八年级数学解答题专题训练 13含答案解析.docx

八年级数学解答题专题训练(13)
1.在Rt A AEB中，^AEB = 90°,以斜边AB为边向Rt A 4EB形外作正方形ABCD,若正方形ABCD 的对角
线交于点0(如图1).
图2
⑴求证：EO平分厶AEB；
(2)猜想线段OE与防、EA之间的数量关系为______ (直接写出结果，不要写出证明过程)；
(3)过点C作GF丄EB于F,过点D作DH丄E4于H, CF和DH的反向延长线交于点G(如图2), 求
证：四边形EFGH为正方形.
2.在边长为1的正方形网格图中，点B的坐标为(2,0),点A的坐标为(0,-3).
图2
(1)在图1中，请建立合适的坐标系，把线段AB绕原点旋转180。

得线段DE(其中A与D是对应
点)，则四边形ABDE是______ 形，面积等于______ .
(2)在图2中，仅使用无刻度的直尺，作出以AB为边的矩形ABFG,使其面积为11.(保留作图痕
迹，不写做法)
3.【问题情境】
课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
(1)如图1, RthABC^, ZC = 90°,若AC = 12, BC = 5,点M是斜边AB 1.一动点，求线段CM的最小值.
在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：
根据直线外一点和直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，得到：
当GM丄时，线段CM取得最小值.请你根据小明的思路求出这个最小值.
【思维运用】
(2)如图2,在RtAABC■中，Z_C = 90°, AC = 4,BC = 3,M为斜边AB 1.一动点，过M作MD 丄4C 于
点D,过M作ME丄BG于点E,求线段DE的最小值.
【问题拓展】
(3)如图3, AB = 6, P为线段上的一个动点，分别以AP, PB为边在的同侧作菱形APCD
和菱形点P, C, E在一条直线上./.DAP = 60°, M, N分别是对角线AC, BE的中点，当点P在线段上移动时，点M, N之间的距离的最小值为___________________________ .(直接写出结果，不需要写过程)
图3
6. 如图1,在直角坐标系中，直线y = x + m 与x 轴负半轴交于点A,与y 轴正半轴交于点且4 AOB 的面
积是&
(1) 求m 的值；
(2) 如图2,直线y = kx + 3fc(fc < 0)交直线AB 于点E,交x 轴于点C,点D 坐标是(0,-2),过 D 点作DF 丄CD 交EC 于F 点，若厶AEC = KDO,求点F 的坐标；
(3) 如图3,点P 坐标是(-1,-2),若AABO 以2个单位/秒的速度向下平移，同时点P 以1个单 位/秒的速度向左平移，平移时间是/秒，若点P 落在A/IBO 内部(不包含三角形的边)，求r 的 取值范围.
4. 如图，AABC 是等边三角形，NADC 与关于直线AC 对称， AE 与CD
垂直交BC 的延长线于点E, /.EAF = 45°,且AF 与AB 在AE 的两狈EF
丄AF.
(1) 依题意补全图形.
(2) ①在AE 上找一点P,使点P 到点B,点C 的距离和最短； ②求证：
点D 到AF, EF 的距离相等.
5.解方程：—— 12
昭_9,
7.如图1, P为Rt A ABC所在平面内任意一点(不在直线AC上)，^ACB = 90°, M为AB边中点.操作：
以PA、PC为邻边作平行四边形PADC,连结PM并延长到点E,使ME = PM,连结DE.
图2
⑴请你利用图2,选择RtAABC内的任意一点P按上述方法操作；
(2)经历(1)之后，观察两图形，猜想线段DE和线段BC之间有怎样的数量和位置关系？请选择
其中的一个图形证明你的猜想；
(3)观察两图，你还可得出和DE相关的什么结论？请说明理由.
(4)若以A为坐标原点，建立平面直角坐标系，其中A、C、D的坐标分别为(0,0), (5,3), (4,2), 能否
在平面内找到一点M,使以A、C、D、M为点构造成平行四边形，若不能，说明理由，若能，请直接写出点M的坐标.
如图1, O为坐标原点，矩形OABC的顶点4(-8,0), G(0,6),将矩形OABC绕点O按顺时针方向旋转一8.
定的角度a得到矩形OA'B'C',此时边04'、直线B'C'分别与直线BC交于点P、Q.
⑴连接AP，在旋转过程中，当"40 = "04时，求点P坐标；
(2)连接OQ,当a <90。

时，若P为线段BQ中点，求AOPQ的面积；
(3)如图2,连接AQ,以AQ为斜边向上作等腰直角A4QM,请直接写出在旋转过程中CM的最小值.
9.如图，矩形OABC的边OA, OC分别与坐标轴重合，并且点B的坐标为(8,4).将该矩形沿OB折叠，
使得点A落在点E处，OE与BC的交点为D.
(1)求证：A0BD为等腰三角形;
(2)求点E的坐标;
(3)坐标平面内是否存在一点F,使得以点B, E, F, 0为顶点的四边形是平行四边形，若存在, 请直接写
出点F的坐标；若不存在，请说明理由.
10.求值：
⑴已知乂詁尸扌，求島-島的值；
1 1
(2)已知x = , y = ^=—^,求3%2 + 4xy + 3y2的值.
11.如图，在直角坐标系中，反比例函数y = ¥经过正方形OABC的顶点B,厶MPN的顶点P为对角线
OB上的一动点，厶MPN = 90°.
(1)求点B的坐标
(2)若射线PM经过点A, PN与边OC交于点D,试判断AP4D的形状，并说明理由.
(3)当OP = 泗时，射线PM, PN分别交x轴、y轴于点E, F若。

弘呵 =?,直接写出
4»正方彩n 点E的坐标.
12.如图，四边形ABCD是正方形，AABE是等边三角形，M为对角线BD(不含B点)上任意一点, 将绕
点B逆时针旋转60。

得到BN,连接EN、AM, CM.
A. D
(1)求证：AAMBaENB；
(2)①当M点在何处时，AM + CM的值最小；
②当M点在何处时，AM+ BM + C M的值最小，并说明理由；
⑶当4M + BM + GM的最小值为VI + 1时，求正方形ABCD的边长.
13.如图，直线y = k r x + b与反比例函数y =甲(％ < 0)的图象相交于点A、点B,与x轴交于点C.
(1)若A的坐标为(-2,4).点B的横坐标为-4.试确定反比例函数的关系式；求直线解析式；求△
AOB的面积.
(2)若B为AC中点，“AOB的面积为3,伦为.
14.定义：有一组邻边相等，且它们的夹角为60。

的四边形叫做半等边四边形.
①3
(1)已知在半等边四边形ABCD 中，AB =AD, AB AD = 60°, ZBCD = 120°.
①如图①，若厶B = /D,求证：BC = CD.
②如图②，连结AC,探索线段AC, BC, CD之间的数量关系，并说明理由.
(2)如图③，己知/.MAC = 30°, AC = 10 + 10V3, D是射线AM上的一个动点，记ADG4 = a, 点B在直
线AC的下方，若四边形ABCD是半等边四边形，且CB = CD.问：当点D在15。

< a < 45°的变化过程中运动时，点B也随之运动，请直接写出点B所经过的路径长.
15.如图，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O,以AD为边向外作等边AADE,连接CE,交BD
于F.
(1)如图1,若AE = V6,求DF的长；
(2)如图2,点M为AB的延长线上一点，连接CM,连接FM且FM平分^AMC,求证：CM = y[3MF -
AM.
16. 如图1,在正方形ABCD 中，点E 是边AB 上的一个动点(点E 与点A, B 不重合)，连接CE,过 点B 作
BF 丄CE 于点G,交AD 于点F.
⑴求证：“ABFaBCE ；
(2) 如图2,连接EF 、CF,若CE = 8,求四边形BEFC 的面积；
(3) 如图3,当点E 运动到中点时，连接DG,求证：DC = DG.
17.
如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形ABC 的顶点A 在x 轴上，4B
厶BAC = 90°, 且4(2,0)、B(3,3), BC 交 y 轴于 M,
(1) 求点C 的坐标；
(2) 连接AM,求"MB 的面积；
(3) 在x 轴上有一动点P,当PB+P M 的值最小时，求此时P 的坐标.
D 图1
D
團2
18.如图，点D在线段AB上，AB = BC = CD, AE//CD.BE与CD相交于点F,
厶ABE =厶BCD.
⑴求证：BE = CD；
(2)若厶BCD = 20°,求AADE的度数.
19.如图，已知，4(0,4), 5(-3,0), C(2,0), D为B点关于AC的对称点，反比例函数y =扌的图象经过D
点.
(2)求此反比例函数的解析式；
⑶已知在y = f的图象(X > 0)±一点N, 0A上一点M,且四边形ABMN是平行四边形，请直接写出M
点的坐标.
20.如图，已知AB是G) 0的直径，PB为O 0的切线，B为切点，OP丄弦BC于点D且交O 0于点E.
⑴求证：厶OPB = "EG；
(2)若点C为半圆端的三等分点，请你判断四边形AOEC为哪种特殊四边形？并说明理由.
答案与解析
1・答案：迈OE = EB + EA
解析：(1)证明：延长E4至点F,使AF = BE,连接OF,如图1所示：
・・•四边形4BCD是正方形，
・•・乙B0A = 90°, OB = 0A,
•・•乙AEB = 90°,
・•・乙OBE + ^OAE = 360° - 90°一90° = 180°,
•・•乙04E + Z/MF = 180°,
••• Z.OBE = Z-OAE,
OB = 0A 在△OBE与ZkOAF中，hoBE = /-OAF,
BE = AF
•••△ OBE 三氐OAF (SAS),
••• OE = OF, Z-BEO = Z-AFO,
••• Z-AEO = Z-AFO,
••• Z-BEO = Z-AEO,
・•・EO平分乙4EB；
(2)解：42.OE = EB + EA,理由如下：
由(1)得：A OAF,
.・.OE = OF, Z-BOE = Z-AOF,
•••乙BOE + Z-AOE = 90°,
・•・乙AOF + 乙AOE = 90°,
・•・乙EOF = 90°,
•••A EOF是等腰直角三角形，
••・ 2OE2 = EF2,
EF = EA + AF = EA -V EB,
・・・ 2OE2 = (EB + EQ2,
••• y]2OE = EB + EAy
故答案为：y[2OE = EB + EA;
(3)证明：・・・CF丄EB, DH丄EA,
.・.z_F = A.H = Z.AEB = 90°,
•••四边形ABCD是正方形，
AB = AD, ABAD = 90°,
^LEAB + Z.DAH = 90°, Z-EAB + ^ABE = 90°, zADH + 乙D4H = 90。

，・•・乙EAB =乙HDA, /.ABE =乙DAH・
(Z.EAB =乙HDA
在"BE与△ADH 中，lAB = AD ,
^ABE=乙DAH
・•・△ ABE 三△ADH(ASTl),
/. BE = AH, AE = DH,
同理可得：LABE=^BCF, 'ADHmDCG, 4DCG三HCBF,
BE = CF, AE = BF, AH = DG, DH = CG, DG = CF, CG = BF,
••• CG + FC = BF + BE = AE + AH = DH + DG,
••• FG = EF = EH = HG,
zF = ZH = A AEB= 90°,
•••四边形EFGH为正方形.
(1)延长EA 至点F,使4F = BE,连接OF,由SAS证得△ OBE=A OMF,得出OE = OF,厶BEO = ^AFO, 由等腰三角形的性质与等量代换即可得出结论；
(2)判断出△ EOF是等腰直角三角形，根据勾股定理即可得出结论；
(3)先木艮据ASA证得△ ABE三AADH, bABE/BCF, bADlUDCG, bDCGmCBF,得出FG = EF = EH = HG,再由zF = zH = ^AEB = 90°,由此可得出结论.
本题是四边形综合题，主要考查了正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、角平分线定义等知识；熟练掌握正方形的判定和性质，作辅助线构建全等三角形是解题的关键.
2.答案:菱12
解析：解：(1)平面直角坐标系如图所示：
四边形ABDE是菱形，菱形的面积=£><4x6 = 12, 故答案为：菱，12.
(2)如图2中，矩形ABFG即为所求.
图2
K
(1) 根据，A, B 的坐标确定平面直角坐标系即可，四边形ABDE 是菱形，利用菱形的面积公式计算 即可.
(2)
通过计算可知4B = V13, BF = 由bABKf FJB 可得BJ =牛,首先确
定点作BM 丄AB,
AN 丄AB, JF 丄BM 于F 交AN 于G,矩形ABFG 即为所求.
本题考查作图-旋转变换，菱形的判定和性质，矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知 识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型.
3倍案：琴 解析：解：(1) V /.ACB = 90°, AC = 12, BC = 5, ••• AB = y/AC 2 + BC 2 = 13， - -1 -1
•■•A ABC 的面积=^BC xAC = ^AB x CM, ••• CM 的最力、值为詈；
(2) ^ACB = 90°, AC - 4, BC = 3,
••• AB = y/BC 2+AC 2 = 5，
MD 丄 AC, ME 丄 AC, 厶 DMA =厶 DNA = ^BAC = 90°,
•••四边形DMEC 是矩形，
CM = DE,
.•.当GM 丄AB 时，CM 的值最小，
此时，4 ABC 的面积=扑"加弓CMxAB,
•••当点P 在线段AB 上移动时，点M, N 之间的距离的最小值为|苗，
故答案为：|V3.
(1) 根据勾股定理求出AB,根据三角形的面积公式求出CM,根据垂线段最短得到答案；
(2) 根据勾股定理求出AB,根据矩形的性质得到GM = DE,仿照(1)的方法解答；
(3) 连接PM 、PN,根据菱形的性质、等腰三角形的性质求出AM PN = 90°,根据勾股定理列出二次 函数解析式，根据二次函数的性质解答即可.
本题考查的是菱形的性质、垂线段最短、二次函数的性质，掌握菱形的性质、三角形面积公式以及 二次函数的性质是解题的关键.
CM = BCXAC
AB 12 5
DE 的最小值为¥；
(3) 如图3,连接PM 、PN,
•••四边形APCD,四边形PBFE 是菱形，Z.DAP = 60°,
^APC = 120°,厶EPB = 60°,
•••M 、N 分别是对角线AC 、BE 的中点，
•••厶CPM = -^APC = 60°,厶EPN = &厶EPB = 30°, 2 2 ・•・乙MPN = 60° + 30° = 90°,
设P4 = 2a,贝(JPB = 6 — 2a, PM = a, PN = V3(3 — a),
・•・ MN = y/PM 2 + PN 2
=J a 2 + (3A /3 — V3a)2
團3
4
4.答案：(1)解：补全图形，如图1所示：
②证明：连接DE, DF.如图3所示:
•••△4BC, LADC是等边三角形，
・•・ AC = AD,乙ACB = Z.CAD = 60°.•・• 4E 丄CD,
••• /.CAE = -/.CAD = 30°.
2
・•・ Z.CEA =乙ACB一Z.CAE = 30°.••• Z.CAE = Z-CEA.
••• CA = CE,
・•・CD垂直平分AE.
・•• DA = DE,
••• Z.DAE = Z-DEA,
V EF丄AF, Z-EAF = 45°,
・•・ Z.FEA = 45。

・
••• Z.FEA =乙EAF.
••• FA = FE, Z.FAD =乙FED,
FA = FE
在厶FAD^\L FED中，\A FAD=乙FED,
AD = ED
/.A FAD=A FED (SAS)・
・•・乙AFD =乙EFD・
・••点D到AF, EF的距离相等.
解析：⑴依题意补全图形即可；
⑵①连接BD, P为劝与AE的交点.点P即为所求；
②证出CD垂直平分4E.得出D4 = DE.证明△ FAD^A FED (SAS).得出AAFD = Z.EFD.即可得出结论. 本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、直角三角形的性质、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质、角平分线的性质等知识；熟练掌握等边三角形的判定与性质和全等三角形的判定与性质是解题的关键.
5.答案：解：方程两边都乘(x + 3)(%-3),得
x— 3 + 2(%+ 3) = 12,
解得x = 3.
检验：当x = 3时，(x + 3)(% — 3) = 0.
故原方程无解.
解析：分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解. 此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解.解分式方程一定注意要验根.
6.答案:解：
(1)由题意可知A、B坐标分别为(-m, 0)、(0, -m),
S MOB=亍虫。

1BO = -7M2 = 8,解得m = +4,
又•••B点在y轴正半轴，即m>0,
设乙AEC =乙CDO = x。

,
贝UFCO = Z.ACE = 135°一%°,厶OCD = 90°一%°,厶DCF = 135° - x° - (90°一x°) = 45°,
•••A CDF为等腰直角三角形，
・•・ CD = DF,
•・• "CD + "DC = Z-ODC + 厶FDG = 90°,
•••厶OCD =厶FDG, 在厶CDO^ADFG^
乙OCD =乙FDG
Z.COD =厶FGD
、CD = FD
•••△ CDO 三△DFGQ4AS),
・•・ OD = FG = 2, DG = CO = 3,
••• OG = OD + DG = 5,
・・・F(—2,—5)；
(3)当P点落在40边上时，由题意得0 - 2上=一2,解得t = 1；
当尸点落在AS边上时，由题意得(―1 — t) + m — 2t = —2,由(1)可知，m = 4,解得t =
•••若点P落在AABO内部(不包含三角形的迦，贝X的取值范围为1 < t < |.
解析：⑴由直线解析式可分别用〃表示出A、B的坐标，利用“AOB的面积可得到关于，"的方程，则可求得m的值；
⑵过F作FG丄y轴于点G,可证得4CDF为等腰直角三角形，贝9可证得△ GDO三△ DFG,则可求得FG 和OG的长，可求得F点坐标；
(3)可分别求得点P落在AO边上和落在AB边上时的对应的时间，则可求得P在△内部时t的取值范围.
本题为一次函数的综合应用，涉及三角形的面积、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定等知识.在⑴中用，"表示出4A0B的面积是解题的关键，在(2)中构造三角形全等求得OG和FG 的长是解题的关键，在(3)中确定出P点的极端位置时的r的值是解题的关键.本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中.
7.答案:解：(1)如图］.
(2)DE//BG, DE = BC.如图1,连接BE.
v PM = ME, AM = MB, ,PMA = ,EMB, 在APMA和AEMB中：
PM = ME
/.PMA =厶EMB,
AM = BM
■■■h PMA=AEMBQSAS).
:.PA = BE, Z.MPA =厶MEB.
••• PAI I BE.
•••四边形PADC是平行四边形，
••• PA. 11 DC, PA = DC.
BE//DC, BE = DC.
•••四边形DEBC是平行四边形.
••• DE//BC, DE = BC.
(3)有结论DE丄MG.理由如下：
••• ZXCB = 90°, DE//BC,
:.BC 丄AC.
••• DE 丄AC.
(4)存在以点A、C、D、M为顶点的四边形是平行四边形，分三种情况考虑:
.•.点M(0+ 5-4,04-3-2),即(1,1)；
•.•点4(0,0),点G(5,3),点D(4,2), .•.点M(5 + 4 — 0,3 + 2 — 0),即(9,5)；
③如图4,以线段AD为对角线，
•••点4(0,0),点C(5,3),点0(4,2),
「•点M (4 + 0 — 5,2 + 0 — 3),即(一1, —1).
综上可知：在平面内存在点M,使以点A、C、D、M为顶点的四边形是平行四边形，点M的坐标为(1,1)或(-1,-1)或(9,5).
解析：⑴画出图形即可；
(2)证明△PM4WA EMB(S4S).可得出PA = BE, Z.MPA = Z.MEB.则P4//BE.证明四边形DEBC是平行四边形，则结论得证；
(3)证明DE丄4C即可.
(4)分别以△ 4GD的三边为平行四边形的对角线作平行四边形，根据平行四边形对角线互相平分的性质，结合点A、C、D的坐标即可得出点M的坐标，从而得出结论.
本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质和判定，坐标与图形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键.
&答案：解：⑴如图1,过点P作PE丄40于点E,
••• APA0 = Z-P0A,
:.PA = P0,
••• PE丄A0,
■ - AE = E0 = 4,
••• P(-4,6)；
(2)如图2,在Rt A OCQ禾URtAOC'Q中,
(CO = C'O
lOQ = 0Q '
Rt A OCQ三Rt A OC'Q(HL),
乙OQC =厶OQC',
又v 0P//CQ,
Z.POQ =厶OQC',
•••厶P0Q =厶PQO,
:.P0 = PQ,
••• BP = QP,
■■- BP = OP = x,
在RtAOPG 中，x2 = (8 —x)2 + 62, 解得：% =
25.
4 故S^OPQ
I X CO x PQ =
1 2 x 6 x
225 =
75 T;
易证△ EAM =AFQM,
MF = ME = BF,
设点F坐标为(m, 6), B(-8,6),
••• M(m,m + 14),
而点C(0,6),
MC2 = m2 + (m + 8)2,
=2(m + 4)2 + 32,
••• 2 > 0,
.•.当m = —4时，2(m + 4)2 + 32有最小值32,
••• CM的最小值为4匹，
•••以A0为斜边向上作等腰直角△4QM,在旋转过程中CM的最小值为4匹・
解析：此题主要考查了矩形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质、勾股定理、三角形面积求法等知识，正确得出P。

= PQ是解题关键.
⑴利用^PAO = ^POA得出PA = PO,进而得出AE = EO = 4,即可得出P点坐标；
(2)首先得出Rt △OCQ^Rt A OC，Q(HL),进而利用平行线的性质求出厶P0Q =乙PQO,即可得出BP = PO,再利用勾股定理得出P0的长，进而求出AOPQ的面积；
(3)过M作MF丄BC,ME丄交AB延长线于点E,设点F坐标为(m, 6),易得M坐标为(m,m + 14), 利用两点间的距离公式求出ML = m2 + (m + 8尸，利用二次函数性质求出CM的最小值.
9.答案：(1)证明：由翻转变换的性质可知，厶DOB = /AOB,
BC//OA,
/-CBO = /.AOB,
•••厶DOB = Z.CBO
OD = BD,
•••A OBD为等腰三角形；
(2)解：如图1,过点E作EF Lx轴于F,交BC于G,
设CD的长为x,贝i]BD = BC-CD = 1 由(1)知OD =BD = 8-x,
•.•四边形OABC是矩形，
••• Z.OCD = /-OAB = 90°, OC = AB,
.•.在RtAOCD 中，OC2 + CD2 = OD2, 即42 +尢2 =(8-X)2,
解得x = 3,
即CD = 3, OD = BD = 8-x = 8-3 由(1)矢OBE=A OB A,
厶OEB =厶OAB = 90°,
A OCD =厶BED = 90°,
•••在AOCD 和'BED中，
ZOCD =厶BED
Z-ODC = zJBDE,
、0D = BD
•••△ OCD=A BED,
.・.DE = CD = 3, BE = OC = 4,
••• EF 1兀车由，
••• Z.OFE = 90°,
•・• OA//BC,
••・乙CGE =乙OFE = 90°,
EG丄BD,
■■■S ABDE=I DE-BE =I BD-EG,
■\ r
即S、BDE = =
・••在Rt A DGE中，DG = VDE2- EG2•・• Z.OCG =乙OFE =厶CGF = 90°, ・•・四边形OFGC是矩形，
9 24
.・.OF = CG = CD + DG = 3 + f = #,
12 37
EF = EG + GF =年 + 4 =彳，
•••点E的坐标为岸普）；
—x, =5,
團1
（3）解:存在，点F的坐标分别为（-詈,#）,（¥，-¥）‘（¥，¥）•
解析：【分析】
本题是四边形的综合题，考查的是矩形的性质、折叠的性质、等腰三角形的判定和性质、平行四边形的判定以及勾股定理的应用，掌握相关的判定定理和性质定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键.
⑴根据平行线的性质、翻转变换的性质得到OD = BD,所以：为等腰三角形；
（2）过点E作EF丄％轴于F,交BC于G,根据三角形的面积公式求出EG,根据勾股定理求出DG, 分别计算OF和EF的长，得到点E的坐标；
（3）分F在第一象限、第二象限、第四象限三种情况，根据平移规律可得另一点F的坐标.
【解答】
⑴见答案;
（2）见答案；
（3）存在三种情况，
①F在第二象限时，如图2, •••点E的坐标为岸厝），5（8,4），0（0,0）,
•••F I（#_8，¥_4）,即叙-黑）；
②F在第四象限时，如图3, •••点E的坐标为岸普），5（8,4），0（0,0）,
•••尸2（8—#,4-¥）,即F2（¥，—手）;
10倍案：解：（/）当x青，y = 时,
"(少+ “) ______ "(闪_⑷
(逅_⑷(逅+⑷ 闪(@_⑷
("■- ")(W+ y/y)
x = \2 — If y = A /2 + 1
••・ 3x 2 + 4xy + 3y 2
=3x 2 + 6xy + 3y 2 — 2xy
=3(% + y)2 — 2xy
=3(V2 - 1 +V2 + l)2 - 2(V2 一 1)(V2 + 1)
=3 x (2A /2)2 - 2
=3x8-2
=22.
解析：本题主要考查了二次根式的混合运算，在解题时要能对要求的式子或已知条件进行化简是本 题的关键.
(1) 先把島-舄进行分母有理化，然后再代入计算即可；
(2) 先把x =
, y = 右进行分母有理化简，再把3/ + 4xy + 3尸化成3(尢+ y)2 - 2切再代入求
值即可. 11. 答案：⑴解：在正方形OABC 中04=AB,设点B 坐标(%,%),
•••反比例函数.y =—经过点B, X
y 1 -41 -4 2y- x
一 --
X 2 1-2 1 -2-1 -4 - 一一 -
2- -
・•• x2 = 16,
解得兀=±4,
・••点B在第一象限,
••• % = 4,
・••点B坐标为(4,4)；
(2)解：△P4D是等腰直角三角形.
理由：过点P作PE丄0C于点E,过点P作PF丄0A于点F,
•・•四边形OABC为正方形，
・•. 0B平分乙COA,
又•・•PE丄OC, FP丄04,
••• PE = PF,
・•・乙EPF = 90°,
•・•乙EPD + 乙DPF = 90°, Z.APF + 乙DPF = 90°,
・•・乙EPD =乙APF, ••・ Rt △ EPD=Rt △ FPA,
・•・ PD = PA,
•••A PAD是等腰直角三角形；
（3）（3+ 3诉，0）或（3-3書，0）.
解析：【分析】
此题考查的是正方形的性质、等腰直角三角形的判定、反比例函数的性质、旋转的性质以及勾股定理的应用•考查的知识点较多，综合性较强，熟练掌握相关的性质很关键.
(1)设点B坐标(%,%),根据反比例函数的性质结合正方形性质易求x的值，继而确定点B的坐标；
⑵过点P作PE丄OC于E,过点P作FP丄04于F,根据正方形性质以及角平分线的性质利用AAS 证明Rt △EPD三Rt △ APF,由此得到PD = PA,从而确定△ P4D的形状；
(3)过点P作PH丄0C于H,过点P作PG丄04于G,先求出OP的长,再由勾股定理可求出PH = PG = 3,同(2)可证明4PEF是等腰直角三角形，由已知条件结合正方形面积求出APEF的面积，继而求出PE的长，利用勾股定理求出EG的长，由此可求出OE的长，根据旋转的性质可求出旋转后得到的点E的坐标.
【解答】
解：(1)见答案；
(2)见答案；
(3)过点P作PH丄0C于H,过点P作PG 1 0A于G,
33
•・• op = — 0B = — x 4^/2 = 3V2，
44
・・・PH = PG = 3,
同（2）可证△ EPG三氐FPH,
・•・ PE = PF,
••A PEF是等腰直角三角形；
*.* S正桶幻= 4 X 4 = 16, JwF_ = £ ,
・•. PE = 6,
S \PEF = 18,
在Rt A PEG中，由勾股定理得EG =^62 - 32= 3V3,
・•・ OE = EG - OG = 3击_ 3 ,
根据对称性可知，当厶M'ON'旋转到如图所示位置时,
0E = EG + 0G = 3馅+3.
综上可得，点E 的坐标为（3+ 3后，0）或（3 —3価，0）.
12. 答案：⑴证明：是等边三角形,
••• BA = BE,厶ABE = 60°.
•••厶 MBN = 60°,
厶MBN -厶ABN = /.ABE 一 厶ABN.
即厶MBA =厶NBE.
又MB = NB,
；.“AMB 三 AENB(SAS).
⑵解：①当M 点落在BD 的中点时，A 、M 、C 三点共线，AM + CM 的值最小.②如图，连接CE, 当M 点位于与CE 的交点处时，
理由如下：连接MN,由（1）知，AAMB 三AENB,
■■ AM = EN,
•••乙MBN = 60°, MB = NB,
■••A BMN 是等边三角形.
••• BM = MN.
:.AM + BM + CM = EN + MN + CM.
根据“两点之间线段最短”可知，若E 、N 、M 、C 在同一条直线上时，EN + MN + C M 取得最小值, 最小值为EC.
在AABM 和4 CBM 中，
AM + BM + C M 的值最小.
AB = CB
乙ABM =乙CBM,
、BM = BM
•••'ABM三卜 CBM,
・•・ Z.BAM =乙BCM,
•••乙BCM =乙BEN,
•・• EB = CB,
・••若连接EC,贝儿乙BEC = /BCE,
•••厶BCM = /BCE,厶BEN = /BEC,
・・・M、N可以同时在直线EC上.
・••当M点位于BD与CE的交点处时，AM+ BM + CM的值最小，即等于EC的长.
(3)解：过E点作EF丄BC交CB的延长线于F,
・•・厶EBF =乙ABF - ^ABE = 90°一60° = 30°. 设正方形的边长为
兀，贝\\BF = ^x，EF
2 2
在Rt A EFC 中，
••• EF2 +FC2 = EC2,
••• (^)2 + (^x + x)2 = (V3 + l)2.
解得X】=V2, X2= -返(舍去负值).
•••正方形的边长为血.
解析：(1)由题意得M B = NB, ^ABN = 15°,所以厶EBN = 45°,容易证出“AMB三AENB；
(2)①根据“两点之间线段最短”，可得，当M点落在BD的中点时，AM + CM的值最小；
②根据“两点之间线段最短”，当M点位于BD与CE的交点处时，AM + BM + CM的值最小，即等于EC的长(如图)；
(3)作辅助线，过E点作EF丄BG交CB的延长线于F,由题意求出厶EBF = 30。

,设正方形的边长为x,在Rt
A EFC中，根据勾股定理求得正方形的边长为返.
本题考查轴对称的性质和正方形的性质，是一道综合性的题目，难度很大.
13.答案：解：•••点71(-2,4)在反比例函数图象上
・•・4 =
•••反比例函数解析式为y = -~
••• B点的横坐标为-4,
・•・ y = —8 — 4,
・•・y = 2,
・•• B(_4,2),
・・•点4(—2,4)、点B(—4,2)在直线y = k r x + b上,
—2k r + b = 4
-4k r+ b = 2’
解得｛应，
・•・直线AB解析式为y = % + 6,
•••与兀轴的交点坐标C(—6,0),
•■-S“OB= S“oc —S^BOC - -CO ■ yA — -CO ■ yB — -x 6 x (4 - 2) = 6；(2) _ 4.
解析：【分析】
本题主要考查反比例函数与一次函数的交点问题.
(1)根据A的坐标为(-2,4),先求出k2 = -8,再根据反比例函数求出B点坐标，从而利用待定系数法求一次函数的解析式为，求出直线与x轴的交点坐标后，即可求出S“OB的面积；
(2)分别过A两点作BD丄尢轴，BE丄尢轴，垂足分别为D, E,根据三角形中线的性质结合反比例函数图象上点的特征可求得S&OB = 3, CD = DE = 0E,进而可得S^OD = 2,根据反比例函数的性质可求解斤值.
【解答】
解：(1)见答案；
(2)分别过B, A两点作丄x轴，BE丄x轴，垂足分别为D, E,
为AC中点，NAOB的面积为3,
S“COB =S^AOB = 3,
S"oc = 2S\COB = 6,
••• AE = 2BD, CD = DE,
••- A, B均在反比例函数y = ^ (% < 0)的图象上,
••- 0D = 2OE,
••• CD = DE = OE,
•**S、B OD = 3 ^ACOB = 2,
.•罟=2,解得k = ±4,
•••反比例函数y = ^(x< 0)的图象位于第二象限,
・•・k V 0,
・•・k = —4.
故答案为-4・
14•答案：⑴①证明：连结AC,
•・• ABAC + ZB + 乙BCD + ZD = 360°,且乙BAC = 60°,乙BCD = 120°,
・•・乙B +乙。

=180°,又乙B = ZD,
.・.A B = AD = 90°,
-AB =AD, AC = AC,
・•・ Rt A ABC 三Rt △ ADC (HL),
••• BC = DC.
②解：延长CB,使得CD = BE,
•••厶BAD = 60°,厶BCD = 120°,
••• AABC + /D = 180°, S-^ABC + 厶ABE = 180°,
・•・ Z-D = Z.ABE,
Xv AB =AD,
・•・△ ABE三卜ADC,
・•・ AE = AC, Z-BAE =乙DAC,
・•・ Z-EAC = /LBAE + Z.BAC =乙DAC + ^BAC = Z-BAD = 60°,
•••A ACE是等边三角形，
••• AC CE CB + BE = CB + CD；
(2)10.
解析：【分析】
本题考查的知识点等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的判定，勾股定理的应用，作辅助线构造全等三角形是解题的关键.
(1)①连接AC, ^Rt KABC=Rt KADC,即可得至〕J答案，②延长CB,使得GD = BE,构造△
ADC,得到AAGE是等边三角形，即可得到答案；
(2)作出辅助线，证明4DFC三'BEC,得到点B的移动路径与点D的运动路径相同，即求出a分别为15。

和45。

时，点D所移动的的DN就是点B的所经过的路径长，结合勾股定理求出DF = 5 + 5苗，NF = 5苗- 5,相减即能得到DN,即可得到点B的所经过的路径长.
【解答】
解：(1)①，②详见答案；
(2)作CF丄4D交AM于点F,作BE丄4C交AC于点E,作厶4CN = 45。

交AM于点N,作NG丄4C交AC于点G,
■■■ AM AC = 30°, GF 丄AM,
:.2LACF = 60°,
•••四边形ABCD是半等边四边形，且CB = CD,
:.厶BCD = 60°,
••・乙BCE =厶DCF,
•・• BE 丄AC, NG丄AC,
・•・乙DFC =乙BEC = 90°,
•・•厶DFC = /BEC,乙DCF = E DCF, CD = CB,
•••△DFC 三"EC ⑷IS),
・•・ CF = CE, DF = BE,
即点B的移动路径与点D的运动路径相同，
••• ZMXC = 30°,厶AFC = 90°, AC = 10 + 10屈••• CF = |XC = 5 + 5V3,
当a = 15°时，厶DCF = 45°,
•••A DCF为等腰直角三角形，
DF = CF = S + 5A/3,
当a = 45。

时,
设NG = x,则4G = V3x，CG = x, ~：AC = 10 + 10V3> AG + CG = AC,
••• V3x + % = 10 + 10A /3,
・•• x = 10,
・•・ CN = V2x = 10V2,
_____________________ / 2 2
••• FN = >JCN 2 - CF 2 = J(10V2)-(5 + 5冏 =5苗-5' ••• DN = DF — NF =(5 + 5冏 一(5>/3 - 5)= 10, .•.点B 所经过的路径长=DN = 10. 故答案为10.
15倍案：解：⑴如图1,连接OE, •••四边形ABCD 是正方形, ••• AD = CD, /LADC = 90°, OA = OD = OB = OC '•'A ADE 是等边三角形 AD = DE - AE = V6, /-ADE = 60° ••• CD =AD = V6, OD = OB = V3 AE = DE, OD = OA :.OE 垂直平分AD 即OE 丄 AD, DH = AH .-.OE = OH + EH=^ + ^ = ^^，
2 2 2
•・• A ADC =乙 DHE = 90°
・•・ CD//OE
•••△ CDF 〜卜 EOF
•省唸，即誓DFYOF
••• DF + OF = OD = V3
...QF = V3-DF
：.^^DF =屈雷 _ DF),解得：DF = 43-1.
(2)如图2,连接EO,过点F 作PQ 丄CD 交EO 于N,在MA 上截取M T = MC,连接FT,设正方形 边长为a,
•••四边形ABCD 是正方形，AADE 是等边三角形
••• AD = AB = CD = DE = a, ^ADC = /DAB = 90°z4DF = 60° 易证OE 丄AD •••OE =警a, OD=^-a,
由⑴知△ CDF7EOF
V3 + 1 ~2-
DF OF
CD
OE‘
即 ^a-DF = a-OF
图
1
•・• AQ = DP
・•・AQ = QT
•・• BM +AB - AT = MT = CM
.：CM-BM = AB-AT = a-2x^a = ^a, CM + BM = MT + BM = BT + 2BM = a - 2 X ^a + 2BM = ^a + 2BM
■■■ CM 2 -BM 2 = BC 2 = a 2,
£ a (斗 a + 2BM) = a?,
V3
••• BM = — a
3
在Rt A BCM 中，tanzBMC =箸=着=逅，
~3U
・••乙 BMC = 60°
・•・ ^AMF = 30°
MQ V3 ・•・——=cosZ-AMF = cos30° =— MF 2 ••• 2MQ = V3MF
••• 2MQ = IBM + 2BQ = IBM + 2BT + 2QT = (BM + BT) + (BM + BT + AT) = CM + AM
■■■ CM + AM = y[3MF
即GM = V3MF -AM.
...DF =竺匹 a ，
6
■••A DPF
是等腰直角三角形
■■■DP = PF = ^DF
••• FQ = a — 3-V3
3+V3
--------CL = ---------- CL =CP ， •・• FM 平分"MC,
••・乙CMF = ^AMF
在AMCF 和△M7T 中
MC = MT
Z.CMF = ^AMF MF = MF
・•・△ MCFm MTF(SAS)
・•・CF = FT
・•・ Rt △ CFP=Rt △ FTQ(H 厶) ・•・ QT = PF = 3—y/3
------- CL ••• CM 2 一 BM 2 =(CM
— + BM) = + 2BM)
图2
解析：(1)根据正方形性质和等边三角形性质可证：0E垂直平分AD,进而可证：\CDF7E0F, 由相似三角形性质即可求得DF-
(2)设正方形边长为a,易求得OE = ^l a,OD =^a，再由△ CDF7 EOF,可求得：DF =也出a,
2 2 6
连接E0,过点F作PQ丄CD交E0于N,在上截取MT = MG,连接FT,可证:A MCF=A MTFQSAS), Rt A CFP=Rt
A FTQ(HL),再利用勾股定理可求得BM =^a，可得厶BMC = 60°,进而可证得结论.
本题考查了正方形性质，等边三角形性质，相似三角形判定和性质，勾股定理，特殊角三角函数值等，涉及知识点较多，有一定难度.
16.答案：⑴证明：•••BF丄GE,
•••厶CGB = 90°,
乙GCB + Z.CBG = 90,
•・•四边形ABCD是正方形，
・•・乙CBE = 90° =乙4, BC = AB,
・•・ Z.FBA + 乙CBG = 90,
••• Z.GCB = Z-FBA,
在"BF和"CE中，
Z-A =乙CBE
AB = BC ,
^ABF=乙BCE
•••△ABF 三△ BCE (ASA)；
(2)解：沁ABF 三'BCE,
BF = CE = 8,
・•・四边形BEFC的面积=△ BCE的面积+ △ FCE的面积
1 1
=~ x CE x FG + 77 x CE x BG
2 2
1
=㊁x CE x (FG + BG)
1
=—x CE x BF
2
=-x 8 x 8
2
=32；
(3)证明：如图3,过点D作DH丄CE于H,
设仙=CD = BC = 2a,
•••点E是AB的中点，
图3••• EA = EB = - AB = a,
2
・•・ CE = <BE2 + BC2 =岳a,
在肮△ CEB中，*BG • CE =*CB • EB,
»CBEB2V5
••・ BG =------ 二=
CE 5
・•・ CG = yjBC2-BG2 =詈a,
•••乙DCE + 厶BCE = 90°,厶CBF + 厶BCE = 90°,
••• Z-DCE =乙CBF,
•・• CD = BC,厶CHD =乙CGB = 90°,
•••△ CHD 三△BGCQW),
.：CH = BG=^a，
・•・ GH = CG - CH = —a = CH,
5
•・• CH = GH, DH丄CE,
••・ CD = GD；
解析：(1)根据同角的余角相等得到乙GCB = EFBA,利用ASA定理证明bABF三氐BCE；
(2)根据全等三角形的性质得到BF = CE = 8,根据三角形的面积公式计算，得到答案；
(3)作DH丄CE,设AB = CD = BC = 2a,根据勾股定理用。

表示出CE,根据三角形的面积公式求出BG,根据勾股定理求出CG,证明△CHD三ZiBGC,得到CH = BG,证明CH = GH,根据线段垂直平分线的性质证明结论. 本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、正方形的性质是解题的关键.
17•答案：解：(1)如图1,作CD丄尤轴于D, BE丄兀轴于E, ••・ Z.CAD + 乙DC A = 90°,
••• Z.BAC = 90°,
・•・乙CAD + Z-BAE = 90°,
••• z_BAE = Z.ACD,
在和"EB中，
\LACD = Z.BAE
/.ADC =乙BEA,
、G4 = AB
/.A CDA三△4EBQ4AS),
.・.CD = AE, AD = BE,
•••4(2,0)、3(3,3),
••• OA = 2, OE = BE = 3,
.・.CD =AE = 1, OD =AD-OA = 1,
••• C的坐标是(-1,1)；
(2)如图2,作BE丄x轴于E,
设直线BC的解析式为y = kx + b,
T B点的坐标为(3,3), C点的坐标是(-1,1), .(3k + b = 3
••• l-k + b = 1'
(k = -
解得，j _l,
•••直线BC的解析式为y =扣+1，
••• OM = •••△ AMB 的面积=梯形MOEB 的面积一 △ AOM 的面积一 △ AEB 的面积 = -x(- + 3)x3--x2x---xlx3
15 4
(3)如图3,作M 关于x 轴的对称点M ，(0, —亍)，连接BM ，,交 x 轴于点P,此时PB + PM 的值最小, 设直线BM'的解析式为y = mx + n,
•••直线的解析式为y = |%-|,
点P 在x 轴上，当x = 0时，y = 1,
•••点P 的坐标为(1,0).
解析：⑴作CD 丄x 轴于D,BE 丄x 轴于E,证明ACDM 三AMEB,根据全等三角形的性质得到CD = AE, AD = BE,求出点C 的坐标；
(2) 利用待定系数法求出直线BC 的解析式，得到OM 的长，根据梯形的面积公式、三角形的面积公 式计算，得到答案；
(3) 根据轴对称-最短路径问题作出点P,求出直线BM'的解析式，根据x 轴上点的坐标特征求出点P 的坐标.
本题考查的是全等三角形的判定和性质、轴对称-最短路径问题、待定系数法求一次函数解析式、 坐标轴上点的坐标特征，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、待定系数法求一次函数解析式的 一般步骤是解题的关键.
1&答案：解；：⑴•••点D 在AB 上，BC = CD, ••• Z.DBC = Z-BDC, •・• AE//CD,
・•• Z.BAE = Z-BDC,
•••乙 BAE =乙 DBC, 又AB = BC,厶ABE = /BCD, •••△ABE 三△BCDQ4SA), ••• BE = CD ； (2)如图，连接EC, N'、、 由(1)可得BE = CD,
/ \
AB = BC = CD,
/ \
'、、、
AB = BC = CD = BE,
/ \
•:厶BCD = 20°,厶ABE =/BCD, /
|
・••乙 DBC =厶 BDC = 80°,
・•・厶EBC =厶DBC 一 /-ABE = 60°, •••△ BCE 是等边三角形，
・•・ BC = EC,乙BCE = 60。

，
解得，＜
$ 3,
l n = -2。