河北省唐山市2020届高三摸底考试数学(理)试卷(无答案)

河北省唐山市2020届高三摸底考试数学（理）试卷
一．选择题（60分）
1.已知集合{}=|10A x x -<，{}
2|20B x x x =-<，则A B =I
A.{}|0x x <
B.{}|1x x <
C.{}|01x x <<
D.{}|12x x <<
2.已知,p q R ∈，1i +是关于x 的方程2
0x px q ++=的一个根，则p q ⋅=
A.4-
B.0
C.2
D.4
3.已知ln3a =，3log 10b =，lg3c =，则a ，b ，c 的大小关系为
A.c b a <<
B.a c b <<
C.b c a <<
D.c a b <<
4.函数()21
x f x x
-=的图象大致为
A. B.
C. D. 5.右图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由一个半圆和一个四分之一圆构成，两个阴影部分分别标记为A 和M .在此图内任取一点，此点取自A 区域的概率记为()P A ，取自M 区域的概率记为()P M ，则 A.()()P A P M > B.()()P A P M <
C.()()P A P M =
D.()P A 与()P M 的大小关系与半径长度有关
6.右图是判断输入的年份x 是否是闰年的程序框图，若先后输入1900x =，2400x =，则输出的结果分别是（注：xMODy 表示x 除以y 的余数） A.1900是闰年，2400是闰年 B.1900是闰年，2400是平年 C.1900是平年，2400是闰年
D.1900是平年，2400是平年
7.若sin 78m =o ，则sin 6=o
A.
1
2m + B.
12m
-
C.1
m +
D.
1m
- 8.已知等差数列{}n a 的公差不为零，其前n 项和为n S ，若3S ,9S ,27S 成等比数列，则
9
3
S S = A.3
B.6
C.9
D.12
9.双曲线)0(1:2
22>=-a y a
x C 的右焦点为F ，点P 为C 的一条渐近线上的点，O 为坐标
原点，若PF PO =，则OPF S ∆的最小值为
A.4
1 B.
2
1 C.1 D.2
10.在5
))((y x y x -+的展开式中，3
3
y x 的系数是
A.10
B.0
C.10
D.20
11.直线033=+-y x 经过椭圆()0122
22>>=+b a b
y a x 的左焦点F ，交椭圆于B A ,两
点，交y 轴于C 点，若2=，则该椭圆的离心率是
A.13-
B.
2
13-
C.222-
D.12-
12.设函数))(ln ()(ax x ax e x f m
x --=-，若存在实数a 使得0)(<x f 恒成立，则m 的取值
范围是
A.(]0,∞-
B.[)2,0
C.()∞+，
2
D.()2,∞-
二、填空题（共20分）
13.若y x ,满足约束条件⎪⎩
⎪
⎨⎧≤+-≤+-≥+-0220120
2y x y x y x ，则y x z -=3的最大值为______.
14.已知21,e e 是夹角为60°的两个单位向量，21212,e e b e e a -=-=，则=⋅b a _____. 15.已知函数()04sin )(>⎪⎭
⎫
⎝
⎛
+=ωπωx x f ，若)(x f 在[]π2,0上恰有3个极值点，则ω的取值范围是______.
16.在三棱锥ABC P -中，,3,90,60==︒=∠=∠︒=∠PC PB PCA PBA BAC 点P 到底面ABC 的距离为2，则三棱锥ABC P -的外接球的表面积为________.
三．（解答题，共70分）
17.（12分）ABC △的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知ABC △的面积为
A b S tan 6
1
2=.
（1）证明：A c b cos 3= （2）若,22,2tan ==a A 求S
18.（12分）某音乐院校举行“校园之星”评选活动，评委由本校全体学生组成，对B A ,两位选手，随机调查了20个学生的评分，得到下面的茎叶图：
（1）通过茎叶图比较B A ,两位选手所得分数的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，得出结论即可）；
（2）校方将会根据评分记过对参赛选手进行三向分流：
记事件:C “A 获得的分流等级高于B”，根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求事件C 发生的概率.
19.（12分）如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是矩形，侧棱⊥PD 底面ABCD ，
DC PD =，点E 是PC 的中点.
（1）求证：//PA 平面BDE ；
（2）若直线BD 与平面PBC 所成角为︒30，求二面角D PB C --的大小.
20.（12分）已知F 为抛物线y x T 4:2
=的焦点，直线2:+=kx y l 与T 相交于B A ,两点. （1）若1=k ，求FB FA +的值；
（2）点)2,3(--C ，若CFB CFA ∠=∠，求直线l 的方程.
21.（12分）
已知函数()sin f x x x =，(0,)x π∈，()f x '为()f x 的导数，且()()g x f x '=. 证明：
（1）()g x 在22,
3
π⎛⎫
⎪⎝
⎭
内有唯一零点t ； （2）()2f x <.
（参考数据：sin 20.9903≈，cos20.4161≈-，tan 2 2.1850≈-，
1.4142≈，
3.14π≈.）
（二）选考题：共10分.请考生在第（22），（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.
22.[选修44-：坐标系与参数方程]（10分）
在极坐标系中，圆:4cos C ρθ=.以极点O 为原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系
xOy ，直线l 经过点()
1,33M --且倾斜角为α.
（1）求圆C 的直角坐标方程和直线l 的参数方程；
（2）已知直线l 与圆C 交与A ，B ，满足A 为MB 的中点，求α.
23.[选修45-：不等式选讲]（10分） 设函数()211f x x x =-++. （1）画出()y f x =的图像；
（2）若()f x m x n ≤+，求m n +的最小值.。