八年级上册数学 期末试卷综合测试卷(word含答案)

八年级上册数学 期末试卷综合测试卷（word 含答案）
一、八年级数学全等三角形解答题压轴题（难）
1．已知：在平面直角坐标系中，A 为x 轴负半轴上的点，B 为y 轴负半轴上的点.
(1)如图1，以A 点为顶点、AB 为腰在第三象限作等腰Rt ABC ∆，若2OA =，4OB =，试求C 点的坐标；
(2)如图2，若点A 的坐标为()
23,0-，点B 的坐标为()0,m -，点D 的纵坐标为n ，以B 为顶点，BA 为腰作等腰Rt ABD ∆.试问：当B 点沿y 轴负半轴向下运动且其他条件都不变时，整式2253m n +-的值是否发生变化？若不发生变化，请求出其值；若发生变化，请说明理由；
(3)如图3，E 为x 轴负半轴上的一点，且OB OE =，OF EB ⊥于点F ，以OB 为边作等边OBM ∆，连接EM 交OF 于点N ，试探索：在线段EF 、EN 和MN 中，哪条线段等于EM 与ON 的差的一半？请你写出这个等量关系，并加以证明.
【答案】(1) C(-6,-2);(2)不发生变化，值为3-3）EN=
12
(EM-ON)，证明见详解. 【解析】
【分析】 （1）作CQ ⊥OA 于点Q,可以证明AQC BOA ≅，由QC=AD,AQ=BO,再由条件就可以求出点C 的坐标；
（2）作DP ⊥OB 于点P ，可以证明AOB BPD ≅，则有BP=OB-PO=m-(-n)=m+n 为定值，从而可以求出结论2253m n +-3-
（3）作BH ⊥EB 于点B ，由条件可以得出
∠1=30°,∠2=∠3=∠EMO=15°,∠EOF=∠BMG=45°,EO=BM,可以证明ENO BGM ≅，则GM=ON,就有EM-ON=EM-GM=EG ,最后由平行线分线段成比例定理就可得出EN=12
(EM-ON).
【详解】
（1）如图（1）作CQ ⊥OA 于Q,
∴∠AQC=90°,
△为等腰直角三角形，
∵ABC
∴AC=AB,∠CAB=90°,
∴∠QAC+∠OAB=90°,
∵∠QAC+∠ACQ=90°,
∴∠ACQ=∠BAO,
又∵AC=AB,∠AQC=∠AOB,
≅(AAS),
∴AQC BOA
∴CQ=AO,AQ=BO,
∵OA=2,OB=4,
∴CQ=2,AQ=4,
∴OQ=6,
∴C(-6,-2).
(2)如图（2）作DP⊥OB于点P,
∴∠BPD=90°,
△是等腰直角三角形，
∵ABD
∴AB=BD,∠ABD=∠ABO+∠OBD=90°,∵∠OBD+∠BDP=90°,
∴∠ABO=∠BDP,
又∵AB=BD,∠AOB=∠BPD=90°,
≅
∴AOB BPD
∴AO=BP,
∵BP=OB-PO=m-(-n)=m+n,
∵A ()23,0-,
∴OA=23,
∴m+n=23,
∴当点B 沿y 轴负半轴向下运动时，AO=BP=m+n=23,
∴整式2253m n +-的值不变为3-.
（3）()12
EN EM ON =- 证明：如图（3）所示，在ME 上取一点G 使得MG=ON,连接BG 并延长，交x 轴于H.
∵OBM 为等边三角形，
∴BO=BM=MO,∠OBM=∠OMB=∠BOM=60°,
∴EO=MO,∠EBM=105°,∠1=30°,
∵OE=OB,
∴OE=OM=BM,
∴∠3=∠EMO=15°,
∴∠BEM=30°,∠BME=45°,
∵OF⊥EB,
∴∠EOF=∠BME,
∴ENO BGM ≅,
∴BG=EN,
∵ON=MG,
∴∠2=∠3,
∴∠2=15°,
∴∠EBG=90°,
∴BG=
12
EG, ∴EN=12EG, ∵EG=EM-GM,
∴EN=
12
(EM-GM), ∴EN=12(EM-ON).
【点睛】
本题考查了等腰直角三角形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角与内角的关系，全等三角形的判定与性质，平行线分线段成比例定理的运用.
2．已知,如图A 在x 轴负半轴上，B （0，-4），点E （-6,4）在射线BA 上，
(1) 求证：点A 为BE 的中点
(2) 在y 轴正半轴上有一点F, 使 ∠FEA=45°，求点F 的坐标.
(3) 如图，点M 、N 分别在x 轴正半轴、y 轴正半轴上，MN=NB=MA ，点I 为△MON 的内角平分线的交点，AI 、BI 分别交y 轴正半轴、x 轴正半轴于P 、Q 两点, IH⊥ON 于H, 记△POQ 的周长为C△POQ.求证：C△POQ=2 HI.
【答案】（1）证明见解析；（2）22(0,
)7
F ；（3）证明见解析. 【解析】 试题分析：（1）过E 点作E
G ⊥x 轴于G ，根据B 、E 点的坐标，可证明△AEG ≌△ABO ，从而根据全等三角形的性质得证；
（2）过A 作AD⊥AE 交EF 延长线于D ，过D 作DK ⊥x 轴于K ，然后根据全等三角形的判定得到△AEG ≌△DAK ，进而求出D 点的坐标，然后设F 坐标为（0，y ），根据S 梯形EGKD =S 梯形EGOF +S 梯形FOKD 可求出F 的坐标；
（3）连接MI 、NI ，根据全等三角形的判定SAS 证得△MIN ≌△MIA ，从而得到
∠MIN=∠MIA 和∠MIN=∠NIB ，由角平分线的性质，求得∠AIB=135°×3-360°=45°再连接OI ，作IS⊥OM 于S, 再次证明△HIP ≌△SIC 和△QIP ≌△QIC ，得到C △POQ 周长.
试题解析：（1）过E 点作EG⊥x 轴于G ，
∵B （
0，-4），E （-6,4），∴OB=EG=4，
在△AEG 和△ABO 中，
∵90EGA BOA EAG BAO EG BO ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴△AEG ≌△ABO （AAS ），∴AE=AB
∴A 为BE 中点
（2）过A 作AD⊥AE 交EF 延长线于D ，
过D 作DK⊥x 轴于K ，
∵∠FEA=45°，∴AE=AD ，
∴可证△AEG≌△DAK，∴D（1,3），
设F （0，y ），
∵S 梯形EGKD =S 梯形EGOF +S 梯形FOKD ，
∴
()()()111347463222
y y +⨯=+⨯++ ∴227y = ∴220,7F ⎛⎫ ⎪⎝⎭
（3）连接MI 、NI
∵I为△MON内角平分线交点，∴NI平分∠MNO，MI平分∠OMN，在△MIN和△MIA中，
∵
MN MA
NMI AMI
MI MI
=
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
∴△MIN≌△MIA（SAS），
∴∠MIN=∠MIA，
同理可得∠MIN=∠NIB，
∵NI平分∠MNO，MI平分∠OMN，∠MON=90°，
∴∠MIN=135°∴∠MIN=∠MIA =∠NIB=135°，
∴∠AIB=135°×3-360°=45°，
连接OI，作IS⊥OM于S, ∵IH⊥ON，OI平分∠MON，
∴IH=IS=OH=OS，∠HIS=90°，∠HIP+∠QIS=45°，
在SM上截取SC=HP，可证△HIP≌△SIC，∴IP=IC，
∠HIP=∠SIC，∴∠QIC=45°，
可证△QIP≌△QIC，
∴PQ=QC=QS+HP，
∴C△POQ=OP+PQ+OQ=OP+PH+OQ+OS=OH+OS=2HI.
3．（1）如图（1），已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB=AC，直线m经过点A，BD⊥直线m, CE⊥直线m,垂足分别为点D、E.证明:DE=BD+CE.
（2）如图（2），将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m 上,并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α,其中α为任意锐角或钝角.请问结论DE=BD+CE是否成立?如成立,请你给出证明;若不成立,请说明理由.
（3）拓展与应用：如图（3），D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E
三点互不重合）,点F为∠BAC平分线上的一点,且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD、CE,若∠BDA=∠AEC=∠BAC，试判断△DEF的形状.
【答案】（1）见解析（2）成立（3）△DEF为等边三角形
【解析】
解：（1）证明：∵BD⊥直线m，CE⊥直线m，∴∠BDA＝∠CEA=900．
∵∠BAC＝900，∴∠BAD+∠CAE=900．
∵∠BAD+∠ABD=900，∴∠CAE=∠ABD．
又AB="AC" ，∴△ADB≌△CEA（AAS）．∴AE=BD，AD=CE．
∴DE="AE+AD=" BD+CE．
（2）成立．证明如下：
∵∠BDA =∠BAC=α，∴∠DBA+∠BAD=∠BAD +∠CAE=1800—α．∴∠DBA=∠CAE．
∵∠BDA=∠AEC=α，AB=AC，∴△ADB≌△CEA（AAS）．∴AE=BD，AD=CE．
∴DE=AE+AD=BD+CE．
（3）△DEF为等边三角形．理由如下：
由（2）知，△ADB≌△CEA，BD=AE，∠DBA =∠CAE，
∵△ABF和△ACF均为等边三角形，∴∠ABF=∠CAF=600．
∴∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF．∴∠DBF=∠FAE．
∵BF=AF，∴△DBF≌△EAF（AAS）．∴DF=EF，∠BFD=∠AFE．
∴∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=600．
∴△DEF为等边三角形．
（1）因为DE=DA+AE，故由AAS证△ADB≌△CEA，得出DA=EC，AE=BD，从而证得
DE=BD+CE．
（2）成立，仍然通过证明△ADB≌△CEA，得出BD=AE，AD=CE，所以DE=DA+AE=EC+BD．（3）由△ADB≌△CEA得BD=AE，∠DBA =∠CAE，由△ABF和△ACF均等边三角形，得
∠ABF=∠CAF=600，FB=FA，所以∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF，即∠DBF=∠FAE，所以
△DBF≌△EAF，所以FD=FE，∠BFD=∠AFE，再根据∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=600得到△DEF是等边三角形．
4．如图1，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且
PA=PE，PE交CD于F
（1）证明：PC=PE；
（2）求∠CPE的度数；
（3）如图2，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，当∠ABC=120°时，连接CE，试探究线段AP与线段CE的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）证明见解析（2）90°（3）AP=CE
【解析】
【分析】
(1)、根据正方形得出AB=BC，∠ABP=∠CBP=45°，结合PB=PB得出△ABP ≌△CBP，从而得出结论；(2)、根据全等得出∠BAP=∠BCP，∠DAP=∠DCP，根据PA=PE得出∠DAP=∠E，即∠DCP=∠E，易得答案；(3)、首先证明△ABP和△CBP全等，然后得出PA=PC，
∠BAP=∠BCP，然后得出∠DCP=∠E，从而得出∠CPF=∠EDF=60°，然后得出△EPC是等边三角形，从而得出AP=CE.
【详解】
(1)、在正方形ABCD中，AB=BC，∠ABP=∠CBP=45°，
在△ABP和△CBP中，又∵ PB=PB ∴△ABP ≌△CBP（SAS），∴PA=PC，∵PA=PE，
∴PC=PE；
(2)、由（1）知，△ABP≌△CBP，∴∠BAP=∠BCP，∴∠DAP=∠DCP，
∵PA=PE，∴∠DAP=∠E，∴∠DCP=∠E，∵∠CFP=∠EFD（对顶角相等），
∴180°﹣∠PFC﹣∠PCF=180°﹣∠DFE﹣∠E，即∠CPF=∠EDF=90°；
(3)、AP＝CE
理由是：在菱形ABCD中，AB=BC，∠ABP=∠CBP，
在△ABP和△CBP中，又∵ PB=PB ∴△ABP≌△CBP（SAS），
∴PA=PC，∠BAP=∠DCP，
∵PA=PE，∴PC=PE，∴∠DAP=∠DCP，∵PA=PC ∴∠DAP=∠E，∴∠DCP=∠E
∵∠CFP=∠EFD（对顶角相等），∴180°﹣∠PFC﹣∠PCF=180°﹣∠DFE﹣∠E，
即∠CPF=∠EDF=180°﹣∠ADC=180°﹣120°=60°，∴△EPC是等边三角形，∴PC=CE，
∴AP=CE
考点：三角形全等的证明
5．如图，在△ABC中，∠ABC为锐角，点D为直线BC上一动点，以AD为直角边且在AD 的右侧作等腰直角三角形ADE，∠DAE＝90°，AD＝AE．
（1）如果AB＝AC，∠BAC＝90°．①当点D在线段BC上时，如图1，线段CE、BD的位置关系为___________，数量关系为___________
②当点D在线段BC的延长线上时，如图2，①中的结论是否仍然成立，请说明理由．（2）如图3，如果AB≠AC，∠BAC≠90°，点D在线段BC上运动．探究：当∠ACB多少度时，CE⊥BC？请说明理由．
【答案】（1）①垂直，相等．②都成立，理由见解析；（2）45°，理由见解析
【解析】
【分析】
（1）①根据∠BAD=∠CAE ，BA=CA ，AD=AE ，运用“SAS ”证明△ABD ≌△ACE ，根据全等三角形性质得出对应边相等，对应角相等，即可得到线段CE 、BD 之间的关系；
②先根据“SAS ”证明△ABD ≌△ACE ，再根据全等三角形性质得出对应边相等，对应角相等，即可得到①中的结论仍然成立；
（2）先过点A 作AG ⊥AC 交BC 于点G ，画出符合要求的图形，再结合图形判定△GAD ≌△CAE ，得出对应角相等，即可得出结论．
【详解】
（1）：（1）CE 与BD 位置关系是CE ⊥BD ，数量关系是CE=BD ．
理由：如图1，∵∠BAD=90°-∠DAC ，∠CAE=90°-∠DAC ，
∴∠BAD=∠CAE ．
又 BA=CA ，AD=AE ，
∴△ABD ≌△ACE （SAS ）
∴∠ACE=∠B=45°且 CE=BD ．
∵∠ACB=∠B=45°，
∴∠ECB=45°+45°=90°，即 CE ⊥BD ．
故答案为垂直，相等；
②都成立，理由如下：
∵∠BAC ＝∠DAE ＝90°，
∴∠BAC ＋∠DAC ＝∠DAE ＋∠DAC ，
∴∠BAD ＝∠CAE ，
在△DAB 与△EAC 中，
AD AE BAD CAE AB AC ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩
＝＝＝ ∴△DAB ≌△EAC ，
∴CE ＝BD ，∠B ＝∠ACE ，
∴∠ACB ＋∠ACE ＝90°，即CE ⊥BD ；
（2）当∠ACB＝45°时，CE⊥BD（如图）．
理由：过点A作AG⊥AC交CB的延长线于点G，则∠GAC＝90°，
∵∠ACB＝45°，∠AGC＝90°﹣∠ACB，
∴∠AGC＝90°﹣45°＝45°，
∴∠ACB＝∠AGC＝45°，
∴AC＝AG，
在△GAD与△CAE中，
AC AG
DAG EAC
AD AE
⎧
⎪
∠∠
⎨
⎪
⎩
＝
＝
＝
∴△GAD≌△CAE，
∴∠ACE＝∠AGC＝45°，
∠BCE＝∠ACB＋∠ACE＝45°＋45°＝90°，即CE⊥B C．
6．如图1，在ABC
∆
中，ACB
∠是直角，60
B
∠
=︒，AD、CE分别是BAC
∠、BCA
∠
的平分线，AD、CE相交于点F．
（1）求出AFC
∠的度数；
（2）判断FE与FD之间的数量关系并说明理由．（提示：在AC上截取CG CD
=，连接FG．）
（3）如图2，在△ABC
∆中，如果ACB
∠不是直角，而（1）中的其它条件不变，试判断线段AE、CD与AC之间的数量关系并说明理由．
【答案】（1）∠AFC＝120°；（2）FE与FD之间的数量关系为：DF＝EF．理由见解析；（3）AC＝AE+CD．理由见解析．
【解析】
【分析】
（1）根据三角形的内角和性质只要求出∠FAC，∠ACF即可解决问题;
（2）根据在图2的 AC上截取CG=CD，证得△CFG≌△CFD (SAS),得出DF= GF；再根据ASA 证明△AFG≌△AFE，得EF=FG，故得出EF=FD；
（3）根据(2) 的证明方法，在图3的AC上截取AG=AE，证得△EAF≌△GAF (SAS)得出
∠EFA=∠GFA；再根据ASA证明△FDC≌△FGC，得CD=CG即可解决问题．
【详解】
（1）解：∵∠ACB＝90°，∠B＝60°，
∴∠BAC＝90°﹣60°＝30°，
∵AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，
∴∠FAC＝15°，∠FCA＝45°，
∴∠AFC＝180°﹣（∠FAC+∠ACF）＝120°
（2）解：FE与FD之间的数量关系为：DF＝EF．
理由：如图2，在AC上截取CG＝CD，
∵CE是∠BCA的平分线，
∴∠DCF＝∠GCF，
在△CFG和△CFD中，
CG CD
DCF GCF
CF CF
=
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
，
∴△CFG≌△CFD（SAS），
∴DF＝GF．∠CFD＝∠CFG
由（1）∠AFC＝120°得，
∴∠CFD＝∠CFG＝∠AFE＝60°，
∴∠AFG＝60°，
又∵∠AFE＝∠CFD＝60°，
∴∠AFE＝∠AFG，
在△AFG和△AFE中，
AFE AFG
AF AF
EAF GAF
∠=∠
⎧
⎪
=
⎨
⎪∠=∠
⎩
，
∴△AFG≌△AFE（ASA），
∴EF＝GF，
∴DF＝EF；
（3）结论：AC ＝AE+CD ．
理由：如图3，在AC 上截取AG ＝AE ，
同（2）可得，△EAF ≌△GAF （SAS ），
∴∠EFA ＝∠GFA ，AG ＝AE
∵∠BAC+∠BCA=180°-∠B=180°-60°=120°
∴∠AFC ＝180°﹣(∠FAC+∠FCA)＝180°-
12(∠BAC+∠BCA)=180°-12
×120°=120°， ∴∠EFA ＝∠GFA ＝180°﹣120°＝60°＝∠DFC ，
∴∠CFG ＝∠CFD ＝60°，
同（2）可得，△FDC ≌△FGC （ASA ），
∴CD ＝CG ，
∴AC ＝AG+CG ＝AE+CD ．
【点睛】 本题考查了全等三角形的判定和性质的运用，全等三角形的判定和性质是证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造全等三角形．
7．如图①，在ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，AE 是过A 点的一条直线，且B 、C 在AE 的异侧，BD AE ⊥于D ，CE AE ⊥于E .
（1）求证：BD DE CE =+.
（2）若将直线AE 绕点A 旋转到图②的位置时（BD CE <），其余条件不变，问BD 与DE 、CE 的关系如何？请予以证明.
【答案】（1）见解析；（2）BD=DE-CE ，理由见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据已知利用AAS 判定△ABD ≌△CAE 从而得到BD=AE ，AD=CE ，因为AE=AD+DE ，所
以BD=DE+CE ；
（2）根据已知利用AAS 判定△ABD ≌△CAE 从而得到BD=AE ，AD=CE ，因为
AD+AE=BD+CE ，所以BD=DE-CE ．
【详解】
解：（1）∵∠BAC=90°，BD ⊥AE ，CE ⊥AE ，
∴∠BDA=∠AEC=90°，
∵∠ABD+∠BAE=90°，∠CAE+∠BAE=90°
∴∠ABD=∠CAE ，
∵AB=AC ，
在△ABD 和△CAE 中，
BDA AEC ABD CAE AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴△ABD ≌△CAE （AAS ），
∴BD=AE ，AD=CE ，
∵AE=AD+DE ，
∴BD=DE+CE ；
（2）BD 与DE 、CE 的数量关系是BD=DE-CE ，理由如下：
∵∠BAC=90°，BD ⊥AE ，CE ⊥AE ，
∴∠BDA=∠AEC=90°，
∴∠ABD+∠DAB=∠DAB+∠CAE ，
∴∠ABD=∠CAE ，
∵AB=AC ，
在△ABD 和△CAE 中，
BDA AEC ABD CAE AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴△ABD ≌△CAE （AAS ），
∴BD=AE ，AD=CE ，
∴AD+AE=BD+CE ，
∵DE=BD+CE ，
∴BD=DE-CE ．
【点睛】
此题主要考查全等三角形的判定和性质，常用的判定方法有SSS ，SAS ，AAS ，HL 等．这种类型的题目经常考到，要注意掌握．
8．如图1，在长方形ABCD 中，AB=CD=5 cm ， BC=12 cm ，点P 从点B 出发，以2cm/s 的速度沿BC 向点C 运动，设点P 的运动时间为ts ．
（1）PC=___cm ；(用含t 的式子表示)
（2）当t 为何值时，△ABP ≌△DCP ？．
（3）如图2，当点P 从点B 开始运动，此时点Q 从点C 出发，以vcm/s 的速度沿CD 向点D 运动，是否存在这样的v 值，使得某时刻△ABP 与以P ，Q ，C 为顶点的直角三角形全等？若存在，请求出v 的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）()122t -；（2）3t =；（3）存在，2v =或53
v =
【解析】
【分析】
（1）根据P 点的运动速度可得BP 的长，再利用BC 的长减去BP 的长即可得到PC 的长； （2）先根据三角形全等的条件得出当BP=CP ，列方程求解即得；
（3）先分两种情况：当BP=CQ ，AB=PC 时，△ABP ≌△PCQ ；或当BA=CQ ，PB=PC 时，△ABP ≌△QCP ，然后分别列方程计算出t 的值，进而计算出v 的值．
【详解】
解：（1）当点P 以2cm/s 的速度沿BC 向点C 运动时间为ts 时2BP tcm =
∵12BC cm =
∴()122PC BC BP t cm =-=-
故答案为：()122t -
（2）∵ABP DCP ∆≅∆
∴BP CP =
∴2122t t =-
解得3t =．
（3）存在，理由如下：
①当BP=CQ ，AB=PC 时，△ABP ≌△PCQ ，
∴PC=AB=5
∴BP=BC-PC=12-5=7
∵2BP tcm =
∴2t=7
解得t=3.5
∴CQ=BP=7，则3.5v=7
解得2v =．
②当BA CQ =，PB PC =时，ABP QCP ∆≅∆
∵12BC cm =
∴162
BP CP BC cm ==
= ∵2BP tcm =
∴26t =
解得3t =
∴3CQ vcm = ∵5AB CQ cm ==
∴35v =
解得53
v =． 综上所述，当2v =或53v =
时，ABP ∆与以P ，Q ，C 为顶点的直角三角形全等． 【点睛】
本题考查全等三角形的判定及性质和矩形的性质，解题关键是将动态情况化为某一状态情况，并以这一状态为等量关系建立方程求解．
9．如图，在边长为 4 的等边△ABC 中，点 D 从点A 开始在射线 AB 上运动，速度为 1 个单位/秒，点F 同时从 C 出发，以相同的速度沿射线 BC 方向运动，过点D 作 DE ⊥AC ，连结 DF 交射线 AC 于点 G
(1)当 DF ⊥AB 时，求 t 的值；
(2)当点 D 在线段 AB 上运动时，是否始终有 DG=GF?若成立，请说明理由。

(3)聪明的斯扬同学通过测量发现，当点 D 在线段 AB 上时，EG 的长始终等于 AC 的一半，他想当点D 运动到图 2 的情况时，EG 的长是否发生变化?若改变，说明理由；若不变，求出 EG 的长。

【答案】（1）
43
；（2）见详解；（3）不变. 【解析】
【分析】
（1）设AD=x ，则BD=4-x ，BF=4+x ．当D F⊥AB 时，通过解直角△BDF 求得x 的值，易得t 的值；
（2）如图1，过点D 作DH∥BC 交AC 于点H ，构建全等三角形：△DHG≌△FCG，结合全等三角形的对应边相等的性质和图中相关线段间的和差关系求得DG=GF ；
（3）过F 作FH⊥AC，可证△ADE≌△CFH，得DE=FH ，AC=EH ，再证△GDE≌△GFH，可得EG=GH ，即可解题．
【详解】
解：（1）设AD=x，则BD=4-x，BF=4+x．
当DF⊥AB时，∵∠B=60°，
∴∠DFB=30°，
∴BF=2BD，即4+x=2（4-x），
解得x=
4
3
，
故t=
4
3
；
（2）如图1，过点D作DH∥BC交AC于点
H，则∠DHG=∠FCG．
∵△ABC是等边三角形，
∴△ADH是等边三角形，
∴AD=DH．
又AD=CF，
∴DH=FC．
∵在△DHG与△FCG中，
DGH FGC
DHG FCG
DH FC
∠∠
⎧
⎪
∠∠
⎨
⎪
⎩
＝
＝
＝
，
∴△DHG≌△FCG（AAS），
∴DG=GF；
（3）如图2，过F作FH⊥AC，
在△ADE和△CFH中，
90AED
FHC A FCH AD CF ∠∠︒⎧⎪∠∠⎨⎪⎩
＝＝＝＝， ∴△ADE ≌△CFH （AAS ），
∴DE=FH ，AE=CH ，
∴AC=EH ，
在△GDE 和△GFH 中，
DEG FHG DGE FGH DE FH ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩
＝＝＝∴△GDE ≌△GFH （AAS ），
∴EG=GH ，
∴EG=
12EH=12
AC ． 【点睛】 本题考查了三角形综合题，需要掌握全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△GDE≌△GFH 是解题的关键．
10．已知：4590ABC A ACB ∆∠=∠=，，，点D 是AC 延长线上一点，且
22AD =+，
，M 是线段CD 上一个动点，连接BM ，延长MB 到H ，使得HB MB =，以点B 为中心，将线段BH 逆时针旋转45，得到线段BQ ，连接AQ ．
（1）依题意补全图形；
（2）求证：ABQ AMB ∠=∠；
（3）点N 是射线AC 上一点，且点N 是点M 关于点D 的对称点，连接BN ，如果QA BN =， 求线段AB 的长．
【答案】（1）见解析；（2）证明见解析；（3）22AB =【解析】
【分析】
（1）根据题意可以补全图形；
（2）根据三角形外角的性质即可证明；
（3）作QE ⊥AB ，根据AAS 证得QEB BCM ≅，根据HL 证得
Rt QEA Rt BCN ≅，设法证得2AB CD =，设AC BC x ==，则2AB x =，
2
2
CD x
=，结合已知22
AD=+，构建方程即可求解.【详解】
（1）补全图形如下图所示：
（2）解：∵∠ABH是ABM的一个外角，
∴ABH BAM AMB
∠=∠+∠
∵ABH HBQ ABQ
∠=∠+∠
又∵45
HBQ BAM
∠=∠=︒
∴ABQ AMB
∠=∠
（3）过Q 作QE⊥AB，垂足为E，如下图：
∵⊥
QE AB
∴90
QEB BCM
∠=∠=︒，
在QEB和BCM中，
QEB BCM
QBE BMC
QB BM
∠=∠
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
∴QEB BCM
≅(AAS)
∴EB CM
=，QE BC
=，
在Rt QEA和Rt BCN中
∵QE BC =， Q A BN = ∴Rt QEA Rt BCN ≅ (HL)
∴AE CN CM MD DN ==++
∵点N 是点M 关于点D 的对称点，
∴MD DN =
∴22AE CM MD EB MD =+=+
∴ ()2222AB AE EB EB MD EB MD CD =+=+=+=
设AC BC x ==，则2AB x =
，22CD x =， 又∵22AD =
+，2 AD AC CD x x =+=+ ∴222x x +=+ 解得：2x =
∴ 22AB =
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形外角定理、等腰直角三角形的判定与性质等知识点．熟悉全等三角形的判定方法以及正确作出辅助线、构建方程是解答的关键．
二、八年级数学 轴对称解答题压轴题（难）
11．（问题情境）学习《探索全等三角形条件》后，老师提出了如下问题：如图①，△ABC 中，若AB=12，AC=8，求BC 边上的中线AD 的取值范围．同学通过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD 到E ，使DE=AD ，连接BE.根据SAS 可证得到△ADC ≌△EDB ，从而根据“三角形的三边关系”可求得AD 的取值范围是 ．解后反思：题目中出现“中点”“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中.
（直接运用）如图②，AB ⊥AC ，AD ⊥AE ，AB=AC ，AD=AE ，AF 是ACD 的边CD 上中线.求证：BE=2AF.
（灵活运用）如图③，在△ABC 中，∠C=90°，D 为AB 的中点，DE ⊥DF ，DE 交AC 于点E ，DF 交AB 于点F ，连接EF ，试判断以线段AE 、BF 、EF 为边的三角形形状，并证明你的结论.
【答案】（1）2＜AD＜10；（2）见解析（3）为直角三角形，理由见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据△ADC≌△EDB，得到BE=AC=8，再根据三角形的构成三角形得到AE的取值，再根据D为AE中点得到AD的取值；
（2）延长AF到H，使AF=HF，故△ADF≌△HCF，AH=2AF，由AB⊥AC，AD⊥AE，得到
∠BAE+∠CAD=180°，又∠ACH+∠CAH+∠AHC=180°，根据∠D=∠FCH，∠DAF=∠CHF，得到∠ACH+∠CAD=180°，故∠BAE= ACH，再根据AB=AC，AD=AE即可利用SAS证明
△BAE≌△ACH，故BE=AH,故可证明BE=2AF.
（3）延长FD到点G，使DG=FD，连结GA，GE，证明△DBF≌△DAG，故得到FD=GD，BF=AG,由DE⊥DF，得到EF=EG,再求出∠EAG=90°，利用勾股定理即可求解.
【详解】
（1）∵△ADC≌△EDB，
∴BE=AC=8，
∵AB=12，
∴12-8＜AE＜12+8，
即4＜AE＜20，
∵D为AE中点
∴2＜AD＜10；
（2）延长AF到H，使AF=HF，
由题意得△ADF≌△HCF，故AH=2AF，
∵AB⊥AC，AD⊥AE，
∴∠BAE+∠CAD=180°，
又∠ACH+∠CAH+∠AHC=180°，
∵∠D=∠FCH，∠DAF=∠CHF，
∴∠ACH+∠CAD=180°，
故∠BAE= ACH，
又AB=AC，AD=AE
∴△BAE≌△ACH（SAS），
故BE=AH,又AH=2AF
∴BE= 2AF.
（3）以线段AE、BF、EF为边的三角形为直角三角形，理由如下：
延长FD到点G，使DG=FD，连结GA，GE，
由题意得△DBF≌△ADG，
∴FD=GD，BF=AG,
∵DE⊥DF，
∴DE垂直平分GF,
∴EF=EG,
∵∠C=90°，
∴∠B+∠CAB=90°，
又∠B=∠DAG，
∴∠DAG +∠CAB=90°
∴∠EAG=90°，
故EG2=AE2+AG2，
∵EF=EG, BF=AG
∴EF2=AE2+BF2，
则以线段AE、BF、EF为边的三角形为直角三角形.
【点睛】
此题主要考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是根据题意作出辅助线，根据垂直平分线与勾股定理进行求解.
12．数学课上，同学们探究下面命题的正确性，顶角为36°的等腰三角形我们称之为黄金三角形，“黄金三角形“具有一种特性，即经过它某一顶点的一条直线可以把它分成两个小等腰三角形，为此，请你，解答问题：
（1）已知如图1：黄金三角形△ABC中，∠A=36°，直线BD平分∠ABC交AC于点D，求证：△ABD和△DBC都是等腰三角形；
（2）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，请你设计三种不同的方法，将△ABC分割成三个等腰三角形，不要求写出画法，不要求证明，但是要标出所分得的每个三角形的各内角
的度数．
（3）已知一个三角形可以被分成两个等腰三角形，若原三角形的一个内角为36°，求原三角形的最大内角的所有可能值．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）最大角的可能值为72°，90°，108°，126°，132°
【解析】
【分析】
（1）通过角度转换得到∠ABD=∠BAD，和∠BDC=72°=∠C，即可判断；
（2）根据等腰三角形的两底角相等及三角形内角和定理进行解答即可；
（3）设原△ABD中有一个角为36°，可分成两个等腰三角形，逐个讨论：①当分割的直线过顶点B时②当分割三角形的直线过点D时情况和过点B一样的，③当分割三角形的直线过点A时，在分别求出最大角的度数即可.
【详解】
解：（1）证明：∵∠ABC=（180-36）÷2=72；BD平分∠ABC，∠ABD=72÷2=36°，
∴∠ABD=∠BAD，
∴△ABD为等腰三角形，
∴∠BDC=72°=∠C，
∴△BCD为等腰三角形；
（2）根据等腰三角形的两底角相等及三角形内角和定理作出，如图所示：
（3）设原△ABD中有一个角为36°，可分成两个等腰三角形，逐个讨论：
①当分割的直线过顶点B时，
【1】：第一个等腰三角形ABC以A为顶点:则第二个等腰三角形BCD只可能以C为顶点
此时∠A=36°,∠D=36°，∠B=72＋36=108°，最大角的值为108°；
【2】：第一个等腰三角形ABC以B为顶点：第二个等腰三角形BCD只可能以C为顶点
此时：∠A=36°,∠D=18°，∠B=108+18=126°，最大角的值为126°；
【3】第一个等腰三角形ABC以C为顶点：第二个等腰三角形BCD有三种情况△BCD以B为顶点：∠A=36°，∠D=72°，
∴∠ABD=72°，最大角的值为72°；
△BCD以C为顶点：∠A=36°，∠D=54°，
∴∠ABD=90°，最大角的值为90°；
△BCD以D为顶点：∠A=36°，∠D=36°
∴∠ABD=108°，最大角的值为108°；
②当分割三角形的直线过点D时情况和过点B一样的；
③当分割三角形的直线过点A时，
此时∠A=36°，∠D=12°，∠B=132°，
最大角的值为132°；
综上所述：最大角的可能值为72°，90°，108°，126°，132°.
【点睛】
本题是对三角形知识的综合考查，熟练掌握等腰三角形的性质和角度转换是解决本题的关键，难度较大，分类讨论是解决本题的关键.
13．如图，△ABC中，∠ABC=∠ACB，点D在BC所在的直线上，点E在射线AC上，且AD=AE，连接DE．
⑴如图①，若∠B=∠C=35°，∠BAD=80°，求∠CDE的度数；
⑵如图②，若∠ABC=∠ACB=75°，∠CDE=18°，求∠BAD的度数；
⑶当点D在直线BC上（不与点B、C重合）运动时，试探究∠BAD与∠CDE的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)40°；（2）36°；（3）2∠CDE=∠BAD，理由见解析．
【解析】
【分析】
（1）根据等腰三角形的性质得到∠BAC=110°，根据等腰三角形的性质和三角形的外角的性质即可得到结论；（2）根据三角形的外角的性质得到∠E=75°-18°=57°，根据等腰三角形的性质和三角形的外角的性质即可得到结论；（3）设
∠ABC=∠ACB=y°，∠ADE=∠AED=x°，∠CDE=α，∠BAD=β，分3种情况：①如图1，当点D 在点B的左侧时，∠ADC=x°-α，②如图2，当点D在线段BC上时，∠ADC=y°+α，③如图3，当点D在点C右侧时，∠ADC=y°-α，根据这3种情况分别列方程组即，解方程组即可得到结论．
【详解】
解： (1)∵∠B=∠C=35°，
∴∠BAC=110°，
∵∠BAD=80°,
∴∠DAE=30°，
∵AD=AE，
∴∠ADE=∠AED=75°，
∴∠CDE=∠AED-∠C=75°−35°=40°；
(2)∵∠ACB=75°,∠CDE=18°，
∴∠E=75°−18°=57°，
∴∠ADE=∠AED=57°，
∴∠ADC=39°,
∵∠ABC=∠ADB+∠DAB=75° ，
∴∠BAD=36°.
（3）设∠ABC=∠ACB=y°，∠ADE=∠AED=x°，∠CDE=α，∠BAD=β
①如图1，当点D 在点B 的左侧时，∠ADC=x°﹣α
∴y x y x ααβ=+⎧⎨=-+⎩①②
-②得，2α﹣β=0，
∴2α=β；
②如图2，当点D 在线段BC 上时，∠ADC=y°+α
∴+y x y x ααβ=+⎧⎨=+⎩
①② -①得，α=β﹣α，
∴2α=β；
③如图3，当点D 在点C 右侧时，∠ADC=y°﹣α
∴180180y x y x αβα-++=⎧⎨++=⎩①②
-①得，2α﹣β=0，
∴2α=β．
综上所述，∠BAD 与∠CDE 的数量关系是2∠CDE=∠BAD ．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质，三角形的内角和，熟知三角形的外角等于与之不相邻的两个内角的和是解答此题的关键．
14．已知：等边ABC ∆中．
（1）如图1，点M 是BC 的中点，点N 在AB 边上，满足60AMN ∠=︒，求
AN BN
的值． （2）如图2，点M 在AB 边上（M 为非中点，不与A 、B 重合），点N 在CB 的延长线上且MNB MCB ∠=∠，求证：AM BN =．
（3）如图3，点P 为AC 边的中点，点E 在AB 的延长线上，点F 在BC 的延长线上，满
足AEP PFC ∠=∠，求BF BE BC
-的值． 【答案】（1）3；（2）见解析；（3）32
． 【解析】
【分析】
（1）先证明AMB ∆，MBN ∆与MAN ∆均为直角三角形，再根据直角三角形中30所对的直角边等于斜边的一半，证明BM=2BN ，AB=2BM ，最后转化结论可得出BN 与AN 之间的数量关系即得；
（2）过点M 作ME ∥BC 交AC 于E ，先证明AM=ME ，再证明MEC ∆与NBM ∆全等，最后转化边即得；
（3）过点P 作PM ∥BC 交AB 于M ，先证明M 是AB 的中点，再证明EMP ∆与FCP ∆全等，最后转化边即得．
【详解】
（1）∵ABC ∆为等边三角形，点M 是BC 的中点
∴AM 平分∠BAC ，AM BC ⊥，60B BAC ∠=∠=︒
∴30BAM ∠=︒，90AMB ∠=︒
∵60AMN ∠=︒
∴90AMN BAM ∠+=︒∠，30∠=︒BMN
∴90ANM ∠=︒
∴18090BNM ANM =︒-=︒∠∠
∴在Rt BNM ∆中，2BM BN =
在Rt ABM ∆中，2AB BM =
∴24AB AN BN BM BN =+==
∴3AN BN =即3AN BN
=．
（2）如下图：
过点M 作ME ∥BC 交AC 于E
∴∠CME=∠MCB ，∠AEM=∠ACB
∵ABC ∆是等边三角形
∴∠A=∠ABC=∠ACB=60︒
∴60AEM ACB ∠=∠=︒，120MBN =︒∠
∴120CEM MBN ∠==︒∠，60AEM A ∠=∠=︒
∴AM=ME
∵MNB MCB ∠=∠
∴∠CME=∠MNB ，MN=MC
∴在MEC ∆与NBM ∆中
CME MNB CEM MBN MC MN ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴()MEC NBM AAS ∆∆≌
∴ME BN =
∴AM BN
=
（3）如下图：
过点P 作PM ∥BC 交AB 于M
∴AMP ABC =∠∠
∵ABC ∆是等边三角形
∴∠A=∠ABC=∠ACB=60︒，AB AC BC ==
∴60AMP A ==︒∠∠
∴AP MP =，180120EMP AMP =︒-=︒∠∠，180120FCP ACB =︒-=︒∠∠ ∴AMP ∆是等边三角形，120EMP FCP ==︒∠∠
∴AP MP AM ==
∵P点是AC的中点
∴
111
222
AP PC MP AM AC AB BC
======
∴
1
2
AM MB AB
==
在EMP
∆与FCP
∆中
EMP FCP
AEP PFC
MP PC
∠=∠
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
∴()
EMP FCP AAS
∆∆
≌
∴ME FC
=
∴
13
22
BF BE FC BC BE ME BC BE MB BC BC BC BC -=+-=+-=+=+=
∴
3
3
2
2
BC
BF BE
BC BC
-
==．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定，等边三角形的性质及判定，通过作等边三角形第三边的平行线构造等边三角形和全等三角形是解题关键，将多个量转化为同一个量是求比值的常用方法．
15．某数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下：设(090
BACθθ
∠=︒<<︒).现把小棒依次摆放在两射线之间，并使小棒两端分别落在射线AB、AC上．
活动一、如图甲所示，从点1A开始，依次向右摆放小棒，使小棒与小棒在端点处互相垂直（12
A A为第1根小棒）
数学思考：
（1）小棒能无限摆下去吗？答：（填“能”或“不能”）
（2）设11223
AA A A A A
==，求θ的度数；
活动二：如图乙所示，从点1A开始，用等长的小棒依次向右摆放，其中12
A A为第一根小棒，且121
A A AA
=．
数学思考：
（3）若已经摆放了3根小棒，则213A A A ∠= ，423
A A A ∠= ，43 A A C ∠= ；（用含θ的式子表示）
（4）若只能摆放5根小棒，则θ的取值范围是 ．
【答案】（1）能；（2）θ＝22.5°；（3）2θ，3θ，4θ；（4）15°≤θ＜18°．
【解析】
【分析】
（1）由小棒与小棒在端点处互相垂直，即可得到答案；
（2）根据等腰直角三角形的性质和三角形外角的性质，即可得到答案； （3）由121A A AA =，得∠AA 2A 1=∠A 2AA 1=θ，从而得213A A A ∠=∠AA 2A 1+∠A 2AA 1=2θ，同理得
423 A A A ∠=∠A 2AA 1+231A A A ∠=θ+2θ=3θ，43 A A C ∠=∠A 2AA 1+243 A A A ∠=θ+3θ=4θ； （4）根据题意得：5θ＜90°且6θ≥90°，进而即可得到答案．
【详解】
（1）∵小棒与小棒在端点处互相垂直即可，
∴小棒能无限摆下去，
故答案是：能；
（2）∵A 1A 2＝A 2A 3，A 1A 2⊥A 2A 3，
∴∠A 2A 1A 3＝45°，
∴∠AA 2A 1+θ＝45°，
∵AA 1＝A 1A 2
∴∠AA 2A 1＝∠BAC=θ，
∴θ＝22.5°；
（3）∵121A A AA =，
∴∠AA 2A 1=∠A 2AA 1=θ，
∴213A A A ∠=∠AA 2A 1+∠A 2AA 1=2θ，
∵3122A A A A =，
∴213A A A ∠=231A A A ∠=2θ，
∴423
A A A ∠=∠A 2AA 1+231A A A ∠=θ+2θ=3θ， ∵3342A A A A =，
∴423
A A A ∠=243 A A A ∠=3θ， ∴43
A A C ∠=∠A 2AA 1+243 A A A ∠=θ+3θ=4θ， 故答案是：2θ，3θ，4θ；
（4）由第（3）题可得：645
A A A ∠=5θ，65 A A C ∠=6θ， ∵只能摆放5根小棒，
∴5θ＜90°且6θ≥90°，
∴15°≤θ＜18°． 故答案是：15°≤θ＜18°．
【点睛】
本题主要考查等腰三角形的性质以及三角形外角的性质，掌握等腰三角形的底角相等且小于90°，是解题的关键．
16．如图，在平面直角坐标系中，点B 坐标为
()6,0-，点A 是y 轴正半轴上一点，且
10AB =，点P 是x 轴上位于点B 右侧的一个动点，设点P 的坐标为()0m ,
.
（1）点A 的坐标为___________；
（2）当ABP △是等腰三角形时，求P 点的坐标；
（3）如图2，过点P 作PE AB ⊥交线段AB 于点E ，连接OE ，若点A 关于直线OE 的对称点为A '，当点A '恰好落在直线PE 上时，BE =_____________.（直接写出答案） 【答案】（1）()0,8；（2）()4,0或()6,0或7
,03⎛⎫ ⎪⎝⎭
；（3）425
【解析】 【分析】
（1）根据勾股定理可以求出AO 的长，则可得出A 的坐标； （2）分三种情况讨论等腰三角形的情况，得出点P 的坐标； （3）根据PE AB ⊥，点A '在直线PE 上，得到EAG
OPG ，利用点A ，A '关于直线
OE 对称点，根据对称性，可证
'
OPG EAO ，可得'
8OP OA ，82AP
，
设BE x =，则有6AE x ，根据勾股定理，有：22222BP BE EP AP AE
解之即可． 【详解】
AB=，解：（1）∵点B坐标为6,0，点A是y轴正半轴上一点，且10∴ABO是直角三角形，根据勾股定理有：
2222
AO AB BO，
1068
∴点A的坐标为()
0,8；
（2）∵ABP
△是等腰三角形，
当BP AB时，如图一所示：
OP BP BO，
∴1064
∴P点的坐标是()4,0；
=时，如图二所示：
当AP AB
OP BO
∴6
∴P点的坐标是()6,0；
=时，如图三所示：
当AP BP
设OP x =，则有6AP x
∴根据勾股定理有：222OP AO AP += 即：2
2
2
86
x x
解之得：73
x =
∴P 点的坐标是
7
,03
； （3）当ABP △是钝角三角形时，点A '不存在； 当ABP △是锐角三角形时，如图四示：
连接'OA ，
∵PE AB ⊥，点A '在直线PE 上，
∴AEG △和GOP 是直角三角形，EGA
OGP
∴
EAG
OPG ，
∵点A ，A '关于直线OE 对称点， 根据对称性，有'
8OA OA ，'EA
EA
∴'
FAO FAO
，'
FAE FAE
∴
'
EAG
EAO
则有：'OPG EAO
∴'
AOP 是等腰三角形，则有'8OP OA ，
∴2222
8882AP
AO OP ，
设BE x =，则有6AE x ，
根据勾股定理，有：
22
222BP BE EP AP AE 即：2
2
2
2
68
82
10
x x
解之得：42
5
BE x
【点睛】
本题考查了三角形的综合问题，涉及的知识点有：解方程，等腰三角形的判定与性质，对称等知识点，能分类讨论，熟练运用各性质定理，是解题的关键．
17．如图所示，已知ABC ∆中，10AB AC BC ===厘米，M 、N 分别从点A 、点B 同时出发，沿三角形的边运动，已知点M 的速度是1厘米/秒的速度，点N 的速度是2厘米/秒，当点N 第一次到达B 点时，M 、N 同时停止运动. （1）M 、N 同时运动几秒后，M 、N 两点重合？ （2）M 、N 同时运动几秒后，可得等边三角形AMN ∆？
（3）M 、N 在BC 边上运动时，能否得到以MN 为底边的等腰AMN ∆，如果存在，请求出此时M 、N 运动的时间？
【答案】（1）10；（2）点M 、N 运动
10
3
秒后，可得到等边三角形AMN ∆；（3）当点M 、N 在BC 边上运动时，能得到以MN 为底边的等腰AMN ∆，此时M 、N 运动的时间为40
3
秒． 【解析】 【分析】
（1）设点M 、N 运动x 秒后，M 、N 两点重合,1102x x ⨯+=；（2）设点M 、N 运动t 秒后，可得到等边三角形AMN ∆，如图①，
1AM t t =⨯=,102AN AB BN t =-=-根据等边三角形性质得102t t =-；（3）如图
②，假设AMN ∆是等腰三角形，根据等腰三角形性质证ACB ∆是等边三角形，再证。