2020学年高二数学下学期期末考试试题 理(A卷) 新版新人教版

2019年上学期高二期末考试理科数学(A 卷)试题
时量：120分钟 总分：150分 一、选择题（每小题5分，每小题只有一个正确选项）
1．已知集合A ＝{x |x ＝3n ＋2，n∈N }，B ＝{2，4，6，8，10，12，14}，则集合A∩B 中元素的个数为( )
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
2．某班有学生52人，现用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本，已知座位号6号，32号，45号的同学都在样本中，那么样本中还有一位同学的座位号是（ ） A ．16 B ．19
C ．24
D ．36
3．a 2
＋b 2
＝1是a sin θ＋b cos θ≤1恒成立的( ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 4．已知4
3
2a =，25
4b =，13
25c =，则( ) A ．c a b << B ．a b c << C ．b c a << D ．b a c <<
5．已知函数f(2x ＋1)＝3x ＋11，则f(1)的值等于( )
A.11
B. 5
C. 2
D. －1
6．已知三点A (1,0)，B (0，3)，C (2，3)，则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为( )
A. 53 B ．43 C. 253 D. 213
7．等差数列{a n }中，a 3+a 7=4，则{a n }的前9项和等于（ ） A. 18 B. 27 C.﹣18 D.﹣27
8．某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是，则（ ） A. a =11 B. a =12 C. a =13 D. a =14
9．若将函数()f x 的图象向右平移1个单位长度后得到()g x 的图象，则称()g x 为()f x 的单位间隔函数，那么函数()sin
2
x
f x π= 的单位间隔函数为( )
A.()sin 12x g x π⎛⎫
=+
⎪⎝⎭
B. ()cos 2x g x π=
C. ()1sin 22x g x π⎛⎫
=+
⎪⎝⎭
D. ()cos 2x g x π=- 10．已知向量a ， b 的夹角为1200
，且2a =， 227a b -=，则b =
( ) B.3 C. 2 D. 3 11．已知,αβ均为锐角， ()53cos ,sin 1335παββ⎛⎫+=-+= ⎪⎝⎭，则cos 6πα⎛
⎫+ ⎪⎝
⎭= A. 3365-
B. 3365
C.6365-
D. 63
65
12．已知点(2,0)A -,(2,0)B ，(0,2)C ，直线(0)y ax b a =+>将ABC ∆分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是( )
A.（0，2
- B.2
(2]
3 C.(2 D.2[,1)3
二、填空题（每小题5分）
13．若集合A ＝{x|ax 2
－4x ＋2＝0}的子集只有两个，则实数a ＝________． 14．若函数()6,2{
3log ,2
a x x f x x x -+≤=+>（0a >且1a ≠）
的值域是[)4,+∞，则实数a 的取值范围是__________．
15
．如图，一栋建筑物的高为(30－)m ，在该建筑物的正东方向有一个通信塔CD.在它们之间的地面点M(B ，M ，D 三点共线)处测得楼顶A ，塔顶C 的仰角分别为15°和60°，在楼顶A 处测得塔顶C 的仰角为30°，则通信塔CD 的高为________ m.
16．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的外接球的表面积为________. 三、解答题
17．（本题满分10分）
已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()
*21n
n S n N =-∈.
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）设4log 1n n b a =+，求数列{}n b 的前n 项和n T .
18．（本题满分12分）
已知ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，3
C π
=.
（1）若224ab a c =-，求
sin sin B
A
的值； （2）求sin sin A B 的取值范围.
19．（本题满分12分）
某校举行汉字听写比赛，为了了解本次比赛成绩情况，从得分不低于50分的试卷中随机抽取100名学生的成绩(得分均为整数，满分100分)进行统计，请根据频率分布表中所提供的数据，解答下列问题：
（1）求a b 、的值；
（2）若从成绩较好的第3、4、5组中按分层抽样的方法抽取6人参加市汉字听写比赛，并从中选出2人做种子选手，求2人中至少有1人是第4组的概率。

20．（本题满分12分） 如图,已知四棱锥的底面为菱形，
.
(1)求证: ；
(2)若
,与平面成角,求点到平面
的距离.
21．（本题满分12分）
如图所示，将一矩形花坛ABCD 扩建成一个更大的矩形花坛AMPN ，要求B 点在AM 上，D 点在AN 上，且对角线MN 过点C ，已知AB=3米，AD=1米．
（1）要使矩形AMPN 的面积大于16平方米，则DN 的长应在什么范围内？ （2）当DN 的长度为多少时，矩形花坛AMPN 的面积最小？并求出最小值．
22．（本题满分12分）
已知圆C:()2
2
15x y +-=,直线:10.l mx y m -+-=
(1)求证:对m R ∈,直线l 与圆C 总有两个不同的交点; (2)设直线l 与圆C 交于,A B 两点,若,求直线l 的方程.
2018年上学期高二期末考试理科数学（A 卷）参考答案
一、选择题
1．B 2. B 3. B 4. D 5. A 6. D 7.A 8.A 9.D 10.C 11.B 12.C 二、填空题
13、0或2 14、12a <≤. 15、60 16、16π
3
三、解答题
17、（本题满分10分）
解：（1）当2n ≥时，112n n n n a S S --=-=，………………………………3分 当1n =时，1211a =-=，满足12n n a -=，……………………………………4分 ∴数列的通项公式为()
1*2n n a n N -=∈.……………………………………5分 （注：未检验1n =时，扣1分。

） （2）由（1）得41
log 12
n n n b a +=+=，……………………………………6分 则1211
222
n n n n b b +++-=
-=，………………………………………………8分 ∴数列{}n b 是首项为1，公差1
2
d =的等差数列，…………………………9分 ∴()21132
4
n n n n n
T nb d -+=+
=.…………………………………………10分.
22、（本题满分12分）
（1）证明:直线()110m x y --+=,经过定点()1,1,()2
2
1115+-<,∴定点在圆内,故对
m R ∈,直线l 与圆C 总有两个不同的交点. ………4分
（2）由圆心()0,1到直线10mx y m -+-=
的距离d ==
而圆的弦长………8分 即,,,
解得：m=………10分
故所求的直线方程为x- y=0或x +y-2=0………12分。