安徽省阜阳市第七中学2021年高三数学文下学期期末试卷含解析

安徽省阜阳市第七中学2021年高三数学文下学期期末试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知函数的导函数的图象如图所示，那么函数的图象最有可能的是（）
参考答案：
A
2. 的值为（）
A． B． C． D．
参考答案：
D
略
3. 两个函数的图象经过平移后能够重合，称这两个函数为“同形”函数，则下列四个函数：f1（x）
=2log2（x+2），f2（x）=log2（x+2），f3（x）=log2（x+2）2，f4（x）=log22x，为“同形”函数的是（）
A．f1（x）与f3（x）B．f2（x）与f4（x）C．f1（x）与f2（x）D．f3（x）与f4（x）
参考答案：
B
【考点】函数的图象与图象变化．
【分析】由对数的运算法则可得f4（x）=log2（2x）=log2x+1，由函数图象变化的规律分析可得f2（x）与f4（x）符合同形”函数的定义，即可得答案．
【解答】解：根据题意，f4（x）=log2（2x）=log2x+1，；
则将函数f2（x）=log2（x+2）的图象，先向右平移2个单位得f（x）=log2x的图象，再向上平移1个单位得到函数f（x）=log2x+1=log2（2x）的图象．
故f2（x）与f4（x）符合同形”函数的定义；
故选：B．
4. 已知ai，bi∈R(i＝1,2,3，…，n)，，，则的最大值为( )
A．1 B．2 C．n D．2
参考答案：
A
略
5. 函数f（x）=+3的最大值、最小值分别为M、n，则M+n=（）
A．0 B．3 C．6 D．9
参考答案：
C
【考点】函数的最值及其几何意义．
【专题】综合题；转化思想；综合法；函数的性质及应用．
【分析】令g（x）=，得到g（x）为奇函数，得到g（x）max+g（x）min=0，相加可得答案．【解答】解：∵f（x）=+3，
设g（x）=，
∴g（﹣x）==﹣g（x），
∴g（x）为奇函数，
∴g（x）max+g（x）min=0
∵M=3+g（x）max，n=3+g（x）min，
∴M+n=3+3+0=6，
故选：C．
【点评】本题主要考查了利用函数的奇偶性求函数的最大值与最小值，属于中档题．
6. 已知所在平面内有两点，满足，若，
,则的值为( )
A. B. C. D.
参考答案：
D
因为，所以为中点，又因为即，所以，所以为线段的靠近的三等分点．所以，所以
，所以，或．故. 7. 的展开式中的系数为（）
A．40 B．80 C.120 D．160
参考答案：
C
展开式的通项公式为，
当时，，
当时，，
据此可得：的系数为.
本题选择C选项.
8. 已知函数f（x）=lnx﹣x2与g（x）=（x﹣2）2+﹣m（m∈R）的图象上存在关于（1，0）对称的点，则实数m的取值范围是（）
A．（﹣∞，1﹣ln2）B．（﹣∞，1﹣ln2] C．（1﹣ln2，+∞）D．[1﹣ln2，+∞）
参考答案：D
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．
【分析】由题意可知f（x）=﹣g（2﹣x）有解，即m=lnx+在（0，+∞）有解，求导数，确定函数的单调性，可知m的范围．
【解答】解：∵数f（x）=lnx﹣x2与g（x）=（x﹣2）2+﹣m（m∈R）
的图象上存在关于（1，0）对称的点，
∴f（x）=﹣g（2﹣x）有解，
∴lnx﹣x2=﹣x2﹣+m，
∴m=lnx+在（0，+∞）有解，
m′=，
∴函数在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增，
∴m≥ln+1=1﹣ln2
故选D．
【点评】本题考查利用导数求最值，考查对称性的运用，关键是转化为m=lnx+在（0，+∞）有解，属于中档题．
9. 函数的图象是（）
参考答案：
D
10. 在中，点是边上任意一点，是线段的中点，若存在实数和，使得
，则（）
A．B． 2 C．2 D．
参考答案：
B
因为点在边上，所以存在，使得.
因为是线段的中点，所以
又，所以，，
所以. 故选B.
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 在等差数列{a n}中，a1=7，公差为d，前n项和为S n，当且仅当n=8时S n取得最大值，则d的取值范围为．
参考答案：
（﹣1，﹣）
【考点】等差数列的性质．
【分析】根据题意当且仅当n=8时S n取得最大值，得到S7＜S8，S9＜S8，联立得不等式方程组，求解得d的取值范围．
【解答】解：∵S n =7n+，当且仅当n=8时S n取得最大值，∴，即，解得：，
综上：d的取值范围为（﹣1，﹣）．
12. 若函数有三个不同的零点，则实数的取值范围
是
.
参考答案：
由，得，当，得，由图象可知
，要使函数有三个不同的零点，则有
，即，所以实数的取值范围是。

13. 已知||＝3，||＝，⊥，点R在∠POQ内，且∠POR＝30°，＝m＋n (m，n∈R)，则等于
_____________．
参考答案：
1
略
14. 对于集合(n∈N*，n≥3)，定义集合，记集合S中的元素个数为S(A).
（1）若集合A＝{1，2，3，4}，则S(A)＝ .
（2）若a1，a2，…，a n是公差大于零的等差数列，则S(A)＝ (用含n的代数式表示).
参考答案：
5，2n－3。

（1）据题意，S＝{3，4，5，6，7}，所以S(A)＝5.
（2）据等差数列性质，当时，，当时，.
由题a1＜a2＜…＜a n，
则.
所以.
15. 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为边长为2的正方形，PA⊥底面ABCD，PA=2
（1）求异面直线PC与BD所成角的大小；
（2）求点A到平面PBD的距离．
参考答案：
考点：点、线、面间的距离计算；异面直线及其所成的角．
专题：综合题；空间位置关系与距离；空间角．
分析：（1）令AC与BD交点为O，PA的中点为E，连接OE，BE，则OE∥PC，则直线PC与BD所成角等于直线OE与BD所成角，解三角形OEB，即可得到答案．
（2）过A作AH⊥OE，垂足为H，则AH⊥平面PBD，求出AH，即可求点A到平面PBD的距离．
解答：解：（1）令AC与BD交点为O，PA的中点为E，连接OE，BE如图所示：
∵O为BD的中点，则EO=PC=，且OE∥PC，
又∵PA⊥面ABCD，且PA=AD=2，AB=2，BD=2．
∴OB=BD=，BE=，
∴|cos∠EOB|=||=0，
即异面直线PC与BD所成角为90°；（2）过A作AH⊥OE，垂足为H，则AH⊥平面PBD．
在直角三角形AOE中，AE=1，OA=，OE=，
由等面积可得AH==．
点评：本题考查异面直线及其所成的角，点A到平面PBD的距离，将空间问题转化为一个平面解三角形的问题是解题的关键．
16. 设表示不超x的最大整数，（如）。

对于给定的,定义
则________;
当时，函数的值域是_________________________。

参考答案：
【答案】
【解析】当时，当时，
所以故函数的值域是.
17. 若向量满足，则的值为
___ .与的夹角是___ .
参考答案：
,
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知函数,其中(为自然对数的底数).
（Ⅰ）讨论函数的单调性,并写出相应的单调区间；
（Ⅱ）设,若函数对任意都成立,求的最大值.
参考答案：
(Ⅰ)因为
， (1)
分
①当时，在恒成立，函数在上单调递增；…………2分
②当时，由得，
所以当时，此时单调递减；
当时，此时单调递增. …………5分
综上，当时，函数的单调递增区间为；
当时，函数的单调递增区间为；
单调递减区间为. …………6分
(Ⅱ) 由(Ⅰ)知，当时，函数在R上单调递增且时，.
所以不可能恒成
立；…………7分
当时，；
当时，由函数对任意都成立，得.
因为，…………8分所以.
所以，
设所以，
由于，令，得.
当时，，单调递增；…………10分
当)时，，单调递减.
所以，即，时，的最大值为. …………12分
19. 已知直线l：y=x+，圆O：x2+y2=5，椭圆E： +=1（a＞b＞0）的离心率e=，直线l 被圆O截得的弦长与椭圆的短轴长相等．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）过圆O上任意一点P作椭圆E的两条切线，若切线都存在斜率，求证两切线斜率之积为定值．
参考答案：
【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．
【分析】（Ⅰ）设椭圆半焦距为c，求出圆心O到l的距离，可得弦长，从而可得椭圆的短轴长，利用椭圆的离心率e=，即可求得椭圆E的方程；
（Ⅱ）设P过点P的椭圆E的切线的方程与椭圆方程联立，消去y可得一元二次方程，利用判别式为0建立方程，再利用韦达定理，计算两切线斜率之积，即可得到结论．
【解答】（Ⅰ）解：设椭圆半焦距为c，圆心O到l的距离d==，
∴直线l被圆O截得的弦长为，
由2b=，解得b=，
∵椭圆E： +=1（a＞b＞0）的离心率e=，
∴
∴，解得a2=3
∴椭圆E的方程为；
（Ⅱ）证明：设P（x0，y0），过点P的椭圆E的切线l0的方程为y﹣y0=k（x﹣x0）
与椭圆方程联立，消去y可得（3+2k2）x2+4k（y0﹣kx0）x+2（kx0﹣y0）2﹣6=0
∴△=[4k（y0﹣kx0）]2﹣4（3+2k2）[2（kx0﹣y0）2﹣6]=0
∴（）k2+2kx0y0﹣（）=0
设满足题意的椭圆的两条切线的斜率分别为k1，k2，
∴k1k2=﹣
∵P在圆O上，∴，
∴k1k2=﹣=﹣1
∴两切线斜率之积为定值﹣1．
20. （本题满分14分）已知抛物线，过点的直线与抛物线交于两点，且直线与
轴交于点
(1)求证：成等比数列；
(2)设，，试问是否为定值，若是，求出此定值；若不是，请说明理由．
参考答案：(1)证明：设直线的方程为：，
联立方程可得得①
设，，，则，②
，
而，∴，
即成等比数列．
(2)由，得
，，
即得：，则
由(1)中②代入得，故为定值且定值为－1.
21. 已知数列的通项公式是，数列是等差数列，令集合
，，．将集合中的元素按从小到大的顺序排列构成的数列记为．
（1）若，，求数列的通项公式；（2）若，数列的前5项成等比数列，且，，求满足的正整数的个数．
参考答案：
(1)或或
(2)分类讨论:数列
若;
;
;
.
只有满足,数列为1,,
.
满足的的值为1,2,3,4,6共5个.
略
22. （本小题满分14分）已知数列是递增数列，且满足
（Ⅰ）若是等差数列，求数列的通项公式；
（Ⅱ）对于（Ⅰ）中，令，求数列的前项和．
参考答案：
（本小题满分14分）解：（1）根据题意：，又，
所以是方程的两根，且，
解得，所以，. ……………………………6分
（2），则
①
②
①一②，得，
所以. …………………………………………14分。