河北衡水金卷2019届高三12月第三次联合质量测评数学(理)试题

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河北衡水金卷2019届高三12月第三次联合质量测评数学
（理)试题
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上
第I 卷（选择题)
请点击修改第I 卷的文字说明
一、单选题
1．已知复数z 满足()12z
i i +=-，则复数z 在复平面内对应的点所在象限为（ ） A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
2．已知全集U =R ，集合
(){}{}
(
)22log 21,340U A x x B x x x C A ，则=-
<=--<B ⋂为
A ．∅
B ．{}
12x x -<≤
C ．{}
43x x -<<
D ．{}
42x x -<≤
3．若命题p 为：[)1,,sin cos x x x p ∀∈+∞+≤⌝为（ ） A ．[)1,,sin cos x x x ∀∈+∞+>B ．[),1,sin cos x x x ∃∈-∞+>C ．[)1,,sin cos x x x ∃∈+∞+>D ．(),1,sin cos x x x ∀∈-∞+≤4．朱世杰是历史上最伟大的数学家之一，他所著的《四元玉鉴》卷中“如像招数”五
问中有如下问题：“今有官司差夫一千九百八十四人筑堤，只云初日差六十四人，次日转多八人，每人日支米三升”．其大意为“官府陆续派遣1984人前往修筑堤坝，第一天派出64人，从第二天开始每天派出的人数比前一天多8人，修筑堤坝的每人每天
分发大米3升”，在该问题中的1984人全部派遣到位需要的天数为 A ．14
B ．16
C ．18
D ．20
5．如图所示，分别以正方形ABCD 两邻边AB 、AD 为直径向正方形内做两个半圆，交于点O ．若向正方形内投掷一颗质地均匀的小球(小球落到每点的可能性均相同)，则该球落在阴影部分的概率为
A ．32
8π- B ．
8π C ．28
π+
D ．68
π-
6．已知定义在R 上的函数()f x 满足：(1) ()()2f x f x +=；(2) ()2f x -为奇函数；(3)当()1,1x ∈-时，()f x 图象连续且()0f x
'>恒成立，则
()1511,4,22f f f ⎛⎫
⎛⎫
- ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
的大小关系正确的为
A ．()1115422f f f ⎛⎫⎛
⎫
>>-
⎪ ⎪
⎝
⎭⎝⎭ B ．()1115422f f f ⎛⎫⎛⎫
>>-
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
C ．()1511422f f f ⎛⎫⎛⎫
-
>> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
D ．()1511422f f f ⎛⎫⎛⎫
-
>> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
7．一正方体被两平面截去部分后剩下几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为
A ．8+
B ．12+
C ．8+
D ．18+
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8．如图所示，边长为2的正方形ABCD 中，E 为BC 边中点，点
P 在对角线BD 上运动，过点P 作AE 的垂线，垂足为F
，当AE EP ⋅最小时，FC =
A ．
23
34
AB AD + B ．
32
43
AB AD + C ．
43
55
AB AD
+ D ．3
4
55
AB AD +
9．已知双曲线2
2
:
13
y C x -=的左、右焦点分别为12F F 、
，左、右顶点分别为A 、B ，
过点1F 的直线与双曲线C
的右支交于P 点，且22cos ,AP AP AF AF ABP =∆，则的外接圆面积为 A
B ．
C ．5π
D ．10π
10．利用一半径为4cm 的圆形纸片(圆心为O)制作一个正四棱锥．方法如下：
(1)以O 为圆心制作一个小的圆； (2)在小的圆内制作一内接正方形ABCD ；
(3)以正方形ABCD
的各边向外作等腰三角形，使等腰三角形的顶点落在大圆上(如图)； (4)将正方形ABCD 作为正四棱锥的底，四个等腰三角形作为正四棱锥的侧面折起，使四个等腰三角形的顶点重合，问：要使所制作的正四棱锥体积最大，则小圆的半径为
A
．
5
B ．
5
C D ．11．已知椭圆()22
10,0x y C a t a t a
+=>>+：两个焦点之间的距离为2，
单位圆O 与,x y 的正半轴分别交于M ，N 点，过点N 作圆O 的切线交椭圆于P ，Q 两点，且PM MQ ⊥，设椭圆的离心率为e ，则2e 的值为 A B C 1 D ．3-
12．已知函数()()cos 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛
⎫
=+>>≤
⎪⎝
⎭
，两个等式：0,04444f x f x f x f x ππππ⎛⎫⎛⎫
⎛⎫⎛⎫
-+---=-++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
对任意的实数x 均恒成立，且()3016f x π⎛⎫ ⎪⎝⎭
在，上单调，则ω的最大值为 A ．1 B ．2
C ．3
D ．4
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第II 卷（非选择题)
请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题
13．若实数,x y 满足约束条件220,10,32220,x y x y z x y x y 则++≥⎧⎪
-+≥=-⎨⎪-++≥⎩
的最小值为
__________．
14．二项式()00n
b ax a b x ⎛⎫+>> ⎪⎝
⎭，的展开式中，设“所有二项式系数和”为A ，“所有项的系数和”为B ，“常数项”值为C ，若25670A B C ===，，则含6x 的项为_____．
15．已知圆()()()2
2
:23
221C x y M P -+-=-，点，，为圆外任意一点．过点P 作圆C 的一条切线，切点为
N ，设点P 满足PM PN =时的轨迹为E ，若点A 在圆C 上运动，B 在轨迹E 上运动，则AB 的最小值为___________．
16．定义在R 上的函数()f x 满足()()cos f x f x x -+=，又当0x ≤时，()1
2
f x
'≥
成立，若()224f t f t t
ππ⎛⎫⎛⎫
≥-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，则实数t 的取值范围为_________．
三、解答题
17．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为,,60,45a b c a A C ===且. (1)求c 的值；
(2)以AB 为一边向外(与点C 不在AB 同侧)作一新的△ABP ，使得30APB ∠=，求ABP
∆面积的最大值．
18．随着经济的发展，个人收入的提高，自2019年1月1日起，个人所得税起征点和税率的调整，调整如下：纳税人的工资、薪金所得，以每月全部收入额减除5000元后的余额为应纳税所得额，依照个人所得税税率表，调整前后的计算方法如下表：
(1)假如小红某月的工资、薪金等所得税前收入总和不高于8000元，记x 表示总收入，
y 表示应纳的税，试写出调整前后y 关于x 的函数表达式；
(2)某税务部门在小红所在公司利用分层抽样方法抽取某月100个不同层次员工的税前收入，并制成下面的频数分布表：
①先从收入在[
)3000,5000及[)5000,7000的人群中按分层抽样抽取7人，再从中选4人作为新纳税法知识宣讲员，用a 表示抽到作为宣讲员的收入在[
)3000,5000元的人
数，b 表示抽到作为宣讲员的收入在[)5000,7000元的人数，随机变量Z a b =-，求z 的分布列与数学期望；
②小红该月的工资、薪金等税前收入为7500元时，请你帮小红算一下调整后小红的实
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际收入比调整前增加了多少?
19．如图所示，底面为菱形的直四棱柱1111A B C D ABCD -被过三点11C B
D 、、的平面截去一个三棱锥
111C CB D -(图一)得几何体111A B D ABCD -(图二)，E 为11B D 的中点．
(1)点F 为棱1AA 上的动点，试问平面11FB D 与平面1CEA 是否垂直?请说明理由； (2)设12,60,4AB BAD AA =∠==，当点F 为1AA 中点时，求锐二面角11F B D C --的余弦值．
20．设抛物线()2
40C y mx m =>：的焦点为F ，已知直线0x y m --=与抛物线C 交
于A ，B 两点(A ，B 两点分别在x 轴的上、下方)． (1)求证：
AF BF =
； (2)已知弦长8AB =，试求：过A ，B 两点，且与直线30x y ++=相切的圆D 的方程． 21．已知函数． (1)若，证明：当；
(2)设，若函数
上有2个不同的零点，求实数的取值
范围．
22．在直角坐标系中，直线l 的参数方程为1cos ,
1sin x t y t αα
=-+⎧⎨
=+⎩（t 为参数，0πα<<），
以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，曲线C 的
极坐标方程为2
24
1sin ρθ
=+．
（1）当π
6
a =
时，写出直线l 的普通方程及曲线C 的直角坐标方程； （2）已知点()11P -，，设直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，试确定PA PB ⋅的取值范
围．
23．设函数()2f x x x a =--+．
(1)当1a =时，求不等式()2f x <-的解集；
(2)当()()(),22x y R f y f x f y a ∈-+≤≤+时，
，求的取值范围．
参考答案
1．D 【解析】
复数z 满足()12i z i +=-，∴()()()()21213
11122i i i z i i i i ---=
==-++-，则复数z 在复平面内对应的点13,22⎛⎫
- ⎪⎝⎭
在第四象限，故选D.
2．B 【解析】 【分析】
化简集合A 、B ，利用补集与交集运算即可得到结果. 【详解】
因为(){}{
}
2log 2124A x x x x =-<=<<，所以{
2U C A x x =≤或
}{}()(){
}
{}24,34041014x B x x x x x x x x ≥=--<=-+<=-<<.
所以(){
}
12U C A B x x ⋂=-<≤.故选B. 【点睛】
本题考查集合的交并补运算，考查不等式的解法，属于基础题. 3．C 【解析】 【分析】
根据全称命题的否定为特称命题即可得到结果. 【详解】
根据p ⌝的构成方法得，p ⌝为[)1,,sin cos x x x ∃∈+∞+>.故选C. 【点睛】
全称命题的一般形式是：x M ∀∈，()p x ，其否定为(),x M p x ∃∈⌝.存在性命题的一般形式是x M ∃∈，()p x ，其否定为(),x M p x ∀∈⌝. 4．B 【解析】
【分析】
利用等差数列的通项公式及前n 项和公式即可得到结果. 【详解】
根据题意设每天派出的人数组成数列{}n a ，分析可得数列是首项164a =.公差为8的等差数列，设1984人全部派遣到位需要n 天，则()()118644119842
n n na n n n -+⨯=+-=.解得
n =16.故选B. 【点睛】
本题考查等差数列的通项公式、前n 项和公式的应用，考查推理能力与计算能力，属于基础题. 5．C 【解析】 【分析】
计算正方形与阴影的面积，根据面积概型公式得到答案. 【详解】
法一：设正方形的边长为2.则这两个半圆的并集所在区域的面积为
21121422ππ
π⎛⎫⋅-⨯-=+
⎪⎝
⎭，所以该质点落入这两个半圆的并集所在区城内的概率为122
4
8
π
π++=
.故选C.
法二：设正方形的边长为2.过O 作OF 垂直于AB ，OE 垂直于AD .则这两个半圆的并集所在区域的面积为2
2
1
12114
2
π
π+⨯⨯=+
，所以该质点落入这两个半圆的并集所在区域的概率
为122
4
8
π
π++=
，故选C.
【点睛】
解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与面积有关的几何概型问题关鍵是计算问题的总面积以及事件的面积；几何概型问题还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：（1）不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；（2）基本事件对应的区域测度把握不准导致错误 ；（3）利用几何概型的概率公式时 , 忽视验证
事件是否等可能性导致错误. 6．C 【解析】 【分析】
先明确函数()f x 的周期性、奇偶性与单调性，把问题转化为在()1,1-上利用单调性比较大小的问题. 【详解】
因为()()2f x f x +=，所以函数()f x 是周期为2的周期函数.又由()2f x -为奇函数，所以有()()()()22f x f x f x f x -+=--⇒-=-，所以函数()f x 为奇函数，又由当
()1,1x ∈-时，()f x 图象连续，且()'0f x >恒成立，得函数()f x 在区间（-1，1）内单
调递增，而()()111115116,8,40222222f f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=-=--=-==
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
.所以()1511422f f f ⎛⎫⎛⎫
->> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
.故选C. 【点睛】
本题综合考查了函数的图象与性质，涉及到周期性、单调性、对称性，利用单调性比较大小，解题关键如何把自变量转化到同一个单调区间上，属于中档题. 7．B 【解析】 【分析】
作出几何体的直观图，观察截去几何体的结构特征，代入数据计算． 【详解】
由题中条件及三视图可知该几何体是由棱长为2的正方体被平面截去了两个三棱锥后剩下的几何体11ABCDD B ，如图所示，
该几何体的表面三角形有1ABB ∆，11AB D ∆，1ADD ∆，1CDD ∆，11CB D ∆，1CBB ∆，由对称性只需计算1ABB ∆，11AB D ∆的大小，因为
112222ABB S ∆=⨯⨯=，(11
2
4
AB D S ∆==所以该几何体的表面积为
(
222412++⨯+=+故选B.
【点睛】
由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整. 8．D 【解析】 【分析】
由图易知向量,AE EP 所成角为钝角,结合题意可知当AE EP ⋅最小时，即为向量EP 在向量
AE 方向上的投影最小，确定点P 的位置，从而得到结果.
【详解】
依题cos ,AE EP AE EP AE EP ⋅=，由图易知向量,AE EP 所成角为钝角，所以
cos ,0AE EP <，所以当AE EP ⋅最小时，即为向量EP 在向量AE 方向上的投影最小，数
形结合易知点P 在点D 时,AE EP ⋅最小（如图所示），
在三角形ADE 中，由等面积可知
11
4
22
AE PF AD AB PF
⨯=⨯⇒=⇒=
，所以
5
AF==
FE=.所以
()
313133134
5252510255 FC FE EC AE BC AB BE BC AB BC BC AB AD =+=+=++=++=+
.故选D.
【点睛】
本题考查了平面向量数量积的定义及运算，向量的线性运算，考查了数形结合的思想，考查
了计算能力，属于中档题.
9．C
【解析】
【分析】
由
22
cos,
AP AP AF AF
=可知：
22
PF AF
⊥，从而易得
2
45,
PAF
∠=︒(
321
PB=+-=，利用正弦定理可得外接圆的半径，得到ABP
∆
的外接圆面积.
【详解】
因为22
cos,
AP AP AF AF
=，所以
22
PF AF
⊥，由已知得
A（-1.0），B（1，0），2F（2，0），且22
3
3,1
12
PF tan PAF
=∠=
=
+
，所以
2
45,
PAF PB
∠=︒==
ABP中，由正弦定理
得
.
2
1
sin
PB
R
PAB
==
=
∠APB的外接圆的面积为
2
25
R
πππ
==.故选C.
【点睛】
本题考查了双曲线的简单几何性质，平面向量数量积的几何意义，正弦定理，考查了推理论
证能力，计算能力，属于中档题.
10．C
【解析】
【分析】
设小圆的半径为()04r r <<，连OD .OH .OH 与AD 交于点M ，表示正四棱锥的体积
4
3
利用导数研究函数的最值，即可得到结果. 【详解】
设小圆的半径为()04r r <<，连OD .OH .OH 与AD 交于点M ，则,2
AD OM =
=
.
因为大圆半径R =4，所以4MH =，在正四棱锥中，如图所示，
HO =
=
==
所以)2
11
4
33
3
V S HO =⋅=⨯
=
记()
4
3
3
4
3
4'1616r r t r t r r =⇒=-=-，所以令'05
r t r =⇒=
，
易知，5r =时，434r t r =取最大值，所以小圆半径为5
时，V 最大。

故选C. 【点睛】
本题考查了空间几何中的折叠问题，四棱锥体积的计算，以及利用导数知识研究函数的性质，属于中档题. 11．A 【解析】 【分析】
由两个焦点之间的距离为2可知t=1，利用直角三角形斜边中心等于斜边的一半可得Q 点的横坐标，从而建立了关于a 的方程，即可得到e 的方程. 【详解】
因为()22210,0x y a t a t a
+=>>+两个焦点之间的距离为2，所以
2=，所以
t =1，由22111y x y
a a
=⎧⎪⎨+=⎪
+⎩得2201a x a -=，由已知得，2220OM ON x +=，所以212a a -=
，
所以2
222e ===，故选A. 【点睛】
椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：
①求出a ，c ，代入公式c
e a
=
； ②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2
＝a 2
－c 2
转化为a ，c 的齐次式，
然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2
转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得
e (e 的取值范围)． 12．A 【解析】 【分析】
由函数()f x 的图象关于直线4πx =-
和点,04π⎛⎫
⎪⎝⎭
对称可得：()4442
T
T k k N π
π⎛⎫--=+∈ ⎪⎝⎭，即()21k k N ω=+∈，结合选项检验3ω=与1ω=即可. 【详解】
因为两个等式：0,0444f x f x f x f x x ππππ⎛⎫
⎛⎫
⎛⎫
⎛⎫
-
+---=-++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
对任意的实数x 均恒成立，所以()f x 的图象关于直线4πx =-
和点,04π⎛⎫
⎪⎝⎭
对称，所以
()4442T
T k k N π
π⎛⎫--=+∈ ⎪⎝⎭，因为2T πω
=，所以()21k k N ω=+∈.因为()f x 在30,16π⎛⎫ ⎪⎝⎭
上单调，所以33016162T πππω-=≤=，所以163ω≤，由选项知，只需要验证3ω=. 1.当3ω=时，()()cos 3f x A x ϕ=+，因为44f x f x ππ⎛⎫⎛⎫
-=-+
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
对任意的实数x 均恒成立，所以()34
2
k k Z π
π
ϕπ⋅
+=+
∈，因为2
π
ϕ≤
，所以4
π
ϕ=-
，所以
()cos 34f x A x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，可以验证()f x 在30,16π⎛⎫
⎪⎝⎭
上不单调，
2.当1ω=时，()()cos f x A x ϕ=+，因为44f x f x ππ⎛⎫
⎛⎫
-=-+
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
对任意的实数x 均恒成立，所以
()4
2
k k Z π
π
ϕπ+=+
∈，因为2
π
ϕ
≤
·所以4
π
ϕ=
·所以()cos 4f x A x π⎛
⎫
=+
⎪⎝
⎭
，可以验证()f x 在30,16π⎛⎫
⎪⎝⎭
上单调，
所以w=1.故选A. 【点睛】
解决函数()()sin f x A x ωϕ=+综合性问题的注意点
（1）结合条件确定参数,,A ωϕ的值，进而得到函数的解析式．
（2）解题时要将x ωϕ+看作一个整体，利用整体代换的方法，并结合正弦函数的相关性质求解．
（3）解题时要注意函数图象的运用，使解题过程直观形象化． 13．3- 【解析】 【分析】
由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案． 【详解】
作出如图所示的可行域，则直线32z x y =-经过点A （-1，0）时取得最小值为-3.
故答案为：3- 【点睛】
求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值. 14．68x 【解析】 【分析】
由二项式定理可知二项式系数和2256n =，所有项的系数和()8
256a b +=，结合常数项为70可得1a b ==，进而得到含6x 的项. 【详解】
依题得2256n
=，所以n =8，在n
b ax x ⎛⎫+ ⎪⎝
⎭的展开式中令x =1，则有()8256a b +=，所以
a+b =2，又因为n b ax x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭
展开式的通项公式为()()8882188r
r r r r
r r r b T C ax C a b x x ---+⎛⎫== ⎪
⎝⎭，令8204r r -=⇒=.所以得到444
8701,1C a b ab ab =⇒==-（舍），当1ab =时，由2a b +=得1a b ==.所以令8261r r -=⇒=，所以16
628
8T C x x ==，故填68x . 【点睛】
求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略
(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第r ＋1项，再由特定项的特点求出r 值即可. (2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第r ＋1项，由特定项得出r 值，最后求出其参数.
15【解析】 【分析】
由PM PN =得到动点P 的轨迹为4230x y +-=，从而问题转化为直线与圆的位置关系问题. 【详解】
设点()(),,2,1P x y M -，所以PC =
2PN ==由PM PN =得
=
化简得4230x y +-=，
所以点B 在直线E
上运动，点A 在圆C 上运动，所以圆心C 到直线E 的距离为10
d =
=
，所以AB
，
【点睛】
本题考查了直线与圆的位置关系，轨迹方程的求法，解题关键明确动点P 的轨迹方程，利用点到直线距离公式即可解决问题. 16．,4π⎡⎫+∞⎪⎢
⎣⎭
【解析】 【分析】
由()()cos f x f x x -+=构建新函数()()11
cos 2
f x f x x =-
，借助其单调性解抽象不等式
即可. 【详解】
由()()cos f x f x x -+=，令()()11
cos 2
f x f x x =-，则()()()()()()()1111
cos cos cos 022
f x f x f x x x f x x f x f x x -+=---+-=-+-=，所
以()1f x 为奇函数.因为当0x ≤时，()1
'2
f x ≥成立，所以当0x ≤时，
()()11
''sin 02
f x f x x =+≥成立，所以()1f x 在(],0-∞上单调递增，所以()1f x 在R 上
单调递增.因为()cos 224f t f t t ππ⎛⎫⎛⎫
≥-++
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
， 即为()11cos cos 2222f t t f t t ππ⎛⎫⎛⎫
-≥--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，
所以()112f t f t π⎛⎫
≥-
⎪⎝⎭
，所以2t t π≥-，所以4t π≥.
故答案为：,4π⎡⎫
+∞⎪⎢⎣⎭
【点睛】
本题考查了利用导数研究函数的性质，解题关键结合条件合理构造新函数，借助新函数的单调性解抽象不等式，属于难题.
17．（1）3；（2）(9
24
+ 【解析】 【分析】
(1)利用正弦定理即可得到c 的值；(2) 在△ABP 中，由余弦定理得
22
9PA PB PA PB =+⋅，结合均值不等式可得(92PA PB ⋅≤，从而可得
ABP ∆面积的最大值．
【详解】
（1）在△ABC 中，由正弦定理得
sin sin a c A C
=
将60,45a A C ==︒=︒代人上式得
23sin60sin45c c =⇒=︒︒
所以c 的值为3.
（2）在△ABP 中，由余弦定理得2
2
2
2cos30AB PA PB PA PB =+-⋅︒，
所以2
2
9PA PB PA PB =+⋅，）
由不等式的性质可知(2
2
92PA PB PA PB PA PB =+⋅≥⋅.
所以(92PA PB ⋅≤
=，
当且仅当PA PB =时取等号.
此时1
sin302
PAB S PA PB ∆=
⋅︒
(19
244
PA PB =⋅≤. 所以△ABP
面积的最大值为号(9
24。

【点睛】
解三角形的基本策略
一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化变；求三角形面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值. 18．（1）见解析；（2）见解析 【解析】 【分析】
(1) 依照个人所得税税率表，调整前后的计算方法表示调整前后y 关于x 的函数表达式； (2) ①由频数分布表可知Z 的取值可能为0，2，4，求出相应的概率值得到分布列与期望值，②由于小李的工资、薪金等收入为7500元，按调整前起征点应纳个税为295元，按调整后起征点应纳个税为75元，从而得到结果. 【详解】
（1）调整前y 关于x 的表达式为
()(]()(]0,3500
35000.03,3500,50004550000.1,5000,8000x y x x x x ⎧≤⎪
=-⨯∈⎨⎪+-⨯∈⎩
.
调整后y 关于x 的表达式为
()(]0,500050000.03,5000,8000x y x x ≤⎧
=⎨-⨯∈⎩
,
（2）①由频数分布表可知从[3000，5000）及[5000，7000）的人群中抽取7人，其中[3000，5000）中占3人，[5000，7000）的人中占4人，再从这7人中选4人，所以Z 的取值可能为0，2，4，（5分）
()()22
344
718
02,235
C C P Z P a b C ======， ()()()1331
34344
716
21,33,135C C C C P Z P a b P a b C +====+====, ()()04
344
71
40,435
C C P Z P a b C =====, 所以其分布列为
所以()181613602435353535
E Z =⨯
+⨯+⨯= ②由于小李的工资、薪金等收入为7500元，按调整前起征点应纳个税为1500×3%+2500×10%=295元；
按调整后起征点应纳个税为2500×3%=75元，
比较两个纳税方案可知，按调整后起征点应纳个税少交220元， 即个人的实际收入增加了220元，所以小李的实际收入增加了220元。

【点睛】
求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：
第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义； 第二步是:“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式（常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积公式，以及对立事件的概率公式等），求出随机变量取每个值时的概率；第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，
并注意用分布列的性质检验所求的分布列或事件的概率是否正确；第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布(如二项分布X ～B(n ，p))，则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式(E(X)＝np)求得.
19．（1）见解析；（2）133
【解析】 【分析】
(1)利用直四棱柱的几何特征可知111A E B D ⊥ ，11CE B D ⊥故B 1D 1⊥平面CEA 1，从而平面
11FB D ⊥平面CEA 1 ；(2) 分别以,,OB OC OE 所在直线为,,x y z 轴的正方向，建立空间直
角坐标系，求出平面11CB D 与平面F 11B D 的法向量，代入公式即可得到锐二面角
11F B D C --的余弦值．
【详解】
（1）平面11FB D ⊥平面1CEA ，证明如下： 连接AC ，BD 相交于点O ，
因为底面ABCD 为菱形，所以AC ⊥BD ， 又因为直四棱柱上下底面全等， 所以由AC ⊥BD 得111A E B D ⊥， 又因为CB =CD ，11BB DD =， 所以CB 1=CD 1.
因为E 为B 1D 1的中点，所以11CE B D ⊥， 又1CE A E E ⋂=，所以B 1D 1⊥平面CEA 1， 又因为11B D ⊂平面11FB D ， 所以平面11FB D ⊥平面CEA 1.
（2）连接OE ，易知OE ⊥平面ABCD ，所以OB ，OC ，OE 两两互相垂直，
所以分别以,,OB OC OE 所在直线为,,x y z 轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示，
则O （0，0，0）
，()()(
)()
11,1,0,4,1,0,4,0,C B D F ==-.（7分） 设平面11CB D 的法向量为()1111,,n x y z =，则
(
)()
()(
)11111111111111,,1,40,0,40,0,,2,0,00,
x y z n CB z n D B x x y z ⎧⋅=⎧⋅==⎪⎪
⇒⇒⎨⎨⋅==⎪⎪⋅=⎩⎩⎪⎩，
令11140y z x =⇒==
所以(10,n =.
同理设平面F 11B D 的法向量为()2222,,n x y z =，则
(
)()
()(
)22221222112222,,0,0,2,0,0,,,2,0,00,
x y z n FB z n D B x x y z ⎧⋅=⎧⋅==-⎪⎪
⇒⇒⎨⎨⋅==⎪⎪⋅=⎩⎩⎪⎩，
令22220y z x =⇒==.
所以(20,2,n =， 所以121212
cos ,=
n n n n n n ⋅
)()30,2,35133
⋅-
==
,
所以所求的锐二面角11F B D C -- 【点睛】
空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理
结论求出相应的角和距离.
20．（1）见解析；（2
）(
(22
3232 x y
--+-+=
或
(
(22
3232
x y
-++--=
【解析】
【分析】
(1)由24
y mx
=与0
x y m
--=得22
440
y my m
--=，解得
(
(
12
2,2
y m y m
=+=-，又1
2
y
AF
BF y
=
-，从而得到结果；
(2)由弦长8
AB=及抛物线定义可得m=1.圆心D在线段AB的中垂线上，求出中垂线方程，设出所求圆的圆心
坐标为()
00
,5
x x
-，借助点到线的距离公式可得圆D的方程．
【详解】
（1）由24
y mx
=与0
x y m
--=消去x，得22
440
y my m
--=，
设()()
1122
,,,
A x y
B x y，
则12
,y y为方程22
440
y my m
--=的两个不同的根，
所以(
(
12
2,2
y m y m
=+=-，
因为A，F，B
三点共线，所以1
2
y
AF
BF y
===
-
（2）因为AB=8，
所以()()
12
8
x m x m
+++=.
所以()()
1212
24448
x x m y y m m m
++=++=+=，
所以m=1.
线段AB的中点坐标为（3m，2m），即（3，2），
所以线段AB的中垂线方程为50
x y
+-=，
因为所求的圆过A，B点，所以圆心D在直线50
x y
+-=上，
设所求圆的圆心坐标为()
00
,5
x x
-，
不难算得两条平行线50x y +-=与30x y ++=
之间的距离d =
=
即D 到直线30x y ++=
的距离d =
由D 到直线10x y --=的距离得
()2
2
023x =-.
设圆D 的半径为R ，
则()()2
222
002316232AB R x x ⎛⎫=+-=+- ⎪
⎝⎭
， 因为过点A 与点B 的圆与直线30x y ++=相切，所以22d
R =， 所以(()2
2
01623x =+
-，
解得0032x y
=+=-
0032x y =-
=+
所以所求圆的方程为((2
2
3232x y --
+-+=
或
((2
2
3232x y -++--=.
【点睛】
抛物线的定义是解决抛物线问题的基础，它能将两种距离(抛物线上的点到焦点的距离、抛物线上的点到准线的距离)进行等量转化．如果问题中涉及抛物线的焦点和准线，又能与距离联系起来，那么用抛物线定义就能解决问题．因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题，可以优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线的距离，这样就可以使问题简单化． 21．（1）见解析；（2）
【解析】 【分析】 (1)
当a =1时..
明确单调性求出最大值即可；
(2)，讨论a 的范围，易知当
时，
没有零；当
时，研究
函数
的单调性，明确图象与x 轴的交点情况即可.
【详解】
（1）当a=1时..
.
因为，所以，
所以在时单调递减，
所以，即.
（2）法一：
（i）当时，没有零；
（ii）当时，，
当时，；当时，.
所以在上单调递减，在上单调递增.
故是在上的最小值
①若，即时，在上没有零点；
②若，即时，在上只有1个零点；
③若，即时，由于，所以在（0，2）上有1个零点，由（1）知，当时，，
因为，
所以.
故在（2，4a）上有1个零点，因此在上有2个不同的零点。

综上，在上有2个不同的零点时，a的取值范围是.
法二：因为，
所以在上零点的个数即为方程在上根的个数。

令.
则，
令得x=2.
当时，，当时，，
所以当时，单调递增， 当时，
单调递减，
所以
在
上的最大值为，
由（1）知，当时，
，
即当
时，
因为当x 无限增大时，→0，所以当x 无限增大时，→0， 又因为，所以当且仅当
时，
函数
在
上的图象与直线
恰好有2个不同的交点，
即当且仅当a>一时，函数h （x ）在（0，+oo ）上有2个不同的零点， 故
在
上有2个不同的零点时，a 的取值范围是
【点睛】
本题考查利用导数证明不等式与研究函数的零点个数.确定零点的个数问题：可利用数形结合的办法判断交点个数，如果函数较为复杂，可结合导数知识确定极值点和单调区间从而确定其大致图象.方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题，可参变分离，转化为求函数的值域问题处理. 恒成立问题以及可转化为恒成立问题的问题，往往可利用参变分离的方法，转化为求函数最值处理．也可构造新函数然后利用导数来求解.注意利用数形结合的数学思想方法.
22．（1）10x -++=，22142
x y +=；（2）1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭
【解析】 【分析】 (1) 当6
a π
=
时，利用消参法得到直线l 的普通方程，利用2
2
2
x y ρ+=及sin y ρθ=得到
曲线C 的直角坐标方程； (2) 将1,1,x tcos y tsin αα=-+⎧⎨=+⎩
代入22
142x y +=中并整理得
()()2
2
1sin 22sin cos 10t
t ααα++--=，借助韦达定理表示PA PB ⋅，利用正弦函数的
有界性求出取值范围. 【详解】
（1）当6
a π
=
时，直线l 的参数方程为
1,1,6211,1,
62x tcos x t y tsin y t ππ⎧⎧=-+=-+⎪⎪⎪⎪⇒⎨
⎨⎪⎪=+=+⎪⎪⎩⎩
. 消去参数t
得10x -++=. 由曲线C 的极坐标方程为2
2
4
1sin ρθ
=+. 得()2
2sin 4ρρθ+=，
将2
2
2
x y ρ+=，及sin y ρθ=代入得2
2
24x y +=，
即22142
x y +=
（2）由直线l 的参数方程为1,1,x tcos y tsin αα=-+⎧⎨=+⎩
（t 为参数，0απ<<）可知直线l 是过点P
（-1，1）且倾斜角为α的直线，又由（1）知曲线C 为椭圆22
142
x y
+=，所以易知点P （-1，
1）在椭圆C 内，
将1,1,x tcos y tsin αα=-+⎧⎨=+⎩
代入22
142x y +=中并整理得
()()2
2
1sin 22sin cos 10t
t ααα++--=，
设A ，B 两点对应的参数分别为12,t t ， 则1221
1sin t t α
⋅=-
+
所以1221
1sin PA PB t t α
⋅==
+
因为0απ<<，所以(]2
sin 0,1α∈，
所以12211,11sin 2PA PB t t α⎡⎫
⋅==
∈⎪⎢+⎣⎭
所以PA PB ⋅的取值范围为1
,12⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
.
【点睛】
利用直线参数方程中参数的几何意义求解问题 经过点P (x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为00{
x x tcos y y tsin θθ
=+=+ (t 为参数)．若A ，B
为直线l 上两点，其对应的参数分别为12,t t ，线段AB 的中点为M ，点M 所对应的参数为0t ，则以下结论在解题中经常用到：
(1) 1202t t t +=；(2) 1202
t t
PM t +==；(3) 21AB t t ＝－；(4) 12·
·PA PB t t ＝． 23．（1）32x x ⎧⎫
>
⎨⎬⎩⎭
；（2）[]3,1-- 【解析】 【分析】
(1) 求出函数f （x ）的分段函数的形式，通过讨论x 的范围求出各个区间上的x 的范围，取
并集即可；(2)()()()
22f y f x f y -+≤≤+等价于()()()()max min 22f x f y f x f x ⎡⎤⎡⎤-≤⇔-≤⎣⎦⎣⎦，求出()f x 的最值即可.
【详解】
（1）当a =1时，()3,1,12,123,2x f x x x x ≤-⎧
⎪
=--<≤⎨⎪->⎩
，
可得()2f x <-的解集为32x x ⎧⎫
>
⎨⎬⎩⎭
（2）当,x y R ∈时，
()()()()()()()max min 2222f y f x f y f x f y f x f x ⎡⎤⎡⎤-+≤≤+⇔-≤⇔-≤⎣⎦⎣⎦,
因为()()222x x a x x a a --+≤--+=+， 所以()
222a a +--+≤. 所以21a +≤，所以31a -≤≤-. 所以a 的取值范围是[-3，-1] 【点睛】
含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用.。