隐函数与参数式函数的求导法则
2.4 隐函数求导法则
2015/10/15 14
dD dt
1 cm / min. D 10 20
例7 一质子沿曲线y 1 x 3 运动，当其在点(2,3)时，
纵坐标y以4 cm / s 的速率增加，问此时横坐标x的变化
率是多少？
1 dy 1 (1 x 3 ) 2 3 x 2 解： y 1 x3 dx 2 dy =4 dt
dy a sin t sin t dy dt 解： a a cos t 1 cos t dx dx dt sin dy 2 1 . t dx 2 1 cos 2 当 t 时, x a ( 1), y a . 2 2
所求切线方程为 y a x a( 2 1)
2015/10/15
即 y x a(2 ) 2
19
例7. 不 计 空 气 的 阻 力 , 以初速度 v0 , 发 射 角
发射炮弹 , 其运动方程为 x v 0 t cos , 1 2 y v 0 t si n gt , 2 求 (1)炮 弹 在 时 刻 t 0的 运 动 方 向 ; ( 2)炮 弹 在 时 刻 t 0的 速 度 大 小 .
2
4
2
1 点(1,1)处的切线方程 y 1 x 1， 2 即 x 2 y 3 0.
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1
2
5
例3 证明双曲线x y a (a 0)上任一点的切线与
2
两坐标轴围成的三角形的面积等于常数2a 2 .
证:在曲线xy a 2上任取一点( x0 , y0 ),
dy dx dy , , . dx dt dt
2015/10/15
隐函数与参数方程求导法则
由于二元方程 确定的隐函数 ，有
.
应用复合函数求导法则对恒等式两端求导数，即可求得隐函数的导数。下面举例说明隐函数的求导法则：
解已知弹头关于时间 的弹道曲线的参数方程是
其中 是重力加速度（常数）.由参数方程的求导法，有
设在时刻 弹头的运动方向与地面的夹角为 ，有
或
， .
解得 .在点 的切线斜率 .从而，切线方程是
或
.
因为点 在双曲线上，所以 .于是，所求得切线方程是
.
当 时，有 .过双曲线 上点 的切线方程是 ，也满足（1）式.
例4证明抛物线 上任意点的切线在两个坐标轴上截距的和等于 .
证明在抛物线上任取一点 ，即 .求抛物线在点 的切线斜率 .由隐函数求导法则，有
定义设有两个非空数集A与B.若 ，由二元方程F（x，y)=0对应唯一一个 ，则称此对应关系 （或写为y= （x))是二元方程F(x，y)=0确定的隐函数。
由隐函数的定义看到，二元方程F(x，y)=0确定的隐函数y= （x)（ ， ）必是二元方程F(x，y)=0的解，因此， ，有
F[x，f(x)]=0 (或F[x，f(x)] 0）.
与 ，且
于是，二元方程F(x，y)=x +y -a =0在A=[-a，a]确定了两个连续的隐函数。
与 。
这两个隐函数的图像是以原点为心以a为半径的在区间 的上半圆周与下半圆周，如图5.5
由此可见，所谓隐函数就是对应关系 不明显的隐含在二元方程之中，相对隐函数来说，对应关系 “明显”的函数，例如，
隐函数与参变量函数求导法则
由复合函数及反函数的求导法则得
dy
dy dy dt dx dt dx
dy dt
1 dx
(t) (t)
即 dy dt dx dx
dt
dt
例6
求由参数方程
x y
t arctan ln(1 t 2 )
t
所表示的函数
y y( x)的导数.
dy
2t
解
dy dx
dt dx
dt
1 t2
四、小结
隐函数求导法则: 直接对方程两边求导;
对数求导法: 对方程两边取对数,按隐函数的求 导法则求导; 参变量函数求导: 实质上是利用复合函数求导法 则.
dx |x0 x e y x0 1.
y0
例3 求由方程 x3 3xy y3 3所确定的曲线
y f ( x)在点M(1, 2)的切线方程.
解 方程两边对x求导,
3x2 3 y 3xy 3 y2 y 0
y
y y
x2 2x
，y
(1,2)
1 3
所求切线方程为
y 2 1 ( x 1) 3
x 2t, x 2
消去参数 t
y t2 ( x)2 x2 24
y 1 x 2
问题: 消参困难或无法消参如何求导?
在方程
x y
(t )中, (t )
设函数x (t)具有单调连续的反函数 t (1 x),
y [ 1( x)]
再设函数x (t), y (t)都可导, 且(t) 0,
2
上式两边对 x求导得
1 y
y
2x
1 2
1 x1
1 x2
1 x 3
y ex2 2
高等数学 第三章 第4节 隐函数及由参数方程确定的函数的导数(中央财经大学)
例
d y 设 x + x y + y = 4, 求 . 2 dx
2 2
2
解
对方程两边关于 x 求导:
2 x + y + x y′ + 2 y y ′ = 0
故 2x + y y′ = − x + 2y
想想如何求二阶导数？
解
(
)
1 2 1+ t 2 d y = 2 = = 2 2t 2 ′ 4t dx (ln(1 + t ) ) 1 + t 2
⎛ t ⎞′ ⎜ ⎟ ⎝ 2⎠
⎛ 1 + t 2 ⎞′ 2t 2 − 1 − t 2 ⎜ 3 ⎜ 4t ⎟ ⎟ 2 t 4 −1 d y 4t ⎝ ⎠ = = = 3 3 ′ 2t 8t dx (ln(1 + t 2 ) ) 1+ t 2
故
1 (1 − x)(1 − 2 x)(1 + x ) y′ = 3 3 (1 + 5 x)(1 + 8 x)(1 + x 4 )
⎧ −1 −2 2x 5 8 4 x3 ⎫ − − − ⎨1 − x + 1 − 2 x + 2 1 + 5x 1 + 8 x 4⎬ 1+ x 1+ x ⎭ ⎩
2
四、 隐函数及参数方程 确定的函数的高阶导数
F ( x, f (x) ) ≡ 0
对上式两边关于 x 求导：
d F ( x , y) = 0 dx
然后, 从这个式子中解出 y ′, 就得到隐函数的导数.
例
求由方程 F ( x , y ) = xy − e x + e y = 0 ( x ≥ 0 ) 所确定的隐函数的导数 y′, 并求 y′
隐函数与参数式函数的求导
ex y(x) ey(x) x .
4
例1 设 y y(x) 是由方程 ey ex xy 0 所确定的 隐函数,求 dy .
dx
解 上述过程亦可如下表述：
方程两边关于x求导，注意y是x的函数
ey ex xy 0.
ey y ex y xy 0.
(ey x) y ex y
第四节 隐函数及由参数方程所确定函数的导数 一、隐函数的求导法则
1、隐函数的定义
函数 y f (x) 刻画了变量 y 与 x 的对应关系.
这种对应关系可以有多种表示方式. 常见的表示方式为
y sin x, y ln(x x2 a2 ), .....
上述函数称为显式函数.
此外, y 与 x 的对应关系还可以通过方程 F(x, y) 0 来
ln
y
ln
(x 1) 3 x 1 (x 4)2 ex
dx 解 y y(x) 是方程 ey ex xy 0 确定的隐函数
ey(x) ex xy(x) 0.
上述方程两边关于x求导，得
ey(x) ex xy(x) 0.
ey(x) y(x) ex y(x) xy(x) 0.(ey(x)x) y(x)ex
y(x)
y( x)
但因为 (ln | x |) 1 / x ,故省略绝对值.
x 0 , (ln x) 1 ; x
x 0 , [ln( x)] 1 ( x) 1 ,
x
x
所以 (ln | x | ) 1 . x
12
例5 求函数 y (x 1) 3 x 1 的导数. (x 4)2 ex
解 等式两边取对数,化简得
2， 6
所以所求切线方程为：
y 4 2 2 (x 1) ， 即 x 3 2 y 9 0 . 36
23隐函数、参数式求导
r h , 从而 r 1 h .
6 18
3
因漏斗中溶液体积 V0
1 (12)2 32
18
216 (cm)3
，根据题意可知
V0
1 r 2h 3
(10)2 2
H
，
即
H 216 1 h3 ，
25 675
课堂练习
1.
用对数求导法则求函数
y
x
x
1 x
变量 y 有确定的值与之对应，． 把隐函数化成显函数的过程叫做隐函数的显化 不能显化的隐函数，如果可导应该如何求导？下面，我们将通过具体的例子来介绍一种方
法 例1 求由下列方程所确定的函数的导数. y sin x cos(x y) 0
例 2 方程 xy e y e 确定函数 y y(x) ，求 y0 ．
比如 y x sin x x 0 ，幂指函数既不是幂函数也不是指数函数
如果 u(x),v(x) 都可导，则幂指函数 y uxvx 可导．求幂指函数 y uxvx 的导数，幂函
数或指数函数的求导法则在此均不适合．我们可以通过把方程两端取对数之后，化幂指函数为隐 函数，然后利用隐函数求导法则求出幂指函数 y uxvx 的导数．这种求导方法称为对数求导 法 (logarithm derivation)．
程为
x
y
v0t cos v0t sin
1 2
gt 2
，
求炮弹在时刻 t0 的运动方向与速率．
例 12
椭圆的参数方程为
x
y
a b
cos t (0
sin t
高等数学《隐函数的导数和由参数方程确定的函数的导数》
练习题
一、填空题：
1、设 x 3 2x 2 y 5xy2 5 y 1 0确定了y 是x 的函
数，则 dy dx
=________，d 2 y
(1,1)
dx 2
________.
2、曲线 x 3 y 3 xy 7 在点（1，2）处的切线方程
一、1、 4 ,6x 4 xy 8xy 20 yy 10x( y)2 ；
3
10xy 2x 2 5
2、x 11y 23 0
3、 x y 0 ；
2
2
4、sin t cos t ,2 3 ； 5、e x y y .来自cos t sin t
x e x y
二、1、e 2 y (2
发射炮弹, 其运动方程为
x v0t cos ,
y
v0t
sin
1 2
gt
2
,
求 (1)炮弹在时刻t0的运动方向;
(2)炮弹在时刻t0的速度大小.
解
(1)
在
t
时刻的运动方向即
0
y v0
vy
v vx
轨迹在
t
时刻的切
0
线方向,
可由切线的斜率来反映. o
x
dy
(v0t
sin
1 2
gt 2 )
v0
sin
1、y 1 xe y ； 2、 y tan( x y)； 3、x y y x ( x 0，y 0) .
三、用对数求导法则求下列函数的导数： 1、y x x2 ；
2、y x 2(3 x)4 ； ( x 1)5
隐函数及参数方程函数的求导及取对数的方法介绍
dy 存在可导的反函数 t x ，则 存在，且 t dx dy yt dx xt
由复合函数及反函数的求导法则得
dy dy dt dy 1 y ( t ) dx dt dx dt dx x( t ) dt
即
记住公式
y t 0 dy y t 且 dx x x0 xt x x0 xt0
即 y x a( 2 ) 2
例9
不计空气的阻力 以初速度 v0 , 发射角 ,
发射炮弹, 其运动方程为 x v0 t cos , 1 2 y v0 t sin 2 g t , 求 (1) 炮弹在时刻 t0 的运动方向; ( 2) 炮弹在时刻 t0 的速度大小 .
x 2t , x 例如 消去参数 t t 2 y t , 2 1 x 2 x2 2 y x yt ( ) 2 2 4 问题: 消参困难或无法消参如何求导?
设函数 x x( t ), y y( t )可导, x( t ) 0，且x xt
dy a sin t sin t dy dt 解 dx dx a a cos t 1 cos t dt sin dy 2 1. 当 t 时, x a( 1), y a . t dx 2 2 2 1 cos 2
所求切线方程为 y a x a( 1) 2
方法:
先在方程两边取对数, 然后利用隐函数的求导 方法求出导数. --------对数求导法 适用范围:
多个函数相乘和幂指函 u( x )v ( x )的情形. 数
( x 1)3 x 1 例4 设 y , 求y. 2 x ( x 4) e
解 等式两边取对数得
隐函数及参数方程求导
隐函数及参数方程求导一、隐函数求导1.1隐函数的定义在数学中，对于一个方程y=f(x)可能存在的解x=g(y)可以表示为隐函数。
在隐函数中，无法通过常规的代数运算将自变量和因变量分离。
1.2隐函数求导的方法隐函数求导是指在一个隐函数方程中，通过对x或y的求导来求解另一个变量。
设隐函数方程为F(x, y) = 0，其中x为自变量，y为因变量。
要求隐函数的导数dy/dx，可以采用如下步骤：1. 对方程两边同时对x求导，得到：∂F/∂x + (∂F/∂y)(dy/dx) = 0。
2. 将dy/dx项移到方程左边，得到：dy/dx = - (∂F/∂x) / (∂F/∂y)。
1.3隐函数求导的例题考虑方程x^2 + y^2 = 1，我们需要求解dy/dx。
根据求导公式，将方程两边对x求导，得到：2x + 2y(dy/dx) = 0。
将dy/dx项移到方程左边，并且整理方程，得到：dy/dx = - x / y。
2.1参数方程的定义在数学中，一个方程系统中的自变量和因变量都是以参数的形式表示的，这样的方程系统称为参数方程。
参数方程可以表示为x=f(t)和y=g(t)，其中x和y是自变量，而t则是一个参数。
2.2参数方程求导的方法参数方程求导是指在一个参数方程中，通过对参数t的求导来求解x和y的导数。
设参数方程为x = f(t)和y = g(t)，我们需要求解dx/dt和dy/dt。
1. 对x = f(t)和y = g(t)两个方程同时对t求导，得到：dx/dt =f'(t)和dy/dt = g'(t)。
2. 这样我们就得到了x和y对t的一阶导数，然后可以通过dx/dt和dy/dt得到dy/dx，即：dy/dx = (dy/dt) / (dx/dt) = (g'(t)) / (f'(t))。
2.3参数方程求导的例题考虑参数方程x = cos(t)和y = sin(t)，我们需要求解dy/dx。
隐函数和参数方程求导
隐函数和参数方程求导
隐函数求导：隐函数求导是指对于一个由两个或多个未知量的函数所组成的方程，通过对其中的一个未知量进行求导，得到关于该未知量的导数表达式。
常见的隐函数求导问题可以通过链式法则来解决。
考虑一个隐函数方程F(x, y) = 0，其中x和y是两个未知量，我们希望对该方程进行求导，得到关于y的导数dy/dx。
首先，我们假设y是关于x的函数，即y=f(x)，那么原方程可以重写为F(x,f(x))=0。
然后，我们对该方程两边同时对x求导，根据链式法则，可以得到：∂F/∂x + ∂F/∂y * dy/dx = 0。
最后，通过对这个方程关于y求导，我们可以解出dy/dx的表达式：dy/dx = - (∂F/∂x) / (∂F/∂y)。
参数方程求导：参数方程是指将变量x和y都表示为一个参数t的函数形式，即x = f(t)和y = g(t)。
参数方程求导可以通过对这两个函数分别对t求导，然后利用导数的链式法则来得到关于t的导数dt/dx和
dt/dy。
假设x = f(t)和y = g(t)，我们希望求导dx/dt和dy/dt。
首先，对x = f(t)对t求导，得到dx/dt；
然后，对y = g(t)对t求导，得到dy/dt；
最后，通过利用导数的链式法则，我们可以得到dt/dx和dt/dy的表达式：
dt/dx = 1 / (dx/dt)；
dt/dy = 1 / (dy/dt)。
通过求导，我们可以得到参数方程对应的隐函数的导数关系。
在实际问题中，求导可以帮助我们分析函数的变化趋势、求解最值问题等，具有非常重要的应用价值。
隐函数及参数方程确定函数求导法则
1
=
c
o
s
y
•
y
/ x
y
/ x
1 cos
y
cos y 1 sin 2 y 1 x 2
y
/ x
1 1 x2
( y )
2
2
类 似 可 证 明 （ arccos x)/ 1 1 x2
(arv
tan
x)/
1
1 x2
(arc
cot
x)/
1 1 x2
例6. 求下列导数:
(1 )(x); (2 )(xx);
(t) (t)
(t)0时, 有
dt
dx dy
dx d t dt dy
dx dt
1 dy
(t) (t)
(此时看成 x 是 y 的函数 ) d t
若上述参数方程中(t),(t)二阶可导, 且 (t)0,
则由它确定的函数 yf(x)可求二阶导数 .
x(t)
利用新的参数方程 dy (t) ,可得 dx (t)
y52yx3x70可确定 y 是 x 的函数 , 但此隐函数不能显化 .
隐函数求导方法: F(x,y)0
两边对 x 求导
d F(x, y) 0 (含导数 y 的方程)
dx
例1 求 由 方 程 x 2 y 2 R 2 所 确 定 的 隐 函 数 的 导 数
解 将方程的两边同时对 x 求导，这里 y 是 x 的函 数，y2 是 x 的复合函数，根据复合函数求导法则得
dt
dt
dy
dy dx
dt dx
b cos t a sin t
b cot t a
dt
例11 求曲线
x y
隐函数与参数方程的求导法则
隐函数与参数方程的求导法则在微积分中，求导是求函数在某一点的变化率的操作。
当我们面对的函数是显式函数时，也就是可以通过直接表示成y=f(x)的形式，求导问题相对较为简单。
但在一些情况下，我们会遇到隐式函数或参数方程，这就需要用到隐函数与参数方程的求导法则。
一、隐函数的求导法则隐函数是指通过x和y之间的关系式来定义的函数，其中y不能用x的表达式直接表示出来。
在求解隐函数的导数时，我们需要运用到隐函数的求导法则，具体步骤如下：1.对于隐函数关系式进行求导，将dy/dx表示为f(x, y)。
2.将dx移到方程的一侧，得到f(x, y)dx+(-1)dy=0。
3.根据链式法则，乘得dy/dx=-(f(x, y)dx/dy)。
4.将方程中的dy/dx替换成-dy/dx，便可得到所求的导数。
举个例子来进行说明。
假设我们有一个方程x^2+y^2=R^2表示一个圆的形状，其中R是一个常数。
如果我们想要求解这个圆的切线斜率，就需要使用隐函数的求导法则。
首先对方程两边求导，得到2xdx+2ydy=0。
将dy/dx替换成-dy/dx，得到2xdx-2ydy=0。
然后将式子整理为dy/dx的形式，即dy/dx=-(2x/2y)=-x/y。
这就是所求的切线斜率。
二、参数方程的求导法则参数方程是指通过t来表示x和y，即x=f(t)，y=g(t)，其中t是一个独立变量。
求解参数方程的导数时，我们同样需要运用到参数方程的求导法则，具体步骤如下：1.对于参数方程中的每一个方程分别求导，得到dx/dt和dy/dt。
2.将两个式子相除，得到dy/dx=(dy/dt)/(dx/dt)。
接下来，让我们通过一个例子来进一步说明参数方程的求导法则。
假设我们有一个参数方程x=cos(t)，y=sin(t)，其中0≤t≤2π。
我们想求解在该参数方程下的切线斜率。
首先对参数方程x=cos(t)和y=sin(t)分别求导，得到dx/dt=-sin(t)和dy/dt=cos(t)。
53隐函数与参数方程的求导法则
高州师范学院
第五章：导数与微分
5.3隐函数与参数方程求导法则
dy 例1. 设y( x )是 由 方 程 y r 确 定 的 隐 函 数 ， 求 . x dx
2 2 2
解法一： 由方程 2 y 2 r 2解得y r 2 x 2，于是 x
此方法称为对数求导法 。
对数求导法是将 y = f (x) 两端取自然对数后再求导，这里 如有必要，可先将 y = f (x) 两端取绝对值。此方法常用于若干 因式的积、商或根式组成的函数和幂指函数的求导，其好处在 于把积变成和、商变成差、幂指变成乘积。
高州师范学院
第五章：导数与微分
5.3隐函数与参数方程求导法则
2x 2 y 7x 0， 即 k y y . 2 7 2y
1 由 已 知 l ， 所 求 切 线 的 斜 率 2. k k 2
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第五章：导数与微分
5.3隐函数与参数方程求导法则
当k 2时，双曲线与所求直线 相切，故
7x 2， 即 7 x 4 y . 2y
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第五章：导数与微分
5.3隐函数与参数方程求导法则
x2 y2 练 习 ： 求 垂 直 于 直 线 2 x 4 y 3 0并 与 双 曲 线 l: 1 2 7 相切的直线方程。
解：
设 双 曲 线 上 一 点 , y )的 切 线 斜 率 为， 则 由 隐 函 数 求 (x k 导法，有
这即是参数方程所表示 函数的求导法。
高州师范学院
第五章：导数与微分
例.
5.3隐函数与参数方程求导法则
隐函数及参数方程所确定的函数的求导法
谢谢聆听
一、隐函数的导数
把一个隐函数化成显函数，叫作隐函数的显化．例如， 从方程3x＋y2＋5=0解出y=± √ -5-3x，就把隐函数化成显函 数．隐函数的显化有时是有困难的，甚至是不可能的．例如， ey=y＋x在x的一定变化范围内虽然也能确定一个隐函数y=f （x），却无法将它显化.因此有必要介绍隐函数的求导方法.
设y=f（x）是由F（x，y）=0所确定的隐函数，则F（x， f（x））=0．由于此式左端是将y=f（x）代入F（x，y）所 得到的复合函数，因此，根据链式法则将等式两边对x求导， 便可得到所求的导数．
我们通过几个例子来说明这种方法．
一、隐函数的导数
【例1】
求方程xy-ex＋ey=0所确定的隐函数y=f（x）的导数 ． 解 方程两端同时对x求导，并注意到y是x的函数，得
下面举几个例子.
一、隐函数的导数
【例4】
求函数y=xx（x>0）的导数． 解 这是幂指函数，求导数时，既不能用幂函数的导数 公式，也不能用指数函数的导数公式. 对等式两边取对数，得
lny=xlnx， 两边对x求导，得
一、隐函数的导数
【例5】
二、由参数方程所确定的函数的导数
函数关系除了用显式和隐式表示外，还可以用参数 方程来表示．
一般的，如果参数方程x=φ（t）， 确定y与x之间的函数关系，则称此函数关系所表示的函 数为由参数方程所确定的函数．
对于参数方程所确定的函数的求导，通常不需要由 参数方程消去参数t化为y与x之间的直接函数关系后再求 导．
二、由参数方程所确定的函数的导数
如果函数φ（t）和ψ（t）都可导，φ′（t）≠0且x=φ（t） 存在反函数t=φ-1（x），则y为x的复合函数．根据复合函数求 导法则，得
隐函数和参数方程求导法
隐函数和参数方程求导法1.隐函数求导法隐函数求导法用于求解包含隐函数的导数。
一般来说，我们可以将隐函数表示为两个变量之间的关系式，例如y=f(x)。
在一些情况下，这个关系式无法直接解出y关于x的显式表达式。
这时，我们可以使用隐函数求导法来找到y关于x的导数。
假设有一个含有两个变量x和y的隐函数关系式F(x,y)=0。
要求这个隐函数关于x的导数，可以按照以下步骤进行：步骤1：对关系式两边同时求导，并得到导数关系式dF/dx = 0；步骤2：根据导数关系式，将dF/dx中的y'用y和x表示出来；步骤3：解出y'，即为所求的导数。
举例说明：假设有一个隐函数关系式x^2+y^2=1、我们要求这个隐函数关于x的导数。
按照上述步骤，我们可以进行如下计算：步骤1：对关系式两边同时求导，得到2x + 2yy' = 0；步骤2：将dF/dx中的y'用y和x表示出来，得到y' = -x/y；步骤3：解出y'，即为所求的导数。
通过以上计算，我们得到了这个隐函数关于x的导数为y'=-x/y。
参数方程求导法用于求解包含参数方程的导数。
参数方程是用参数表示的轨迹方程，常用形式为x=f(t)和y=g(t)，其中x和y是关于参数t 的函数。
要求参数方程的导数，可以按照以下步骤进行：步骤1：将参数方程的x和y分别关于t求导，得到dx/dt和dy/dt；步骤2：将dx/dt和dy/dt的结果合并，得到y关于x的导数dy/dx；步骤3：通过dy/dx的结果，可以进一步求解y关于x的高阶导数。
举例说明：假设有一个参数方程x=2t，y=t^2、我们要求这个参数方程的导数。
按照上述步骤，我们可以进行如下计算：步骤1：将参数方程的x和y分别关于t求导，得到dx/dt = 2 和dy/dt = 2t；步骤2：将dx/dt和dy/dt的结果合并，得到dy/dx =(dy/dt)/(dx/dt) = (2t)/(2) = t；步骤3：通过dy/dx的结果，可以进一步求解y关于x的高阶导数，例如二阶导数d^2y/dx^2 = d(dy/dx)/dx = d(t)/dx = 0。
隐函数及其参变量函数的求导方法
3. 参数方程求导法:求高阶导数时,从低到高每次都用 参数方程求导公式
4. 相关变化率问题 列出依赖于 t 的相关变量关系式 对 t 求导 相关变化率之间的关系式
思考题
设xy((tt))，由yx
(t) (t)
2
4
问题: 消参数困难或无法消去参数时如何求导?
平面曲线参数方程的一般形式
x (t ),
y
(t
),
t[,]为参数 .
这 x 里 (t)与 y (t)都可 (t)导 2 (t)， 2 0 . 且
由于 (t)与 (t)至少有一个不 妨为 设 (t)零 0,，
隐函数和参数方程求导 相关变化率
张世涛
主要内容：
一、隐函数的导数 二、由参数方程确定的函数的导数 三、相关变化率
一、隐函数的导数
由方 Fx ,(y程 )0所确定 yy(x 的 )称 函 为 .数 隐
y f (x) 形式的函数称为显函 . 数
F(x,y)0 yf(x) 隐函数的显化
例如：xy310可确定显函数 y 3 1 x 例如：y52yx3x70可确定 y 是 x 的函数 ,
(2) 含有较多的乘、 方除 、、 开乘 方运算的
例4 设 y x sixn (x 0 ),求 y .
解 等式两边取对数, 得 ln ysix n ln x,
上式两边 x求对导 , 得
1ycoxslnxsix n1,
y
x
yy(cx olsn xsixn 1) x
xs ixn(cx olsn xsixn). x
可知yx ((tt))，对吗？
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视线的仰角增加率是多少?
解: 设气球上升t分后其高度为h ,仰角为 ,
则 tan h
500 两边对 t 求导
h
500
sec2 d 1 d h
d t 500 d t
sec2 1 tan2
已知 d h 140m min , h = 500m时,tan 1 ,sec2 2 ,
y uv ln u v vuv1 u
按指数函数求导公式 按幂函数求导公式
2) 有些显函数用对数求导法求导很方便 .
例如,
两边取对数
ln y x ln a a[ ln b ln x ] b[ ln x ln a ] b
两边对 x 求导
y ln a a b y bxx
§4.3 隐函数与参数式函数的求导法则
一、隐函数求导法则 二、由参数方程确定的函数的求导法则 三、极坐标式求导 四、相关变化率问题
一、隐函数求导法则
若由方程 函数为隐函数 .
可确定y是x的函数 , 则称此
由
表示的函数 , 称为显函数 .
例如,
可确定显函数
F(x, y) 0
y f (x) 隐函数的显化
y
3 2
3
3 4
法线斜率为
故切线方程为 y即3 3 3 (x 2)
2
4
法线方程为 即
处的
解:解法1 应用隐函数的求导方法，得
（4.15）
于是 上式两边再对x求导，得
解法2 由(4.15)两边再对x求导，得
联合（4.15）解得
例5. 求
的导数 .
解:解法1 两边取对数 , 化为隐式
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
速度的水平分量
垂直分量
速度的方向
y
在刚射出 (即t = 0 )时, 倾
角为 arctan v2
o
x
v1
达到最高点的时刻 t v2 ,高度 g
t
v2 g
落地时刻
抛射最远距离
t
2v2 g
这条曲线称为旋轮线．求由 解:
三、极坐标式求导
给出，其中
代入
称为极径，
称为极角，
的极坐标．
，得曲线的参数方程
得 5y4 d y 2 d y 1 21x6 0 dx dx
dy dx
1 21x6 5y4 2
因x = 0时y = 0, 故
例3. 求椭圆
在点
切线方程,法线方程.
解: 椭圆方程两边对 x 求导
x 2 y y 0
89
y
x2
y
3 2
3
9 x 16 y
x2
再如,
可确定y是x的函数 ,
但此隐函数不能显化 .
问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导?
隐函数求导法则: 用复合函数求导法则直接对方程两边求导. 隐函数求导方法:
两边对x 求导
(含导数 y的方程)
解: 方程两边对x求导得
例2. 求由方程 在x = 0处的导数
解: 方程两边对x求导
确定的隐函数
(t
)
(t) (t 3 (t )
)
(t
)
注意 :已知
?
例7.
设
x f (t) y t f (t)
f
(t)
,且
f
(t)
0,求
d2 dx
y
2
.
解: d y dx
t f (t) f (t)
t,
d2 y d x2
1
f (t)
例8. 已知
或 得 即
例8. 抛射体运动轨迹的参数方程为
求抛射体在时刻 t 的运动速度的大小和方向. 解: 先求速度大小:
速度的水平分量为
垂直分量为
故抛射体速度大小
v12 (v2 gt)2
再求速度方向 (即轨迹的切线方向): y
设 为切线倾角,则
dy
dy dt
dx
dx
dt
o
x
抛射体轨迹的参数方程
两边对 x 求导
1 y
y
y
cos x
xsin x
ln x
(cos
sin x x
x ln x
sin
x
)
x
解法2
由复合函数求导
说明:
1) 对幂指函数y uv可用对数求导法求导 :
注意:
ln y v lnu
1 y vln u uv
y
u
y uv ( vln u uv ) u
s 10
x
由勾股定理得 等式两端关于t求导数，得
例12 落在平静水面的石头使水面产生同心圆水纹．若 最外圈的半径增长率是６米／秒，问在２秒末时被扰 动水面面积的增长率是多少？
( m2／秒)
例13. 一气球从离开观察员500 m 处离地面铅直上升,
其速率为 140 m min , 当气球高度为500m时, 观察员
又如,
y
(x 1)(x 2) (x 3)(x 4)
两边取对数
( ln u ) u u
ln y 1 ln x 1 ln x 2 ln x 3 ln x 4
2
对 x 求导
y 1 1 1 1 1
y 2 x 1 x 2 x 3 x 4
1111
x 1 x 2 x 3 x 4
例6 求下列函数的导数： (1) 解: 两边取对数
对 x 求导
(2) 解: 定义域为
两边对 x 求导
，两边取对数，得
二、由参数方程确定的函数的求导法则
若参数方程
可确定一个y与x之间的函数
关系,则称此函数关系所表示的函数为由该参数方程 所确定的函数，简称参变量函数.
解：
，则
四、相关变化率问题 为两可导函数
之间有联系
之间也有联系
相关变化率问题解法:
称为相关变化率
找出相关变量的关系式
对t求导
得相关变化率之间的关系式
求出未知的相关变化率
例11 钓鱼者站在离水面高10米的桥上，他的鱼线末 端有一条鱼，设鱼在水的表面，若钓鱼者以每秒2米 的速率卷起他的鱼线，试问当鱼线的长度为15米时， 鱼在水面移动的速率是多少？
若上述参数方程中 则由它确定的函数
二阶可导,且
可求二阶导数 .
x (t)
利用新的参数方程 dy (t) ,可得 dx (t)
d2 y d x2
d (dy) dx dx
d (dy) d t dx
dx dt
(t)(t) (t)(t)
2 (t)
(t )
定理1（参变量函数求导法则） 假设
在
则
(t) 0时, 有
dy dx
dy dt d t dx
dy dt
1 dx
(t) (t )
dt
(t) 0时, 有
dx dx d t dy dt dy
dx dt
1 dy
(t) (t)
dt
(此时看成x是y的函数)