专题16导数及其应用小题综合(学生卷)- 十年(2015-2024)高考真题数学分项汇编(全国通用)

专题16
导数及其应用小题综合
考点十年考情（2015-2024）命题趋势
考点1导数的基本计算
及其应用
（10年4考）2020·全国卷、2018·天津卷
2016·天津卷、2015·天津卷
1.掌握基本函数的导数求
解，会导数的基本计算，会
求切线方程，会公切线的拓
展，切线内容是新高考的命
题热点，要熟练掌握
2.会利用导数判断函数的
单调性及会求极值最值，会
根据极值点拓展求参数及其
他内容，极值点也是新高考
的命题热点，要熟练掌握
3.会用导数研究函数的零
点和方程的根，会拓展函数
零点的应用，会导数与函数
性质的结合，该内容也是新
高考的命题热点，要熟练掌
握
4.会构建函数利用导数判
断函数单调性比较函数值大
小关系，该内容也是新高考
的命题热点，要熟练掌握
考点2求切线方程及其
应用
（10年10考）2024·全国甲卷、2023·全国甲卷、2022·全国新Ⅱ卷2022·全国新Ⅰ卷、2021·全国甲卷、2021·全国新Ⅱ卷2021·全国新Ⅰ卷、2020·全国卷、2020·全国卷2020·全国卷、2019·江苏卷、2019·全国卷2019·天津卷、2019·全国卷、2019·全国卷2018·全国卷、2018·全国卷、2018·全国卷2018·全国卷、2017·全国卷、2016·全国卷2016·全国卷、2015·全国卷、2015·陕西卷2015·陕西卷
考点3公切线问题
（10年3考）
2024·全国新Ⅰ卷、2016·全国卷、2015·全国卷
考点4利用导数判断函数单调性及其应用
（10年6考）2024·全国新Ⅰ卷、2023·全国新Ⅱ卷、2023·全国乙卷2019·北京卷、2017·山东卷、2016·全国卷2015·陕西卷、2015·福建卷、2015·全国卷
考点5求极值与最值及
其应用
（10年5考）2024·上海卷、2023·全国新Ⅱ卷、2022·全国乙卷2022·全国甲卷、2021·全国新Ⅰ卷、2018·全国卷2018·江苏卷
考点6利用导数研究函数的极值点及其应用
（10年5考）2022·全国新Ⅰ卷、2022·全国乙卷、2021·全国乙卷、2017·全国卷、2016·四川卷
5.
要会导数及其性质的综合应用，加强复习
考点7导数与函数的基
本性质结合问题（10年6考）2024·全国新Ⅰ卷、2023·全国新Ⅰ卷、2022·全国新Ⅰ卷2021·全国新Ⅱ卷、2017·山东卷、2015·四川卷
考点8利用导数研究函数的零点及其应用（10年6考）2024·全国新Ⅱ卷、2023·全国乙卷、2021·北京卷、2018·江苏卷、2017·全国卷、2015·陕西卷
考点9利用导数研究方
程的根及其应用（10年3考）2024·全国甲卷、2021·北京卷、2015·安徽卷2015·全国卷、2015·安徽卷
考点10构建函数利用导数判断函数单调性比较函数值大小关系（10年3考）
2022·全国甲卷、2022·全国新Ⅰ卷、2021·全国乙卷
考点01导数的基本计算及其应用
1．（2020·全国·高考真题）设函数e ()x
f x x a
=+．若(1)4e f '=，则a =
．
2．（2018·天津·高考真题）已知函数f (x )=exlnx ，()'f x 为f (x )的导函数，则()'1f 的值为．3．（2016·天津·高考真题）已知函数()(2+1)e ,()x f x x f x '=为()f x 的导函数，则(0)f '的值为
.
4．（2015·天津·高考真题）已知函数()()ln ,0,f x ax x x =∈+∞，其中a 为实数，()f x '为()f x 的导函数，若
()13f '=，则a 的值为
．
考点02求切线方程及其应用
1．（2024·全国甲卷·高考真题）设函数()2
e 2sin 1x x
f x x
+=+，则曲线()y f x =在点()0,1处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（）A ．
16
B ．13
C ．
12
D ．
23
2．（2023·全国甲卷·高考真题）曲线e 1x
y x =+在点e 1,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
处的切线方程为（
）
A ．e
4
y x =
B ．e 2
y x =
C ．e e 44
y x =
+D ．e 3e
24
y x =
+
3．（2022·全国新Ⅱ卷·高考真题）曲线ln ||y x =过坐标原点的两条切线的方程为
，
．
4．（2022·全国新Ⅰ卷·高考真题）若曲线()e x y x a =+有两条过坐标原点的切线，则a 的取值范围是
．
5．（2021·全国甲卷·高考真题）曲线2x 1
y x 2
-=
+在点()1,3--处的切线方程为．
6．（2021·全国新Ⅱ卷·高考真题）已知函数12()1,0,0x f x e x x <=>-，函数()f x 的图象在点()()
11,A x f x 和
点()()
22,B x f x 的两条切线互相垂直，且分别交y 轴于M ，N 两点，则
||
||
AM BN 取值范围是．
7．（2021·全国新Ⅰ卷·高考真题）若过点(),a b 可以作曲线e x y =的两条切线，则（）
A ．e b a <
B ．e a b <
C ．0e b
a <<D ．0e a
b <<8．（2020·全国·高考真题）若直线l 与曲线y
x 2+y 2=15
都相切，则l 的方程为（
）
A ．y =2x +1
B ．y =2x +
1
2
C ．y =
12
x +1D ．y =
12
x +
12
9．（2020·全国·高考真题）函数43()2f x x x =-的图像在点(1(1))f ，处的切线方程为（）
A ．21y x =--
B ．21y x =-+
C ．23
y x =-D ．21
y x =+10．（2020·全国·高考真题）曲线ln 1y x x =++的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为
.
11．（2019·江苏·高考真题）在平面直角坐标系xOy 中，点A 在曲线y =ln x 上，且该曲线在点A 处的切线经过点（-e ，-1)(e 为自然对数的底数），则点A 的坐标是
.
12．（2019·全国·高考真题）已知曲线e ln x y a x x =+在点()1,ae 处的切线方程为2y x b =+，则
A ．,1
a e
b ==-B ．,1
a e
b ==C ．1,1
a e
b -==D ．1,1
a e
b -==-13．（2019·天津·高考真题）曲线cos 2
x
y x =-
在点()0,1处的切线方程为.14．（2019·全国·高考真题）曲线23()e x y x x =+在点(0,0)处的切线方程为．
15．（2019·全国·高考真题）曲线y =2sin x +cos x 在点(π，–1)处的切线方程为
A ．10x y --π-=
B ．2210x y --π-=
C ．2210
x y +-π+=D ．10
x y +-π+=16．（2018·全国·高考真题）设函数()()32
1f x x a x ax =+-+．若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点()00，
处的切线方程为(
)
A ．2y x
=-B ．y x
=-C ．2y x
=D ．y x
=17．（2018·全国·高考真题）曲线()1e x
y ax =+在点()01，
处的切线的斜率为2-，则=a ．
18．（2018·全国·高考真题）曲线2ln y x =在点()1,0处的切线方程为．
19．（2018·全国·高考真题）曲线2ln(1)y x =+在点(0,0)处的切线方程为
．
20．（2017·全国·高考真题）曲线21
y x x
=+
在点（1，2）处的切线方程为．
21．（2016·全国·高考真题）已知()f x 为偶函数，当0x ≤时，1()e x f x x --=-，则曲线()y f x =在点(1,2)处的切线方程是
.
22．（2016·全国·高考真题）已知()f x 为偶函数，当0x <时，()ln()3f x x x =-+，则曲线()y f x =在点(1,3)-处的切线方程是
．
23．（2015·全国·高考真题）已知函数()31f x ax x =++的图像在点()()1,1f 的处的切线过点()2,7，则
=
a .
24．（2015·陕西·高考真题）设曲线x y e =在点（0,1）处的切线与曲线1
(0)y x x
=>上点P 处的切线垂直，则P 的坐标为
．
25．（2015·陕西·高考真题）函数x y xe =在其极值点处的切线方程为
.
考点03公切线问题
1．（2024·全国新Ⅰ卷·高考真题）若曲线e x y x =+在点()0,1处的切线也是曲线ln(1)y x a =++的切线，则
=
a .
2．（2016·全国·高考真题）若直线y kx b =+是曲线ln 2y x =+的切线，也是曲线ln(1)y x =+的切线，则b =
．
3．（2015·全国·高考真题）已知曲线ln y x x =+在点()1,1处的切线与曲线()221y ax a x =+++相切,则
a=．
考点04利用导数判断函数单调性及其应用
1．（2024·全国新Ⅰ卷·高考真题）（多选）设函数2()(1)(4)f x x x =--，则（）
A ．3x =是()f x 的极小值点
B ．当01x <<时，()
2
()f x f x <C ．当12x <<时，4(21)0
f x -<-<D ．当10x -<<时，(2)()
f x f x ->2．（2023·全国新Ⅱ卷·高考真题）已知函数()e ln x
f x a x =-在区间()1,2上单调递增，则a 的最小值为（
）．
A ．2e
B ．e
C ．1e -
D ．2
e -3．（2023·全国乙卷·高考真题）设()0,1a ∈，若函数()()1x
x f x a a =++在()0,∞+上单调递增，则a 的取值范围是
.
4．（2019·北京·高考真题）设函数f （x ）=e x +a e −x （a 为常数）．若f （x ）为奇函数，则a =
；若f （x ）
是R 上的增函数，则a 的取值范围是．
5．（2017·山东·高考真题）若函数()e x
f x (e=2.71828L ,是自然对数的底数)在()f x 的定义域上单调递增,则称
函数()f x 具有M 性质,下列函数中具有M 性质的是
A ．()2
x
f x -=B ．()2
f x x
=C ．()-3x
f x =D ．()cos f x x
=6．（2016·全国·高考真题）若函数()1
sin 2sin 3
f x x x a x =-+在R 上单调递增，则a 的取值范围是
A ．[]
1,1-B ．11,3⎡⎤-⎢⎥
⎣⎦C ．11,33⎡⎤-⎢⎥
⎣⎦D ．11,3⎡
⎤--⎢⎣
⎦7．（2015·陕西·高考真题）设()sin f x x x =-，则()f x =A ．既是奇函数又是减函数B ．既是奇函数又是增函数C ．是有零点的减函数
D ．是没有零点的奇函数
8．（2015·福建·高考真题）若定义在R 上的函数()f x 满足()01f =-，其导函数()f x '满足()1f x k '>>，则下列结论中一定错误的是（）A ．11
f k k ⎛⎫<
⎪⎝⎭B ．111f k k ⎛⎫
>
⎪-⎝⎭C ．1111
f k k ⎛⎫
<
⎪--⎝⎭D ．111
k f k k ⎛⎫
>
⎪--⎝⎭9．（2015·全国·高考真题）设函数'()f x 是奇函数()f x （x R ∈）的导函数，(1)0f -=，当0x >时，
'()()0xf x f x -<，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是
A ．(,1)(0,1)-∞-
B ．(1,0)(1,)-È+¥
C ．(,1)(1,0)
-∞-- D ．(0,1)(1,)
⋃+∞考点05求极值与最值及其应用
1．（2024·上海·高考真题）已知函数()f x 的定义域为R ，定义集合()()(){}0000,,,M x x x x f x f x ∞=∈∈-<R ，在使得[]1,1M =-的所有()f x 中，下列成立的是（）
A ．存在()f x 是偶函数
B ．存在()f x 在2x =处取最大值
C ．存在()f x 是严格增函数
D ．存在()f x 在=1x -处取到极小值
2．（2023·全国新Ⅱ卷·高考真题）若函数()()2
ln 0b c
f x a x a x x =++≠既有极大值也有极小值，则（）．
A ．0
bc >B ．0
ab >C ．280b ac +>D ．0
ac <3．（2022·全国乙卷·高考真题）函数()()cos 1sin 1f x x x x =+++在区间[]0,2π的最小值、最大值分别为（）
A ．ππ
22
-，
B ．3ππ22-
，C ．ππ2
22
-+，D ．3ππ222
-
+，
4．（2022·全国甲卷·高考真题）当1x =时，函数()ln b
f x a x x
=+取得最大值2-，则(2)f '=（）
A ．1
-B ．1
2
-
C ．1
2
D ．1
5．（2021·全国新Ⅰ卷·高考真题）函数()212ln f x x x =--的最小值为
.
6．（2018·全国·高考真题）已知函数()2sin sin 2f x x x =+，则()f x 的最小值是
．
7．（2018·江苏·高考真题）若函数()()3221f x x ax a R =-+∈在()0,+∞内有且只有一个零点，则()f x 在[]
1,1-上的最大值与最小值的和为．
考点06利用导数研究函数的极值点及其应用
1．（2022·全国新Ⅰ卷·高考真题）（多选）已知函数3()1f x x x =-+，则（）
A ．()f x 有两个极值点
B ．()f x 有三个零点
C ．点(0,1)是曲线()y f x =的对称中心
D ．直线2y x =是曲线()y f x =的切线
2．（2022·全国乙卷·高考真题）已知1x x =和2x x =分别是函数2()2e x f x a x =-（0a >且1a ≠）的极小值点和极大值点．若12x x <，则a 的取值范围是
．
3．（2021·全国乙卷·高考真题）设0a ≠，若a 为函数()()()2
f x a x a x b =--的极大值点，则（）
A ．a b
<B ．a b
>C ．2
ab a <D ．2
ab a >4．（2017·全国·高考真题）若2x =-是函数21()(1)e x f x x ax -=+-的极值点，则()f x 的极小值为．A ．1
-B ．3
2e --C ．3
5e -D ．1
5．（2016·四川·高考真题）已知a 为函数f （x ）=x 3–12x 的极小值点，则a=A ．–4
B ．–2
C ．4
D ．2
考点07导数与函数的基本性质结合问题
1．（2024·全国新Ⅰ卷·高考真题）（多选）设函数2()(1)(4)f x x x =--，则（）
A ．3x =是()f x 的极小值点
B ．当01x <<时，()
2
()f x f x <C ．当12x <<时，4(21)0
f x -<-<D ．当10x -<<时，(2)()
f x f x ->2．（2023·全国新Ⅰ卷·高考真题）（多选）已知函数()f x 的定义域为R ，()()()22
f xy y f x x f y =+，则（
）．
A ．()00f =
B ．()10
f =C ．()f x 是偶函数
D ．0x =为()f x 的极小值点
3．（2022·全国新Ⅰ卷·高考真题）（多选）已知函数()f x 及其导函数()f x '的定义域均为R ，记()()g x f x '=，
若322f x ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
，(2)g x +均为偶函数，则（
）
A ．(0)0
f =B ．10
2g ⎛⎫-= ⎪⎝⎭
C ．(1)(4)f f -=
D ．(1)(2)
g g -=4．（2021·全国新Ⅱ卷·高考真题）写出一个同时具有下列性质①②③的函数():f x ．
①()()()1212f x x f x f x =；②当(0,)x ∈+∞时，()0f x '>；③()f x '是奇函数．
5．（2017·山东·高考真题）若函数()x y e f x = 2.71828...e =（是自然对数的底数）在()f x 的定义域上单调递增，则称函数()f x 具有M 性质，下列函数中所有具有M 性质的函数的序号为①=2x
f x -（）②=3x
f x -（）③3=f x x （
）④2=2f x x +（）6．（2015·四川·高考真题）已知函数f （x ）＝2x ，g （x ）＝x 2＋ax （其中a ∈R ）.对于不相等的实数x 1，x 2，设m ＝1212
()()f x f x x x --，n ＝1212()()g x g x x x --，现有如下命题：
①对于任意不相等的实数x 1，x 2，都有m ＞0；
②对于任意的a 及任意不相等的实数x 1，x 2，都有n ＞0；③对于任意的a ，存在不相等的实数x 1，x 2，使得m ＝n ；④对于任意的a ，存在不相等的实数x 1，x 2，使得m ＝－n.其中真命题有
（写出所有真命题的序号）.
考点08利用导数研究函数的零点及其应用
1．（2024·全国新Ⅱ卷·高考真题）（多选）设函数32()231f x x ax =-+，则（）
A ．当1a >时，()f x 有三个零点
B ．当0a <时，0x =是()f x 的极大值点
C ．存在a ，b ，使得x b =为曲线()y f x =的对称轴
D ．存在a ，使得点()()1,1f 为曲线()y f x =的对称中心
2．（2023·全国乙卷·高考真题）函数()3
2f x x ax =++存在3个零点，则a 的取值范围是（
）
A ．(),2-∞-
B ．(),3-∞-
C ．()4,1--
D ．()
3,0-3．（2021·北京·高考真题）已知函数()lg 2f x x kx =--，给出下列四个结论：①若0k =，()f x 恰有2个零点；②存在负数k ，使得()f x 恰有1个零点；③存在负数k ，使得()f x 恰有3个零点；④存在正数k ，使得()f x 恰有3个零点．其中所有正确结论的序号是
．
4．（2018·江苏·高考真题）若函数()()3221f x x ax a R =-+∈在()0,+∞内有且只有一个零点，则()f x 在[]
1,1-上的最大值与最小值的和为．
5．（2017·全国·高考真题）已知函数211()2()x x f x x x a e e --+=-++有唯一零点，则=a A ．1
2
-
B ．
13
C ．
12
D ．1
6．（2015·陕西·高考真题）对二次函数2()f x ax bx c =++（a 为非零整数），四位同学分别给出下列结论，其中有且仅有一个结
论是错误的，则错误的结论是A ．1-是()f x 的零点B ．1是()f x 的极值点C ．3是()f x 的极值
D ．点(2,8)在曲线()y f x =上
考点09利用导数研究方程的根及其应用
1．（2024·全国甲卷·高考真题）曲线33y x x =-与()2
1y x a =--+在()0,∞+上有两个不同的交点，则a 的取
值范围为．
2．（2021·北京·高考真题）已知函数()lg 2f x x kx =--，给出下列四个结论：①若0k =，()f x 恰有2个零点；②存在负数k ，使得()f x 恰有1个零点；③存在负数k ，使得()f x 恰有3个零点；④存在正数k ，使得()f x 恰有3个零点．其中所有正确结论的序号是
．
3．（2015·安徽·高考真题）函数()32f x ax bx cx d =+++的图象如图所示，则下列结论成立的是（
）
A ．0a >，0b <，0c >，0d >
B ．0a >，0b <，0c <，0d >
C ．0a <，0b <，0c >，0
d >D ．0a >，0b >，0c >，0
d <4．（2015·全国·高考真题）设函数()(21)x f x
e x ax a =--+，其中1a <，若存在唯一的整数0x ，使得0()0
f x <，
则a 的取值范围是（）
A ．3,12e ⎡⎫-⎪
⎢⎣⎭
B ．33,2e 4⎡⎫
-
⎪⎢⎣⎭
C ．33,2e 4⎡⎫
⎪⎢
⎣⎭
D ．3,12e ⎡⎫⎪
⎢⎣⎭
5．（2015·安徽·高考真题）设30x ax b ++=，其中,a b 均为实数，下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是
.（写出所有正确条件的编号）
①3,3a b =-=-；②3,2a b =-=；③3,2a b =->；④0,2a b ==；⑤1,2a b ==.
考点10构建函数利用导数判断函数单调性比较函数值大小关系
1．（2022·全国甲卷·高考真题）已知3111
,cos ,4sin 3244
a b c ===，则（）
A ．c b a
>>B ．b a c
>>C ．a b c >>D ．a c b
>>2．（2022·全国新Ⅰ卷·高考真题）设0.1
10.1e ,ln 0.99
a b c ===-，则（
）
A ．a b c <<
B ．c b a <<
C ．c<a<b
D ．a c b
<<3．（2021·全国乙卷·高考真题）设2ln1.01a =，ln1.02b =，1c =-．则（）
A ．a b c
<<B ．b<c<a
C ．b a c
<<D ．c<a<b。