人教版八年级下第十六章分式教材分析与教学建议

人教版八年级下第十六章分式教材分析与教学建议
广州市陈嘉庚纪念中学张群英
一、教学目的
1、使学生掌握分式的概念，分式的基本性质，能熟练地进行分式变形及约分通分。

2、使学生能准确地进行分式的乘除、加减以及混合运算。

3、使学生学会用科学记数法表示绝对值小于1的数，并能进行有关负整数指数幂的运算。

4、使学生掌握解分式方程的步骤，并能列出可化为一元一次方程的分式方程解决简单的实际问题。

二、本章知识结构网络图
三、数学思想方法
1、类比法:本章突出了类比的方法，从分数的基本性质、约分、通分及分数的运算法则类比引出了分式的基本性质、约分、通分及分式的运算法则，从分数的一些运算技巧类比引出了分式的一些运算技巧，无一不体现了类比思想的重要性，分式方程解法及应用也可以类比一元一次方程。

2、转化思想:转化是一种重要的数学思想方法，应用非常广泛，运用转化思想能把复杂的问题转化为简单问题，把生疏的问题转化为熟悉问题，本章很多地方都体现了转化思想。

如：分式除法转化为分式乘法；分式加减运算的基本思想：异分母的分式加减法转化为同分母的分式加减法；解分式方程的基本思想：把分式方程转化为整式方程，从而得到分式方程的解等．
3、建模思想:本章常用的数学方法有：分解因式、通分、约分、去分母等，在运用数学知识
解决实际问题时，首先要构建一个简单的数学模型，通过数学模型去解决实际问题，经历“实
际问题———分式方程模型———求解———解释解的合理性”的数学化过程，体会分式方
程的模型思想，对培养通过数学建模思想解决实际问题具有重要意义。

四、教材特点
1、重视从实际问题抽象出数学
引进分式的概念时，用一幅江中航行的轮船为背景，引出了路程、速度和时间之间的数量关系，从而导出分式的概念；在16.3节又被用于引入分式方程的概念。

在讨论分式的加减和乘除的过程中，
先后按排了涉及容积、工作效率、耕作面积、增长率和工程进度等多个实际问题。

本章安排了
大量的实际问题，通过分析与解决实际问题，提高了学生联系实际应用数学知识的意识、兴趣
和能力。

2、重视用类比方法。

从分数概念到分式概念，从分数的基本性质、约分与通分、四则运算法
则到分式的的基本性质、约分与通分、四则运算法则都运用了类比方法。

在学生对分数已有
认识的基础上，通过分式与分数的类比，从具体到抽象、从特殊到一般地认识分式。

3、重视转化思想。

16.3节分式方程，从分析分式方程的特点入手，引出解分式方程的基本
思路，通过去分母使分式方程转化为一元一次方程，再解出未知数。

4、解分式方程与解一元一次方程最大不同之处：解分式方程必须进行验根。

因为解分式方程的第一步是去有未知数的分母，而这带有未知数的分母有可能等于零，导致使原来的分式方程中的分式的分母为零而无意义。

在强调解分式方程必须检验时，考虑到学生的知识基础和接受能力，教材没有对解分式方程中增根的理论问题进行深入的讨论，而是通过具本例子展现了解分式方程时可能出现增根的现象，并结合例子分析了什么情况下产生增根的方法，然后归纳出检验增根的方法。

五、本章的重点：分式的四则运算法则、解分式方程和根据实际问题列出分式方程。

本章的难点：分式的四则混合运算和根据实际问题列出分式方程。

六、课时安排
本章教学时间约需14课时，具体安排如下（仅供参考）：
16.1 分式 3课时
16.2 分式的运算 6课时
16.3 分式方程 3课时
数学活动
小结 2课时
七、教法建议
教学目的：1、使学生了解分式的概念。

会识别代数式中的分式。

2、使学生会求分式有意义时（即分母不为0）分母中字母的取值范围。

3、使学生会求分式的值为0时（即分子为0）时，分子中字母的取值范围。

教学方法：用类比“分数”的方法去识别 “分式”。

分式的概念：一般地，如果A 和B 表示两个整式，且B 中含有字母，式子B
A 叫做分式，
其中A 叫做分子，B 叫做分母。

注意：1、分式的分母中必须含有字母，这是分式与整式的根本区别。

2、有些整式的式子中分母只含有数字，不是分式，如：2y x + 、π32-x 、3
2。

3、一般地，如无特殊说明或提问。

本节中出现的分式中的字母都满足使分母不等于0的要求。

4、分式的值何时为零？，即 在 中，当A
= 0，而B ≠0 时，在这双条件限制下分式 = 0。

例1：当m 取何值时，下列分式有意义？ （1） （2） （3）
例2：当x 为何值时，下列分式的值为0？ （1） （2） （3）
说明：书 P3例1填空是应用分式有意义的条件—分母不为零，解出字母x 的值.还可以利用这道题，不改变分式，只把题目改成“分式无意义”，使学生比较全面地理解分式及有关的概念，也为今后求函数的自变量的取值范围打下良好的基础.
书 P9[拓广探索]中第13题提到了“在什么条件下，分式的值为0？”，、上面补充的例2为了学生更全面地体验分式的值为0时，必须同时满足两个条件：○1分母不能为零；○2分子为零.这两个条件得到的解集的公共部分才是这一类题目的解.
第二、三课时 分式的基本性质
教学目的：1、掌握分式的基本性质：
分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。

用式子表示为C B C A B A ⨯⨯=，C
B C A B A ÷÷= 其中0≠C 的整式。

112-+m m m 2112+-m m B A B A 22-+x x x x x --21
242--x x
2、掌握分式的基本性质进行约分、通分。

3、了解最简分式的概念。

教学方法：用类比“分数”的基本性质、约分、通分的方法去掌握“分式”的基本性质、约分、通分和最简分式。

引入：当 时 ， 时
以上的变形过程，依据分数的基本性质：分数的分子、分母同时乘（或除以）一个不为0的数，分数的值不变。

类比分数的基本性质得出分式的基本性质：分式的分子、分母同时乘（或除以）一个不为0的整式，分式的值不变。

例1、填空
（1） （2）
（2） （4）
约分：把一个分式的分子、分母的公因式约去，叫做约分。

利用分式的基本性质，类比分数的约分对分式进行约分。

最简分式：一个分式的分子与分母没有1以外的公因式。

叫做最简分式。

引入：求下列分数的最简分数。

()()=84 ()()
=1215 例2、约分：（1）c ab b a 2263 （2）53
2164xyz
yz x - （3）x y y x --2)(2 （4）12122+--x x x 约分步骤：1.先把分子和分母进行因式分解 2.找出分子和分母的公因式3.约去公因式。

注意：1、分子和分母都是单项式时，约去系数的最大公约数及相同字母的最低次幂
2、分子、分母都是多项式时，先分解因式，确定最大公因式，后约分。

3、最大公因式是各项系数的最大公约数和相同因式的最低次幂的积。

4、分式与分子、分母符号的变化规则:①改变其中的任何两个，分式的值不变。

②分式的符号可以移到分式的分子或分母上，但必须把分子或分母整个改变符号。

例如：)
1()1()1(12222x x x x x x x x ---=---=---=- 5、当分子、分母中含有互为相反数的因式时，把其中一个变为另一个的相反数。

说明：书 P9习题16.1的第5题是：不改变分式的值，使下列分式的分子和分母都不含“-”号.就如上面注意第4点，这一类题教材里没有例题，但它也是由分式的基本性质得出分子、分母和分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变.“不改变分式的值，使分式的分子和分母都不含‘-’号”是分式的基本性质的应用之一，所以可补充例题：不改变分式的值，使下列分式的分子和分母都不含“-”号.
a b 56--， y x 3-， n
m --2， n m 67--， y x 43---。

如上面注意4、的例题。

通分：把几个异分母的分式分别化成与原来分式相等的同分母分式，叫做分式的通分。

利用分式的基本性质，类比分数的通分对分式进行通分。

最简公分母：各项系数的最小公倍数和所有因式的最高次幂的积作为公分母，它叫最简公分母。

引入：把下列各数进行通分：12与23，35与27 例3：通分（1）b a 223和c
b a b a 2- （2）52-x x 和=a 201543=⨯⨯a a =a 322718=÷÷a a )()(=++=)()(y x y y x x y x )()(=++=++)()(22y x y y x x y xy xy x )(b a ab b a 2=+)()0(222≠=-b b a a b a
5
3+x x 注意：1、如果各分母的系数都是整数时，取它们的系数的最小公倍数作为最简公分母的系数；
2、当分母是多项式时，一般先分解因式，然后再确定公分母；同底数的幂的因式，选取指数最大的。

3、通分时，分母应尽量写成因式相乘的形式，不必乘出结果。

说明：由于约分中要用到分解因式，应视学生的基础决定是否先复习分解因式，或在隔天有针对性的布置一点分解因式题让学生复习。

16．2 分式的运算
★说明：建议把分式的加减（一）调前两课时，因为它只需要通分和约分，与刚学的通分和约分紧密联系，有利于巩固、熟练掌握通分和约分的运算。

为后面的分式混合运算打基础。

第四课时 16．2．2分式的加减（一）
教学目的：掌握分式的加减法法则：1、同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减；
2、异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减。

上述法则可用式子表示为：c b a c b c
a ±=± bd bc ad bd bc bd ad d c
b a ±=±=± 教学方法：用类比“分数”加减法法则的方法去掌握“分式“的加减法法则。

引入：快算1：1、
1355+ 2、1566- 3 、1223+ 4、1123- 5、1+4
1 例1、（1）2)2(223n m n m n m ----（2）b a b a a ++-122（3）21639x x --- （4）1112-+a 注意：1、异分母分式相加减，应先通分，转化为同分母分式再相加减，
2、通分的关键是求最简公分母，若分母是多项式，应先分解因式。

3、分子相加减，减数的分子是多项式，要添括号。

4、当分式与整式相加减时，整式的分母是1，最简公分母就是分式的分母。

5、异分母分式加减法步骤：（1）通分，将异分母的分式化成同分母的分式；（2）写成“分母不变，分子相加减（添括号）”的形式；（3）分子去括号，合并同类项；（4）分子、分母约分，将结果化成最简分式或整式.
说明：书P16例6计算。

第（2）题是异分母的分式加法的运算，最简公分母就是两个分母的乘积，没有涉及分母要因式分解的题型.例6的练习的题量明显不足，题型也过于简单，教师应适当补充一些例题和习题，以供学生练习，巩固分式的加减法法则。

如上面的例1和例2.
第五课时 16．2．1分式的乘除(一)
教学目的：让学生灵活运用分式的乘除法法则
分式乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分了,分母的积作为积的分母。

分式除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。

用式子表示为： bd ac d c b a =⨯ c d b a d c b
a ⨯=÷= 学习方法：用类比“分数”的乘除法法则的方法去掌握“分式”的乘除法法则。

引入：快算1、 ___________2
1553____,16343_____,21553______,3421=÷=÷=⨯=⨯ 快算2、=⋅32a a _______；=⋅4
32x y y x _____; 例1、（1）ab c 2c b a 22⋅ （2） -8xy x
y 52÷ 注意：分式的乘除法运算与分数的乘除法运算一样，应该注意的是运算结果应约分到最简，还应注意在计算时跟整式运算一样，先判断运算符号，再计算结果。

例2：计算：（1）4
411242222++-⋅+--a a a a a a （2）xy x x y xy y x y x ++÷++-2222
2224 注意：1、当分式的分子、分母是多项式时，应先把多项式分解因式，再进行约分.结果的分母如果不是单一的多项式，而是多个多项式相乘是不必把它们展开.
2、做这类题目时要注意特别细心，全面考虑，一是因式分解要正确，二是化除为乘不能忘，三是运算结果要最简。

第六课时 16．2．1分式的乘除(二)
教学目的：1、让学生灵活运用分式的乘除法法则进行乘除混合运算。

2、灵活运用分式乘方的法则进行乘除混合运算：分式乘方：分式乘方要把分子、分母分别乘方。

教学方法：用类比“分数”的乘除混合运算的方法，对 “分式”的乘除混合运算进行计算。

引入：快算1、=÷⨯
2334211、 =⨯+4
1163432、 例1、(1) )2()64(23232b x b a xy y x ab -÷-• (2) x x x x x x x --+⋅+÷+--3)2)(3()3(444622 注意：分式乘除法的混合运算. 分式乘除法的混合运算先统一成为乘法运算，再把分子、分母中能因式分解的多项式分解因式，最后进行约分，最后的计算结果要化为最简的分式. 快算2、（1）2)(b
a =⋅
b a b a =（ ）(2) 3)(b a =⋅b a ⋅b a b a =（ ）（3）4)(b a =⋅b a ⋅b a b a b
a ⋅=（ ） 一般地，当n 是正整数时，n
b a )(=⋅b a ⋅⋅⋅⋅b a b a =b b b a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=n n b a ，即n b a )(=n n
b a . 分式乘方的法则：分式乘方要把分子、分母分别乘方。

例2：(1) 2
25()3x y
（2）2333()2a b c - （3）224()()()x y xy y x -⋅-÷- 注意：1、分式的乘方运算与整式的乘方一样应先判断乘方的结果的符号，再分别把分子、分母乘方.
2、分式的乘除与乘方的混合运算，运算顺序是先做乘方，再做乘除.
说明：1、书P10本节的引入还是用问题1求容积的高，问题2求大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的多少倍，这两个引例所得到的容积的高是n
m ab v ⋅，大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的⎪⎭
⎫ ⎝⎛÷n b m a 倍.引出了分式的乘除法的实际存在的意义，但分析题意、列式子时，不要耽误太多时间.
2、教材P13例4只把运算统一乘法，而没有把25x 2-9分解因式,就得出了最后的结果，教
师在讲解时不要跳步太快，以免学习有困难的学生理解不了，造成新的疑点.且例4中没有涉及到符号问题，可运算符号问题、变号法则是学生学习中重点，也是难点，故补充上面的例题，突破符号问题.
3、分式的乘除与乘方的混合运算是学生学习中重点，也是难点，故补充例题习题，强调运算顺序，不要盲目地跳步计算，提高正确率，突破这个难点.
第七课时 16．2．2分式的加减（二）
教学目的：掌握分式混合运算顺序，并进行灵活运用。

教学方法：用类比“分数”的混合运算的顺序，掌握“分式”的混合运算顺序。

引入：快算 =-÷⨯+2)3
2(2334212 = 混合运算顺序：先算乘方，再算剩除，再后算加减；同一级运算按从左到右的顺序进行，有括号要按先算小括号，再算中括号，最后算大括号的顺序.
在运算过程中，能约分的尽量约分，最后结果应是最简分式或整式。

（分子或分母的系数是负数时，要把“-”号提到分式本身的前面。

）
例1：计算2
42
4422x y x y x x y x y x y x y
⋅-÷-+-+. 例2、化简：35(2)482y y y y -÷+--- n 个 n 个
说明：书P17例8是分式的混合运算. 分式的混合运算需要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减；最后结果分子、分母要进行约分，注意最后的结果必须是最简分式或整式.例8只有一道题，训练的力度不够，所以应补充一些练习题，使学生熟练掌握分式的混合运算.
第八课时 16．2．3整数指数幂
教学目的：1、正确理解指数幂由正整数扩展到整数。

2、正确理解指数幂的运算性质由正整数扩展到整数3、灵活运用整数数指数幂的运算性质进行运。

4、掌握用科学记数法表示小于1的正数。

一般写成10n a ⨯的形式，其中a 是整数数位只有一位的数，即1≤a ＜10,n 为整数。

教学方法：用类比正整数指数幂的的运算性质，理解负整数指数幂和0数指数幂也具有同样的运算性质。

即整数指数幂的运算性质与正整数指数幂的的运算性质一样。

负整数指数幂的运算性质：当n 是正整数时，n a -=n a 1（a ≠0）， 即n a -（a ≠0）是n a 1
的
倒数；n a -属于分数。

整数数指数幂的运算性质：（1）0指数幂，当a ≠0时，0a =______;
（2）负整数指数幂，当n 是正整数时，____(0)n a
a -=≠，即(0)n n a a a -≠是的_____ （3）整数指数幂的运算性质：_________m n a a ⋅=(m,n 是整数)
()_________m n a =(m,n 是整数)；()________n ab =(n 是整数)
（n m n m a a a a -⋅=÷与等式n n n b a b
a -=)(成立） 注意：负数的引入可以使减法转化为加法，即)(
b a b a -+=- 负数的引入可以使除法转化为乘法，即1-⋅=b a b
a （商转化为积） 例1、（1）(x 3y -2)2 （2）x 2y -2 ·(x -2y)
3 说明：书P20例9计算是应用推广后的整数指数幂的运算性质，教师不要因为这部分知识已经讲过，就认为学生已经掌握，要注意学生计算时的问题，及时矫正，以达到学生掌握整数指数幂的运算的教学目的.
第九课时 初二下学期数学分式混合运算测验（16.1－16.2）（略）（后附）
第十课时 16．3分式方程(一)
教学目的：1、了解分式方程的概念
2、会解可化为一元一次方程的分式方程，并会验根，了解验根的必要性；
教学方法：用转化的思想，把分式方程转化为一元一次方程。

引入 ： 2
31312-+=-x x 复习解一元一次方程的步骤：（1）去分母，（2）去括号，（3）移项，（4）合并同类项，
（5）系数化为1.（即最后化为a x =的形式）
分式方程的概念：分母中含有字母的方程叫做分式方程。

解分式方程的基本思路：将分式方程转化为整式方程。

关键是：去分母。

解分式方程的一般步骤：
① 去分母：方程两边同乘以各分母的最小公倍数，化为整式方程。

（不要漏乘单独一个
数或字母）
② 解这个整式方程,求出整式方程的解。

③ 检验：将求得的整式方程的解代入最最简公分母中，
若最简公分母≠0，则整式方程的解是原分式方程的解，
若最简公分母=0，则原方程无解，整式方程的解是原分式方程增根。

议一议：增根产生的原因？什么是增根：增根是分式方程转化为整式方程产生的根。

例1：解方程x
x 332=-
解：方程两边同乘x(x-3),
得___________
解得 x=____
检验：∵当x=____时，x(x-3)≠0, ∴x=_____是原方程的解。

例2：解方程()()21311
+-=--x x x x 解：方程两边同乘 ,
得__________
解得 x=____
检验：∵当x=____时， = 0, ∴原分式方程无解，x=_____是原分式方程的增根。

注意：①若分母为多项式，先因式分解后确定最简公分母。

②去分母时，不要漏乘不含分母的项。

③解分式方程一定要检验。

说明：解可化为一元一次方程的分式方程，也是以一元一次方程的解法为基础，只是需把分式方程化成整式方程，所以教学时应注意重视新旧知识的联系与区别，注重渗透转化的数学思想，同时要适当复习一元一次方程的解法。

至于解分式方程时产生增根的原因只让学生了解就可以了，重要的是应让学生掌握验根的方法.
第十一课时 16．3分式方程(二)
教学目的：1、会利用分式方程解决简单的实际问题。

2、理解进行两方面的检验：①检验所求得的未知数的取值是否为所列方程的解；
②检验方程的解是否符合题意。

教学方法：用类比的方法，解分式方程应用题类比为一元一次方程的应用题。

引入：复习列整式方程解应用题的一般步骤；常见的等量关系。

会利用分式方程解决简单的实际问题
例1：一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时，它沿江以最大航速顺流航行100千米所用时间，与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等，江水的流速为多少？
问题1：怎样设？
问题2：已知哪几个量？
=静v 千米/时，=顺v 静v +=水v 千米/时，=顺S 千米;
=逆v 静v -=水v 千米/时，=逆S 千米;
问题3：等量关系是什么？
∴ 逆
逆顺顺v S v S = 即 。

解：依题意，设 ， 列方程： 解得 =水v
检验：
答:
例2：甲、乙两地相距19千米，某人从甲地去乙地，先步行7千米，然后改骑自行车，共用了2小时到达乙地，已知这个人骑自行车的速度是步行速度的4倍，求步行的速度和骑自行车的速度。

问题1：怎样设？设 ，则骑自行车的速度是 千米/时。

问题2：已知哪几个量？
=步S 千米; =骑S = 千米 =总t 小时
问题3：：等量关系是什么？
∴ 2=+骑
骑步步v S v S 即 。

说明：1、本节的P29例3不同于旧教材的应用题有两点：（1）是一道工程问题应用题，它的问题是甲乙两个施工队哪一个队的施工速度快？这与过去直接问甲队单独干多少天完成或乙队单独干多少天完成有所不同，需要学生根据题意，寻找未知数，然后根据题意找出问题中的等量关系列方程.求得方程的解除了要检验外，还要比较甲乙两个施工队哪一个队的施工速度快，才能完成解题的全过程（2）教材的分析是填空的形式，为学生分析题意、设未知数搭好了平台，有助于学生找出题目中等量关系，列出方程.
2、P30例4是一道行程问题的应用题也与旧教材的这类题有所不同（1）本题中涉及到的列车平均提速v 千米/时，提速前行驶的路程为s 千米， 用字母表示已知数（量）在过去的例题里并不多见，题目的难度也增加了；（2）例题中的分析用填空的形式提示学生用已知量v 、s 和未知数x ，表示提速前列车行驶s 千米所用的时间，提速后列车的平均速度设为未知数x 千米/时，以及提速后列车行驶（x+50）千米所用的时间.
第十二课时 16．3分式方程(二)（习题课略）
八、本章知识中学生易错点的分析
1、概念不清：如对代数式x y x x 33315、π等哪个是分式弄不明白，错误地认为π
315x 是分式，xy x y x 333=是整式。

事实上，π是一个常数，π
315x 是整式，x y x 33是利用分式的基本性质化简才得到xy 3，所以x
y x 33是分式。

2、忽视分式的值为0的条件：如求当a 为何值时，分式0)3)(2(3
的值为---a a a ，错误地认为由分子03=-a ，得3±=a ，即当3±=a 时，原分式的值为0.而事实上，当3=a 时，分母的值为0，原分式没有意义。

判定一个分式的值等于0，应同时满足分子的值等于0，分母的值不等于0两个条件。

本题正确的解应该是当3-=a 时分式的值为0.
3、运算顺序的错误：如m m n
n m =÷=⨯÷11，这里为急于约分，违背了运算顺序。

又如乘方时出现形如22
2222)()(b
c a b c a b a b a +=+=、等错误，通分或约分忽视分数线的括号作用，去括号时忽视括号前面的“-”号，如：
y x y x x 8164222---=()()()()()()()()y
x y x y x y x y x y x y x x y x y x y x y x y x x 818888882888882-=-++=-++-=-++--+ 而正确答案是()()()()()()()y
x y x y x y x y x y x y x x y x y x y x x 8188888828882+=-+-=-+--=-++-。

4、对于0a 常常会忽视0≠a ；在进行n a
-变换时易把负号写到分式的前面去；在n -10中会把负号漏写，变成n 10的错误结果，对n 的确定忽略小数点前面的那个0.
5、分式计算题的四种典型错误：初学分式运算与分式方程，学生总是感觉十分复杂，解题困难．有时受旧知识的影响，有时是概念理解不彻底，使分式计算走上各种歧途．下面将分式计
算题四种典型错误分析如下：
（一） 错路：新旧内容混淆，误去分母．
例1、计算 41-x -4
1+x 错解：原式=)())((4441+-+•x x x -)())((4441-+-•x x x =)(4+x -)(4-x =x+4-x+4 =8
分析：由于受方程中去分母的影响，导致分式计算中随意去分母．一定注意：解方程去分母时，两边同时乘以最简公分母可以去分母，而在分式加减计算中通分后不能直接去掉分母． 所以正确的解法：原式=)())((4441+-+•x x x -)())((4441-+-•x x x =))(())((4444-+--+x x x x =))((448-+x x =16
82-x （二）弯路：对概念理解模糊，弄简为繁．
例2：计算 --11x 112-x 错解：原式=))((11122---x x x -))((1112---x x x =))(())((111122-----x x x x =))((111122--+--x x x x =))((1122---x x x x =)())((1112---x x x x =12
-x x 分析：有些异分母分式通分时，最简公分母正好是所有分母的乘积．例如11-x +x +11，ab c -cd a 等．有些同学把它当成现成的模式，走上弯路．确定最简公分母应先把分母分解因式，然后根据分母确定．所以例2中最简公分母为（x+1）(x-1)．
（三）短路：方程两边乘最简公分母时，丢项．
例3、解分式方程43--x x +x -41=1 错解：43--x x +x -41=1 整理，得 43--x x -4
1-x =1 去分母，得3-x-1=1 解得x=1
经检验：x=1不是原方程的解．
分析：按正常思路解答，x=1应是原方程的解，经检验，为什么不是呢？简直像电路中出现了短路．原因是：去分母时，方程左右两边应同时乘以最简公分母，而有些学生只考虑有分母的项乘以最简公分母，而漏了整式项．正确的方法两边各项应包括“1”这个常数项，都乘以最简公分母而去分母．
（四）半路：解题过程中出现化简不彻底，而导致结果错误．
例4： 计算：--422x x 21-x 错解：原式=))((--+222x x x )())((2221+-+•x x x = )())((2222-++-x x x x
= ))((222-+-x x x =4
22--x x 分析：计算到))((222-+-x x x 时，应先考虑约分 。

所以，原式=2
1+x
6、解分式方程时，除了会出现与解一元一次方程的类似错误外，不验根也是同学们经常出现的错误之一。

列方程解应用题时，不注意单位要统一，数量关系要同一数量才能列等式等等错误。

九、中考链接：
1、（2009丽水市）当x 时，分式x
1没有意义． 2、(2009年安顺)已知分式11
x x +-的值为0，那么x 的值为______________。

3、（2009年天津市）若分式22221
x x x x --++的值为0，则x 的值等于 ． 4、(2009年义乌)化简22a a a
+的结果是样 5、（2009年深圳市）化简6
2962-+-x x x 的结果是（ ） A ．23+x B ．292+x C ．2
92-x D ．23-x 6、（2009年舟山）化简：2111
x x x x -+=++ ． 7、（2009临沂）化简22
422b a a b b a
+--的结果是（ ） A ．2a b -- B ．2b a - C ．2a b - D ．2b a +
8、（09湖南怀化）分式方程
21
31=-x 的解是（ ） A ．21=x B ．2=x C ．31-=x D ． 3
1=x 9、解下列方程：（1）（2009年广东省）22111
x x =--- （2）（2009年深圳市）3131=---x x x （3）（2009年济宁市）解方程：x x x -=+--23123. 10、解下列分式应用题
（2009年广西梧州）由甲、乙两个工程队承包某校校园绿化工程，甲、乙两队单独完成这项工程所需时间比是3︰2，两队合做6天可以完成．
①求两队单独完成此项工程各需多少天?
②此项工程由甲、乙两队合做6天完成任务后，学校付给他们20000元报酬，若 按各自完成的工程量分配这笔钱，问甲、乙两队各得到多少元?
附一：第九课时 初二下学期数学分式混合运算测验卷（§16.1－§16.2）（时间：45分钟 满分：100分）
一、选择题（本大题10个小题，每小题3分，共30分）
1、代数式的家中来了几位客人：x
2、5y x + 、a -21 、1-πx 、21
x x +，其中属于分式家族成员的有（ ）。

A 、1个
B 、 2个
C 、 3个
D 、4个
2、若分式3
1-x 有意义，则x 的取值范围是（ ）。