高阶系统时域分析

b.零极点很靠近，对c(t)几乎没影响； c.零极点重合——偶极子，对c(t)无任何影响；
d.极点pj附近无零点，且靠近虚轴，则此极点对 c(t)影响大。
高阶系统的瞬态特性主要由系统传递函数中
那些靠近虚轴而又远离零点的极点(主导极点)
来决定。
2021/6/12
高阶系统时域分析
二、高阶系统的二阶近似
二阶发散模态
高阶系统时域分析
传递函数：

运动模态1
(s) A s p
c(t) Aept
零极点分布图：
1
j
0.9
0.8
0.7
Impulse Response
(s) 1 s 1
0.6
Amplitude
0.5
-p
0
0.4
0.3
0.2
2021/6/12
0.1
高阶系统时0 域分析
0
1
2
3
4
5
6
Time (sec)
pzmap(g)
1.5
1
0.5
Imaginary Axis
0
-0.5
-1
-1.5
2021/6-/2-15 2 -4.5
-4
-3.5
-3
-2.5
高阶系统时域分析
-2
-1.5
-1
-0.5
0
Real Axis
指令：[P,Z] = PZMAP(g)
P= -5.0000 -1.6506 -0.1747 + 1.5469i -0.1747 - 1.5469i
进行拉氏反变换：
2021/6/12
L1 (
A0 s
)
A0
L 1(jq 1s A jp 高j阶)系统j时q 1 域L 分1 析(s A jpj)jq 1A jepjt
L1[ BksCk ]
s2 2kksk2
L1[Bk((ss k k kk))2 Bk k2kk2 k kC 2k]
L1[
Bk(skk)
2021/6/12
高阶系统时域分析
※高阶系统的降阶简化思路： 1、去除传递函数中影响较小的极点； 2、利用偶极子概念的零极点抵消作用，最终降为 二阶或三阶系统。
注意保持系统稳态放大倍数不变，即Φ(0)不变 或A0不变。
2021/6/12
高阶系统时域分析
例： 已知系统的传递函数如下，试讨论系统简化的
c(t)Aeatsin(bt)
零极点分布图：
12
Impulse Response
j b
10
s1
8
(s)(s0.1)2 1
6
4
Amplitude
2
0a
0
-2
-4
2021/6/12
-6
高阶系统-时8 域分析
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
Time (sec)
运动模态总结
j
j
j
j
j
0
0
0
0
0
Amplitude Amplitude Amplitude Amplitude Amplitude
第二节一阶二阶高阶系统时域分析xianuniversitytelecomunication西安邮电学院自动化学院高阶系统的时域分析什么是高阶系统特点是什么高阶系统性能分析什么是主导极点高阶系统降阶的方法第二节一阶二阶高阶系统时域分析xianuniversitytelecomunication西安邮电学院自动化学院dtdtdtdtdtdt第二节一阶二阶高阶系统时域分析xianuniversitytelecomunication西安邮电学院自动化学院11
Dk
2021/6/12
高阶系统时域分析
c(t)L1[C(s)]
q
r
A0
Ajepjt
Aekkt k
sindktk
j1
k1
结论(性能分析)：
1、高阶系统的时间响应，由一阶惯性子系统和二阶 振荡子系统的时间响应函数项组成；
2、如果高阶系统所有闭环极点都具有负实部，随着t 的增长，上式的第二项和第三项都趋于0，系统的稳 态输出为A0。
12
10
8
6
4
2
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
Time (sec)
c(t)L1[C(s)]
q
r
A0
Ajepjt
Aekkt k
sindktk
j1
k1
结论3：响应曲线的类型由闭环极点决定
如果有一个闭环极点位于s右半平面，则由它 决定的模态是发散的，在其他模态(位于s左半平 面的极点决定)，随t的推移最终趋于其对应的稳定 值的时候，它的作用就会显现出来，导致整个系 统对外显示是发散的。
G(s)
s32s23s4
0.3
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0 0
5
高1阶0 系统时域15 分析 20
25
30
Time (sec)
高阶系统的主导极点常常是共轭 复数极点，因此高阶系统可以常用主 导极点构成的二阶系统来近似。相应 的性能指标可按二阶系统的各项指标 来估计。在设计高阶系统时，常利用 主导极点的概念来选择系统参数，使 系统具有预期的一对共轭复数主导极 点，这样，就可以近似的用二阶系统 的性能指标来设计系统。
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
高阶系统时域分析 0
5
10
15
20
25
30
35
40
Time (sec)
Impulse Response 12 10 8 6 4 2 0 -2 -4 -6 -8
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 Time (sec)
Impulse Response 14
bm 1sbm an1san
m
Kr (s zi)
q
i1 r
(s pj ) (s2 2kks k2)
j1
高阶系统k时1域分析
在单位阶跃信号下的响应：
m
C(s) s
q
Kr (szi)
i1
1
r
(spj)
(s2 2kksk2) s
j1
k1
A s0jq 1s Ajpj kr1s2B 2kskk C skk2
2021/6/12
高阶系统时域分析
一、高阶系统的单位阶跃响应
dn
dn1
d
a0dtnc(t)a1dtn1c(t) an1dtc(t)anc(t)
b0ddtm mr(t)b1ddtm m11r(t) bm1ddtr(t)bmr(t)
进行拉氏变换可得：
2021/6/12
(s)b a00ssm n b a1 1ssm n 1 1
2021/6/12
高阶系统时域分析
运动的模态
按照一阶和二阶暂态响应指数的衰减系数的正 负值，将暂态响应的运动形式分为5个模态：
❖ 一阶模态 e p j t
pj<0 一阶收敛模态 pj>0 一阶发散模态
❖ 二阶模态 ent sin(bt)
n 0 n 0 n 0
2021/6/12
二阶收敛模态 二阶等幅振荡模态
传递函数：
运动模态2
(s) A s p
c(t) Aept
零极点分布图：
14
Impulse Response
j
12
1
(s)
10
s 1
8
Amplitude
6
0p
4
2021/6/12
2
高阶系统时0 域分析
0
0.5
1
1.5
2
2.5
Time (sec)
传递函数：
运动模态3
(s) (sA1as)2 B1b2
j
偶极子
5
作用：通过增加含有零点的微分环节使某些极点
的作用减小或消失；或者增加含有极点的惯性环节
使某些零点的作用减小或消失。
2021/6/12
高阶系统时域分析
高阶系统单位阶跃响应类似于二阶响应
r(t)
c(t)
1
G (s)
t
t
2021/6/12
Amplitude
Step Response 0.4
1
0.35
(Ck
Bkkk)
k k
1
2 k
1
2 k
]
(skk)2(k 1k2)2 (skk)2(k 1k2)2
B k e k k tc o s (k1 k 2 ) t C k k B 1 k k k 2 ke k k ts in (k1 k 2 ) t
A ke k ktsind ktk
在留数的计算过程中，要用到C(sA )i, 而[C C((ss)()s 中包pi)含]s有pi 闭
环的零点，因此不可避免地要影响到留数的值，而留数
的数值实际上就是指数项的系数。(和零点有关)
2021/6/12
高阶系统时域分析
进一步理解
A i[C (s)(spi)]spi
a.零极点相互靠近，则对Ai的影响就越小，且离 虚轴较远(衰减速度快)，对c(t)影响越小；
可能性。
G(s) 10 (s1)(s10)
j
-10
-1
s =-1为主导极点，忽略极点s =-10的影响。为了保持
G(0)值不变，应将系统简化为：
2021/6/12
G(s) 1 s 1 高阶系统时域分析
简化前后稳态增益不变
Amplitude
1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1
第三章 时域分析法
第四节 高阶系统的时域分析
2021/6/12
高阶系统时域分析
3-4 高阶系统的时域分析
项目
内容
教学目的
掌握高阶系统的阶跃响应时域表达形式，运动的 五种模态，高阶系统近似为二阶系统的条件。
教 学 重 点 高阶系统的降阶处理方法以及matlab图形分析方法。
教 学 难 点 高阶系统复数域表达式的部分分式形式的推导。
2021/6/12
高阶系统时域分析
c(t)L1[C(s)]
q
r
A0
Ajepjt
Aekkt k
sindktk
j1
k1
结论4：响应曲线的形状和闭环极点和零点有关。
对于稳定的系统，闭环极点负实部的绝对值越大(极
点距虚轴愈远)，则其对应的响应分量(模态)衰减的越迅
速，否则，衰减的越慢。(和极点有关)
讲授技巧及注 尽可能将表达式转换过程中所使用的数学基础讲
意事项
清楚，再将表达式和图形一一对应起来。
2021/6/12
高阶系统时域分析
❖描述系统的微分方程高于二阶的系统为高阶系 统。
工程上通常把高阶系统采用闭环极点的概念适当 地近似成低阶系统（如二阶或三阶）进行分析。
原因：
1、高阶系统的计算比较困难； 2、在工程设计的许多问题中，过分讲究精确往 往是不必要的，甚至是无意义的。
0.05 0 0
2021/6/12
Amplitude
Step Response
G(s)(s5)(s210.8s1)
G(s)
s2
0.2 0.8s1
5
10
15
Time (sec)
高阶系统时域分析
例： 已知系统的传递函数如下，试讨论系统简化的 可能性。
G(s)(s5)(s3 s 2s423s4)
Pole-Zero Map 2
c(t)Aeatsin(bt)
零极点分布图：
1.2
1
j 0.8
b
0.6
0.4
Amplitude
0.2
-a 0
0
-0.2
-0.4
2021/6/12
-0.6
高阶系统-0.8时域分析
0
5
Impulse Response
(s)
s1 (s0.2)2
1
10
15
20
25
30
Time (sec)
传递函数：
运动模态4
※主导极点
1、离虚轴最近;
2、附近没有零点存在;
3、其他所有极点远离虚轴(与虚轴的距离 都在此极点与虚轴的距离的五倍以上)。
j
主导极点
5
主导极点
2021/6/12
高阶系统时域分析
高阶系统的瞬态特性主要由系统传递函数中 的主导极点决定。
原因：
❖ 离虚轴近：由此极点决定的指数项衰减缓慢，等其 它闭环极点随时间的推移作用消失后，其作用仍然 存在，并逐渐显现出来；
Z= -4
❖ 去掉偶极子后的曲线与原曲线的比较：
Impulse Response 1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
2021/6/12 0
1
2
3
4
Time (sec)
5
6
Impulse Response 1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
0
5
10
15
20
25
30
Time (sec)
Impulse Response 1.5
(s) A1sB1 s2 b2
c(t)Asin(bt)
零极点分布图：
1.5
Impulse Response
(s)
s 1 s2 1
j
1
b
0.5
Amplitude
0
0
-0.5
2021/6/12
-1
高阶系统-1时.5 域分析
0
5
10
15
20
25
30
35
40
Time (sec)
传递函数：
运动模态5
(s) A1sB1 (sa)2 b2
0 0
2021/6/12
System: untitled1 Rise Time (sec): 2.2
Step Response
System: untitled1 Settling Time (sec): 3.91
System: untitled2 Settling Time (sec): 4.02 System: untitled2 Rise Time (sec): 2.22
G1 ( s )
s
1 1
G2(s)
10 (s1)(s10)
指令：step(tf(1,[1,1])),hold on
step(tf(10,conv([1,1],[1,10])))
1
2
3
4
5
6
高阶系统时域分析
Time (sec)
例： 已知系统的传递函数如下，试讨论系统简化的 可能性。
1 G(s)(s5)(s20.8s1)
❖ 周围没有闭环零点：其输出响应的模态在总的响应 中占的比重大(没有其它零点把它的作用抵消掉)；
❖ 其它闭环极点远离虚轴：其它闭环极点决定的模态 和主导极点决定的模态相比衰减很快。