2020高考知识点22 图像与性质—人教A版高考数学自编知识点复习讲义
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类型二：求 在 的值域：
（3）周期性
函数 及函数 的周期 ；
函数 ，的周期 .
（4）奇偶性：
为奇函数时：
为偶函数时：
(5) 单调性：1,
增区间：令
减区间：令
2,
增区间：令
减区间：不存在
（6）对称性：求函数 图像的
对称轴： 令
对称中心：令
4、由图像确定三角函数的解析式
A要由最大（最小值）来求，
要根据周期来求,
【例2】已知函称，且图象上相邻两个最高点的距离为π，求ω和φ的值．
【解析】由题意，函数f(x)的最小正周期T＝π，
ω＝ ＝ ＝2.
∵f(x)的图象关于直线x＝ 对称，
∴2· ＋φ＝kπ＋ ，φ＝kπ－ ，k∈Z.
又－ ≤φ＜ ，∴φ＝－ .
【例2】要得到函数y＝sin 的图象，只需将函数y＝sin4x的图象( )
A．向左平移 个单位 B．向右平移 个单位
C．向左平移 个单位 D．向右平移 个单位
【解析】∵y＝sin ＝sin4 ，∴要得到函数y＝sin 的图象，
只需将函数y＝sin4x的图象向右平移 个单位．故选B.
【例3】为得到函数y＝cos 的图象，只需将函数y＝sin2x的图象向左平移________个单位长度(填最小正值)．
【解析】函数y＝cos ＝sin ＝sin2 ，
∴只需将函数y＝sin2x的图象向左平移 个单位．故填 .
【例4】( )函数y＝cos(2x＋φ)(－π≤φ＜π)的图象向右平移 个单位后，与函数y＝sin 的图象重合，则φ＝________.
【解析】y＝cos(2x＋φ)的图象 y＝cos ＝cos(2x－π＋φ)＝－cos(2x＋φ)的图象．
要用图像的最高（最低）点或者对称中心点来求.
类型一：三角函数的图象变换
【例1】说明由函数y＝sinx的图象经过怎样的变换就能得到下列函数的图象．
(1)y＝sin ；(2)y＝sin ；
(3)y＝ ；(4)y＝sin .
【解析】(1)将y＝sinx的图象向左平移 个单位长度，得到y＝sin 的图象．
(2)解法一：将y＝sinx的图象向右平移 π个单位长度，得到y＝sin 的图象，再把y＝sin 图象上所有点的横坐标缩短到原来的 (纵坐标不变)，就得到y＝sin 的图象．
∵y＝－cos(2x＋φ)＝sin 与y＝sin 的图象重合，
∴φ－ ＝ ＋2kπ，k∈Z，解得φ＝ ＋2kπ.
又－π≤φ＜π，∴φ＝ .故填 .
类型二：根据图像特点求值
【例1】已知函数y＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，|φ|＜ )的部分图象如图所示，则φ＝________.
【解析】∵T＝π，∴ω＝2.又函数图象经过点 ，∴sin(2× ＋φ)＝1， ＋φ＝ ＋2kπ(k∈Z)，∵|φ|＜ ，∴φ＝－ .故填－ .
知识点22、 的图像与性质
1、相关概念：
有：
振幅A，周期 ，初相 ，相位 ，频率:
2、图像变换
(左加右减）
(上加下减）
(横坐标变为原来的 倍）
(纵坐标变为原来的A倍）
3、性质
（1）定义域问题: 及函数 的定义域为：R
的定义域为：
(2)值域问题：
类型一： 的值域为：
最大值为： , 此时：
最小值为： ,此时：
解法二：先把y＝sinx的图象上所有点的横坐标缩短到原来的 (纵坐标不变)，得到y＝sin2x的图象，再将y＝sin2x的图象向右平移 个单位长度，就得到y＝sin 的图象．
(3)将y＝sinx的图象的x轴下方部分翻折到x轴上方，去掉x轴下方图象，即可得到y＝ 的图象．
(4)先去掉y轴左边的y＝sinx的图象，再将y轴右边的图象翻折到y轴左边，保留y轴右边的图象，即可得到y＝sin 的图象．
（3）周期性
函数 及函数 的周期 ；
函数 ，的周期 .
（4）奇偶性：
为奇函数时：
为偶函数时：
(5) 单调性：1,
增区间：令
减区间：令
2,
增区间：令
减区间：不存在
（6）对称性：求函数 图像的
对称轴： 令
对称中心：令
4、由图像确定三角函数的解析式
A要由最大（最小值）来求，
要根据周期来求,
【例2】已知函称，且图象上相邻两个最高点的距离为π，求ω和φ的值．
【解析】由题意，函数f(x)的最小正周期T＝π，
ω＝ ＝ ＝2.
∵f(x)的图象关于直线x＝ 对称，
∴2· ＋φ＝kπ＋ ，φ＝kπ－ ，k∈Z.
又－ ≤φ＜ ，∴φ＝－ .
【例2】要得到函数y＝sin 的图象，只需将函数y＝sin4x的图象( )
A．向左平移 个单位 B．向右平移 个单位
C．向左平移 个单位 D．向右平移 个单位
【解析】∵y＝sin ＝sin4 ，∴要得到函数y＝sin 的图象，
只需将函数y＝sin4x的图象向右平移 个单位．故选B.
【例3】为得到函数y＝cos 的图象，只需将函数y＝sin2x的图象向左平移________个单位长度(填最小正值)．
【解析】函数y＝cos ＝sin ＝sin2 ，
∴只需将函数y＝sin2x的图象向左平移 个单位．故填 .
【例4】( )函数y＝cos(2x＋φ)(－π≤φ＜π)的图象向右平移 个单位后，与函数y＝sin 的图象重合，则φ＝________.
【解析】y＝cos(2x＋φ)的图象 y＝cos ＝cos(2x－π＋φ)＝－cos(2x＋φ)的图象．
要用图像的最高（最低）点或者对称中心点来求.
类型一：三角函数的图象变换
【例1】说明由函数y＝sinx的图象经过怎样的变换就能得到下列函数的图象．
(1)y＝sin ；(2)y＝sin ；
(3)y＝ ；(4)y＝sin .
【解析】(1)将y＝sinx的图象向左平移 个单位长度，得到y＝sin 的图象．
(2)解法一：将y＝sinx的图象向右平移 π个单位长度，得到y＝sin 的图象，再把y＝sin 图象上所有点的横坐标缩短到原来的 (纵坐标不变)，就得到y＝sin 的图象．
∵y＝－cos(2x＋φ)＝sin 与y＝sin 的图象重合，
∴φ－ ＝ ＋2kπ，k∈Z，解得φ＝ ＋2kπ.
又－π≤φ＜π，∴φ＝ .故填 .
类型二：根据图像特点求值
【例1】已知函数y＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，|φ|＜ )的部分图象如图所示，则φ＝________.
【解析】∵T＝π，∴ω＝2.又函数图象经过点 ，∴sin(2× ＋φ)＝1， ＋φ＝ ＋2kπ(k∈Z)，∵|φ|＜ ，∴φ＝－ .故填－ .
知识点22、 的图像与性质
1、相关概念：
有：
振幅A，周期 ，初相 ，相位 ，频率:
2、图像变换
(左加右减）
(上加下减）
(横坐标变为原来的 倍）
(纵坐标变为原来的A倍）
3、性质
（1）定义域问题: 及函数 的定义域为：R
的定义域为：
(2)值域问题：
类型一： 的值域为：
最大值为： , 此时：
最小值为： ,此时：
解法二：先把y＝sinx的图象上所有点的横坐标缩短到原来的 (纵坐标不变)，得到y＝sin2x的图象，再将y＝sin2x的图象向右平移 个单位长度，就得到y＝sin 的图象．
(3)将y＝sinx的图象的x轴下方部分翻折到x轴上方，去掉x轴下方图象，即可得到y＝ 的图象．
(4)先去掉y轴左边的y＝sinx的图象，再将y轴右边的图象翻折到y轴左边，保留y轴右边的图象，即可得到y＝sin 的图象．