高二数学导数的概念和几何意义试题答案及解析

高二数学导数的概念和几何意义试题答案及解析
1.曲线在点（1，3）处的切线方程为．
【答案】．
【解析】先求出导函数，然后令得，，再由所求切线方程过点（1，3），所以所求切线方程为：，化简整理得．故答案为．
【考点】导数的概念及其几何意义．
2.函数在点（1，2）处的切线的斜率是（）
A．B．1C．2D．3
【答案】C．
【解析】依题意得，于是在点（1，2）处的切线的斜率等于2，故选C．
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．
3.函数在点处的切线方程是（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为，且，故所求切线方程为：
，故选Ｃ．
【考点】导数的几何意义．
4.已知函数图象上任意一点处的切线的斜率都小于1，则实数a的取值范围是______.
【答案】.
【解析】因为，所以；由题意得恒成立，即恒成立，则，解得.
【考点】导数的几何意义、一元二次不等式.
5.设点为函数与图象的公共点，以为切点可作直线与两曲线都相切，则实数的最大值为．
【答案】．
【解析】设点P(x
0,y
)（x>0）,由已知得（x
>0）解得：x
=-3a或
x 0=a,注意到a>0，所以x
=a;由于点为函数与图象的公共
点，所以有，从而
，所以当时；当时，故知当时，b取得最大值为：.故应填入．【考点】1.导数的几何意义;2.函数的最值.
6.是的导函数，的图像如右图所示，则的图像只可能是（）
【答案】D
【解析】由的图象可知，那么单调递增,又导数值先减小后增大，那么函数
图象先平后陡再平.所以选D.
【考点】导数的几何意义.
7.设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)，若x＝－1为函数f(x)e x的一个极值点，则下列图象不
可能为y＝f(x)的图象是()．
【答案】D
【解析】函数y=f(x)e x求导可得，若x＝－1是其一个极值点，则当时，函数值为,可得.，图中可知满足条件，对于中，由切线斜率可得，又，，不可能满足条件，故选D.
【考点】导数的几何意义.
8.函数是定义在R上的可导函数，则下列说法不正确的是（）
A．若函数在时取得极值，则
B．若，则函数在处取得极值
C．若在定义域内恒有，则是常数函数
D．函数在处的导数是一个常数
【答案】B.
【解析】对于B，可以构造函数，则，而并不是的极值点，
而A,C,D均正确，∴选B.
【考点】导数的性质.
9.设函数在定义域内可导,的图象如下右图所示,则导函数可能为( )
【答案】D
【解析】根据f(x)的示意图，可得f(x)在上单调递增，则在上，>0,而f(x)在上先增后减再增，则在上，需满足先正后负再正，对照四个选项，只有D符合.【考点】导数的运用.
10.已知函数y=f（x）的图象在M（1，f（1））处的切线方程是+2，
则f（1）+f′（1）=．
【答案】3
【解析】将代入可得，即。

由直线方程可知直线的斜率为，根据导数的几何意义可知。

所以。

【考点】导数的几何意义。

11.曲线在点处的切线方程是．
【答案】
【解析】因为，所以切线斜率为切线方程是.
【考点】利用导数求切线方程
12.设,则在处的导数（）
A．B．C．0D．
【答案】A
【解析】，故选A．
【考点】某点处的导数．
13.已知函数
(1)当时,求曲线在点处的切线方程;
(2)求函数的极值.
【答案】(1) ;(2)详见解析.
【解析】(1)根据导数的几何意义，当时，,得出，再代入点斜式直线方程；（2）讨论，当和两种情况下的极值情况.
试题解析：解:函数的定义域为,.
（1）当时,,,
,
在点处的切线方程为,
即.
（2）由可知:
①当时,,函数为上的增函数,函数无极值;
②当时,由,解得;
时,,时,
在处取得极小值,且极小值为,无极大值.
综上:当时,函数无极值
当时,函数在处取得极小值,无极大值.
【考点】1.导数的几何意义；2.利用导数求极值.
14.曲线在处的切线的倾斜角是（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为，所以所求切线的斜率为即（为倾斜角），所以切线的倾斜角为，故选C.
【考点】导数的几何意义.
15.曲线在处的切线平行于直线，则点的坐标为（）
A．B．
C．和D．和
【答案】C
【解析】因为，要使曲线在处的切线平行于直线，设，则有即，由或，当时，
，此时点不在直线上，满足要求；当时，
，此时点也不是直线上，也满足要求；综上可知，选C.
【考点】导数的几何意义.
16.质点运动规律s＝2t2＋1，则从t＝1到t＝1＋d时间段内运动距离对时间的变化率为
________．
【答案】4＋2d
【解析】＝4＋2d.
17.抛物线y＝x2在点P处的切线与直线2x－y＋4＝0平行，求点P的坐标及切线方程．
【答案】2x－y－1＝0
【解析】设点P(x
0，y
)，＝d＋2x
，
d→0时，d＋2x
o →2x
.抛物线在点P处的切线的斜率为2x
，
由于切线平行于2x－y＋4＝0，∴2x
0＝2，x
＝1
即P点坐标为(1,1)切线方程为y－1＝2(x－1)，即为2x－y－1＝0
18.曲线在点处的切线斜率为（）
A．1B．2C．D．
【答案】A
【解析】在处的切线的斜率即为函数在处的导数值，，即在处的切线的斜率为1.
【考点】1、导数的几何意义；2、基本初等函数的导数公式.
19.已知函数 , .
（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）当时，求函数的单调区间；
（Ⅲ）当时，函数在上的最大值为，若存在，使得成立，求实数b
的取值范围.
【答案】（Ⅰ）曲线在点处的切线方程。

（Ⅱ）函数的递增区间为，递减区间为。

（Ⅲ）的取值范围是.
【解析】（Ⅰ）当时， 1分
.2分
所以曲线在点处的切线方程 3分
（Ⅱ） 4分
当时，解，得，解，得
所以函数的递增区间为，递减区间为在 5分
时，令得或
ⅰ）当时，
)
+-+
函数的递增区间为，，递减区间为 7分
ⅱ）当时，
在上，在上 8分
函数的递增区间为，递减区间为 9分
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当时，在上是增函数，在上是减函数，
所以， 11分
存在，使即存在，使，
方法一：只需函数在[1，2]上的最大值大于等于
所以有即解得： 13分
方法二：将整理得
从而有所以的取值范围是. 13分
【考点】导数的几何意义，应用导数研究函数的单调性、最值，不等式恒成立问题。

点评：中档题，本题属于导数应用中的常见问题，通过研究函数的单调性，明确最值情况。

曲线切线的斜率，等于函数在切点处的导函数值。

在给定区间，如果函数的导数非负，则函数为增函数，如果函数的导数非正，则函数为减函数。

涉及不等式恒成立问题，往往通过构造函数，研究
函数的最值，得到确定参数（范围）的目的。

对数函数要注意其真数大于0.
20.在处可导,为常数,则（）
A．B．C．D．0
【答案】B
【解析】
【考点】导数的定义
点评：导数的定义：
21.曲线在点（－1，－3）处的切线方程是（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】当时，所以切线为
【考点】函数导数的几何意义及直线方程
点评：导数的几何意义：函数在某一点处的导数值等于该点处的切线的斜率
22.设函数在及时取得极值．
（1）求、b的值；
（2）若对于任意的，都有成立，求c的取值范围．
【答案】（1），（2）
【解析】解：（1），
因为函数在及取得极值，则有，．
即
解得，．
（2）由（1）可知，，
．
当时，；
当时，；
当时，．
所以，当时，取得极大值，又，．
则当时，的最大值为．
因为对于任意的，有恒成立，
所以，
解得或，
因此的取值范围为．
【考点】导数的运用
点评：主要是根据导数的符号于函数单调性的关系来得到函数的极值和最值，得到求解，属于基础题。

23.函数的导数是（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
所以
【考点】本小题主要考查导数的运算，考查学生的运算求解能力.
点评：熟记基本初等函数的导数公式及四则运算法则是正确求导的基础，必要时对于某些求导问
题可以先化简函数解析式再求导.
24.已知函数.
（1）若，求曲线在点处的切线方程；
（2）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围．
【答案】（1）（2）
【解析】（1）先求出即切线的斜率，然后写出点斜式方程，再转化为一般式方程即可.
（2）本小题转化为二次函数在区间上恒成立问题来解决.
解：（1）当时，，.
，．
所以所求切线方程为即．
（2）. 令，得.………7分
由于，，的变化情况如下表：
+0—0+
所以函数的单调递增区间是和.
要使在区间上单调递增，应有≤或≥，
解得≤或≥．……11分又且，
所以≤．即实数的取值范围．
25.设函数
(I) 讨论的单调性；
（II）若有两个极值点和，记过点的直线的斜率为，问：是否存在，使得？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．
参考答案
【答案】（I）分别在上单调递增，在上单调递减．
（II）见解析（II）
【解析】(I)先确定定义域为,
然后求导，利用导数大（小）于零，来确定单调增（减）区间.
的定义域为
令其判别式
当时，，故在上单调递增．
当时，，的两根都小于0，在上，，故在上单调递增．
当时，，的两根为，
当时，；当时，；当时，，故分别在上单调递增，在上单调递减．
(II)解决本题的关键是分析出：由题意知,
又由(I)知，．于是
若存在，使得则.即．
亦即.
由（I）知，．
因为，所以
又由(I)知，．于是
若存在，使得则．即．亦即
再由（I）知，函数在上单调递增，而，所以
这与式矛盾．故不存在，使得
26.曲线在点（1,0）处的切线方程为（）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】解：因为曲线在点（1,0）处的切线斜率为1，故切线方程为，选A
27. .已知函数时，有极值10，则的值为
【答案】0或7
【解析】解：由f（x）=x3+ax2+bx+a2，
得f′（x）=3x2+2ax+b，
f′(1)="0"
f(1)=0 ，即 2a+b=3=0， a2+a+b+1=10 ，
解得 a=4， b=-11 或 a="-3" ，b=3 （经检验应舍去），
a+b=4-11=-7，
28.若在上是减函数，则b的取值范围是（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】解：因为在上是减函数，
则利用分离参数的思想可知参数b的范围是，选C
29.设函数，若曲线在点处的切线方程为，则。

【答案】1
【解析】解：因为设函数，若曲线在点处的切线方程为，则，利用点斜式得到结论为1.
30.已知曲线上一点P处的切线与直线平行，则点P的坐标为
_______
【答案】（1，1）
【解析】解：因为曲线上一点P处的切线斜率为2，因此点P的坐标为(1,1),故填写（1，1）
31.下列计算错误的是
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】.所以错。

32. (文）曲线在点处的切线方程是
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】解：因为，利用点斜式可知点处的切线方程是，选A
33.（文）已知在处有极值，其图象在处的切线与直线
平行.
（1）求函数的单调区间；
（2）若时，恒成立，求实数的取值范围。

【答案】（1）所以当时，函数单调递减；当时，函数单调递增。

（2）{}
【解析】本试题主要是考查了导数在研究哈数中的运用，以及解决不等式的恒成立的综合运用。

（1）先求解定义域，然后分析导数的符号与单调性的关系，进而得到结论。

（2）根据由(1)知,函数在时单调递减，在时单调递增
所以函数在区间有最小值要使恒成立，可知得到c的不等式解得。

解：（1）由题意：直线的斜率为；
由已知所以 -----------------3分
所以由得心或；
所以当时，函数单调递减；
当时，函数单调递增。

-----------------6分
（2）由(1)知,函数在时单调递减，在时单调递增；
所以函数在区间有最小值要使恒成立
只需恒成立，所以。

故的取值范围是{} -----------------10分
34.设P为曲线C：y＝x2＋2x＋3上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为，
则点P横坐标的取值范围为
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】.
35.已知函数的图像为曲线C，若曲线C存在与直线垂直的切线，则实数m的取值范围是
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由题意知有解，即直线y=m-2与曲线有公共点，所以m>2.
36.函数的导数是：()
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】解：因为
选A
37.曲线在点（0，1）处的切线方程为
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
38.曲线在点处的切线方程是 ;
【答案】3x-y-2=0.
【解析】所以切线方程y-1=3(x-1),即3x-y-2=0.
39.已知是R上的单调增函数，则的取值范围是（）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】恒成立，所以
40.已知，则；
【答案】 -8
【解析】
41.已知函数的图象在点处的切线方程是，
则____________。

【答案】3
【解析】解：因为函数的图象在点处的切线方程是，
所以f’(1)=1/2,f(1)=5/2,因此结果为3
42.函数的图象上一点处的切线的斜率为（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】.
43.若="3," 则的值为( )
A．3B．-6C．6D．
【答案】C
【解析】,选C.
44.曲线在点处的切线的方程 .
【答案】
【解析】解：因为曲线，则利用点斜式方程可知所求的方程为
45.,若,则的值等于
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】解：
46.曲线轴交点的纵坐标是（）
A．－9B．－3C．9D．15
【答案】C
【解析】解：因为
47.已知曲线和相交于点A，
（1）求A点坐标；
（2）分别求它们在A点处的切线方程（写成直线的一般式方程）；
（3）求由曲线在A点处的切线及以及轴所围成的图形面积。

（画出草图）
【答案】(1) 曲线和在它们的交点坐标是(1，1)，（ 4 分）
(2) 两条切线方程分别是x+y－2=0和2x－y－1=0，（ 4 分）
(3) 图形面积是．
【解析】本试题主要考察了导数的几何意义的运用，以及利用定积分求解曲边梯形的面积的综合试题。

先确定切点，然后求解斜率，最后得到切线方程。

而求解面积，要先求解交点，确定上限和下限，然后借助于微积分基本定理得到。

48.如图，函数的图象在点P处的切线方程是，则（）
A．2B．C．D．0
【答案】A.
【解析】,应选A.
49.函数的单调递减区间为．
【答案】.
【解析】,所以减区部为.
50.（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为
==
51.如图，函数的图象在点P处的切线方程是，则= .
【答案】2
【解析】当x=5时，由导数的几何意义知识
52.曲线上切线平行于轴的点的坐标是（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由，则，得，从而得切线平行于轴的点的
坐标是.故选D.
53.若，则=（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】=.故选D.
54.设f(x)为可导函数，且满足＝－1，则过曲线y＝f(x)上点(1，f(1))处的切线
斜率为()
A．2B．－2C．1D．－1
【答案】D
【解析】∵＝－1，∴，由导数的几何意义得过曲线y＝f(x)上点(1，f(1))处的切线斜率为-1，故选D
55.已知函数＝ln(x＋)，则_________．
【答案】
【解析】∵＝ln(x＋)，∴，∴
56.若曲线在点处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为18，则
A．64B．32C．16D．8
【答案】A
【解析】解：
57.曲线在点(1,一3)处的切线方程是___________
【答案】
【解析】解：
58.质量为10kg的物体在力F的作用下，位移S关于时间t的函数关系式为
，则F的最小值为（）
A．3B．30C．40D．4
【答案】B
【解析】根据物理中加速度的定义可知
所以
所以当时，取到最小值30，故选B。

59.若函数f(x)=2x2+1，图象上点P(1,3)及邻近点Q(1+Δx,3+Δy)，则=（）
A．4B．4Δx C．4+2Δx D．2Δx
【答案】C
【解析】.
60.已知对任意实数，有，，且时，，，则时（）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】B
【解析】由已知，为奇函数，为偶函数，且两函数均在单调递增，由奇（偶）函
数的图象对称性可知，在单调递增，在单调递减，从而有时，，，故选B。

61.设若函数有大于零的极值点，则的范围▲
【答案】a<-3
【解析】令，则，
所以，，所以，所以。

62.已知函数f(x)=ax2＋c,且=2,则a的值为（）
A．1B．C．－1D．0
【答案】A
【解析】，，，
故选A
63.过坐标原点作曲线的切线,则切线方程为________.
【答案】Y=ex
【解析】略
64.已知函数，函数在处的切线方程为；
【答案】y=2x-e
【解析】略
65.已知函数
（1）求函数的单调区间和最大值；
（2）若恒成立，求的取值范围；
（3）证明：①在上恒成立；
②
【答案】（1）递增，增，减，最大值
（2）
（3）略
【解析】略
66.，则等于
A．B．C．D．
【答案】C
），将已知条件代入即可求出所求．
【解析】根据=f′（x
解：∵=1，
∴=f′（x
）=
故选C．
67.(本小题满分14分)
已知函数f(x)=－x3+bx2+cx+bc，
(1)若函数f(x)在x=1处有极值－，试确定b、c的值；
(2)在(1)的条件下，曲线y=f(x)+m与x轴仅有一个交点，求实数m的取值范围；
(3)记g(x)=|f′( x)|(－1≤x≤1)的最大值为M，若M≥k对任意的b、c恒成立，试求k的取值范围（参考公式：x3－3bx2+4b3=(x+b)(x－2b)2)
【答案】解：(1)解得或.………………2分
若,,
在上单调递减,在处无极值；
若,,,
直接讨论知,在处有极大值,所以为所求. ………………4分
(2)由(1),,………6分
当或,曲线与轴仅有一个交点.………8分
因此,实数的取值范围是或.……………9分
(3) .若,
则在是单调函数,
,因为与之差的绝对值,所以.………………11分
若,在取极值,
则,.
若,,
；
若,,
.
当,时,在上的最大值.…………13分
所以,的取值范围是.………………14分w
【解析】略
68.物体沿直线运动过程中，位移s与时间t的关系式是. 我们计算在的附近区间
内的平均速度，当趋近于0时，平均速度趋近于确定的值，即
瞬时速度，由此可得到时的瞬时速度大小为 .
【答案】
【解析】【考点】变化的快慢与变化率．
分析：利用平均变化率的公式，代入数据，计算可求出平均速度，根据位移的导数是速度，求出s的导函数即速度与时间的函数，将2代入求出物体在时刻t=2时的速度．
解：平均速度为==13+3△t
=1+2×6=13，
当t=2时，v=s′|
t=2
故答案为13+3△t，13．
69.若函数的递减区间为（－1,1），则a的取值范围是 .
【答案】a>0
【解析】略
70.(本小题满分10分)
设函数
（I）求的最小值；
（II）若对时恒成立，求实数的取值范围.
【答案】
【解析】略
71.函数在点处的切线与直线垂直，则实数的值为
【答案】
【解析】略
72.函数y=单调递增区间为
【答案】
【解析】略
73.在定义域内可导,其图象如图,其导函数为,则不等的解集是（）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】略
74.曲线在点处切线的倾斜角为（）
【答案】B
【解析】略
75..下图是函数的部分图象，则函数的零点所在的区间是（）
A B C D
【答案】C
【解析】略
76.曲线在点处的切线平行于直线,则的坐标可能是( )
A．(0,1)B．(1,0)C．(-1,0)D．(1,4)
【答案】B
【解析】略
77.若曲线在处的切线与直线互相垂直，则实数等于A．B．C．D．
【答案】D
【解析】略
78.函数在处的切线的斜率是（）
A．0B．1C．3D．6
【答案】D
【解析】略
79.曲线y=x3-2x+4在点（1，3）处的切线的倾斜角为▲
【答案】
【解析】略
80.函数的图象在处的切线方程为
【答案】
【解析】略
81.曲线在点处的切线方程是（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】略
82.函数在处的切线方程为__________________.
【答案】
【解析】略
83.曲线y=x3+x在点(1,)处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】略
84.已知函数的导函数，
函数的图象如右图所示，且，
则不等式的解集为（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】略
85.曲线y=x3-3x2+1在点（1，-1）处的切线方程为（）
A．y="3x" - 4B．y=" -" 3x+2C．y=" -" 4x+3D．y=4x-5
【答案】B
【解析】略
86.已知一质点的运动规律为上的平均速度为（）A．B．C．D．
【解析】略
87.曲线的距离为（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】略
88.曲线在点A(2，6)处的切线斜率是___________。

【答案】5
【解析】略
89.函数的图像在原点处的切线的倾斜角为（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】略
90.在四个数的两旁各加一条竖线，引进符号：，定义=，则函数
在处切线的斜率为 .
【答案】2
【解析】略
91.已知函数的图象在点处的切线方程是，则=__________
【答案】3
【解析】略
92.16. （本小题满分14分)
两条曲线都经过点, 并且它们在点处有公共的切线，求，，的值。

【答案】
【解析】略
93. 15．已知直线与曲线相切，则的值为．
【答案】3
【解析】略
94.已知曲线的一条切线的斜率为，则切线方程为．
【答案】
【解析】略
95.曲线y=x3－3x2+1在点（1，－1）处的切线方程为（）
A．y=3x－4B．y=－3x+2C．y=－4x+3D．y=4x－5
【解析】【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．
分析：求出函数y=x3-3x2+1在x=1处的导数值，这个导数值即函数图象在该点处的切线的斜率，
然后根据直线的点斜式方程求解即可．
解：由曲线y=x3-3x2+1，
所以y′=3x2-6x，
=3（1）2-6=-3．
曲线y=x3-3x2+1在点（1，-1）处的切线的斜率为：y′|
x=1
此处的切线方程为：y+1=-3（x-1），即y=-3x+2．
故答案为：B．
96.设，函数的导函数是，且是奇函数。

若曲线的一条切线
的斜率是，则切点的横坐标为（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由函数，则，又是奇函数，所以，得.
当切线的斜率是时，于是，即，解得（舍去），则.故选A
97.在平均变化率的定义中，自变量在处的增量应满足（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】在平均变化率的定义中，自变量在处的增量要求；
【考点】平均变化率定义；
98.（12分）已知抛物线过点，且在点处与直线相切，求的值．【答案】．
【解析】抛物线线过点得到系数的第一个关系式，过点得到第二个系数的关
系式，与相切得到第三个关系式，联立求解就解得．
试题解析：函数
函数过点•
在处与相切‚
ƒ
联立 得：
【考点】导数及其应用．
99.一个物体的运动方程为其中的单位是米，的单位是秒，那么物体在秒末的瞬时
速度是（）
A．米/秒B．米/秒C．米/秒D．米/秒
【答案】C
=5。

【解析】∵物体的运动方程为s=1-t+t2，s′=-1+2t，s′|
t=3
【考点】导数的应用。

100.已知f（x）=x3-3x，过点A（1，m）（m≠-2）可作曲线y=f（x）的三条切线，则实数m的取值范围是（）
A．（-1，1）B．（-2，3）C．（-1，2）D．（-3，-2）
【答案】D
【解析】设切点为(t,t³-3t),f'(x)=3x²-3,则切线方程为y=(3t²-3)(x-t)+t³-3t
整理得y=(3t²-3)x-2t³把A(1,m)代入整理得:2t³-3t²+m+3="0" ①因为可作三条切线,所以①有三个解记g(t)=2t³-3t²+m+3则g'(t)=6t²-6t=6t(t-1),所以当t=0时,极大值g(0)=m+3,当t=1时,极小值
g(1)=m+2
要使g(t)有三个零点,只需m+3>0且m+2<0，-3<m<-2.
【考点】导数的应用。