正弦函数教学设计

《正弦型函数》教学设计
一、教学目标
1.知识与技能：了解振幅、周期、频率、初相的定义。

掌握振幅变换和相位变换的规律。

2.过程与方法：通过摩天轮认识正弦型函数的相关定义，通过对正弦型函数图像变换的研究，借助几何画板等技术手段，总结正弦型函数图像的变化规律。

通过对探索过程的体验，数形结合的思想；领会从特殊到一般，从具体到抽象的思维方法，从而达到从感性认识到理性认识的飞跃。

3.情感、态度与价值观：通过学习过程培养学生探索与协作的精神，提高合作学习的意识。

二、教学重、难点
1.教学重点：由y=sinx的图象到y=Asin(ωx+φ)的图象变化过程。

2.教学难点：对y=Asin(ωx+φ)的图象的影响规律的发现与概括。

三、学情分析
对函数图象的变换，学生在以前的学习中接触过，如平移中的“左加右减”，“上加下减”这些粗略的有关图象平移的认识，但对于本节中A和ω的作用有的同学理解起来还有一定的难度。

特别是对A和ω规律相异的理解比较有难度。

四、教材分析
三角函数是基本初等函数之一，是中学数学的重要内容。

本节为三角函数图象与性质的重要内容，是一节函数图象探究的重要范例，同样也是提高学生识图、画图、数形结合等能力的一次锻炼。

本节内容是在学生已经理
解振幅变换、相位变换和周期变换的基础上，通过作图、观察、分析、归纳等方法，形成规律，得出从函数
的图象到正弦型函数y=Asin(ωx+φ)图象的变换规律。

观察函数、、、
、图象间的关系，通过对比，探求有关性质以及图象的变换方法。

鼓励学生大胆猜想，将直观问题抽象化，揭示本质，培养学生思维的深刻性。

五、教学方法
引导学生利用“五点作图”法作出有关函数的图像，并且采用了作图、观察、归纳、启发、探究相结合的教学方法，运用现代化多媒体教学手段，进行教学，给学生交流的机会，通过探究形成由特殊到一般的认识过程六、教学过程
（一）创设情境
让学生观察生活中的摩天轮引出正弦型函数振幅、周期、频率、初相相关概念，加强对振幅、周期、频率、初相相关概念进一步认识和记忆.
创设意图：引入实际生活的观览车，使学生了解正弦型图象的大致形状，提高学生的学习兴趣，陶冶学生的情操. （二）建构数学、合作探究
问题1：振幅A变换(其中A＞0且A≠1）。

探究
1
1.2sin sin
2
y x y x
==
例在同一坐标系中作函数及的简图(五点法)
1.2sin 1
sin 2
y x y x ==例在同一坐标系中作函数及
的简图(五点法)
1
x
sin x
2sin x
sin 2
x 2
ππ32π
2π0011
-000002
2
-1
10
2
2
-
作图：
伸长为原来的A 倍，得到y=Asinx 的图像；
当0＜A ＜1 时，将y=sinx 的图象沿y 轴方向
缩短为原来的A 倍，得到y=Asinx 的图像。

利用这类函数的周期性，我们把上面的简图向左、向右连续平移⋅⋅⋅ππ4,2就可以得出y ＝2sin x ，x ∈R ，及y ＝
2
1
sin x ，x ∈R 的简图. (1)y ＝2sin x ，x ∈R 的值域是［－2，2］
图象可看作把y ＝sin x ，x ∈R 上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍 (横坐标不变) 而得 (2)y ＝
21sin x ，x ∈R 的值域是［－21，2
1］ 图象可看作把y ＝sin x ，x ∈R 上所有点的纵坐标缩短到原来的
2
1
倍 (横坐标不变) 而得 一般地，函数x A y sin =的值域是[]
,,A A -最大值是，最小值是，由此可知，的大小，反映曲线x A y sin =波动幅度的大小。

因此也称为振幅。

师：提示学生利用“五点法”画图。

师：思考正弦函数的“五点作图法”
引导启发学生总结：与y =sin x 的图象作比较：
（1）．y =A sin x ，x ∈R(A >0且A ≠1)的图象可以看作把正数曲线上的所有点的纵坐标伸长(A >1)或缩短(0<A <1)到原来的A 倍得到的
（2）．它的值域[－A, A] ，最大值是A, 最小值是-A,其中：称为振幅，这一变换称为振幅变换.
然后观察给出的函数能不能利用“五点作图法”作图图像？（给学生一点思考的时间，然后要求学生以小组
的形式展开讨论，最后由小组成员将本小组的讨论结果以投影仪的形式展现给大家，先由学生分析，然后老师根据学生的分析给出正确的结果，并对学生的分析进行不足之处的指导.） 师：一般地y=Asin x 的图象与y ＝sin x 的图象间具有怎样的关系呢？ 先由学生回答然后对重点的地方（伸长或缩短“到”）或字眼进行重点的强调. 同时进行几何画板的演示，动画的形式展现给学生对于A 对图像的影响的效果.最后点明A 的作用. 创设意图：（1）、让学生动手坐标系上演示； (2).通过作图，使学生加强对“五点”法的理解； (3).观察图象间的变换，发现有关性质；
(4). 鼓励学生大胆猜想，培养学生的思维能力；
(5).培养学生由特殊到一般的解决问题方法，以及归纳概括的能力；
(6). 通过运用几何画板演示,增强直观性,帮助学生迅速准确地发现相关的数量关系． 问题2：
和1
例2 在同一坐标系中作函数y=sin2x 的图像x y 2
sin
=x 2x
sin 2x
1
1
-20π
2π
π
32
π
30
4
π2
π
4ππ
1x
x
21sin 2
x
1
1
-30π
2π
2π
2π0
π
2π
3π
4π
缩短为原来的1／ω倍，得到y=sin ωx 的图像；
当0＜ω＜1 时，将y=sinx 的图象沿x 轴方向
伸长为原来的1／ω倍，得到y=sin ωx 的图像
(1)、函数y ＝sin2x ，x ∈R 的图象，可看作把y ＝sinx x ∈R 上所有点的横坐标缩短到原来的2
1
倍(纵坐标不变)而得到的 (2)、函数y ＝sin
x 2
1
，x ∈R 的图象，可看作把y ＝sin x ，x ∈R 上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不
变)而得到 师：：函数y =sin2x 和y =sin x 与y =2sin x x ∈R ；y =sin x x ∈R 有什么区别？ 引导学生发现ω的变化.
师：一般地y =sin ωx 的图象与y ＝sin x 的图象间具有怎样的关系呢？ 先由学生回答然后对重点的地方（伸长或缩短“到”）或字眼（倍）进行重点的强调.
同时进行几何画板的演示，动画的形式展现给学生对于ω对图像的影响的效果.发现ω与伸长或缩短以及与倍的关系.
创设意图：结合例1的形式完成作图. 先由学生展示分析，老师补充说明强调. 通过运用几何画板演示,增强直观性,帮助学生迅速准确地发现相关的数量关系．
问题3：
x
3
x π
+
sin()
3x π
+
x
3
x π
-
sin()
3x π
-
1
1
-0
11
-511473
π
6
π6π3
π3
π02
π
32
ππ
2π
0π
2π
2
π
32
π2753π-
6
π
3
π
6
π3
π3例⎪⎭⎫ ⎝⎛
+=sin πx y ⎪
⎭⎫ ⎝⎛-=3sin πx y 3 在同一坐标系中作函数和的图像
-结论φ：
当ϕ＞0时，将y=sinx 的图象向右平移个单位，
就得到y=sin(x+ ϕ)的图像；
当ϕ＜0时，将y=sinx 的图象向左平移个单位，
就得到y=sin(x+ ϕ)的图像。

φ
Y=3 sin(2x+π/3)
2x + π/3
x
-π/6 π/12 π/3 7π/12 5π/60 π/2 π
3π/2 2π
0 3 0 -3 0
作函数
⎪⎭
⎫ ⎝⎛
+=32sin 3πx y 例4 的图像，如何变换可由y=sinx 的图像得到此图像
图像变换过程
3倍
y=sinx
y=sin(x+π/3)
y=sin(2x+π/3)
y=3sin(2x+π/3)
横坐标不变
纵坐标伸长到原来的3倍
y=sinx
y=sin2x
y=3sin(2x+π/3)
y=3sin2x
图像变换结论
将y = sinx 的图象变换得到正弦型函数y = A sin (ωx + ϕ)的图象的方法
方法一：
1、向左或向右平移个单位而成；
2、沿x 轴缩短或伸长1/ω倍；φ
3、再沿y 轴缩短或伸长A 倍；1、沿x 轴缩短或伸长1/ω倍；
2、向左或向右平移个单位而成；
方法二：
φ
ω
3、再沿y 轴缩短或伸长A 倍.
（三）、课堂实践：
1.求下列函数的振幅、周期和初相 （1）.y=sin(2x-
3
π
) 答：振幅为1，周期为π，初相位-3
π (2).y=5sin(4x+
3
π
)
答：振幅为5，周期为
2π，初相位3
π 2.为了得到函数y=3sin （x-5π）的图像只需把函数y=3sin （x+5
π
）的图像怎么变换即可？
3.正弦函数y=sin3x 的图像经过怎样的变换后变成函数sin 3-
3y x π⎛
⎫
= ⎪⎝
⎭
的图像？ 创设意图：通过课堂练习加强学生对所学知识应用能力，同时起到巩固本节课所学习内容的效果. 七、自我反思
1．总结参数A 、ω对函数图象的影响，理解由y=sinx 的图象到y =Asin(ωx +φ)的图象变化过程. 2．数学思想：数形结合、从特殊到一般思想、化归思想。

师：合理的分解内容，对所学内容进行重点总结，帮助学生巩固所学知识，同时为下节课做了铺垫. 八、课后思考
思考
振幅变换中：当A ＞1 时，图像伸长，
当0＜A＜1时，图像缩短
（纵向）；
周期变换中：当ω＞1 时，图像缩短，
当0＜ω＜1时，图像伸长
（横向）。

教学方法创新：
本课采用自主合作探究的方式对知识进行学习，充分发挥学生的主体地位，在探究的过程中把知识掌握，从分调动了学生的积极性.。