2020高考数学二轮复习专题一三角函数、平面向量与解三角形第4讲平面向量练习

第4讲平面向量
错误!
A级--高考保分练
1．(2019·南通调研)已知向量a＝（1，λ)，b＝（λ，2)，若（a ＋b)∥（a－b),则λ＝________.
解析：由题知a＋b＝(1＋λ，λ＋2），a－b＝(1－λ，λ－2）．因为(a＋b)∥(a－b），所以(1＋λ）(λ－2）＝（λ＋2）(1－λ），解得λ＝±错误!。

答案：±错误!
2．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A,B，C三点满足错误!＝错误!错误!＋错误!错误!，则错误!＝________.
解析：因为错误!＝错误!错误!＋错误!错误!,所以错误!＝错误!－错误!＝－错误!
错误!＋错误!错误!＝错误!(错误!－错误!)，所以错误!＝错误!错误!，所以错误!＝错误!。

答案：错误!
3．向量a＝（3,4)在向量b＝(1，－1）方向上的投影为________．解析：∵向量a＝（3,4），b＝（1，－1），
∴向量a在向量b方向上的投影为
｜a|cos θ＝错误!＝错误!＝－错误!.
答案:－错误!
4．已知e1，e2是夹角为错误!的两个单位向量，a＝3e1＋2e2,b＝2e1
－k e2（k∈R),且a·(a－b）＝8，则实数k的值为________．解析:a＝3e1＋2e2，a－b＝e1＋(2＋k)e2,则a·(a－b）＝(3e1＋2e2）·[e1＋(2＋k)e2］＝3e21＋［2＋3(2＋k)]e1·e2＋2（2＋k)e错误!＝3＋[2＋3(2＋k）]cos 错误!＋2(2＋k）＝8，解得k＝－错误!。

答案：－错误!
5．在△ABC中，O为△ABC的重心，AB＝2，AC＝3，A＝60°，则错误!·错误!＝________.
解析：设BC边中点为D,则错误!＝错误!错误!，错误!＝错误!（错误!＋错误!)，∴错误!·错误!＝错误!(错误!＋错误!)·错误!＝错误!×(3×2×cos 60°＋32）＝4。

答案：4
6．在▱ABCD中，点E是边AD的中点，BE与AC相交于点F，若错误!＝m错误!＋n错误!(m，n∈R），则错误!＝________.
解析:∵
错误!＝2错误!，错误!＝m错误!＋n错误!,∴错误!＝错误!＋错误!＝m错误!＋(2n＋1）错误!,∵F,E，B三点共线，∴m＋2n＋1＝1,∴错误!＝－2.
答案：－2
7．在边长为2的菱形ABCD中,∠ABC＝60°,P是线段BD上的任意一点，则错误!·错误!＝________.
解析：如图所示,由条件知△ABC为正三角形，AC⊥BP，
所以错误!·错误!＝(错误!＋错误!)·错误!
＝错误!·错误!＋错误!·错误!
＝错误!·错误!＝错误!×错误!cos 60°
＝2×2×错误!＝2。

答案：2
8．已知Rt△ABC，点D为斜边BC的中点，｜错误!|＝6错误!，｜
错误!｜＝6，错误!＝错误!错误!,则错误!·错误!＝________.
解析：如图，以A为坐标原点，以AC为x轴，AB为y 轴建立平面直角坐标系，则A(0，0)，B(0,6错误!),C（6,0）,D （3,3错误!）．因为错误!＝错误!错误!，所以错误!＝错误!错误!＝错误!（3，3错误!)＝（1，错误!)，E(1,错误!)，错误!＝(－1,5错误!)，所以错误!·错误!＝（1，3)·（－1,5错误!)＝14.
答案：14
9．(2019·海门中学期中）已知点O是△ABC内部一点，且满
足错误!＋错误!＋错误!＝0,又错误!·错误!＝2错误!，∠BAC＝60°，则△OBC 的面积为________．
解析：因为错误!＋错误!＋错误!＝0，所以O为△ABC的重心，所以△OBC的面积是△ABC面积的错误!,
因为错误!·错误!＝2错误!,
所以|错误!｜·｜错误!|cos∠BAC＝2错误!，
因为∠BAC＝60°，所以｜错误!｜·|错误!|＝4错误!，
所以S△ABC＝错误!｜错误!|·|错误!｜sin∠BAC＝3，
所以△OBC的面积为1.
答案：1
10．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，错误!·错误!＝9，S△ABC＝6，P为线段AB上的点，且错误!＝x·错误!＋y·错误!，则xy的最大值为________．
解析：因为∠C＝90°，所以错误!·错误!＝错误!2＝9,所以|错误!｜＝3，即AC＝3.因为S△ABC＝错误!×AC×BC＝6，所以BC＝4.又P为线段AB上的点，且错误!＝错误!错误!＋错误!错误!,故错误!＋错误!＝1≥2错误!，即xy≤3，当且仅当错误!＝错误!＝错误!，即x＝错误!，y＝2时取等号．答案:3
11．已知向量a＝(sin θ，cos θ－2sin θ），b＝（1，2)．
（1)若a∥b，求tan θ的值;
（2)若｜a|＝|b｜，0＜θ＜π，求θ的值．
解：(1)因为a∥b，所以2sin θ＝cos θ－2sin θ，
于是4sin θ＝cos θ,故tan θ＝错误!.
（2）由｜a|＝|b|知sin2θ＋(cos θ－2sin θ）2＝5,
所以1－2sin 2θ＋4sin2θ＝5，
从而－2sin 2θ＋2（1－cos 2θ)＝4，
即sin 2θ＋cos 2θ＝－1,
于是sin错误!＝－错误!。

又由0＜θ＜π知，错误!＜2θ＋错误!＜错误!，
所以2θ＋错误!＝错误!或2θ＋错误!＝错误!，
因此θ＝错误!或θ＝错误!.
12．设△ABC的内角A，B，C所对边分别为a，b，c。

向量m ＝错误!，n＝（sin B，－cos A)，且m⊥n。

(1）求A的大小；
(2)若|n|＝错误!，求cos C的值．
解：(1)因为m⊥n，所以m·n＝0，
即a sin B－3b cos A＝0。

由正弦定理得,错误!＝错误!，
所以sin A sin B－错误!sin B cos A＝0.
在△ABC中，B∈(0，π)，sin B＞0，
所以sin A＝错误!cos A.
若cos A＝0,则sin A＝0,矛盾．
若cos A≠0,则tan A＝错误!＝错误!。

在△ABC中,A∈(0，π）,所以A＝错误!。

(2）由（1）知，A＝错误!，所以n＝错误!.
因为｜n|＝错误!，所以错误!＝错误!.
解得sin B＝错误!(舍去负值)．
因为sin B＝错误!＜错误!,所以0＜B＜错误!或错误!＜B＜π。

在△ABC中，又A＝错误!，故0＜B＜错误!，所以cos B＞0.
因为sin2B＋cos2B＝1,所以cos B＝错误!。

从而cos C＝－cos（A＋B）＝－cos A cos B＋sin A sin B
＝－错误!×错误!＋错误!×错误!＝错误!.
B级--难点突破练
1．(2019·泰州期末)已知点P为平行四边形ABCD所在平面上
一点，且满足错误!＋错误!＋2错误!＝0，λ错误!＋μ错误!＋错误!＝0，则λμ＝________。

解析：如图，因为错误!＋错误!＋2错误!＝0，
所以错误!＋错误!＋2（错误!＋错误!)＝0，即错误!＋错误!＋2(错误!＋错误!)＝0，
即错误!＋错误!＋2(错误!＋错误!－错误!)＝0，
所以3错误!－错误!＋2错误!＝0，
即错误!错误!－错误!错误!＋错误!＝0,
所以λ＝错误!，μ＝－错误!，λμ＝－错误!。

答案：－错误!
2．已知A（0,1),B（0，－1）,C（1,0），动点P满足错误!·错误!＝2|错误!|2，则｜错误!＋错误!|的最大值为________．
解析：设动点P（x，y)，因为A（0，1)，B（0，－1),C(1，0)，
错误!·错误!＝2｜错误!|2，所以（x,y－1）（x,y＋1）＝2［（x－1）2＋y2],即(x－2)2＋y2＝1.因为｜错误!＋错误!｜＝2错误!，所以｜错误!＋错误!｜表示
圆(x－2)2＋y2＝1上的点到原点距离的2倍，所以|错误!＋错误!|的最大
值为2×(2＋1)＝6。

答案:6
3．（2019·启东期末）设α∈错误!,已知向量a＝(错误!sin α，错误!)，b＝错误!，且a⊥b。

（1）求tan错误!的值；
(2）求cos错误!的值．
解：(1)因为a＝（错误!sin α，错误!）,b＝错误!，且a⊥b,
所以6sin α＋错误!cos α＝错误!，所以sin错误!＝错误!。

因为α∈错误!，所以α＋错误!∈错误!，
所以cos错误!＝错误!，
所以tan错误!＝错误!。

（2)由（1)得cos错误!＝2cos2错误!－1＝2×错误!2－1＝错误!。

因为α∈错误!，所以2α＋错误!∈错误!,
所以sin错误!＝错误!，
所以cos错误!＝cos错误!
＝cos错误!cos错误!－sin错误!sin错误!
＝错误!.
4．在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a,b，c，已知2a cos B＝2c－b.
（1)若cos（A＋C）＝－错误!,求cos C的值；
(2)若b ＝5，错误!·错误!＝－5，求△ABC 的面积；
（3)若O 是△ABC 外接圆的圆心，且错误!·错误!＋错误!·错误!＝m 错误!，求m 的值．
解：由2a cos B ＝2c －b ，得2sin A cos B ＝2sin C －sin B ， 即2sin A cos B ＝2sin （A ＋B )－sin B ，
化简得cos A ＝12
，则A ＝60°。

(1)由cos （A ＋C )＝－cos B ＝－错误!，
得cos B ＝5314
，所以sin B ＝错误!. 所以cos C ＝cos （120°－B )＝－错误!cos B ＋错误!sin B ＝错误!.
（2)因为错误!·错误!＝错误!·（错误!－错误!）＝错误!·错误!－错误!2＝｜错误!|·|错误!|·cos A －|错误!|2＝错误!bc －b 2＝－5，
又b ＝5，解得c ＝8,
所以△ABC 的面积为错误!bc sin A ＝10错误!。

(3)由cos B sin C
·错误!＋错误!·错误!＝m 错误!, 可得错误!·错误!·错误!＋错误!·错误!·错误!＝m 错误!2.(*)
因为O 是△ABC 外接圆的圆心，
所以错误!·错误!＝错误!错误!2,错误!·错误!＝错误!错误!2，
又|错误!|＝错误!，
所以(*）可化为错误!·c2＋错误!·b2＝错误!m·错误!，
所以m＝2(cos B sin C＋sin B cos C)＝2sin(B＋C）＝2sin A＝错误!.。