高中数学 第1章 解三角形 1.1 正弦定理习题 苏教版必修5

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正弦定理
（答题时间：40分钟）
1. 在ABC ∆中，若,60,3︒==A a 那么ABC ∆外接圆的周长为________。

2. 在ABC ∆中，若sin :sin :sin 4:5:6A B C =，且15a b c ++=，则a = 。

3. 在ABC ∆中，5,15,135=︒=︒=a C B ，则此三角形的最大边长为__________。

4. 在ABC ∆中，,2,45a x b B ===︒，若该三角形有两解，则x 的取值范围是 。

5. （新课标高考改编）已知,,a b c 分别为ABC ∆三个内角,,A B C 的对边，
cos sin 0a C C b c --=，则A = 。

6. 根据下列条件，判断ABC ∆的形状：
（1）B b A a cos cos =。

（2）在ABC ∆中，A
B B a a b sin sin sin -=+，且
C B A 2sin sin sin =，试判断三角形的形状。

*7. 在ABC ∆中，已知1,2=+=b C A B ，求c a +的取值范围。

8. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c . 设向量(,)m a c =，(cos ,cos )n C A =.
若m n ∥，c =，求角A 。

1. 解：22sin a R A
=
=，ππ22==∆R C ABC 。

2. 解：::sin :sin :sin 4:5:6a b c A B C ==，设4,5,6,a k b k c k ===
代入15a b c ++=，得1,4k a ==。

3. 解：最大边为b ，180()30,o A B C =-+=︒
由正弦定理得sin sin a b B A
=⋅=。

4. 方法一：三角形有两解，得2x a b =>>，
由正弦定理得sin sin x b A B ==
有两解，则sin 1,A x =<<得
综上：2x <<。

方法二：结合图形，得2,2x x <<<<得2。

5. 解：由正弦定理得：
cos sin 0sin cos sin sin sin a C C b c A C A C B C +--=⇔+=+
sin cos sin sin()sin 1
cos 1sin(30)2303060A C A C A C C
A A A A A ︒︒︒︒
⇔+=++⇔-=⇔-=⇔-=⇔=
6. （1）解：由正弦定理得sin cos sin cos ,sin 2sin 2A A B B A B ==，在三角形ABC 中，得22,22A B A B π==-或，故三角形是等腰三角形或直角三角形。

（2）解：运用正弦定理将边均化为角得222b a ab c -==，故三角形是直角三角形。

7. 解：由2,B A C =+得︒=60B
，由正弦定理得sin sin sin c a b C A B ===
，故3sin )(sin sin(60(cos )2sin(30)
2O O a c A C A A A A A +=+=++==+因为(0,120),o o A ∈所以(1,2]a c +∈。

8. 解：∵m n ∥，∴cos cos a A c C =，由正弦定理，得sin cos sin cos A A C C =。

化简，得sin2sin2A C =，
∵,(0,)A C p ∈，∴22A C =或22A C p +=，
从而A C =（舍）或2
A C p +=. ∴2
B p =。

在Rt△ABC
中，tan 3a A c ==，6
A p =。