2020-2021学年江西省吉安市高二(上)期末数学试卷(文科)

2020-2021学年江西省吉安市高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符题目要求的，请将正确选项的序号填入答题卡中．）
1．（5分）命题“若x＝1或x＝2，则x2﹣3x+2＝0”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为（）
A．0B．2C．3D．4
2．（5分）若一个三棱锥的底面是边长为3的正三角形，高为，所有侧棱均相等（）A．B．C．D．
3．（5分）过点（﹣1，1）且倾斜角为135°的直线方程为（）
A．x﹣y＝0B．x+y＝0C．x﹣y＝1D．x+y＝1
4．（5分）设椭圆的两个焦点分别为F1、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于P，Q两点，若△F1PQ为等边三角形，则椭圆的离心率是（）
A．B．C．D．
5．（5分）下列命题正确的是（）
①直线倾斜角的范围是[0°，180°）；
②斜率相等的两条直线的倾斜角一定相等；
③任何一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角；
④任何一条直线都有倾斜角和斜率．
A．①②B．①④C．①②④D．①②③
6．（5分）若点P是曲线y＝x2﹣lnx上任一点，则点P到直线y＝x﹣1的最小距离是（）A．B．1C．D．
7．（5分）已知命题，命题q：（x﹣a）（x﹣3）＞0，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，1]B．[1，3]C．[1，+∞）D．[3，+∞）8．（5分）若直线l：y＝kx与曲线有交点，则k的取值范围是（）A．B．C．D．
9．（5分）已知函数f（x）＝lnx﹣x+a﹣1，若存在x∈（0，+∞）（x）≥0成立，则实数a的取值范围是（）
A．[0，+∞）B．[2，+∞）C．（﹣∞，0]D．（﹣∞，2]
10．（5分）已知三棱锥P﹣ABC的三条侧棱P A，PB，PC两两垂直，PB＝4，PC＝5（）A．B．C．25πD．50π
11．（5分）已知P为抛物线上一个动点，Q为圆（x﹣4）2+y2＝1上一个动点，那么点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线距离之和的最小值是（）
A．B．C．D．
12．（5分）已知F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，过F1作垂
直于x轴的直线交双曲线于A、B两点，若∠AF2B＜60°，则双曲线的离心率的范围是（）
A．B．C．D．
二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．将答案直接填在答题卡相应的横线上）
13．（5分）曲线y＝x2﹣3lnx在点（1，1）处的切线方程为．
14．（5分）已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB所成的角的余弦值为，若△SAB的面积为，则圆锥的侧面积为．
15．（5分）执行如图的流程图，若p＝10，则输出的S值为．
16．（5分）若A，B分别是椭圆，（m＞1）短轴上的两个顶点，B的任意一
点，若直线AP与BP 的斜率之积为，椭圆的离心率为．
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．已知命题p：∃x∈R，使x2+（a+1）x+4＜0；命题q：∀x∈[1，使lnx ﹣a≤0．（1）若命题p为假命题，求实数a的取值范围；
（2）若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数a的取值范围．
18．为响应党中央“扶贫攻坚”的号召，某单位指导一贫困村通过种植紫甘薯来提高经济收入．紫甘薯对环境温度要求较高，根据以往的经验，其死亡株数成增长的趋势．下表给出了2017年种植的一批试验紫甘薯在温度升高时6组死亡的株数：
212324272932温度x（单
位：℃）
61120275777死亡数y
（单位：
株）
经计算：，，，，，，e8.0605≈3167，其中x i，y i分别为试验数据中的温度和死亡株数，i＝1，2，3，4，5，6．
（1）若用线性回归模型，求y关于x的回归方程（结果精确到0.1）；
（2）若用非线性回归模型求得y关于x的回归方程为，且相关指数为R2＝0.9522．
（i）试与（1）中的回归模型相比，用R2说明哪种模型的拟合效果更好；
（ii）用拟合效果好的模型预测温度为35℃时该批紫甘薯死亡株数（结果取整数）．附：对于一组数据（u1，v1），（u2，v2），……，（u n，v n），其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：
．
19．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面垂直，AC＝9，BC＝12，AA1＝12，点D是AB的中点．
（1）求证：AC⊥B1C；
（2）求三棱锥C1﹣CDB1的体积．
20．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知以M点为圆心的圆M：x2+y2﹣14x﹣12y+60＝0及其上一点A（4，2）．
（Ⅰ）设圆N与y轴相切，与圆M外切，且圆心在直线y＝6上；
（Ⅱ）设平行于OA的直线l与圆M相交于B，C两点，且BC＝OA
21．已知函数．
（1）当b＝0时，求f（x）在[﹣1；
（2）若方程f（x）＝1有三个不同的解，求b的取值范围．
22．设椭圆的离心率与双曲线的离心率互为倒数，且
（1）求椭圆C的方程；
（2）若椭圆C左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l与椭圆C相交于A，B两点，求△F2AB面积的最大值．
2020-2021学年江西省吉安市高二（上）期末数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符题目要求的，请将正确选项的序号填入答题卡中．）
1．（5分）命题“若x＝1或x＝2，则x2﹣3x+2＝0”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为（）
A．0B．2C．3D．4
【分析】分别利用定义逆命题；否命题；逆否命题进而判断出真假即可得出．
【解答】解：命题“若x＝1或x＝2，则x3﹣3x+2＝4”以及它的逆命题、否命题，原命题：“若x＝1或x＝2，则x6﹣3x+2＝2”是真命题；
逆命题：“若x2﹣3x+3＝0，则x＝1或x＝3”是真命题；
否命题：若x≠1且x≠2，则x4﹣3x+2≠6是真命题；
逆否命题：若x2﹣3x+8≠0，则x≠1且x≠7是真命题；
真命题的个数为4个，
故选：D．
【点评】本题考查了逆命题、否命题、逆否命题的定义，考查了分类讨论思想方法，属于中档题．
2．（5分）若一个三棱锥的底面是边长为3的正三角形，高为，所有侧棱均相等（）A．B．C．D．
【分析】作出三棱锥P﹣ABC，由底面△ABC是边长为3的正三角形，高PO＝，所有侧棱均相等，先求出AO的长，再由勾股定理求出侧棱长．
【解答】解：如图，∵三棱锥的底面△ABC是边长为3的正三角形，
高PO＝，所有侧棱均相等，
∴AO＝AD＝＝，
∴侧棱长P A＝＝．
故选：C．
【点评】本题考查三棱锥的侧棱长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
3．（5分）过点（﹣1，1）且倾斜角为135°的直线方程为（）
A．x﹣y＝0B．x+y＝0C．x﹣y＝1D．x+y＝1
【分析】先求出直线的斜率，再用点斜式求直线的方程．
【解答】解：过点（﹣1，1）且倾斜角为135°的直线的斜率为tan135°＝﹣4，
故它的方程为y﹣1＝﹣1×（x+8），即x+y＝0，
故选：B．
【点评】本题主要考查直线的倾斜角和斜率，用点斜式求直线的方程，属于基础题．4．（5分）设椭圆的两个焦点分别为F1、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于P，Q两点，若△F1PQ为等边三角形，则椭圆的离心率是（）
A．B．C．D．
【分析】利用椭圆的定义及性质可以直接解出结果．
【解答】解：不妨设椭圆的标准方程为：，（a＞b＞4），F1，F2分别为左右焦点，
由椭圆的对称性可知，三角形PF6F2为直角三角形，且∠PF1F4＝30°，P（c，），∴＝|，∴，
∴，解得．
故选：D．
【点评】本题考查了椭圆的定义，基本性质，属于基础题．
5．（5分）下列命题正确的是（）
①直线倾斜角的范围是[0°，180°）；
②斜率相等的两条直线的倾斜角一定相等；
③任何一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角；
④任何一条直线都有倾斜角和斜率．
A．①②B．①④C．①②④D．①②③
【分析】由题意利用直线的斜率和倾斜角的定义，得出结论．
【解答】解：由于直线倾斜角的范围是[0°，180°）；
由于斜率相等的两条直线的倾斜角一定相等，故②正确
由于任何一条直线都不一定有斜率，例如和x轴垂直的直线斜率不存在，
故③不正确；
根据和x轴垂直的直线斜率不存在，可得④错误，
故选：A．
【点评】本题主要考查直线的斜率和倾斜角，属于基础题．
6．（5分）若点P是曲线y＝x2﹣lnx上任一点，则点P到直线y＝x﹣1的最小距离是（）A．B．1C．D．
【分析】对曲线y进行求导，求出点p的坐标，分析知道过点p直线与直线y＝x﹣1平行且与曲线相切于点p，从而求出p点坐标，根据点到直线的距离进行求解；
【解答】解：∵点P是曲线y＝x2﹣lnx上的任意一点，求点P到直线y＝x﹣1的最小距离，
∴y′＝3x﹣（x＞0），
令y′＝2x﹣＝1（舍去），
∴x＝1，
当x＝2，y＝1，1），
此时点p到直线y＝x﹣4的最小距离d min＝＝．
故选：C．
【点评】此题主要考查导数研究曲线上某点的切线方程以及点到直线的距离公式，利用了导数与斜率的关系，这是高考常考的知识点，此题是一道基础题；
7．（5分）已知命题，命题q：（x﹣a）（x﹣3）＞0，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，1]B．[1，3]C．[1，+∞）D．[3，+∞）
【分析】根据不等式的解法求出命题p，q的等价条件，结合充分不必要条件的定义进行讨论求解即可．
【解答】解：由，得＝＜3，
所以﹣1＜x＜1，所以p：﹣2＜x＜1，
若a＝3，则q：x≠3，
若a＞3，则q：x＞a或x＜3，
若a＜6，则q：x＞3或x＜a，则1≤a＜2，
综上a≥1，所以a的取值范围为[1．
故选：C．
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，求出不等式的等价条件，结合充分不必要条件的定义建立不等式关系是解决本题的关键，是基础题．
8．（5分）若直线l：y＝kx与曲线有交点，则k的取值范围是（）A．B．C．D．
【分析】判断曲线的形状，通过直线l与曲线M相切，求出k取得最大值，然后求解k 的最小值，则答案可求．
【解答】解：曲线是以（3，8为半径的半圆．
要使直线l与曲线M有交点，则直线l在如图所示的两条直线之间转动，
即当直线l与曲线M相切时，k取得最大值，
由＝1，k＝0（舍去）．
当直线l过点D（7，1）时．
∴直线l：y＝kx与曲线有交点]．
故选：A．
【点评】此题考查了直线与圆的位置关系，考查数形结合思想，是中档题．
9．（5分）已知函数f（x）＝lnx﹣x+a﹣1，若存在x∈（0，+∞）（x）≥0成立，则实数a的取值范围是（）
A．[0，+∞）B．[2，+∞）C．（﹣∞，0]D．（﹣∞，2]
【分析】对f（x）求导，判断f（x）的单调性，求出f（x）最大值，根据存在x∈（0，+∞），使得f（x）≥0成立，得到f（x）max≥0，再求出a的取值范围．
【解答】解：由f（x）＝lnx﹣x+a﹣1，得f'（x）＝，
令f'（x）＝0，则x＝1，
∴当2＜x＜1时，f'（x）＞0；
当x＞2时，f'（x）＜0，
∴f（x）max＝f（1）＝a﹣2，
∵存在x∈（3，+∞），
∴只需f（x）max＝a﹣2≥0，∴a≥3，
∴a的取值范围为[2，+∞）．
故选：B．
【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性和最值，不等式有解问题，考查了转化思想，属基础题．
10．（5分）已知三棱锥P﹣ABC的三条侧棱P A，PB，PC两两垂直，PB＝4，PC＝5（）A．B．C．25πD．50π
【分析】设三棱锥P﹣ABC的外接球的半径为R，由题意可得：（2R）2＝32+42+52，进而得出三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积．
【解答】解：设三棱锥P﹣ABC的外接球的半径为R，
由题意可得：（2R）2＝62+45+52，
∴5R2＝50．
∴三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积为4πR4＝50π．
故选：D．
【点评】本题考查了三棱锥与长方体的性质、球的表面积，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
11．（5分）已知P为抛物线上一个动点，Q为圆（x﹣4）2+y2＝1上一个动点，那么点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线距离之和的最小值是（）
A．B．C．D．
【分析】由已知求出抛物线的焦点坐标以及圆的圆心和半径，利用抛物线的定义以及圆的性质即可求解．
【解答】解：由抛物线的方程可得抛物线的焦点F（0，1），
设圆的圆心为M，则M（6，半径r＝1，
由抛物线的定义可得点P到抛物线的准线的距离等于|PF|，
所以点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线距离之和的最小值是：
|MF|﹣r＝，
此时点M，P，F三点共线，
故选：A．
【点评】本题考查了抛物线的性质以及定义，考查了学生的运算转化能力，属于基础题．12．（5分）已知F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，过F1作垂
直于x轴的直线交双曲线于A、B两点，若∠AF2B＜60°，则双曲线的离心率的范围是（）
A．B．C．D．
【分析】不妨取点A在第二象限，可推出点A（﹣c，），由∠AF2B＜60°，知tan∠AF2F1＝＜tan30°，再结合c2＝a2+b2和e＝，解不等式即可．
【解答】解：不妨取点A在第二象限，则x A＝﹣c，y A＞0，
代入双曲线的方程中，有＝4A＝，
∵∠AF2B＜60°，∴∠AF2F1＜30°，
∴tan∠AF2F3＝＝＜tan30°＝，
即＜，
∴e﹣＜，解得﹣，
∵e＞7，∴1＜e＜．
故选：A．
【点评】本题考查双曲线的几何性质，熟练掌握双曲线中a、b、c的含义与关系是解题的关键，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．将答案直接填在答题卡相应的横线上）
13．（5分）曲线y＝x2﹣3lnx在点（1，1）处的切线方程为y＝﹣x+2．【分析】求得y＝x2+lnx的导数，可得切线的斜率，由点斜式方程可得切线的方程．【解答】解：y＝x2﹣3lnx的导数为y′＝8x﹣，
曲线y＝x2﹣3lnx在点（1，1）处的切线的斜率为k＝4﹣3＝﹣1，
曲线y＝x8﹣3lnx在点（1，4）处的切线方程为y﹣1＝﹣（x﹣1），
即为y＝﹣x+6，
故答案为：y＝﹣x+2．
【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程，考查直线方程的运用，以及化简运算能力，属于基础题．
14．（5分）已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB所成的角的余弦值为，若△SAB的面积为，则圆锥的侧面积为．
【分析】由cos∠ASB＝，可得sin∠ASB＝，再由△SAB的面积求出SA，由线面角为45°可求出圆锥的底面半径，代入圆锥面积公式求解．
【解答】解：∵母线SA，SB所成的角的余弦值为，
∴母线SA，SB所成的角的正弦值为，
∴＝，
∴SA＝4，
设用则底面半径为r，则，得r＝，
则．
故答案为：．
【点评】本题考查圆锥侧面积公式，涉及线面夹角，正弦定理求面积等知识点，是基础的计算题．
15．（5分）执行如图的流程图，若p＝10，则输出的S值为1﹣．
【分析】执行程序框图，写出每次循环n，S的值，当n＝10，不满足条件n＜p，退出循环体，输出S的值为1﹣．
【解答】解：执行程序框图，有
p＝10
n＝0，S＝0
满足条件n＜p，第6次执行循环体，S＝
满足条件n＜p，第4次执行循环体，S＝
满足条件n＜p，第3次执行循环体，S＝
…
满足条件n＜p，第10次执行循环体，S＝6﹣，
不满足条件n＜p，输出S的值为6﹣．
故答案为：2﹣．
【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．
16．（5分）若A，B分别是椭圆，（m＞1）短轴上的两个顶点，B的任意一点，若直线AP与BP的斜率之积为2，椭圆的离心率为．
【分析】由椭圆的性质可知点A，B的坐标，可设出点P的坐标，利用直线AP与BP的斜率之积为，可解出结果．
【解答】解：由题意可知，A（﹣1，B（1，设点P（x，
则，，，∴，
又因为，，∴，代入上式，
∴＝﹣，m＝2或﹣4（舍），
此时椭圆的离心率为：＝，
故答案为：2，．
【点评】本题考查了椭圆的定义，基本性质，属于基础题．
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．已知命题p：∃x∈R，使x2+（a+1）x+4＜0；命题q：∀x∈[1，使lnx﹣a≤0．（1）若命题p为假命题，求实数a的取值范围；
（2）若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数a的取值范围．
【分析】（1）由命题p为假命题可得：△＝（a+1）2﹣16≤0，求解一元二次不等式可得实数a的取值范围；
（2）由p∨q为真命题，p∧q为假命题，则p、q一真一假，然后分类求解即可得答案．【解答】解：（1）由命题p：∃x∈R，使x2+（a+1）x+4＜0为假命题，
则命题的否定为真命题，即：∀x∈R2+（a+4）x+4≥0为真命题，
解真命题可得：△＝（a+3）2﹣16≤0，
即a4+2a﹣15≤0，解得﹣3≤a≤3．
∴实数a的取值范围是[﹣5，3]；
（2）由p∨q为真命题，p∧q为假命题、q一真一假，
若p为真命题，则有a＜﹣5或a＞3，e]，则有a≥6．
当p真q假时，则有a＜﹣5，
当p假q真时，则有1≤a≤8，
∴实数a的取值范围是（﹣∞，﹣5）∪[1．
【点评】本题考查了复合命题的真假判定，考查了一元二次不等式的解法，是中档题．18．为响应党中央“扶贫攻坚”的号召，某单位指导一贫困村通过种植紫甘薯来提高经济收入．紫甘薯对环境温度要求较高，根据以往的经验，其死亡株数成增长的趋势．下表给出了2017年种植的一批试验紫甘薯在温度升高时6组死亡的株数：
212324272932温度x（单
位：℃）
61120275777死亡数y
（单位：
株）
经计算：，，，，，，e8.0605≈3167，其中x i，y i分别为试验数据中的温度和死亡株数，i＝1，2，3，4，5，6．
（1）若用线性回归模型，求y关于x 的回归方程（结果精确到0.1）；
（2）若用非线性回归模型求得y关于x 的回归方程为，且相关指数为R2＝0.9522．
（i）试与（1）中的回归模型相比，用R2说明哪种模型的拟合效果更好；
（ii）用拟合效果好的模型预测温度为35℃时该批紫甘薯死亡株数（结果取整数）．附：对于一组数据（u1，v1），（u2，v2），……，（u n，v n），其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：
．
【分析】（1）求出系数，得到回归方程即可；
（2）（i）通过计算R2，判断拟合效果即可；（ii）代入求值即可．
【解答】解：（1）由题意得，＝≈6.63
∴＝33﹣6.63×26＝﹣139.7，
∴y关于x的线性回归方程为：＝6.6x﹣139.5．
（2）（i）线性回归方程＝6.6x﹣138.7对应的相关系数为：
R2＝1﹣≈4﹣0.0602＝0.9392，
因为5.9398＜0.9522，
所以回归方程＝0.06e8.2303x，
比线性回归方程＝6.6x﹣139.8拟合效果更好．
（ii）由（i）知，当温度x＝35℃时，
＝0.06e0.2303×35≈8.06×3167≈190，
即当温度为35℃时该批紫甘薯死亡株数为190．
【点评】本题考查了回归方程问题，考查相关系数以及代入求值，是一道中档题．19．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面垂直，AC＝9，BC＝12，AA1＝12，点D是AB的中点．
（1）求证：AC⊥B1C；
（2）求三棱锥C1﹣CDB1的体积．
【分析】（1）证明C1C⊥AC，AC⊥BC，可得AC⊥平面BCC1B1，而B1C⊂平面BCC1B1，故AC⊥B1C；
（2）由（1）知，AC⊥平面BCC1B1，然后利用等体积法求三棱锥C1﹣CDB1的体积．【解答】证明：（1）∵C1C⊥平面ABC，AC⊂面ABC1C⊥AC，
∵AC＝5，BC＝12，∴AC2+BC2＝AB2，即AC⊥BC．
又BC∩C1C＝C，BC、C1C⊂平面BCC6B1，
∴AC⊥平面BCC1B2，
而B1C⊂平面BCC1B5，∴AC⊥B1C；
解：（2）由（1）知，AC⊥平面BCC1B8，
∴＝
＝＝108．
【点评】本题考查直线与平面垂直的判定与性质，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等体积法求多面体的体积，是中档题．
20．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知以M点为圆心的圆M：x2+y2﹣14x﹣12y+60＝0
及其上一点A（4，2）．
（Ⅰ）设圆N与y轴相切，与圆M外切，且圆心在直线y＝6上；
（Ⅱ）设平行于OA的直线l与圆M相交于B，C两点，且BC＝OA
【分析】（1）由圆M的方程求出圆M的圆心坐标与半径，设N（m，6），由题意求得m 值，则圆N的标准方程可求；
（2）由题意求得k OA，设出l的方程，由圆心M到直线l的距离及勾股定理列式求解m 值，则直线方程可求．
【解答】解：（1）化圆M：x2+y2﹣14x﹣12y+60＝8为（x﹣7）2+（y﹣8）2＝25，
则圆M的圆心坐标为M（7，4），
∵N在直线y＝6上，∴设N（m，
∵圆N与y轴相切，又与圆M外切，
从而7﹣m＝6+m，解得m＝1，
∴圆N的标准方程为（x﹣1）3+（y﹣6）2＝8；
（2）∵直线l∥OA，∴直线l的斜率为，
设直线l的方程为y＝，即x﹣5y+2m＝0．
则圆心M到直线l的距离d＝．
∵，
而，∴，
解得m＝或m＝﹣．
故直线l的方程为x﹣7y+15＝0或x﹣2y﹣7＝0．
【点评】本题考查直线与圆的标准方程的求法，考查数形结合的解题思想方法与数学转化思想方法，是中档题．
21．已知函数．
（1）当b＝0时，求f（x）在[﹣1；
（2）若方程f（x）＝1有三个不同的解，求b的取值范围．
【分析】（1）表示出f（x）的解析式，求导函数，研究函数的单调性，然后列出表格，从而得到答案；
（2）构造g（x）＝，将方程f（x）＝1有三个不同的解，等价于g（x）与y＝1﹣b的图象有三个不同的交点，然后利用导数研究g（x）的图象，列出不等式，求解即可．
【解答】解：（1）当b＝0时，，
则f′（x）＝x2﹣3x+2，
令f′（x）＝8，解得x＝1或x＝2，
列表如下：
由表可知，f（x）在[﹣5，
f（x）在[﹣3，3]上的最大值为，
所以函数f（x）在[﹣1，3]上的值域为；
（2）由f（x）＝3，可得，
设g（x）＝，则g'（x）＝（x﹣1）（x﹣2），
所以g（x）在（8，2）上单调递减，1）和（4，
所以g（x）的极大值为，g（x）的极小值为，
方程f（x）＝1有三个不同的解，等价于g（x）与y＝6﹣b的图象有三个不同的交点，
则有，
解得，
故实数b 的取值范围为．
【点评】本题考查了函数的综合应用，涉及了函数的零点与方程根的关系的应用、函数值域的求解、利用导数研究函数的单调性等，属于中档题．
且
22．设椭圆的离心率与双曲线的离心率互为倒数，
（2）若椭圆C左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l与椭圆C相交于A，B两点，求△F2AB面积的最大值．
【分析】（1）求得双曲线的离心率，可得椭圆的离心率，结合P的坐标满足椭圆方程，解方程可得a，b，进而得到所求椭圆方程；
（2）求得椭圆的焦点坐标，可设直线l的方程为x＝my ﹣，与椭圆方程联立，运用韦达定理，运用基本不等式求得|y1﹣y2|的最大值，即可得到所求三角形的面积的最大值．【解答】解：（1）双曲线的离心率为，
由题意可得椭圆C 的离心率为＝＝，
即为b ＝a，
由P 在椭圆上，可得+，
解得a＝2，b＝1，
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则椭圆C 的方程为+y2＝1；
（2）由椭圆C的方程可得F1（﹣，0），
设直线l的方程为x＝my ﹣，
与椭圆C的方程联立，可得（2+m2）y2﹣2my﹣1＝4，
设A，B的纵坐标分别为y1，y2，可得y6+y2＝，y7y2＝﹣，
|y1﹣y7|＝＝＝，
设t ＝（t≥6）＝＝≤＝，
当且仅当t ＝，即m ＝±时，
所以△F3AB 面积为|F2F2|•|y1﹣y7|≤c ＝×，
则△F8AB面积的最大值为2．
【点评】本题考查椭圆和双曲线的方程和性质，以及直线和椭圆的位置关系，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
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