福建省龙海市第二中学2020届高三数学上学期期初考试试题 文

龙海二中2020届高三上学期期初考试
文科数学试题
（考试时间：120分钟 总分：150分）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
1、已知集合{}
{}14,12,10,8,6,,23=∈+==B N n n x x A ,则集合B A I 中元素的个数为（） A.5
B.4
C.3
D.2
2、若sin α＝－5
13
，且α为第四象限角，则tan α的值等于( )
A.125
B.－125
C.512
D.－512
3、的根。

是方程：；命题，总有：对任意已知命题0210=+=≥∈x x q x R x p 是（）则下列命题是真命题的
A.p q ∧⌝
B.p q ⌝∧
C.p q ⌝∧⌝
D.p q ∧
4、设a ∈R ，则“2
a a >”是“1>a ”的（ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
5、已知()()x
f x x a e =+的图象在x=-1与x=1处的切线互相垂直，则a=( )
A.-1
B.0
C.1
D.2
6、设函数()f x 是定义在实数集上的奇函数，在区间[1,0)-增函数，且(2)()f x f x +=-，则有（ ）
A.13
()()(1)3
2f f f << B.3
1(1)()()2
3
f f f <<
C.13
(1)()()32
f f f <<
D.31()(1)()23
f f f <<
7．若实数a 满足432
log 1log 3a
a >>，则a 的取值范围是（ ） A.2,13⎛⎫
⎪⎝⎭
B. 23,34⎛⎫
⎪⎝⎭
C.3,14⎛⎫
⎪⎝⎭ D.20,3⎛⎫
⎪⎝⎭
8、函数)cos()(ϕ+=wx x f 的部分图象如图所示，则)(x f 的单调递减区间为（）
A.Z k k k ∈+-
),43
,41(ππ
B.Z k k k ∈+-),43
2,412(ππ
C.Z k k k ∈+-),43
,41(
D.Z k k k ∈+-),4
3
2,412(
9、若函数()f x x =，则函数()12
log y f x x =-的零点个数是（ ）
A.5
B.4
C.3
D.2
10、已知函数⎩
⎨⎧>+-≤-=-1),1(log 1
,22)(21x x x x f x 且=--=)6(,3)(a f a f 则
A.4
7
-
B.4
5-
C.4
3-
D.4
1-
11、函数y=xsinx+cosx 的图像大致是（ ）
12、设函数
)
(x f y =的图象与
对称
的图象关于直线x y y a x -==+2，
,1)4()2(=-+-f f 且则=a （ ）
A.1-
B.1
C.2
D.4
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13、函数y ＝sin x －3cos x 的图象可由函数y ＝2sin x 的图象至少向右平移________个单位长度得到.
14、已知函数1)(3
++=x ax x f 的图象在点（1，)1(f ）处的切线过点（2，7），则=a _________.
15、已知tan 24πα⎛
⎫-
= ⎪⎝
⎭，则sin 24πα⎛
⎫- ⎪⎝⎭
的值等于__________．
16、已知ω>0，在函数y ＝2sin ωx 与y ＝2cos ωx 的图象的交点中，距离最短的两个交点的距离为23，则ω＝________.
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算
步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第
22、23题为选考题，考生根据要求作答.
17、（本小题满分12分）函数f(x)＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的部分图象如图所示． (1)写出f(x)的最小正周期及图中
的值；
(2)求f(x)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π
2
，－π12上的最大值和最小值．
18．（本小题满分12分）设函数bx ax x x f 33)(2
3
+-=的图像与直线0112=-+y x 相切于点)11,1(-。

(1)求a,b 的值 （2)讨论函数)(x f 的单调性。

19、（本小题满分12分）已知)(x f y =是定义在),(+∞-∞上的偶函数，当0≥x 时，
32)(2--=x x x f 。

（1）用分段函数形式写出=y )(x f 的解析式；
（2）写出)(x f y =的单调区间；
（3）求出函数的最值。

20、（本小题满分12分）已知顶点在原点，对称轴为x 轴的抛物线，焦点F 在直线
0432=-+y x 上。

（1）求抛物线的方程；
（2）过焦点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，求弦AB 的中点M 的轨迹方程。

21、（本小题满分12分）已知函数()ln f x x =，()()1g x a x =-，
（1）当2a =时，求函数()()f x g x <()()()h x f x g x =-的单调递减区间； （2）若1x >时，关于x 的不等式恒成立，求实数a 的取值范围；
（3）若数列{}n a 满足11n n a a +=+，33a =，记{}n a 的前n 项和为n S ，求证：
()ln 1234...n n S ⨯⨯⨯⨯⨯<．
（二）选考题：共10分，请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.
22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】 在直角坐标系xOy 中，抛物线C 的方程为2
4y x =．
（1）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程； （2）直线l 的参数方程是2cos sin x t y t α
α
=+=⎧⎨
⎩(t 为参数)，l 与C 交于A ，B 两点，46AB =，
求l 的倾斜角． 23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】 已知函数()32f x a x x =--+． （1）若2a =，解不等式()3f x ≤；
（2）若存在实数a ，使得不等式()122f x a x ≥-++成立，求实数a 的取值范围．
龙海二中2020届高三上学期期初考试
文科数学答案
（考试时间：120分钟 总分：150分）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
1~5 D D A A A 6~10 A C D D A 11~12 D C 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13、 14、1 15、
2
16、
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. 17．（本小题满分12分）
18．（本小题满分12分）
解：（1）求导得
.363)(2
b ax x x f +-=' ………………2分
由于()1210f x x y +-=的图象与直线 相切与点（1，－11），
所以
⎩⎨
⎧-=+--=+--='-=.12363,
11331,12)1(,11)1(b a b a f f 即 ………………5分 解得.3,1-==b a
………………6分
令.31,0)(;31,0)(<<-<'>-<>'x x f x x x f 解得又令或解得 所以当)(,)1,(x f x 时--∞∈是增函数， ………………8分 当)(,),3(x f x 时+∞∈也是增函数；
………………10分
（2）由
).3)(1(3)32(3363)(3,12
2-+=--=+-='-==x x x x b ax x x f b a 得 当)(,)3,1(x f x 时-∈是减函数。

………………12分 19．（本小题满分12分）
20．（本小题满分12分）
21．（本小题满分12分）
【解析】（1）由2a =，得()()()ln 22h x f x g x x x =-=-+，()0x >．
所以()1122x
h x x x
'-=
-=
， 令()0h x '<，解得1
2
x >或0x <（舍去），
所以函数()()()h x f x g x =-的单调递减区间为1,2⎛⎫+∞
⎪⎝⎭
．
（2）由()()f x g x <得，()1ln 0a x x -->，
当0a ≤时，因为1x >，所以()1ln 0a x x -->显然不成立，因此0a >．
令()()1ln F x a x x =--，则()11a x a F x a x x ⎛
⎫- ⎪⎝⎭=-'=，令()0F x '=，得1x a
=． ①当1a ≥时，1
01a
<
≤，()0F x '>，∴()()10F x F >=，所以()1ln a x x ->， 即有()()f x g x <．因此1a ≥时，()()f x g x <在()1,+∞上恒成立． ②当01a <<时，
11a >，()F x 在11,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上为减函数，在1,a ⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
上为增函数， ∴()()min 10F x F <=，不满足题意．
综上，不等式()()f x g x <在()1,+∞上恒成立时，实数a 的取值范围是[
)1,+∞． （3）由131,3n n a a a +=+=知数列{}n a 是33a =，1d =的等差数列， 所以()33n a a n d n =+-=，所以()()112
2
n n n a a n n S ++==
，
又ln x x <Q 在()1,+∞上恒成立．
所以ln 22<，ln33<，ln 44<，⋅⋅⋅，ln n n <．
将以上各式左右两边分别相加，得
ln 2ln3ln 4ln 234n n +++⋅⋅⋅+<+++⋅⋅⋅+．因为ln101=<
所以()ln 1234n n S ⨯⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯<． 22．【选修4-4：坐标系与参数方程】 【答案】（1）2
sin 4cos 0ρθθ-=；（2）π
4
α=
或3π4α=．
【解析】（1）∵cos sin x y ρθρθ
==⎧⎨
⎩，代入24y x =，∴2
sin 4cos 0ρθθ-=．
（2）不妨设点A ，B 对应的参数分别是1t ，2t ，
把直线l 的参数方程代入抛物线方程得：22
sin 4cos 80t t αα-⋅-=，
∴122122
24cos sin 8sin 1616sin 0t t t t ααα∆α+⎧
⎪⎪
⎪⎨=-==+>⎪
⎪⎪⎩
，则12AB t t =-==
∴sin α=
，∴π
4
α=或3π4α=． 5
2
a ≥-23．【选修4-5：不等式选讲】 【答案】（1）3742x x ⎧⎫
-
≤≤⎨⎬⎩⎭
；
（2）． 【解析】解：（1）2a =时，()3223f x x x -=-+≤，
233223x x x ⎧≥⎪⎨
⎪---≤⎩或2232323
x x x ⎧
-<<
⎪⎨⎪---≤⎩或22323x x x ≤-⎧⎨-++≤⎩， 解得37
42
x -
≤≤． （2）存在实数a ，使得不等式()122f x a x ≥-++成立，即3361x a x a --+≥-， 由绝对值不等式的性质可得()3363366x a x x a x a --+---=+≤， 即有()f x 的最大值为6a +，
∴61a a +≥-，即61a a +≥-或61a a +≤-，解得5
2
a ≥-．。