高中数学：递推数列通项的解法探讨

形如d
a c
b a a a n n n +⋅+⋅=+1递推数列通项的解法探讨
对于数列的研究主要集中在递推关系和通项公式．它们体现了数列的本质.数列的通项求法灵活多样,,求分式型数列通项对思维能力要求高;需要充分利用化归与转化思想．下面就形如d
a c
b a a a n n n +⋅+⋅=+1递推数列通项的解法做简单的分析并适当引申推广. 1倒数变换 解决数列问题时,往往需要通过变换将问题转化为等差数列或等比数列来解决. 例 1 在数列{}n a 中,2
2,211+==+n n n a a a a ,求数列的通项n a . 解:等式两边取倒数得21111+=+n n a a ,令n n a b 1=,则2
11+=+n n b b ,数列{}n b 为等差数列,公差为21,又∵n a n 2=,()2211211,21,211n n a b b a n n =⨯-+====,∴n
a n 2= 例 2已知:数列{}n x 中,123,2111+==
+n n n x x x x 求数列的通项n x . 解:化分式为整式得,n n n n x x x x 3211=+++,两边同除以n n x x ⋅+1得
213
1+=+n
n x x ,换元令n n a x =1,则231+=+n n a a ,再由待定系数法得 ()13111-=-+n n a a 故数列{}1-n a 为公比为31的等比数列.∴1311-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=n n a
11311--⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+=n n x (本题也可以等式两边直接取倒数) 2利用函数的不动点
设函数()x f 的定义域D ,若存在D x ∈0使()00x x f =成立,则
称点()()00,x f x 是函数()x f 的一个不动点.
例如求函数()x f =
3
83++x x 的图象上的不动点. 解:()x f =383++x x ,由383++x x =x,得两个不动点 ()()
22,22,22,22--'A A
例 3 已知:数列{}n x 中,,3
13,211++==+n n n x x x x 求数列的通项n x . 解:分析,本题如果化为整式,1331+=++n n n n x x x x ,常数项不为0,等式两边同时除以不能转化为线性关系.可在等式两边同时加上1,得()3
14131311++=+++=++n n n n n x x x x x ,等式两边同时取倒数,()n n n n x x x x +⋅+=+++=++112141142)1(111.同例2可求通项1
2312311-⨯+⨯=--n n n x 小结:本题直接利用倒数变换 很难观察出来.但是利用函数的不动点可快速求解.
解:由不动点的定义,令3
13++=x x x ,解得1±=x 由()()()()31331313
1313131111+++--+=+++-++=+-++n n n n n n n n x x x x xn x xn x x x =()()()()
11211412+-=+-n n n n x x x x 令=n b 11+-n n x x 则,11,211111+-==+x x b b b n n 可得111213121--⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=n n n b b 进而解得12323111-⨯⨯+=--n n n x
引申 设2 α给定的数列{}n x ,其中()
12,211-==+n n n x x x x α求数列的通项n x . 简解:由()212x x x =-解得2,021==x x
211-++n n x x =()()
2121222---n n n n x x x x =22⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-n
n x x 两边取对数,或利用迭代法可得 12
12112-⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-n n x α 3构造特殊函数
对于某些特殊的递推关系,若能够准确的研究其结构形式并加以联想,或许会有一些好的解法 例4 已知 ,313,111n
n n a a a a -+==+试求其前200项的和200S 分析:由于n
n n n n a a a a a -+=-+=+3333131,则可考虑两角和的正切公式
5155511tan 66tan 62tan 6tan 6
tan tan 16tan tan tan -+---++=∴==⎪⎭⎫ ⎝⎛+==⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-+==n n n n n n n n n n n a a a x x x x x x x a πππππ ()β
αβαβαtan tan 1tan tan tan -+=
+ 解:令n n x a tan =,则
即n a 为周期数列,且T=6 又12
13tan ,1211tan ,129tan ,127tan ,125tan ,4tan 654321ππππππ
======a a a a a a ,故0654321=+++++a a a a a a
()
33321125tan 4tan 21200+=++=+=+=ππ
a a S 小结:对于某些数学问题只要密切注意题目条件所给的结构形式,联系与之完全相同或相似的知识很多知识都能迎刃而解．
综上所述,对于分式型递推数列求通项的主要思路是,利用已知的定理,公式,或待定系数法,将非线形转化为线形关系,或构造新数列,化繁为简,完成从未知到以知的转化.
参考书目:1«课堂新坐标» 山东大学出版社, 王广祥
2«全线突破»(数学理科版) 中国社会出版社,毕唐书。