四川师范大学附属中学八年级上册压轴题数学模拟试卷及答案

四川师范大学附属中学八年级上册压轴题数学模拟试卷及答案
一、压轴题
1．请按照研究问题的步骤依次完成任务．
（问题背景）
（1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，请说理证明∠A+∠B=∠C+∠D．
（简单应用）
（2）如图2，AP、CP分别平分∠BAD、∠BCD，若∠ABC=20°，∠ADC=26°，求∠P的度数（可直接使用问题（1）中的结论）
（问题探究）
（3）如图3，直线AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，若
∠ABC=36°，∠ADC=16°，猜想∠P的度数为；
（拓展延伸）
（4）在图4中，若设∠C=x，∠B=y，∠CAP=1
3
∠CAB，∠CDP=
1
3
∠CDB，试问∠P与
∠C、∠B之间的数量关系为（用x、y表示∠P）；
（5）在图5中，AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，猜想∠P与∠B、D的关系，直接写出结论．
2．某校八年级数学兴趣小组对“三角形内角或外角平分线的夹角与第三个内角的数量关系”进行了探究．
（1）如图1，在△ABC 中，∠ABC 与∠ACB 的平分线交于点P ，∠A ＝64°，则∠BPC ＝ ；
（2）如图2，△ABC 的内角∠ACB 的平分线与△ABC 的外角∠ABD 的平分线交于点E ．其中∠A ＝α，求∠BEC ．（用α表示∠BEC ）；
（3）如图3，∠CBM 、∠BCN 为△ABC 的外角，∠CBM 、∠BCN 的平分线交于点Q ，请你写出∠BQC 与∠A 的数量关系，并证明．
3．在《经典几何图形的研究与变式》一课中，庞老师出示了一个问题：“如图1，等腰直角三角形的三个顶点分别落在三条等距的平行线1l ，2l ，3l 上，90BAC ∠=︒，且每两条平行线之间的距离为1，求AB 的长度”.在研究这道题的解法和变式的过程中，同学们提出了很多想法：
（1）小明说：我只需要过B 、C 向1l 作垂线，就能利用全等三角形的知识求出AB 的长. （2）小林说：“我们可以改变ABC 的形状.如图2，AB AC =，120BAC ∠=︒，且每两条平行线之间的距离为1，求AB 的长.”
（3）小谢说：“我们除了改变ABC 的形状，还能改变平行线之间的距离.如图3，等边三角形ABC 三个顶点分别落在三条平行线1l ，2l ，3l 上，且1l 与2l 之间的距离为1，2l 与3l 之间的距离为2，求AB 的长、”
请你根据3位同学的提示，分别求出三种情况下AB 的长度.
4．如图1，在等边△ABC 中，E 、D 两点分别在边AB 、BC 上，BE =CD ，AD 、CE 相交于点F ．
（1）求∠AFE 的度数；
（2）过点A 作AH ⊥CE 于H ，求证：2FH +FD =CE ； （3）如图2，延长CE 至点P ，连接BP ，∠BPC =30°，且CF =
29CP ，求PF AF
的值． （提示：可以过点A 作∠KAF =60°，AK 交PC 于点K ，连接KB ）
5．如图，若要判定纸带两条边线a ，b 是否互相平行，我们可以采用将纸条沿AB 折叠的方式来进行探究．
（1）如图1，展开后，测得12∠=∠，则可判定a//b ，请写出判定的依据_________； （2）如图2，若要使a//b ，则1∠与2∠应该满足的关系是_________；
（3）如图3，纸带两条边线a ，b 互相平行，折叠后的边线b 与a 交于点C ，若将纸带沿
11A B （1A ，1B 分别在边线a ，b 上）再次折叠，折叠后的边线b 与a 交于点1C ，
AB//11A B ，137BB AC ==，，求出1AC 的长．
6．探究：如图①，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D ，若∠B ＝30°，则∠ACD 的度数是 度；
拓展：如图②，∠MCN ＝90°，射线CP 在∠MCN 的内部，点A 、B 分别在CM 、CN 上，分别过点A 、B 作AD ⊥CP 、BE ⊥CP ，垂足分别为D 、E ，若∠CBE ＝70°，求∠CAD 的度数；
应用：如图③，点A 、B 分别在∠MCN 的边CM 、CN 上，射线CP 在∠MCN 的内部，点D 、E 在射线CP 上，连接AD 、BE ，若∠ADP ＝∠BEP ＝60°，则∠CAD +∠CBE +∠ACB ＝ 度．
7．如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，已知点A 的坐标(3,2)-，过A 点作AB x ⊥轴，垂足为点B ，过点(2,0)C 作直线l x ⊥轴，点P 从点B 出发在x 轴上沿着轴的正方向运动．
（1）当点P 运动到点O 处，过点P 作AP 的垂线交直线l 于点D ，证明AP DP =，并求此时点D 的坐标；
（2）点Q 是直线l 上的动点，问是否存在点P ，使得以P C Q 、、为顶点的三角形和
ABP ∆全等，若存在求点P 的坐标以及此时对应的点Q 的坐标，若不存在，请说明理由．
8．阅读并填空：
如图，ABC 是等腰三角形，AB AC =，D 是边AC 延长线上的一点，E 在边AB 上且联接DE 交BC 于O ，如果OE
OD ，那么CD BE =
，为什么？
解：过点E 作EF AC 交BC 于F
所以ACB EFB ∠=∠（两直线平行，同位角相等）
D OEF ∠=∠（________）
在OCD 与OFE △中
()________COD FOE OD OE
D OEF ⎧∠=∠⎪
=⎨⎪∠=∠⎩
所以OCD OFE △≌△，（________） 所以CD FE =（________） 因为AB AC =（已知）
所以ACB B =∠∠（________） 所以EFB B ∠=∠（等量代换） 所以BE FE =（________） 所以CD BE =
9．如图，ABC ∆在平面直角坐标系中，60BAC ∠=︒，()
0,43A ，8AB =，点B 、C 在x 轴上且关于y 轴对称．
（1）求点C 的坐标；
（2）动点P 以每秒2个单位长度的速度从点B 出发沿x 轴正方向向终点C 运动，设运动时间为t 秒，点P 到直线AC 的距离PD 的长为d ，求d 与t 的关系式；
（3）在（2）的条件下，当点P 到AC 的距离PD 为33时，连接AP ，作ACB ∠的平分线分别交PD 、PA 于点M 、N ，求MN 的长． 10．（1）问题发现．
如图1，ACB ∆和DCE ∆均为等边三角形，点A 、D 、E 均在同一直线上，连接BE ．
①求证：ADC BEC ∆∆≌． ②求AEB ∠的度数．
③线段AD 、BE 之间的数量关系为__________． （2）拓展探究．
如图2，ACB ∆和DCE ∆均为等腰直角三角形，90ACB DCE ∠=∠=︒，点A 、D 、E
在同一直线上，CM 为DCE ∆中DE 边上的高，连接BE ．
①请判断AEB ∠的度数为____________．
②线段CM 、AE 、BE 之间的数量关系为________．（直接写出结论，不需证明）
11．对x y 、定义一种新运算T ，规定：()()(),2T x y mx ny x y =++（其中m
n 、均为非零常数）．例如：()1,133T m n =+． （1）已知()()1,10,0,28T T -==．
①求m
n 、的值； ②若关于p 的不等式组()(
)2,244,32T p p T p p a ⎧->⎪
⎨
-≤⎪⎩恰好有3个整数解，求a 的取值范围；
（2）当22x y ≠时，()(),,T x y T y x =对任意有理数,x y 都成立，请直接写出m
n 、满足的关系式．
学习参考：①()a b c ab ac +=+，即单项式乘以多项式就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的结果相加；②()()a b m n am an bm bn ++=+++，即多项式乘以多项式就是用一个多项式的每一项去乘另一个多项式的每一项，再把所得的结果相加． 12．如图，已知△ABC 中，AB=AC=10cm ，BC=8cm ，点D 为AB 的中点．如果点P 在线段BC 上以3cm/s 的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CA 上由C 点向A 点运动． （1）若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，经过1s 后，BP= cm ，CQ= cm ． （2）若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，经过1s 后，△BPD 与△CQP 是否全等，请说明理由；
（3）若点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，当点Q 的运动速度为多少时，能够使△BPD 与△CQP 全等？
（4）若点Q 以（3）中的运动速度从点C 出发，点P 以原来的运动速度从点B 同时出发，都逆时针沿△ABC 三边运动，求经过多长时间点P 与点Q 第一次相遇？
13．如图1，在平面直角坐标系中，点A 的坐为()2,0，点D 的坐标为()0,2-，在ABC ∆中45ABC ACB ∠=∠=，//BC x 轴交y 轴于点M ．
（1）求OAD ∠和ODA ∠的度数；
（2）如图2，在图1的基础上，以点B 为一锐角顶点作Rt BOE ∆，90BOE =∠，OE 交AC 于点P ，求证：OB OP =；
（3）在第（2）问的条件下，若点B 的标为()2,4--，求四边形BOPC 的面积． 14．Rt △ABC 中，∠C =90°，点D 、E 分别是△ABC 边AC 、BC 上的点，点P 是一动点．令
∠PDA =∠1，∠PEB =∠2，∠DPE =∠α．
（1）若点P 在线段AB 上，如图（1）所示，且∠α=60°，则∠1+∠2= ；
（2）若点P 在线段AB 上运动，如图（2）所示，则∠α、∠1、∠2之间的关系为 ； （3）若点P 运动到边AB 的延长线上，如图（3）所示，则∠α、∠1、∠2之间有何关系？猜想并说明理由；
（4）若点P 运动到△ABC 形外，如图（4）所示，则∠α、∠1、∠2之间有何关系？猜想并说明理由．
15．如图1．在△ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC =10，直线DE 经过点C ，过点A ，B 分别作AD ⊥DE ，BE ⊥DE ，垂足分别为点D 和E ，AD =8，BE =6． （1）①求证：△ADC ≌△CEB ；②求DE 的长；
（2）如图2，点M 以3个单位长度/秒的速度从点C 出发沿着边CA 运动，到终点A ，点N 以8个单位长度/秒的速度从点B 出发沿着线BC —CA 运动，到终点A ．M ，N 两点同时出
发，运动时间为t 秒(t ＞0)，当点N 到达终点时，两点同时停止运动，过点M 作PM ⊥DE 于点P ，过点N 作QN ⊥DE 于点Q ；
①当点N 在线段CA 上时，用含有t 的代数式表示线段CN 的长度； ②当t 为何值时，点M 与点N 重合； ③当△PCM 与△QCN 全等时，则t = ．
16．如图，在ABC ∆中，AC BC =，90ACB ∠=︒，点D 为ABC ∆内一点，且
BD AD =．
（1）求证：CD AB ⊥；
（2）若15CAD ∠=︒，E 为AD 延长线上的一点，且CE CA =． ①求BDC ∠的度数．
②若点M 在DE 上，且DC DM =，请判断ME 、BD 的数量关系，并说明理由． ③若点N 为直线AE 上一点，且CEN ∆为等腰∆，直接写出CNE ∠的度数． 17．在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来简化式子，解答问题． 材料一：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的． 例：已知：
2114x x =+，求代数式x 2+21x
的值． 解：∵2114x x =+，∴21x x
+＝4 即21x x x
+＝4∴x +1x ＝4∴x 2+21x ＝（x +1x ）2﹣2＝16﹣2＝14
材料二：在解决某些连等式问题时，通常可以引入参数“k ”，将连等式变成几个值为k 的等式，这样就可以通过适当变形解决问题．
例：若2x ＝3y ＝4z ，且xyz ≠0，求x
y z
+的值． 解：令2x ＝3y ＝4z ＝k （k ≠0）
则11k
k k k x 6
22,,,117234y z 7
k k 3412
x y z ===∴
===++ 根据材料回答问题：
（1）已知2
114x x x =-+，求x +1
x
的值． （2）已知
523a b c ==，（abc ≠0），求342b c a
+的值． （3）若222
222
yz zx xy x y z bz cy cx az ay bx a b c ++===+++++，x ≠0，y ≠0，z ≠0，且abc ＝7，求xyz
的值．
18．已知：MN ∥PQ ，点A ，B 分别在MN ，PQ 上，点C 为MN ，PQ 之间的一点，连接CA ，CB ．
（1）如图1，求证：∠C=∠MAC+∠PBC ；
（2）如图2，AD ，BD ，AE ，BE 分别为∠MAC ，∠PBC ，∠CAN ，∠CBQ 的角平分线，求证：∠D+∠E=180°；
（3）在（2）的条件下，如图3，过点D 作DA 的垂线交PQ 于点G ，点F 在PQ 上，∠FDA=2∠FDB ，FD 的延长线交EA 的延长线于点H ，若3∠C=4∠E ，猜想∠H 与∠GDB 的倍数关系并证明．
19．（1）在等边三角形ABC 中，
①如图①，D ，E 分别是边AC ，AB 上的点且AE=CD ，BD 与EC 交于点F ，则∠BFE 的度数是 度；
②如图②，D ，E 分别是边AC ，BA 延长线上的点且AE=CD ，BD 与EC 的延长线交于点F ，此时∠BFE 的度数是 度；
（2）如图③，在△ABC 中，AC=BC ，∠ACB 是锐角，点O 是AC 边的垂直平分线与BC 的交点，点D ，E 分别在AC ，OA 的延长线上，AE=CD ，BD 与EC 的延长线交于点F ，若∠ACB=α，求∠BFE 的大小．（用含α的代数式表示）．
20．如图，在等边ABC
∆中，线段AM为BC边上的中线．动点D在直线AM上时，以CD为一边在CD的下方作等边CDE
∆，连结BE．
（1）求CAM
∠的度数；
（2）若点D在线段AM上时，求证：ADC BEC
∆≅∆；
（3）当动点D在直线AM上时，设直线BE与直线AM的交点为O，试判断AOB
∠是否为定值？并说明理由．
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一、压轴题
1．（1）见解析；（2）∠P=23º；（3）∠P=26º；（4）∠P=2
3
x y
+
；（5）
∠P=180
2
B D
︒+∠+∠
．
【解析】
【分析】
（1）根据三角形内角和定理即可证明；
（2）如图2，根据角平分线的性质得到∠1=∠2，∠3=∠4，列方程组即可得到结论；（3）由AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，推出∠1=∠2，
∠3=∠4，推出∠PAD=180°-∠2，∠PCD=180°-∠3，由∠P+（180°-∠1）=∠D+（180°-
∠3），∠P+∠1=∠B+∠4，推出2∠P=∠B+∠D，即可解决问题；
（4）根据题意得出∠B+∠CAB=∠C+∠BDC，再结合∠CAP=1
3
∠CAB，∠CDP=
1
3
∠CDB，得
到y+（∠CAB-1
3
∠CAB）=∠P+（∠BDC-
1
3
∠CDB），从而可得∠P=y+∠CAB-
1
3
∠CAB-
∠CDB+1
3
∠CDB=
2
3
x y
+
；
（5）根据题意得出∠B+∠BAD=∠D+∠BCD，∠DAP+∠P=∠PCD+∠D，再结合AP平分
∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，得到1
2
∠BAD+∠P=[∠BCD+
1
2
（180°-
∠BCD）]+∠D，所以∠P=90°+1
2
∠BCD-
1
2
∠BAD +∠D=
180
2
B D
︒+∠+∠
.
【详解】
解：（1）证明：在△AOB中，∠A+∠B+∠AOB=180°，在△COD中，∠C+∠D+∠COD=180°，
∵∠AOB=∠COD，
∴∠A+∠B=∠C+∠D；
（2）解：如图2，∵AP、CP分别平分∠BAD，∠BCD，∴∠1=∠2，∠3=∠4，
由（1）的结论得：
31
24
P B
P D
∠+∠=∠+∠
⎧
⎨
∠+∠=∠+∠
⎩
①
②
，
①+②，得2∠P+∠2+∠3=∠1+∠4+∠B+∠D，
∴∠P=1
2
（∠B+∠D）=23°；
（3）解：如图3，
∵AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∴∠PAD=180°-∠2，∠PCD=180°-∠3，
∵∠P+（180°-∠1）=∠D+（180°-∠3），
∠P+∠1=∠B+∠4，
∴2∠P=∠B+∠D，
∴∠P=1
2
（∠B+∠D）=
1
2
×（36°+16°）=26°；
故答案为：26°；
（4）由题意可得：∠B+∠CAB=∠C+∠BDC，
即y+∠CAB=x+∠BDC，即∠CAB-∠BDC=x-y，
∠B+∠BAP=∠P+∠PDB，
即y+∠BAP=∠P+∠PDB，
即y+（∠CAB-∠CAP）=∠P+（∠BDC-∠CDP），
即y+（∠CAB-1
3
∠CAB）=∠P+（∠BDC-
1
3
∠CDB），
∴∠P=y+∠CAB-1
3
∠CAB-∠CDB+
1
3
∠CDB
= y+2
3
（∠CAB-∠CDB）
=y+2
3
（x-y）
=21 33 x y
+
故答案为：∠P=21
33
x y
+；
（5）由题意可得：∠B+∠BAD=∠D+∠BCD，
∠DAP+∠P=∠PCD+∠D，
∴∠B-∠D=∠BCD-∠BAD，
∵AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，∴∠BAP=∠DAP，∠PCE=∠PCB，
∴1
2
∠BAD+∠P=（∠BCD+
1
2
∠BCE）+∠D，
∴1
2
∠BAD+∠P=[∠BCD+
1
2
（180°-∠BCD）]+∠D，
∴∠P=90°+1
2
∠BCD-
1
2
∠BAD +∠D
=90°+1
2
（∠BCD-∠BAD）+∠D
=90°+1
2
（∠B-∠D）+∠D
=180
2
B D
︒+∠+∠
，
故答案为：∠P=180
2
B D
︒+∠+∠
.
【点睛】
本题考查三角形内角和，三角形的外角的性质、多边形的内角和等知识，解题的关键是学会用方程组的思想思考问题，属于中考常考题型．
2．（1）∠BPC ＝122°；（2）∠BEC ＝
2a ；（3）∠BQC ＝90°﹣12
∠A ，证明见解析 【解析】
【分析】 （1）根据三角形的内角和化为角平分线的定义；
（2）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，用∠A 与∠1表示出∠2，再利用∠E 与∠1表示出∠2，于是得到结论；
（3）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和以及角平分线的定义表示出∠EBC 与∠ECB ，然后再根据三角形的内角和定理列式整理即可得解．
【详解】
解：（1）BP 、CP 分别平分ABC ∠和ACB ∠，
12PBC ABC ∴∠=∠，12
PCB ACB ∠=∠， 180()BPC PBC PCB ∴∠=︒-∠+∠
11180()22
ABC ACB =︒-∠+∠， 1180()2
ABC ACB =︒-∠+∠， 1(180180)2
A =︒-︒-∠， 1180902
A =-︒+︒∠， 9032122=︒+=︒，
故答案为：122︒；
（2）CE 和BE 分别是ACB ∠和ABD ∠的角平分线，
112ACB ∴∠=∠，122
ABD ∠=∠， 又ABD ∠是ABC ∆的一外角，
ABD A ACB ∴∠=∠+∠，
112()122
A ABC A ∴∠=∠+∠=∠+∠， 2∠是BEC ∆的一外角，
112111222
BEC A A α∴∠=∠-∠=∠+∠-∠=∠=； （3）1()2QBC A ACB ∠=∠+∠，1()2
QCB A ABC ∠=∠+∠， 180BQC QBC QCB ∠=︒-∠-∠，
11180()()22
A AC
B A AB
C =︒-∠+∠-∠+∠，
11180()22
A A ABC AC
B =︒-∠-∠+∠+∠， 结论：1902
BQC A ∠=︒-∠．
【点睛】
本题考查了三角形的外角性质与内角和定理，熟记三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键．
3．（1522213221【解析】
【分析】
（1）分别过点B ，C 向l 1作垂线，交l 1于M ，N 两点，证明△ABM ≌△CAN ，得到AM=CN ，AN=BM ，即可得出AB ；
（2）分别过点B ，C 向l 1作垂线，交l 1于点P ，Q 两点，在l 1上取M ，N 使
∠AMB=∠CNA=120°，证明△AMB ≌△CAN ，得到CN=AM ，再通过△PBM 和△QCN 算出PM 和NQ 的值，得到AP ，最后在△APB 中，利用勾股定理算出AB 的长；
（3）在l 3上找M 和N ，使得∠BNC=∠AMC=60°，过B 作l 3的垂线，交l 3于点P ，过A 作l 3的垂线，交l 3于点Q ，证明△BCN ≌△CAM ，得到CN=AM ，在△BPN 和△AQM 中利用勾股定理算出NP 和AM ，从而得到PC ，结合BP 算出BC 的长，即为AB.
【详解】
解：（1）如图，分别过点B ，C 向l 1作垂线，交l 1于M ，N 两点，
由题意可得：∠BAC=90°，
∵∠NAC+∠MAB=90°，∠NAC+∠NCA=90°，
∴∠MAB=∠NCA ，
在△ABM 和△CAN 中， ===AMB CNA MAB NCA AB AC ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩
， ∴△ABM ≌△CAN （AAS ），
∴AM=CN=2，AN=BM=1，
∴22251=+；
（2）分别过点B ，C 向l 1作垂线，交l 1于P ，Q 两点，
在l 1上取M ，N 使∠AMB=∠CNA=120°，
∵∠BAC=120°，
∴∠MAB+∠NAC=60°，
∵∠ABM+∠MAB=60°，
∴∠ABM=∠NAC ，
在△AMB 和△CNA 中，
===AMB CNA ABM NAC AB AC ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩
， ∴△AMB ≌△CNA （AAS ），
∴CN=AM ，
∵∠AMB=∠ANC=120°，
∴∠PMB=∠QNC=60°，
∴PM=12BM ，NQ=12
NC ， ∵PB=1，CQ=2，
设PM=a ，NQ=b ，
∴2221=4a a +，2222=4b b +， 解得：3=3a ，23=3
b ， ∴222323⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭43 ∴22AP BP +()22AM PM BP ++221
（3）如图，在l 3上找M 和N ，使得∠BNC=∠AMC=60°，
过B 作l 3的垂线，交于点P ，过A 作l 3的垂线，交于点Q ，
∵△ABC 是等边三角形，
∴BC=AC ，∠ACB=60°，
∴∠BCN+∠ACM=120°，
∵∠BCN+∠NBC=120°，
∴∠NBC=∠ACM ，
在△BCN 和△CAM 中，
BNC CMA NBC MAC BC AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
， ∴△BCN ≌△CAM （AAS ），
∴CN=AM ，BN=CM ，
∵∠PBN=90°-60°=30°，BP=2，
∴BN=2NP ，
在△BPN 中，222BP NP BN +=，
即22224NP NP +=，
解得：23 ∵∠AMC=60°，AQ=3，
∴∠MAQ=30°，
∴AM=2QM ，
在△AQM 中，222AQ QM AM +=，
即22234QM QM +=，
解得：3
∴AM=23，
∴43 在△BPC 中，
BP 2+CP 2=BC 2，
即BC=222243221233BP CP ⎛⎫+=+= ⎪ ⎪⎝⎭， ∴AB=BC=2213
.
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线之间的距离，等腰三角形的性质，等边三角形的性质以及勾股定理，解题的关键是利用平行线构造全等三角形，再利用全等三角形的性质以及勾股定理求解.
4．（1）∠AFE =60°；（2）见解析；（3）
75
【解析】
【分析】
（1）通过证明 BCE CAD ≌ 得到对应角相等，等量代换推导出60AFE ∠=︒； （2）由（1）得到60AFE ∠=︒，CE AD = 则在Rt AHF △ 中利用30°所对的直角边等于斜边的一半，等量代换可得；
（3）通过在PF 上取一点K 使得KF =AF ，作辅助线证明ABK 和ACF 全等，利用对应边相等，等量代换得到比值.(通过将ACF 顺时针旋转60°也是一种思路.)
【详解】
（1）解：如图1中．
∵ABC 为等边三角形，
∴AC =BC ，∠BAC =∠ABC =∠ACB =60°，
在BCE 和CAD 中，
60BE CD CBE ACD BC CA =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩
， ∴ BCE CAD ≌（SAS ），
∴∠BCE =∠DAC ，
∵∠BCE +∠ACE =60°，
∴∠DAC +∠ACE =60°，
∴∠AFE =60°．
（2）证明：如图1中，∵AH ⊥EC ，
∴∠AHF =90°，
在Rt △AFH 中，∵∠AFH =60°，
∴∠FAH =30°，
∴AF =2FH ，
∵ EBC DCA ≌，
∴EC =AD ，
∵AD =AF +DF =2FH +DF ，
∴2FH +DF =EC ．
（3）解：在PF 上取一点K 使得KF =AF ，连接AK 、BK ，
∵∠AFK =60°，AF =KF ，
∴△AFK 为等边三角形，
∴∠KAF =60°，
∴∠KAB =∠FAC ，
在ABK 和ACF 中，
AB AC KAB ACF AK AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
， ∴ ABK ACF ≌(SAS )，BK CF =
∴∠AKB =∠AFC =120°，
∴∠BKE =120°﹣60°=60°，
∵∠BPC =30°，
∴∠PBK =30°，
∴29BK CF PK CP ===
， ∴79
PF CP CF CP =-=， ∵45()99
AF KF CP CF PK CP CP CP ==-+=-= ∴77955
9
CP PF AF CP == . 【点睛】
掌握等边三角形、直角三角形的性质，及三角形全等的判定通过一定等量代换为本题的关键.
5．（1）内错角相等，两直线平行；（2）∠1+2∠2=180°；（3）4或10
【解析】
【分析】
（1）根据平行线的判定定理，即可得到答案；
（2）由折叠的性质得：∠3=∠4，若a ∥b ，则∠3=∠2，结合三角形内角和定理，即可得到答案；
（3）分两种情况：①当B 1在B 的左侧时，如图2，当B 1在B 的右侧时，如图3，分别求出1AC 的长，即可得到答案．
【详解】
（1）∵12∠=∠，
∴a ∥b （内错角相等，两直线平行），
故答案是：内错角相等，两直线平行；
（2）如图1，由折叠的性质得：∠3=∠4，
若a ∥b ，则∠3=∠2，
∴∠4=∠2，
∵∠2+∠4+∠1=180°，
∴∠1+2∠2=180°，
∴要使a ∥b ，则1∠与2∠应该满足的关系是：∠1+2∠2=180°．
故答案是：∠1+2∠2=180°；
（3）①当B 1在B 的左侧时，如图2，
∵AB//11A B ，a ∥b ，
∴AA 1=BB 1=3，
∴1AC =AC- AA 1=7-3=4；
②当B 1在B 的右侧时，如图3，
∵AB//11A B ，a ∥b ，
∴AA 1=BB 1=3，
AC=AC+AA1=7+3=10．
∴
1
AC=4或10．
综上所述：
1
【点睛】
本题主要考查平行线的判定和性质定理，折叠的性质以及三角形的内角和定理，掌握“平行线间的平行线段长度相等”是解题的关键．
6．探究：30；（2）拓展：20°；（3）应用：120
【解析】
【分析】
（1）利用直角三角形的性质依次求出∠A，∠ACD即可；
（2）利用直角三角形的性质直接计算得出即可；
（3）利用三角形的外角的性质得出结论，直接转化即可得出结论．
【详解】
（1）在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，
∴∠A＝60°，
∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝90°，
∴∠ACD＝90°﹣∠A＝30°；
故答案为：30，
（2）∵BE⊥CP，
∴∠BEC＝90°，
∵∠CBE＝70°，
∴∠BCE＝90°﹣∠CBE＝20°，
∵∠ACB ＝90°，
∴∠ACD ＝90°﹣∠BCE ＝70°，
∵AD ⊥CP ，
∴∠CAD ＝90°﹣∠ACD ＝20°；
（3）∵∠ADP 是△ACD 的外角，
∴∠ADP ＝∠ACD +∠CAD ＝60°，
同理，∠BEP ＝∠BCE +∠CBE ＝60°，
∴∠CAD +∠CBE +∠ACB ＝∠CAD +∠CBE +∠ACD +∠BCE ＝（∠CAD +∠ACD ）+
（∠CBE +∠BCE ）＝120°，
故答案为120．
【点睛】
此题是三角形的综合题，主要考查了直角三角形的性质，三角形的外角的性质，垂直的定义，解本题的关键是充分利用直角三角形的性质：两锐角互余，是一道比较简单的综合题．
7．（1）证明见解析；(2,3)D ；（2）存在，(0,0)P ，(2,3)Q 或(0,0)P ，(2,3)Q -或
(4,0)P ，(2,7)Q 或(4,0)P ，(2,7)Q -或1(,0)2P -，(2,2)Q -或1(,0)2
P -，(2,2)Q -．
【解析】
【分析】
（1）通过全等三角形的判定定理ASA 证得△ABP ≌△PCD ，由全等三角形的对应边相等证得AP ＝DP ，DC ＝PB ＝3，易得点D 的坐标；
（2）设P （a ，0），Q （2，b ）．需要分类讨论：①AB ＝PC ，BP ＝CQ ；②AB ＝CQ ，BP ＝PC ．结合两点间的距离公式列出方程组，通过解方程组求得a 、b 的值，得解．
【详解】
（1）AP PD ⊥
90APB DPC ∴∠+∠=
AB x ⊥轴
90A APB ∴∠+∠=
A DPC ∴∠=∠
在ABP ∆和PCD ∆中
A DPC A
B PC
ABP PCD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
()ABP PCD ASA ∴∆≅∆
AP DP ∴=，3DC PB ==
(2,3)D ∴
（2）设(,0)P a ，(2,)Q b
①AB PC =，BP CQ = 223a a b ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩
，解得03a b =⎧⎨=±⎩或47a b =⎧⎨=±⎩ (0,0)P ∴，(2,3)Q 或(0,0)P ，(2,3)Q -或(4,0)P ，(2,7)Q 或(4,0)P ，(2,7)Q - ②AB CQ =，BP PC =，
322a a b +=-⎧⎨=⎩，解得122
a b ⎧=⎪⎨⎪=±⎩ 1(,0)2P ∴-，(2,2)Q -或1(,0)2
P -，(2,2)Q - 综上：(0,0)P ，(2,3)Q 或(0,0)P ，(2,3)Q -或(4,0)P ，(2,7)Q 或(4,0)P ，(2,7)Q -或1(,0)2P -，(2,2)Q -或1(,0)2
P -，(2,2)Q - 【点睛】
考查了三角形综合题．涉及到了全等三角形的判定与性质，两点间的距离公式，一元一次绝对值方程组的解法等知识点．解答（2）题时，由于没有指明全等三角形的对应边（角），所以需要分类讨论，以防漏解．
8．见解析
【解析】
【分析】
先根据平行线的性质，得到角的关系，然后证明OCD OFE △≌△，写出证明过程和依据即可．
【详解】
解：过点E 作//EF AC 交BC 于F ，
∴ACB EFB ∠=∠（两直线平行，同位角相等），
∴D OEF ∠=∠（两直线平行，内错角相等），
在OCD 与OFE △中
()()()COD FOE OD OE
D OEF ⎧∠=∠⎪=⎨⎪∠=∠⎩
对顶角相等已知已证， ∴OCD OFE △≌△，（ASA ）
∴CD FE =（全等三角形对应边相等）
∵AB AC =（已知）
∴ACB B =∠∠（等边对等角）
∴EFB B ∠=∠（等量代换）
∴BE FE =（等角对等边）
∴CD BE =；
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，解题的关键是由平行线的性质正确找到证明三角形全等的条件，从而进行证明.
9．（1）C （4，0）；（2）d =；（3）MN =
【解析】
【分析】
（1）根据对称的性质知ABC ∆为等边三角形，利用直角三角形中30度角的性质即可求得答案；
（2）利用面积法可求得AC PD PC OA ⋅=⋅，再利用坐标系中点的特征即可求得答案； （3）利用(2)的结论求得2BP =，利用角平分线的性质证得ABO CBQ ∆∆≌，求得
CQ AO ==7QN =
，再利用直角三角形中30度角的性质即可求得答案．
【详解】
（1）∵点B 、C 关于y 轴对称， ∴12
OB OC BC ==， ∴AB AC =，
∵60BAC ∠=︒，
∴ABC ∆为等边三角形，
∴8AB BC AC ===， ∴142
OC BC ==， ∴点C 的坐标为：()4,0C ；
（2）连接AP ，
∵1122APC S AC PD PC OA ∆=⋅=⋅， ∴AC PD PC OA ⋅=⋅，
∵()0,43A ，
∴43OA =，
∵2BP t =，
∴82PC t =-，
∵8AC =，
∴433PC OA PD t AC
⋅==-， 即：433d t =-；
（3）∵点P 到AC 的距离为33，
∴43333d t =-=，
∴1t =，
∴2BP =，
延长CN 交AB 于点Q ，过点N 作NE x ⊥轴于点E ，连接PQ 、BN ，
∵CQ 为ACB ∠的角平分线，ABC ∆为等边三角形，
∴1302
BCQ ACB ∠=∠=︒，CQ AB ⊥， ∵1302BAO BAC ∠=
∠=︒，AB BC =， ∴ABO CBQ ∆∆≌，
∴CQ AO ==
设2QN a =，
在Rt CNE ∆中，30QCB ∠=︒，
∴112)22
NE CN a a ===， ∵ABP ABN BPN S S S ∆∆∆=+， ∴111222
BP OA AB QN BP NE ⋅=⋅+⋅，
∴1112822)222
a a ⨯⨯=⨯⨯+⨯⨯，
∴7a =
，
∴QN =， ∵60ACB ∠=︒，90PDC ∠=︒，
∴30DPC ∠=︒，
∵30BCQ ∠=︒，
∴PM CM =，
在Rt CDM ∆中，90MDC ∠=︒，30MCD ∠=︒， ∴12
MD MC =，
∴12MD PM =，PD =
∴PM CM ==
∴77
MN CQ QN CM =--=-=．
【点睛】
本题是三角形综合题，涉及的知识有：含30度直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，外角性质，角平分线的性质，等边三角形的判定和性质，坐标与图形性质，熟练掌握性质及定理、灵活运用面积法求线段的长是解本题的关键．
10．（1）①详见解析；②60°；③AD BE =；（2）①90°；②2AE BE CM =+
【解析】
【分析】
（1）易证∠ACD ＝∠BCE ，即可求证△ACD ≌△BCE ，根据全等三角形对应边相等可求得AD ＝BE ，根据全等三角形对应角相等即可求得∠AEB 的大小；
（2）易证△ACD ≌△BCE ，可得∠ADC ＝∠BEC ，进而可以求得∠AEB ＝90°，即可求得DM ＝ME ＝CM ，即可解题．
【详解】
解：（1）①证明：∵ACB ∆和DCE ∆均为等边三角形，
∴AC CB =，CD CE =，
又∵60ACD DCB ECB DCB ∠+∠=∠+∠=︒，
∴ACD ECB ∠=∠，
∴()ADC BEC SAS ∆∆≌．
②∵CDE ∆为等边三角形，
∴60CDE ∠=︒．
∵点A 、D 、E 在同一直线上，
∴180120ADC CDE ∠=︒-∠=︒，
又∵ADC BEC ∆∆≌，
∴120ADC BEC ∠=∠=︒，
∴1206060AEB ∠=︒-︒=︒．
③AD BE =
ADC BEC ∆∆≌，
∴AD BE =．
故填：AD BE =；
（2）①∵ACB ∆和DCE ∆均为等腰直角三角形，
∴AC CB =，CD CE =，
又∵90ACB DCE ∠=∠=︒，
∴ACD DCB ECB DCB ∠+∠=∠+∠，
∴ACD ECB ∠=∠，
在ACD ∆和BCE ∆中，
AC CB ACD ECB CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴E ACD BC ∆∆≌，
∴ADC BEC ∠∠=．
∵点A 、D 、E 在同一直线上，
∴180********ADC BEC CDE ∠=∠=︒-∠=︒-︒=︒，
∴1351354590AEB CED ∠=︒-∠=︒-︒=︒．
②∵CDA CEB ∆∆≌，
∴BE AD =．
∵CD CE =，CM DE ⊥，
∴DM ME =．
又∵90DCE ∠=︒，
∴2DE CM =，
∴2AE AD DE BE CM =+=+．
故填：①90°；②2AE BE CM =+．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等、对应角相等的性质，本题中求证△ACD ≌△BCE 是解题的关键．
11．（1）①11
m n =⎧⎨
=⎩；②42≤a ＜54；（2）m=2n 【解析】
【分析】
（1）①构建方程组即可解决问题；
②根据不等式即可解决问题；
（2）利用恒等式的性质，根据关系式即可解决问题．
【详解】 解：（1）①由题意得()088m n n ⎧--=⎨=⎩
， 解得11m n =⎧⎨=⎩
， ②由题意得()()()()222424432464p p p p p p p p a ⎧+-+->⎪⎨+-+-≤⎪⎩
， 解不等式①得p ＞-1．
解不等式②得p≤
1812a -， ∴-1＜p≤1812
a -， ∵恰好有3个整数解，
∴2≤1812
a -＜3． ∴42≤a ＜54；
（2）由题意：（mx+ny ）（x+2y ）=（my+nx ）（y+2x ），
∴mx 2+（2m+n ）xy+2ny 2=2nx 2+（2m+n ）xy+my 2，
∵对任意有理数x ，y 都成立，
∴m=2n ．
【点睛】
本题考查一元一次不等式、二元一次方程组、恒等式等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
12．（1）BP=3cm ，CQ=3cm ；（2）全等，理由详见解析；（3）
154；（4）经过803
s 点P 与点Q 第一次相遇．
【解析】
【分析】
（1）速度和时间相乘可得BP 、CQ 的长；
（2）利用SAS 可证三角形全等；
（3）三角形全等，则可得出BP=PC ，CQ=BD ，从而求出t 的值；
（4）第一次相遇，即点Q 第一次追上点P ，即点Q 的运动的路程比点P 运动的路程多10+10=20cm 的长度．
【详解】
解：（1）BP=3×1=3㎝，
CQ=3×1=3㎝
（2）∵t=1s ，点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等
∴BP=CQ=3×1=3cm ，
∵AB=10cm ，点D 为AB 的中点，
∴BD=5cm ．
又∵PC=BC ﹣BP ，BC=8cm ，
∴PC=8﹣3=5cm ，
∴PC=BD
又∵AB=AC ，
∴∠B=∠C ，
在△BPD 和△CQP 中， PC BD B C BP CQ =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴△BPD ≌△CQP(SAS)
（3）∵点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，
∴BP 与CQ 不是对应边，
即BP≠CQ
∴若△BPD ≌△CPQ ，且∠B=∠C ，
则BP=PC=4cm ，CQ=BD=5cm ，
∴点P ，点Q 运动的时间t=
433BP =s ， ∴154
Q CQ V t ==cm/s ； （4）设经过x 秒后点P 与点Q 第一次相遇． 由题意，得
154x=3x+2×10， 解得80x=
3 ∴经过803
s 点P 与点Q 第一次相遇． 【点睛】
本题考查动点问题，解题关键还是全等的证明和利用，将动点问题视为定点问题来分析可简化思考过程．
13．（1）∠OAD=∠ODA=45°；（2）证明见解析；（3）18．
【解析】
【分析】
（1）由等腰直角三角形的性质可求解；
（2）通过“ASA ”可证得△ODB ≌△OAP ，进而可得BO=OP ；
（3）过点P 作PF ⊥x 轴于点F ，延长FP 交BC 于N ，过点A 作AQ ⊥BC 于Q ，由“AAS ”可证△OBM ≌△OPF ，可得PF=BM=2，OF=OM=4，由面积和差关系可求四边形BOPC 的面积．
【详解】
（1）∵点A 的坐为（2，0），点D 的坐标为（0，-2），
∴OA=OD ，
∵∠AOD=90°，
∴∠OAD=∠ODA=45°；
（2）∵∠BOE=∠AOD=90°，
∴∠BOD=∠AOP ，
∵∠ABC=∠ACB=45°，
∴∠BAC=90°，AB=AC ，
∵∠OAD=∠ODA=45°，
∴∠ODB=135°=∠OAP ，
在△ODB 和△OAP 中，
BOD AOP OD OA
ODB OAP ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩
＝＝＝， ∴△ODB ≌△OAP （ASA ），
∴BO=OP ；
（3）如图，过点P 作PF ⊥x 轴于点F ，延长FP 交BC 于N ，过点A 作AQ ⊥BC 于Q ，
∵BC ∥x 轴，AQ ⊥BC ，PF ⊥x 轴，
∴AQ ⊥x 轴，PN ⊥BC ，∠AOM=∠BMO=90°，
∴点Q 横坐标为2，
∵∠BAC=90°，AB=AC ，AQ ⊥BC ，
∴BQ=QC ，
∵点B 的标为（-2，-4），
∴BM=2，OM=4，BQ=4=QC ，
∵PF ⊥x 轴，
∴∠OFP=∠OMB=90°，
在△OBM 和△OPF 中，
BOM POF BMO OFP BO PO ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩
＝＝＝， ∴△OBM ≌△OPF （AAS ），
∴PF=BM=2，OF=OM=4，
∵BC ∥x 轴，AQ ⊥x 轴，NF ⊥x 轴，
∴OM=AQ=FN=4，
∴PN=2，
∵∠PNC=90°，∠ACB=45°，
∴∠ACB=∠CPN=45°，
∴CN=PN=2，
∵四边形BOPC 的面积=S △OBM +S 梯形OMNP +S △PNC ，
∴四边形BOPC 的面积=
12×2×4+12×4×（2+4）+12×2×2=18． 【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、三角形的面积公式等知识，难度较大，添加恰当的辅助线构造全等三角形是解本题的关键．
14．(1)150°；(2)∠1＋∠2＝90°＋α；(3)∠1＝90°＋∠2＋α，理由详见解析；(4)∠2＝90°＋∠1－α，理由详见解析
【解析】
【分析】
(1)先用平角的得出，∠CDP=180°-∠1，∠CEP=180°-∠2，最后用四边形的内角和即可；
(2)同(1)方法即可；
(3)利用平角的定义和三角形的内角和即可得出结论；
(4)利用三角形的内角和和外角的性质即可得出结论．
【详解】
解：(1) ∵∠1+∠CDP=180°，
∴∠CDP=180°-∠1，
同理：∠CEP=180°-∠2，
根据四边形的内角和定理得，∠CDP+∠DPE+∠CEP+∠C=360°，
∵∠C=90°，
∴180°-∠1+α+180°-∠2+90°=360°，
∴∠1+∠2=90°+α=90°+60°=150°，
故答案为：150；
(2) ∵∠1+∠CDP=180°，
∴∠CDP=180°-∠1，
同理：∠CEP=180°-∠2，
根据四边形的内角和定理得，∠CDP+∠DPE+∠CEP+∠C=360°，
∵∠C=90°，
∴180°-∠1+α+180°-∠2+90°=360°，
∴∠1+∠2=90°+α，
故答案为：∠1+∠2=90°+α；
(3)∠1＝90°＋∠2＋∠α．理由如下：如图3，
设DP与BE的交点为F，
∵∠2＋∠α＝∠DFE，∠DFE＋∠C＝∠1，
∴∠1＝∠C＋∠2＋∠α＝90°＋∠2＋∠α．
(4)∠2＝90°＋∠1－∠α，理由如下：如图4，
设PE与AC的交点为G，
∵∠PGD＝∠EGC，
∴∠α＋180°－∠1＝∠C＋180°－∠2，
∴∠2＝90°＋∠1－∠α．
故答案为∠2＝90°＋∠1－∠α．
【点睛】
此题是三角形综合题，主要考查了四边形的内角和，三角形的内角和，三角形的外角的性质，平角的定义，解本题的关键是将∠1，∠2，α转化到一个三角形或四边形中，是一道比较简单的中考常考题．
15．（1）①证明见解析；②DE=14；（2）①8t－10；②t=2；③t=10
,2 11
【解析】
【分析】
（1）①先证明∠DAC＝∠ECB，由AAS即可得出△ADC≌△CEB；
②由全等三角形的性质得出AD＝CE＝8，CD＝BE＝6，即可得出DE＝CD＋CE＝14；（2）①当点N在线段CA上时，根据CN＝CN−BC即可得出答案；
②点M与点N重合时，CM＝CN，即3t＝8t−10，解得t＝2即可；
③分两种情况：当点N在线段BC上时，△PCM≌△QNC，则CM＝CN，得3t＝10−8t，解得t＝1011；当点N在线段CA上时，△PCM≌△QCN，则3t＝8t−10，解得t＝2；即可得出答案．
【详解】
（1）①证明：∵AD⊥DE，BE⊥DE，
∴∠ADC＝∠CEB＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠DAC＋∠DCA＝∠DCA＋∠BCE＝90°，
∴∠DAC＝∠ECB，
在△ADC和△CEB中
ADC CEB
DAC ECB AC CB
∠∠
∠∠
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
＝
＝
＝
，
∴△ADC≌△CEB（AAS）；
②由①得：△ADC≌△CEB，∴AD＝CE＝8，CD＝BE＝6，
∴DE ＝CD ＋CE ＝6＋8＝14；
（2）解：①当点N 在线段CA 上时，如图3所示：
CN ＝CN−BC ＝8t−10；
②点M 与点N 重合时，CM ＝CN ，
即3t ＝8t−10，
解得：t ＝2，
∴当t 为2秒时，点M 与点N 重合；
③分两种情况：
当点N 在线段BC 上时，△PCM ≌△QNC ，
∴CM ＝CN ，
∴3t ＝10−8t ，
解得：t ＝1011
； 当点N 在线段CA 上时，△PCM ≌△QCN ，点M 与N 重合，CM ＝CN ，
则3t ＝8t−10，
解得：t ＝2；
综上所述，当△PCM 与△QCN 全等时，则t 等于
1011s 或2s ， 故答案为：
1011
s 或2s ． 【点睛】
本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、直角三角形的性质、分类讨论等知识；本题综合性强，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
16．（1）证明见解析；（2）①120BDC ∠=︒；②ME BD =，理由见解析；③ 7.5°或15°或82.5°或150°
【解析】
【分析】
（1）利用线段的垂直平分线的性质即可证明；
（2）①利用SSS 证得△ADC ≌△BDC ，可求得∠ACD=∠BCD=45°，∠CAD=∠CBD=15°，即可解题；
②连接MC ，易证△MCD 为等边三角形，即可证明△BDC ≌△EMC 即可解题；
③分EN=EC 、EN=CN 、CE=CN 三种情形讨论，画出图形，利用等腰三角形的性质即可求解．
【详解】
（1）∵CB=CA ，DB=DA ，
∴CD 垂直平分线段AB ，
∴CD ⊥AB ；
（2）①在△ADC 和△BDC 中，
BC AC CD CD BD AD =⎧⎪=⎨⎪=⎩
，
∴△ADC ≌△BDC （SSS ），
∴∠ACD=∠BCD=12
∠BCA=45°，∠CAD=∠CBD=15°， ∴∠BDC=180︒-45°-15°=120°；
②结论：ME=BD ，
理由：连接MC ，
∵AC BC =，90ACB ∠=︒，
∴∠CAB=∠CBA=45°，
∵∠CAD=∠CBD=15°，
∴∠DBA=∠DAB=30°，
∴∠BDE=30°+30°=60°，
由①得∠BDC=120°，
∴∠CDE=60°，
∵DC=DM ，∠CDE=60°，
∴△MCD 为等边三角形，
∴CM=CD ，
∵EC=CA=CB ，∠DMC=60°，
∴∠E=∠CAD=∠CBD=15°，∠EMC=120°，
在△BDC 和△EMC 中，
15120CBD E BDC EMC CD CM ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩
，
∴△BDC ≌△EMC （AAS ），
∴ME=BD ；
③当EN=EC 时，∠1152EN C ︒==7.5°或∠2EN C =180152
︒-︒=82.5°； 当EN=CN 时，∠3EN C =180215︒-⨯︒=150°；
当CE=CN 时，点N 与点A 重合，∠CNE=15°，
所以∠CNE 的度数为7.5°或15°或82.5°或150°．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、等腰三角形的性质和判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考压轴题．
17．（1）5；
（2）
95； （3）78
【解析】
【分析】
（1）仿照材料一，取倒数，再约分，利用等式的性质求解即可；
（2）仿照材料二，设
5a ＝2b ＝3c ＝k （k ≠0），则a ＝5k ，b ＝2k ，c ＝3k ，代入所求式子即可；
（3）本题介绍两种解法： 解法一：（3）解法一：设yz bz cy +＝zx cx az +＝xy ay bx +＝1k
（k ≠0），化简得：b c k y z +=①，c a k z x +=②，a b k x y +=③，相加变形可得x 、y 、z 的代入222222
x y z a b c ++++＝1k
中，可得k 的值，从而得结论； 解法二：取倒数得：
bz cy yz +＝cx az zx +＝ay bx xy +，拆项得b c c a a b y z z x x y +=+=+，从而得x ＝ay b ，z ＝cy b
，代入已知可得结论．
【详解】
解：（1）∵21x x x -+＝14
， ∴21x x x
-+＝4， ∴x ﹣1+
1x ＝4， ∴x +1x
＝5； （2）∵设
5a ＝2b ＝3c ＝k （k ≠0），则a ＝5k ，b ＝2k ，c ＝3k ， ∴342b c a +＝61210k k k +＝1810＝95
； （3）解法一：设yz bz cy +＝zx cx az +＝xy ay bx +＝1k
（k ≠0）， ∴b c k y z +=①，c a k z x
+=②，a b k x y +=③， ①+②+③得：2（
b c a y z x ++）＝3k ， b c a y z x ++＝32
k ④， ④﹣①得：a x ＝12
k ， ④﹣②得：12
b k y =， ④﹣③得：12
c z =k ， ∴x ＝2a k ，y ＝2b k ，z ＝2c k 代入222
222
x y z a b c ++++＝1k 中，得： ()
2222222
4a b c k a b c ++++＝1k ， 241k k =， k ＝4，
∴x ＝24a ，y ＝24b ，z ＝24
c ， ∴xyz ＝
864abc ＝8764⨯＝78；
解法二：∵yz zx xy bz cy cx az ay bx
==+++， ∴bz cy cx az ay bx yz zx xy
+++==， ∴b c c a a b y z z x x y
+=+=+， ∴,b a c b y x z y
==， ∴,ay cy x z b b =
=， 将其代入222222zx x y z cx az a b c ++=+++中得： cy ay b b acy acy b b
⋅+＝2222
222222
a y c y y
b b a b
c ++++ 2y b ＝2
2y b ，y ＝2
b ， ∴x ＝22
ab a b =，z ＝cy 2y ＝2c ， ∴xyz ＝222a b c ⋅⋅＝78
． 【点睛】
本题考查了以新运算的方式求一个式子的值，题目中涉及了求一个数的倒数，约分，等式的基本性质，求代数式的值，解决本题的关键是正确理解新运算的内涵，确定一个数的倒数并能够根据等式的基本性质将原式变为能够进一步运算的式子.
18．（1）见解析；（2）见解析；（3）猜想：∠H= 3∠GDB ，证明见解析．
【解析】
【分析】
（1）作辅助线：过C 作EF ∥MN ，根据平行的传递性可知这三条直线两两平行，由平行线的性质得到内错角相等∠MAC=∠ACF ，∠BCF=∠PBC ，再进行角的加和即可得出结论；
（2）根据角平分线线定理得知11,22
MAD MAC NAE NAC ∠=∠∠=∠，利用平角为180°得到∠DAE=90°，同理得90DBE ∠=︒，再根据四边形内角和180°，得出结论；
（3）由（1）（2）中的结论进行等量代换得到3∠ADB=2∠E ，并且两角的和为180°，由此得到两个角的度数分别为72°和108°，利用角的和与差得到∠HDA=36°，∠H=54°，由此得到倍数关系．
【详解】
（1）如图：过C 作EF ∥MN ，。