山东省滨州市博兴县第三中学2020届高三数学阶段性测试试题

山东省滨州市博兴县第三中学2020届高三数学阶段性测
试试题
本试卷分第I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，将第I 卷选择题的正确答案选项填涂在答题卡相应位置上，考试结束，将答题卡交回．考试时间120分钟，满分150分。

注意事项：
1．答卷前，考生务必将姓名、座号、准考证号填写在答题卡规定的位置上． 2．第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，答案不能答在试题卷上．
3．第Ⅱ卷答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试题卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效．
第I 卷(选择题 共52分)
一、选择题：(本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知向量()()1,3,,1a b m =-=，若向量,a b 夹角为3
π，则m = A ．
33
B ．3
C ．0
D ．3-
2．如图所示，在正方形ABCD 中，E 为AB 的中点，F 为CE 的中点，则BF = A ．314
4
AB AD + B ．114
2
AB AD -+
C ．1
2AB AD +
D ．31
44
AB AD +
3．在平面直角坐标系中，角α的始边与x 轴的正半轴重合，终边与单位圆交于点
34,55P ⎛⎫
⎪⎝⎭
，则sin 2α=
A.
2425
B. 6
5 C. 35- D.
4
+ 4．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长六尺，斩本一尺，重五斤，斩末一尺，重二斤，箠重几何?”意思是：“现有一根金杖，长6尺，一头粗，一头细，在最粗的一端截下1尺，重5斤；在最细的一端截下1尺，重2斤；问金杖重多少斤?”(设该金杖由粗到细是均匀变化的) A ．21 B ．18 C ．15 D ．12
5．已知4
sin cos ,,,sin cos 342
ππ
θθθθθ⎛⎫+=∈-= ⎪⎝
⎭
则
A.
3
B. 3
-
C. 13
D. 13
-
6．在ABC ∆中，6012A AB AC ∠===，，，若3,BD DC AE AC AB R λλ==-∈，
， 且1AD AE λ⋅=，则的值为 A ．
2
13
B ．1
C ．
311
D ．
813
7．对于任意向量,a b ，下列关系中恒成立的是 A ．a b a b ⋅<⋅ B. a b a b
-≤-
C. ()()2
2
a b a b a b -+=- D. ()()2
2
a b a b
+=-
8．在矩形ABCD 中，AB=2，BC=1，点E 为BC 的中点，点F 在线段DC 上．若AE AF AP +=，且点P 在直线AC 上，则EF AP ⋅=
A. 3
2 B. 94- C. 52
- D. 3-
9．22cos sin 44x x ππ⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝
⎭
⎝
⎭
A ．1
B ．1sin 2x -
C ．1cos2x -
D ．1-
10．已知,αβ为锐角，()4tan ,cos tan 35
ααββ=+=-=
A ．2
B
C ．23
D ．
79
二、多项选择题：本大题共3小题，每小题4分，共12分。

在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得4分，选对但不全的得2分，有选错的得0分。

11．函数()()
222cos sin f x x x x =--的图象为C ，如下结论正确的是 A ．()f x 的最小正周期为π B ．对任意的x R ∈，都有01212f x f x ππ⎛⎫
⎛⎫
+
+-= ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
C ．()f x 在,123ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
上是增函数 D ．由2sin 2y x =的图象向右平移6
π个单位长度可以得到图象C
l2．已知平面向量,,a b c 满足1a b c ===，若1
2
a b ⋅=，则()()2a b b c -⋅-的值可能为
A ．2-
B ．3
C ．0
D ．
13．《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，全书十八卷共八十一个问题，分为九类，每类九个问题，《数书九章》中记录了秦九昭的许多创造性成就，其中在卷五“三斜求积”中提出了已知三角形三边,,a b c 求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完成等价，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成
公式，即S =现有ABC ∆满足sin :sin :sin 2:A B C =，且ABC ∆的
面积ABC S ∆=，请运用上述公式判断下列命题正确的是
A ．ABC ∆周长为10+
B ．AB
C ∆三个内角A ，C ，B 成等差数列
C ．ABC ∆外接圆直径为
3
D ．ABC ∆中线CD 的长为第Ⅱ卷(非选择题 共98分)
三、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。

14．已知向量()1cos ,1,3sin ,//2a x b x a b a ⎛⎫
=-=-= ⎪⎭
，若，则__________.
l5．已知函数()()21sin ,02f x x ωω=->的周期为2
π，若将其图象沿x 轴向右平移a 个单位
a >0，所得图象关于原点对称，则实数a 的最小值为___________；
16．已知,a b 为单位向量，且12cos ,2
a b c a b a c ⋅==-=，若，则___________；
17．已知函数()()()2cos21,0,f x x x x R f x ωωω=-->∈，若在区间(),ωω-国)内单调递增，且函数()y f x =的图象关于(),1ω-对称，则函数()y f x =的最大值为__________，
ω=___________.
四、解答题：本大题共6小题，共82分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

18．(本小题满分12分)
已知数列{}n a 为等比数列，且1
112n n n a a ++⎛⎫-=- ⎪
⎝⎭
．
(1)求公比q 和3a 的值；
(2)若{}n a 的前n 项和为S n ，求证：121,1,n n a S a --+成等比数列．
19．(本小题满分l4分)
在ABC ∆中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，D 是BC 上的点，AD 平分BAC ∠，ABD ∆的面积与ABD ∆面积比为35
． (1)求
sin sin C
B
； (2)若三边c ，b ，a 成等差数列，求角A ．
20．(本小题满分14分)
在锐角三角形ABC ∆中，a ，b ，c 分别是角,,A B C 的对边，且2sin sin sin C B B -=
cos cos a B
b A
. (1)求A ；
(2)求b
c
的取值范围． 21．(本小题满分14分)
设()()2
sin sin cos 12
f x x x x x π
⎛⎫=+++- ⎪⎝⎭
． (I)求()f x 的周期及()y f x =图象的对称轴方程； (II)讨论()f x 在5,
66ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上的单调性及最值. 22．(本小题满分14分)
已知{}n a 是各项为正数的等差数列，公差为d ，对任意的1n n n n N b a a *+∈，是和的等比中项. (1)设221,n n n c b b n N *+=-∈，求证：{}n c 是等差数列； (2)若()12
1
1,1,2
1
n n a d d n N c *
===
∈-， (I)求数列(){}21n
n b -的前2n 项和2n S ； (IT)求数列{}n d 的前n 项和n T ． 23．(本小题满分14分)
平面内的“向量列”{}n a ，如果对于任意的正整数n ，均有1n n a a d +-=，则称此“向量列”为“等差向量列”，d 称为“公差向量”；平面内的“向量列”{}n b ，如果10b ≠且对于任意的正整数n ，均有1,0n n b q b q +=⋅≠，则称此“向量列”为“等比向量列”，常数q 称为“公比”．
(1)若“向量列”{}n a 是“等比向量列”，用1b 和“公比”q 表示12n b b b ++⋅⋅⋅+；
(2)若{}n a 是“等差向量列”，“公差向量”()(){}111,0,0,,,2n n n n d a a x y b ⎛⎫
=== ⎪⎝⎭
；
是“等比向量列”，“公比”()111221
2,,1,,.2
n n n n n q b b m k a b a b a b ⎛⎫
===⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅ ⎪⎝
⎭
求.
参考答案
二、填空题
14. 13
15. 8π
16. 2 17. 1；6
三、解答题
18. 解: （1）111=()2
n n n a a ++--
11
=()2n n n a a -∴--
两式相除得：1
2q =··························3分
111111111=(()())()()2222n n n n n n a a a a -++⎡⎤
--=⋅-=-⎢⎥⎣⎦
112
a =
31
8a =
···············································6分 （2）11()2
n n S =-
1
1()2n n S ∴-+=，
21211()2n n a --=，11
2
a =
2221111
(1)()()222
n n n S -∴-+==⋅
121,1,n n a S a -∴-+成等比数列·····················12分
19. 解：（1）由三角形面积111
sin sin sin 222
ABC S ab C ac B bc A ∆===得：
1||sin
32215
||sin 22
ABD ADC A c AD S c A S b b AD ∆∆⋅=
==⋅ 由正弦定理得
sin 3
sin 5
C c B b ==·····································7分
（2）,,c b a 成等差数列
::3:5:7c b a =，不妨设3,5,7,(0)c x b x a x x ===>
由余弦定理得：222925491
cos 2352
x x x A x x +-=
=-⋅⋅ 23
A π∴=·······························
··············14分 20. 解：（1）由正弦定理得：
2sin sin sin cos sin sin cos C B A B
B B A
-=
化简得：2sin cos sin cos sin cos C A B A A B -= 2sin cos sin C A C =
1
cos 2
A =
3
A π
=
···································
····················6分 （2）由正弦定理得：
sin sin(120)11sin sin tan 2
b B C
c C C C -===+······························10分 因为ABC ∆为锐角三角形,
所以3090
C <<
tan C ∴>
,10tan C <<······································12分
111
22tan 2C <+< 1,22b c ⎛⎫∴∈ ⎪
⎝⎭······························
····················14分
21. 解：（1）2
()cos()sin (sin cos )12
f x x x x x π
=+++-
2(1sin 2)1x x =-++-
cos 2)1sin 21x x =-++-
2sin 2)x x =+
2sin(2)3
x π
=+························
·······4分
令23
2
x k π
π
π+
=+
，解得212
k x ππ=
+ ∴周期为π
，对称轴方程为212
k x ππ
=
+，k Z ∈············7分 （2）5,66x ππ
⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
22,233x π
ππ⎡⎤+
∈⎢⎥⎣⎦ 令3232x ππ+=，解得712x π
=
()f x ∴在5,66ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的减区间为7,612ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，增区间为75,126ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
最小值为7()212f π=-；最大值为
()06
f π
=···················14分 22. 解: （1）n b 是n a 和1n a +的等比中项
2
1n n n b a a +∴=⋅
221121n n n n n n n c b b a a a a ++++=-=⋅-⋅
12()n n n a a a ++=⋅- 12n d a +=⋅
122n n c da ++=
21212()2n n n n c c d a a d +++-=-=,*n N ∈
{}
n c 是等差数
列········································4分
（2）（Ⅰ）222222
21234212n n n S b b b b b b -=-+-++⋅⋅⋅-+
2
222222143221()()()n n b b b b b b -=-+-+⋅⋅⋅+-
1321n c c c -=++⋅⋅⋅+
由（1）知21n c n =+
21321n n S c c c -=++⋅⋅⋅+ 2(341)22
n n n n +-=⋅=+·························
··················9分 （Ⅱ）由（1）知21n c n =+
221111111
()(21)1444(1)41n d n n n n n n n ∴=
==⋅=-+-+++
11111111(1)4223341n T n n =-+-+-+⋅⋅⋅+-+
11(1)41n =-+ 4(1)
n n =+·················································14分
23. 解: （1）11
1211
,1
(1+)1,11n n n nb q b b b b q q q q b q q
-⎧=⎪++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+=⎨-⋅≠⎪-⎩ (6)
分
(2) 1(1)n a a n d =+-⋅
11,2
n n x n y ∴=-=
, 即
()1
,(1,)2
n n n a x y n ==-···························8分
11n n b q b -=⋅
11
22n n m -=⋅,12n n k -=,
即
111
(,)(2,2)2
n n n n n b m k --==⋅·····················10分
111
2112222222
n n n n n n n n a b n -----⋅=⋅+⋅=⋅=⋅
令101211221222322n n n n S a b a b a b n --=⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅=⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅
012121222322n n S n -=⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅
两式相减得:
1012122222n n n S n ----=+++⋅⋅⋅+-⋅
1
1
(12)2212
n n n --=-⋅- 11
(1)22n n -=-⋅-
11
(1)22
n n S n -∴=-⋅+···························
···············14分。