高考数学压轴专题2020-2021备战高考《数列》知识点总复习含解析

【高中数学】高中数学《数列》期末考知识点
一、选择题
1．设函数()m
f x x ax =+的导数为()21f x x '=+，则数列()()2N n f n *
⎧⎫⎪⎪∈⎨⎬⎪⎪⎩⎭
的前n 项
和是（ ） A ．
1
n
n + B ．
21
n
n + C ．
21
n
n - D ．
()
21n n
+ 【答案】B 【解析】 【分析】
函数()m
f x x ax =+的导函数()21f x x '=+，先求原函数的导数，两个导数进行比较即可
求出m ，a ，利用裂项相消法求出()()
2N n f n *
⎧⎫⎪⎪∈⎨⎬⎪⎪⎩⎭
的前n 项和即可．
【详解】
Q 1()21m f x mx a x -'=+=+，
1a \=，2m =，()(1)f x x x ∴=+，
11
2()()(1)221
f n n n n n ==-++， ∴111111122[()()()]2(1)1223111
n n S n n n n =-+-++-=-=+++L ，
故选：B ． 【点睛】
本题考查数列的求和运算，导数的运算法则，数列求和时注意裂项相消法的应用．
2．将正整数20分解成两个正整数的乘积有120⨯，210⨯，45⨯三种，其中45⨯是这三种分解中两数差的绝对值最小的，我们称45⨯为20的最佳分解.当p q ⨯（p q ≤且
*,p q ∈N ）是正整数n 的最佳分解时我们定义函数()f n q p =-，则数列
(){}5n
f ()*
n N ∈的前2020项的和为（ ）
A ．1010
5
1+
B ．101051
4-
C ．1010512
-
D ．101051-
【答案】D 【解析】 【分析】
首先利用信息的应用求出关系式的结果，进一步利用求和公式的应用求出结果． 【详解】
解：依题意，当n 为偶数时，22(5)550n n
n f =-=； 当n 为奇数时，1112
2
2
(5)5
5
45
n n n n f +--=-=⨯，
所以01100920204(555)S =++⋯+，
101051451
-=-g ，
101051=-．
故选：D 【点睛】
本题考查的知识要点：信息题的应用，数列的求和的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．
3．已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足6a ，43a ，5a -成等差数
列，则4
2
S S ( ) A ．3 B ．9 C ．10 D ．13
【答案】C 【解析】 【分析】
设{}n a 的公比为0q >，由645,3,a a a -成等差数列，可得2
60,0q q q --=>，解得q ，
再利用求和公式即可得结果. 【详解】
设各项均为正数的等比数列{}n a 的公比为0q >，
Q 满足645,3,a a a -成等差数列，
()
2465446,6,0a a a a a q q q ∴=-∴=->， 260,0q q q ∴--=>，解得3q =，
则
()
()
4124221313131103131
a S S a --==+=--，故选C. 【点睛】
本题主要考查等比数列的通项公式与求和公式，属于中档题. 等比数列基本量的运算是等比数列的一类基本题型，数列中的五个基本量1,,,,,n n a q n a S ，一般可以“知二求三”，通过列方程组所求问题可以迎刃而解，解决此类问题的关键是熟练掌握等比数列的有关性质和公式，并灵活应用，在运算过程中，还应善于运用整体代换思想简化运算过程.
4．已知数列{}n a 满足12n n a a +-=，且134,,a a a 成等比数列.若{}n a 的前n 项和为n S ，则
n S 的最小值为（ ）
A ．–10
B ．14-
C ．–18
D ．–20
【答案】D 【解析】 【分析】
利用等比中项性质可得等差数列的首项，进而求得n S ，再利用二次函数的性质，可得当
4n =或5时，n S 取到最小值.
【详解】
根据题意，可知{}n a 为等差数列，公差2d =，
由134,,a a a 成等比数列，可得2
314a a a =，
∴1112
()4(6)a a a ++=，解得18a =-.
∴22(1)981
829()224
n n n S n n n n -=-+
⨯=-=--. 根据单调性，可知当4n =或5时，n S 取到最小值，最小值为20-. 故选：D. 【点睛】
本题考查等差数列通项公式、等比中项性质、等差数列前n 项和的最值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意当4n =或5时同时取到最值.
5．《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺，前九个节气日影长之和为85.5尺，则小满日影长为（ ） A ．1.5尺 B ．2.5尺
C ．3.5尺
D ．4.5尺
【答案】C 【解析】 【分析】
结合题意将其转化为数列问题,并利用等差数列通项公式和前n 项和公式列方程组,求出首项和公差,由此能求出结果. 【详解】
解:从冬至日起,依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列{}n a ,冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺,前九个节气日影长之和为85.5尺,
∴()()1119
13631.598
985.52a a d a d S a d ⎧++++=⎪
⎨⨯=+=⎪⎩
, 解得113.5a =,1d =-,
∴小满日影长为1113.510(1) 3.5a =+⨯-=（尺）. 故选C . 【点睛】
本题考查等差数列的前n 项和公式,以及等差数列通项公式的运算等基础知识,掌握各公式并能熟练运用公式求解,考查运算求解能力,考查化归与转化思想,属于基础题.
6．已知椭圆22
1x y m n
+=满足条件：,,m n m n +成等差数列，则椭圆离心率为( )
A
B
．
2
C ．
12
D
【答案】B 【解析】 【分析】
根据满足条件,,m n m n +成等差数列可得椭圆为2212x y
m m
+=,求出,a c ．再求椭圆的离心
率即可. 【详解】
()22n m m n n m =++⇒=,
∴椭圆为2212x y m m
+=,
22c m m m =-=,
得c =
又a =
2
c e a ∴=
=
.
B. 【点睛】
一般求离心率有以下几种情况：①直接求出,a c ，从而求出e ;②构造,a c 的齐次式，求出e ;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解;④根据圆锥曲线的统一定义求解．
7．数列{}n a 的通项公式为(
)n a n c n N *
=-∈．则“2c <”是“{}n
a 为递增数列”的（ ）
条件． A ．必要而不充分
B ．充要
C ．充分而不必要
D ．即不充分也不必要
【答案】A 【解析】 【分析】
根据递增数列的特点可知10n n a a +->，解得1
2
c n <+
，由此得到若{}n a 是递增数列，则3
2c <
，根据推出关系可确定结果. 【详解】 若“{}n a 是递增数列”，则110n n a a n c n c +-=+--->， 即()()2
2
1n c n c +->-，化简得：12
c n <+， 又n *∈N ，1322n ∴+≥，32
c ∴<， 则2c <¿
{}n a 是递增数列，{}n a 是递增数列2c ⇒<，
∴“2c <”是“{}n a 为递增数列”的必要不充分条件．
故选：A . 【点睛】
本题考查充分条件与必要条件的判断，涉及到根据数列的单调性求解参数范围，属于基础题.
8．已知{}n a 是等差数列，1010a =，其前10项和1070S =，则其公差为（ ） A ．
23
B ．
32
C ．23
-
D ．32
-
【答案】A 【解析】 【分析】
根据等差数列的通项公式和前n 项和公式，列方程组求解即得. 【详解】
设等差数列{}n a 的公差为d .
101010,70a S ==Q ，11910109
10702a d a d +=⎧⎪
∴⎨⨯+=⎪⎩
解得2
3
d =
. 故选：A . 【点睛】
本题考查等差数列的通项公式和前n 项和公式，属于基础题.
9．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若123
111
2a a a ++=，22a =，则3S =（ ） A ．10 B ．7
C ．8
D ．4
【答案】C 【解析】 【分析】
根据等比数列的性质可将已知等式变为1233
2
224
a a a S a ++==，解方程求得结果. 【详解】
由题意得：131233
2
1231322111124
a a a a a S a a a a a a a +++++=+=== 38S ∴= 本题正确选项：C 【点睛】
本题考查等比数列性质的应用，关键是能够根据下角标的关系凑出关于3S 的方程，属于基础题.
10．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若32S =，618S =，则10
6
S S 等于（ ） A ．-3 B ．5
C ．-31
D ．33
【答案】D 【解析】 【分析】
先由题设条件结合等比数列的前n 项和公式，求得公比q ，再利用等比数列的前n 项和公
式，即可求解10
6
S S 的值，得到答案.
【详解】
由题意，等比数列{}n a 中32S =，618S =，
可得313366316(1)1121(1)1118
1a q S q q a q S q q q ---====--+-，解得2q =， 所以1011051055
16
(1)11133(1)11a q S q q q a q S q q
---===+=---. 故选：D . 【点睛】
本题主要考查了等比数列的前n 项和公式的应用，其中解答中熟记等比数列的前n 项和公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力.
11．已知数列}{
n a 为等比数列，n S 是它的前n 项和，若2312a a a ⋅=，且4a 与72a 的等差中项为5
4
，则5S =（ ）． A ．35 B ．33
C ．31
D ．29
【答案】C 【解析】
试题分析：由题意得，设等比数列的公比为q ，则2
231112a a a q a q a =⋅=，所以42a =，
又3
474452224a a a a q +=+=⨯，解得11,162
q a ==，所以
5
515116(1())
(1)2311112
a q S q --==
=--，故选C ． 考点：等比数列的通项公式及性质．
12．在正整数数列中，由1开始依次按如下规则，将某些数取出．先取1；再取1后面两个偶数2,4；再取4后面最邻近的3个连续奇数5,7,9；再取9后面的最邻近的4个连续偶数10,12,14,16；再取此后最邻近的5个连续奇数17,19,21,23,25.按此规则一直取下去，得到一个新数列1,2,4,5,7,9,10,12,14,16,17，…，则在这个新数列中，由1开始的第2 019个数是( ) A ．3 971 B ．3 972
C ．3 973
D ．3 974
【答案】D 【解析】 【分析】
先对数据进行处理能力再归纳推理出第n 组有n 个数且最后一个数为n 2，则前n 组共1+2+3+…+n ()12
n n +=个数，运算即可得解．
【详解】
解：将新数列1，2，4，5，7，9，10，12，14，16，17，…，分组为（1），（2，4），（5，7，9，），（10，12，14，16），（17，19，21，23，25）… 则第n 组有n 个数且最后一个数为n 2， 则前n 组共1+2+3+…+n ()
12
n n +=
个数，
设第2019个数在第n 组中，
则()
()120192
120192
n n n n ⎧+≥⎪⎪⎨-⎪⎪⎩＜， 解得n ＝64，
即第2019个数在第64组中，
则第63组最后一个数为632＝3969，前63组共1+2+3+…+63＝2016个数，接着往后找第三个偶数则由1开始的第2019个数是3974， 故选：D ． 【点睛】
本题考查了对数据的处理能力及归纳推理能力，考查等差数列前n 项和公式，属中档题．
13．在数列{}n a 中，111
2,1n n
a a a +=-=-，则2016a 的值为
A ．-2
B ．
13 C ．
12 D ．
32
【答案】B 【解析】
由111n n
a a +=-，得
21111
11111n n n n
a a a a ++=-=-=
--. 所以
32
11
1111n n n n
a a a a ++=-
=-
=-. 即数列{}n a 以3为周期的周期数列. 所以20163111
13
a a a ===-. 故选B.
点睛：数列的递推关系是给出数列的一种方法，根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项，由递推关系求数列的通项公式，常用的方法有：①求出数列的前几项，再归纳猜想出数列的一个通项公式；②将已知递推关系式整理、变形，变成等差、等比数列，或用累加法、累乘法、迭代法求通项，本题是通过迭代得到了数列的周期性．
14．对于实数,[]x x 表示不超过x 的最大整数.已知正项数列{}n a 满足112n n n S a a ⎛⎫=
+ ⎪⎝⎭
，*n N ∈，其中n S 为数列{}n a 的前n 项和，则[][][]1240S S S +++=L （ ）
A ．135
B ．141
C ．149
D ．155
【答案】D
【解析】 【分析】
利用已知数列的前n 项和求其n S 得通项，再求[]n S 【详解】
解：由于正项数列{}n a 满足112n n n S a a ⎛⎫
=+ ⎪⎝⎭
，*n N ∈， 所以当1n =时，得11a =， 当2n ≥时，11
1111[()]22n n n n n n n S a S S a S S --⎛⎫=+=-+ ⎪-⎝⎭ 所以11
1
n n n n S S S S ---=
-，
所以2
=n S n ，
因为各项为正项，所以=n S
因为[][][]1234851,1,[]1,[][]2S S S S S S =======L ,
[]05911[][]3S S S ====L ,[]161724[][]4S S S ====L ,[]252635[][]5S S S ====L , []363740[][]6S S S ====L .
所以[][][]1240S S S +++=L 13+25+37+49+511+65=155⨯⨯⨯⨯⨯⨯， 故选：D 【点睛】
此题考查了数列的已知前n 项和求通项，考查了分析问题解决问题的能力，属于中档题.
15．在等比数列{}n a 中，已知259,243a a ==，那么{}n a 的前4项和为（ ）. A ．81 B ．120
C ．121
D ．192
【答案】B 【解析】 【分析】
根据35
2
a q a =求出公比，利用等比数列的前n 项和公式即可求出. 【详解】
Q
35
2
27a q a ==, ∴ 3q =
∴ 4414(1)3(13)
120113
a q S q --===--.故选：B
【点睛】
本题主要考查了等比数列的通项公式，等比数列的前n 项和，属于中档题.
16．已知数列{}n a 的首项112,9n n a a a +==+，则27a =（ ） A ．7268 B ．5068
C ．6398
D ．4028
【答案】C 【解析】 【分析】
由19n n a a +=+得2123)n a ++=，所以构造数列为等差数列，
算出22(31)n a n +=-，求出27a . 【详解】
易知0n a >，因为19n n a a +=+，所以2123)n a ++=，
3，
是以3为公差，以2为首项的等差数列.
231,2(31)n n a n =-+=-，即2278026398a =-=. 故选 ：C 【点睛】
本题主要考查由递推公式求解通项公式，等差数列的通项公式，考查了学生的运算求解能力.
17．等差数列{}n a 中，1599a a a ++=，它的前21项的平均值是15，现从中抽走1项，余下的20项的平均值仍然是15，则抽走的项是( ) A ．11a B ．12a
C ．13a
D ．14a
【答案】A 【解析】 【分析】
由等差数列的性质可知5113,15a a ==，再根据前21项的均值和抽取一项后的均值可知抽取的一项的大小为15，故可确定抽走的是哪一项. 【详解】
因为1952a a a +=，所以539a =即53a =. 有
21
1521
S =得1115a =， 设抽去一项后余下的项的和为S ，则2015300S =⨯=，故抽取的一项的大小为11， 所以抽走的项为11a ，故选A. 【点睛】
一般地，如果{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，则有性质： （1）若,,,*,m n p q N m n p q ∈+=+，则m n p q a a a a +=+；
（2）()1,1,2,,2
k n k n n a a S k n +-+==L 且()2121n n S n a -=- ； （3）2n S An Bn =+且n S n ⎧⎫⎨
⎬⎩⎭为等差数列； （4）232,,,n n n n n S S S S S --L 为等差数列.
18．《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用，是东方古代数学的名著．在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，如“九儿问甲歌”就是其中一首：一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推．在这个问题中，这位公公的长儿的年龄为（ ）
A ．23岁
B ．32岁
C ．35岁
D ．38岁
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意，得到数列{}n a 是等差数列，由9207S =，求得数列的首项1a ，即可得到答案．
【详解】
设这位公公的第n 个儿子的年龄为n a ，
由题可知{}n a 是等差数列，设公差为d ，则3d =-， 又由9207S =，即91989(3)2072
S a ⨯=+
⨯-=，解得135a =， 即这位公公的长儿的年龄为35岁．
故选C ．
【点睛】 本题主要考查了等差数列前n 项和公式的应用，其中解答中认真审题，熟练应用等差数列的前n 项和公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
19．数列{}n a 满足11a =，对任意的*n N ∈都有11n n a a n +=++，则
122016
111a a a +++=L （ ） A ．20152016
B ．40322017
C ．40342017
D ．20162017
【答案】B
【解析】
【分析】 首先根据题设条件，由11n n a a n +=++，可得到递推关系为11n n a a n +-=+；
接下来利用累加法可求得()12
n n n a +=，从而()1211211n a n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，由此就可求得122016
111a a a +++L 的值. 【详解】
因为111n n n a a a n a n +=++=++，
所以11n n a a n +-=+，
用累加法求数列{}n a 的通项得：
()()1211n n n a a a a a a -=+-+⋯+-
()1122n n n +=++⋯+=
， 所以()1211211n a n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭
， 于是
1232016111111111212222320162017a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ +++⋯+=-+-+⋯+-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 121201*********
⎛⎫==- ⎪⎝⎭. 故选：B.
【点睛】
本题是一道考查数列的题目，掌握数列的递推关系以及求解前n 项和的方法是解答本题的关键，属于常考题.
20．{}n a 为等差数列，公差为d ，且01d <<，5()2
k a k Z π≠∈，223557sin 2sin cos sin a a a a +⋅=，函数()sin(4)(0)f x d wx d w =+>在20,3π⎛
⎫ ⎪⎝⎭
上单调且存在020,3x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
，使得()f x 关于0(,0)x 对称，则w 的取值范围是（ ） A ．20,3⎛
⎤ ⎥⎝⎦ B ．30,2⎛
⎤ ⎥⎝⎦ C ．24,33⎛⎤ ⎥⎝⎦ D ．33,42⎛⎤ ⎥⎝⎦
【答案】D
【解析】
【分析】
推导出sin4d ＝1，由此能求出d ，可得函数解析式，利用在203x π⎛
⎫∈ ⎪⎝⎭
，上单调且存在
()()0020203
x f x f x x π⎛⎫∈+-= ⎪⎝⎭
，，，即可得出结论． 【详解】 ∵{a n }为等差数列，公差为d ，且0＜d ＜1，a 52
k π≠
（k ∈Z ）， sin 2a 3+2sin a 5•cos a 5＝sin 2a 7，
∴2sin a 5cos a 5＝sin 2a 7﹣sin 2a 3＝2sin
372a a +cos 732a a -•2cos 372a a +sin 7
32
a a -=2sin a 5cos2d •2cos a 5sin2d ， ∴sin4d ＝1， ∴d 8π
=．
∴f （x ）8π
=cosωx ， ∵在203x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，
上单调 ∴23
ππω≥， ∴ω32
≤； 又存在()()0020203
x f x f x x π⎛⎫∈+-= ⎪⎝⎭，，， 所以f （x ）在（0，
23π）上存在零点， 即223ππω＜，得到ω34
＞． 故答案为 33,42⎛⎤
⎥⎝⎦ 故选D
【点睛】
本题考查等差数列的公差的求法，考查三角函数的图象与性质，准确求解数列的公差是本题关键，考查推理能力，是中档题．。