λ
＝1.
由－64λ＋(－36λ)＝25，得λ＝－1
4. 故所求双曲线的方程为y 216－x 2
9＝1.
【答案】 A
二、填空题
6．已知双曲线的顶点到渐近线的距离为2，焦点到渐近线的距离为6，则该双曲线的离心率为________．
【解析】由三角形相似或平行线分线段成比例定理得2
6＝a
c，∴
c
a
＝3，即e＝3.
【答案】 3
7．直线3x－y＋3＝0被双曲线x2－y2＝1截得的弦AB的长是________．
【解析】联立消去y，得x2＋3x＋2＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－3，x1x2＝2，
∴|AB|＝1＋(3)2·(－3)2－4×2＝2.
【答案】 2
8．若直线x＝2与双曲线x2－y2
b2＝1(b＞0)的两条渐近线分别交于点A，B，且△AOB的面积为8，则焦距为________.
【导学号：26160051】
【解析】由双曲线为x2－y2
b2＝1得渐近线为y＝±bx，则交点
A(2,2b)，B(2，－2b)．
∵S△AOB＝1
2×2×4b＝8，∴b＝2.
又a2＝1，∴c2＝a2＋b2＝5. ∴焦距2c＝2 5.
【答案】2 5
三、解答题
9．已知双曲线C 的方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，离心率e ＝5
2，顶点到渐近线的距离为25
5，求双曲线C 的方程．
【解】 依题意，双曲线的焦点在y 轴上，顶点坐标为(0，a )，渐近线方程为y ＝±a
b x ，即ax ±
by ＝0， 所以ab a 2＋b 2＝ab c ＝25
5.
又e ＝c a ＝52，
所以b ＝1，即c 2
－a 2
＝1，⎝ ⎛⎭
⎪⎫52a 2
－a 2＝1，
解得a 2
＝4，故双曲线方程为y 24－x 2
＝1.
10．双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两个焦点为F 1，F 2，若双曲线上存在点P ，使|PF 1|＝2|PF 2|，试确定双曲线离心率的取值范围．
【解】 由题意知在双曲线上存在一点P ，使得|PF 1|＝2|PF 2|，如图所示．
又∵|PF 1|－|PF 2|＝2a ，
∴|PF 2|＝2a ，即在双曲线右支上恒存在点P ，使得|PF 2|＝2a ，即|AF 2|≤2a .
∴|OF 2|－|OA |＝c －a ≤2a ，∴c ≤3a .
又∵c ＞a ，∴a ＜c ≤3a ，∴1＜c
a ≤3，即1＜e ≤3.
[能力提升]
1．双曲线x 24＋y 2
k ＝1的离心率e ∈(1,2)，则k 的取值范围是( ) A ．(－10,0) B ．(－12,0) C ．(－3,0)
D ．(－60，－12)
【解析】 双曲线方程化为x 24－y 2
－k ＝1，则a 2＝4，b 2＝－k ，c 2＝4
－k ，e ＝c
a ＝4－k 2，又∵e ∈(1,2)，∴1<4－k 2<2，解得－12<k <0.
【答案】 B
2．已知双曲线E 的中心为原点，F (3,0)是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为N (－12，－15)，则E 的方程为( )
A.x 23－y 2
6＝1 B.x 24－y 2
5＝1 C.x 26－y 2
3＝1
D.x 25－y 2
4＝1
【解析】 设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)，由题意知
c ＝3，a 2＋b 2＝9，
设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有⎩⎪⎨⎪⎧
x 21a 2－y 21b 2＝1，
x 22a 2－y 2
2b 2＝1，
两式作差得y 1－y 2x 1－x 2＝b 2(x 1＋x 2)a 2(y 1＋y 1)＝－12b 2－15a 2＝4b 2
5a 2，
又AB 的斜率是－15－0
－12－3
＝1，
所以4b 2＝5a 2，代入a 2＋b 2＝9得a 2＝4，b 2＝5，
所以双曲线标准方程是x 24－y 2
5＝1. 【答案】 B
3．已知双曲线x 2－y
23＝1的左顶点为A 1，右焦点为F 2，P 为双曲
线右支上一点，则P A 1→·PF 2
→的最小值为________． 【解析】 由题意得A 1(－1,0)，F 2(2,0)， 设P (x ，y )(x ≥1)， 则P A 1→＝(－1－x ，－y )， PF 2
→＝(2－x ，－y )， ∴P A 1→·PF 2→＝(x ＋1)(x －2)＋y 2＝x 2－x －2＋y 2， 由双曲线方程得y 2＝3x 2－3， 代入上式得P A 1→·PF 2→＝4x 2－x －5 ＝4⎝ ⎛
⎭
⎪⎫x －182－8116， 又x ≥1，所以当x ＝1时，P A 1→·PF 2→取得最小值，且最小值为－2. 【答案】 －2
4．(2016·荆州高二检测)双曲线C 的中点在原点，右焦点为
F ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
233，0，渐近线方程为y ＝±3x . (1)求双曲线C 的方程； 【导学号：26160052】
(2)设直线L ：y ＝kx ＋1与双曲线交于A ，B 两点，问：当k 为何值时，以AB 为直径的圆过原点？
【解】 (1)设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，由焦点坐标得c ＝2
33，渐近线方程为y ＝±b a x ＝±3x ，结合c 2＝a 2＋b 2得a 2
＝13，b 2
＝1，所以
双曲线C 的方程为x 213
－y 2
＝1，即3x 2－y 2＝1.
(2)由⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝kx ＋1，3x 2－y 2＝1，
得(3－k 2)x 2－2kx －2＝0，
由Δ>0，且3－k 2≠0，得－6<k <6，且k ≠±3.
设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，因为以AB 为直径的圆过原点，所以OA ⊥OB ，所以x 1x 2＋y 1y 2＝0.
又x 1＋x 2＝－2k k 2－3，x 1x 2＝2
k 2－3，所以y 1y 2＝(kx 1＋1)·(kx 2＋1)＝k 2x 1x 2
＋k (x 1＋x 2)＋1＝1，所以2k 2－3
＋1＝0，解得k ＝±1.
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