高考数学总复习优编增分练：高考解答题分项练四)解析几何

(四)解析几何
1．(2018·苏州市高新区一中考试)如图，椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)的上、下顶点分别为A ，B ，右焦点为F ，点P 在椭圆C 上，且OP ⊥AF
.
(1)若点P 的坐标为(3，1)，求椭圆C 的方程；
(2)延长AF 交椭圆C 于点Q ，已知椭圆的离心率为22
，若直线OP 的斜率是直线BQ 的斜率的m 倍，求实数m 的值．
解 (1)因为点P (3，1)，
所以k OP ＝1
3，
又因为AF ⊥OP ，－b c ×
13＝－1， 所以3c ＝b ，所以3a 2＝4b 2，
又点P (3，1)在椭圆C 上，
所以3a 2＋1b
2＝1， 解得a 2＝133，b 2＝134
. 故椭圆方程为x 2133＋y 213
4
＝1. (2)因为e ＝c
a ＝22
， 即a 2－b 2a 2＝12
， 所以b 2a 2＝12
. 又因为k AQ k BQ ＝y Q －b x Q ·y Q ＋b x Q ＝y 2Q －b 2x 2Q ＝－b 2
a
2， 所以m ＝k OP k BQ ＝－1k AQ k BQ ＝a 2
b 2
＝2.
2.如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32
，直线l ：y ＝－12
x 与椭圆E 相交于A ，B 两点，AB ＝210，C ，D 是椭圆E 上异于A ，B 的两点，且直线AC ，BD 相交于点P ，直线AD ，BC 相交于点Q .
(1)求椭圆E 的标准方程；
(2)求证：直线PQ 的斜率为定值．
(1)解 因为e ＝c
a ＝32
， 所以c 2＝34a 2，即a 2－b 2＝34
a 2， 所以a ＝2
b .
所以椭圆方程为x 24b 2＋y 2
b
2＝1. 由题意不妨设点A 在第二象限，点B 在第四象限，
由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝－12x ，x 24b 2＋y 2
b 2＝1，得A ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－2b ，22b . 又AB ＝210，所以OA ＝10，
则2b 2＋12b 2＝52
b 2＝10， 得b ＝2，a ＝4.
所以椭圆E 的标准方程为x 216＋y 24
＝1. (2)证明 由(1)知，椭圆E 的方程为x 216＋y 2
4＝1， A (－22，2)，B (22，－2)．
①当直线CA ，CB ，DA ，DB 的斜率都存在，且不为零时，设直线CA ，DA 的斜率分别为k 1，k 2，C (x 0，y 0)，显然k 1≠k 2.
从而k 1·k CB ＝y 0－2x 0＋22·y 0＋2x 0－22＝y 2
0－2x 20－8
＝4⎝ ⎛⎭
⎪⎫1－x 2016－2x 2
0－8＝2－x 204x 20
－8＝－14，所以k CB ＝－14k 1. 同理k DB ＝－14k 2
. 所以直线AD 的方程为y －2＝k 2(x ＋22)，直线BC 的方程为y ＋2＝－14k 1
(x －22)， 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＋2＝－14k 1(x －22)，y －2＝k 2(x ＋22)，
解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝22(－4k 1k 2－4k 1＋1)4k 1k 2＋1，y ＝2(－4k 1k 2＋4k 2
＋1)4k 1k 2＋1，
从而点Q 的坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫22(－4k 1k 2－4k 1＋1)4k 1k 2＋1，2(－4k 1k 2＋4k 2＋1)4k 1k 2＋1. 用k 2代替k 1，k 1代替k 2得点P 的坐标为⎝
⎛⎭⎪⎫22(－4k 1k 2－4k 2＋1)4k 1k 2＋1，2(－4k 1k 2＋4k 1＋1)4k 1k 2＋1. 所以k PQ ＝2(－4k 1k 2＋4k 2＋1)4k 1k 2＋1－2(－4k 1k 2＋4k 1＋1)4k 1k 2＋1
22(－4k 1k 2－4k 1＋1)4k 1k 2＋1－22(－4k 1k 2－4k 2＋1)4k 1k 2＋1
＝42(k 2－k 1)82(k 2－k 1)＝12. 即直线PQ 的斜率为定值12
. ②当直线CA ，CB ，DA ，DB 中，有直线的斜率不存在时，由题意得，至多有一条直线的斜率不存在，不妨设直线CA 的斜率不存在，从而C (－22，－2)．
设DA 的斜率为k ，由①知，k DB ＝－14k
. 因为直线CA ：x ＝－22，直线DB ：y ＋2＝－14k
(x －22)， 得P ⎝ ⎛
⎭⎪⎫－22，－2＋2k .
又直线BC ：y ＝－2，直线AD ：y －2＝k (x ＋22)，
得Q ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫
－22－22k ，－2，
所以k PQ ＝12
. 由①②可知，直线PQ 的斜率为定值12
.
3.平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率是32，右准线的方程为x ＝433
.
(1)求椭圆C 的方程；
(2)已知点P ⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，2，过x 轴上的一个定点M 作直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，若三条直线PA ，PM ，PB 的斜率成等差数列，求点M 的坐标．
解 (1)因为椭圆的离心率为32，右准线的方程为x ＝433
， 所以e ＝c a ＝32，a 2c ＝433
，则a ＝2，c ＝3，b ＝1， 椭圆C 的方程为x 24
＋y 2
＝1. (2)设M (m,0)，当直线l 为y ＝0时，A (－2,0)，B (2,0)， PA ，PM ，PB 的斜率分别为
k PA ＝4
5，k PM ＝41－2m ，k PB ＝－43
， 因为直线PA ，PM ，PB 的斜率成等差数列， 所以81－2m ＝45－43
，m ＝8. 证明如下：
当M (8,0)时，直线PA ，PM ，PB 的斜率构成等差数列，
设AB ：y ＝k (x －8)，代入椭圆方程x 2＋4y 2
－4＝0，
得x 2＋4k 2(x －8)2－4＝0，
即(1＋4k 2)x 2－64k 2x ＋256k 2－4＝0，
设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，
因为x 1,2＝64k 2±(－64k 2)2－4(1＋4k 2)(256k 2－4)2(1＋4k 2)，
所以x 1＋x 2＝64k 21＋4k 2，x 1x 2＝256k 2－41＋4k 2， 又k PM ＝0－28－12
＝－415， 所以k PA ＋k PB ＝y 1－2x 1－12＋y 2－2
x 2－12
＝kx 1－8k －2x 1－12＋kx 2－8k －2
x 2－12
＝2k ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－152k －2⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫1x 1－12＋1x 2－12 ＝2k ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－152k －2(x 1＋x 2)－1x 1x 2－12(x 1＋x 2)＋14
＝2k ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－152k －264k
21＋4k 2－1256k 2－41＋4k 2－12×64k 21＋4k 2＋14
＝2k ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－152k －260k 2
－1154(60k 2
－1)＝－815＝2k PM ，即证． 4．(2018·江苏省前黄中学等五校联考)如图，已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)的左顶点A (－2,0)，且点⎝
⎛⎭⎪⎫－1，32在椭圆上，F 1，F 2分别是椭圆的左、右焦点．过点A 作斜率为k (k >0)的直线交椭圆E 于另一点B ，直线BF 2交椭圆E 于点C
.
(1)求椭圆E 的标准方程；
(2)若△CF 1F 2为等腰三角形，求点B 的坐标；
(3)若F 1C ⊥AB ，求k 的值．
解 (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，a 2＝b 2＋c 2，14＋94b 2＝1，解得⎩⎨⎧ a ＝2，b ＝3，c ＝1.
∴椭圆E 的标准方程为x 24＋y 23
＝1. (2)∵△CF 1F 2为等腰三角形，且k >0， ∴点C 在x 轴下方，
①若F 1C ＝F 2C ，则C (0，－3)； ②若F 1F 2＝CF 2，则CF 2＝2，∴C (0，－3)； ③若F 1C ＝F 1F 2，则CF 1＝2，∴C (0，－3)， ∴C (0，－3)．
∴直线BC 的方程为y ＝3(x －1)， 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝3(x －1)，
x 24＋y 23
＝1，得⎩⎨⎧ x ＝0，y ＝－3或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝85，y ＝335，
∴B ⎝ ⎛⎭⎪⎫85，335. (3)设直线AB 的方程l AB ：y ＝k (x ＋2)， 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝k (x ＋2)，x 24＋y 23＝1，得(3＋4k 2)x 2＋16k 2x ＋16k 2－12＝0， ∴x A x B ＝－2x B ＝16k 2－123＋4k
2， ∴x B ＝－8k 2
＋63＋4k 2，∴y B ＝k (x B ＋2)＝12k 3＋4k
2， ∴B ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－8k 2＋63＋4k 2，12k 3＋4k 2， 若k ＝12，则B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，∴C ⎝
⎛⎭⎪⎫1，－32， ∵F 1(－1,0)，∴kCF 1＝－34
， ∴F 1C 与AB 不垂直，∴k ≠12
. ∵F 2(1,0)，kBF 2＝4k 1－4k 2，kCF 1＝－1k
， ∴直线BF 2的方程lBF 2：y ＝4k
1－4k 2(x －1)， 直线CF 1的方程lCF 1：y ＝－1k
(x ＋1)．
由⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝4k 1－4k 2(x －1)，
y ＝－1k (x ＋1)，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝8k 2－1，y ＝－8k ， ∴C (8k 2－1，－8k )． 又点C 在椭圆上，得(8k 2－1)24＋(－8k )23
＝1， 即(24k 2－1)(8k 2＋9)＝0，即k 2＝124
， ∵k >0，∴k ＝
612.。