2019版一轮理数人教B版练习：专题突破练一 函数与导数

专题突破练(一)函数与导数综合
1．设函数f(x)＝x－1
x－m ln x.
(1)若函数f(x)在定义域上为增函数，求m的范围；
(2)在(1)条件下，若函数h(x)＝x－ln x－1
e，∃x1，x2∈[1，e]使得f(x1)≥h(x2)成立，
求m的范围．
解析：(1)定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝1＋1
x2－
m
x＝
x2－mx＋1
x2，
因为函数f(x)在定义域上为增函数，
所以x2－mx＋1≥0，在x>0时恒成立．
即x＋1
x≥m在x>0时恒成立，
根据对钩函数得出m≤2，故m的范围为m≤2.
(2)函数h(x)＝x－ln x－1 e，
∃x1，x2∈[1，e]使得f(x1)≥h(x2)成立，即f(x)的最大值≥h(x)的最小值，
因为f (x)的最大值＝f(e)＝e－1
e－m，
h′(x)＝1－1
x>0，x∈[1，e]，
所以h(x)单调递增，h(x)的最小值为h(1)＝1－1 e，
所以可以转化为e－1
e－m≥1－
1
e，
即m≤e－1，
m的范围为：m≤e－1.
2．已知函数f(x)＝e x＋ax－3，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝－2.
(1)求实数a的值及函数f(x)的单调区间；
(2)用[m]表示不超过实数m的最大整数，如：[0.3]＝0，[－1.2]＝－2，若x>0时，
(m－x)e x<m＋2，求[m]的最大值．
解析：(1)函数f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，因为f′(x)＝e x＋a，由已知得f′(0)＝0，所以a＝－1，
由f′(x)＝e x－1>0得x>0，由f′(x)<0得x<0，
所以函数f(x) 的单调递增区间为(0，＋∞)，单调递减区间为(－∞，0)．
(2)x>0时，不等式(m－x)e x<m＋2等价于m<x e x＋2 e x－1
，
令g(x)＝x e x＋2
e x－1
，所以g′(x)＝
e x(e x－x－3)
(e x－1)2
，
由(1)得h(x)＝e x－x－3在(0，＋∞)上单调递增，
又因为h(1)<0，h(2)>0，
所以g′(x)在(0，＋∞)上有唯一零点x0，且1<x0<2，当x∈(1，x0)时，g′(x)<0，
当x∈(x0，＋∞)时，g′(x)>0，
所以g(x)的最小值为g(x0)，
由g′(x0)＝0得e x0＝x0＋3，
所以g(x0)＝x0(x0＋3)＋2
x0＋2
＝x0＋1，由于1<x0<2，
所以2<g(x0)<3，
因为m<g(x0)，所以[m]的最大值为2.
3．已知函数f(x)＝x2＋ax－3，g(x)＝k ln x
x，当a＝2时，f(x)与g(x)的图象在x＝1
处的切线相同．
(1)求k的值；
(2)令F(x)＝f(x)－g(x)，若F(x)存在零点，求实数a的取值范围．解析：(1)当a＝2时，f(x)＝x2＋2x－3，
f′(x)＝2x＋2，则f′(1)＝4，
又f(1)＝0，
所以f(x)在x＝1处的切线方程为y＝4x－4，
又因为f(x)和g(x)的图象在x＝1处的切线相同，
g ′(x )＝k (1－ln x )x 2
， 所以g ′(1)＝k ＝4.
(2)因为F (x )＝f (x )－g (x )有零点，
令F (x )＝x 2＋ax －3－4ln x x ＝0，
则a ＝4ln x －x 3＋3x x 2
有实根． 令h (x )＝4ln x －x 3＋3x x 2＝4ln x x 2－x ＋3x
， h ′(x )＝4x －8x ln x x 4－1－3x 2＝4－8ln x －x 3－3x x 3
， 令φ(x )＝4－8ln x －x 3－3x ，
则φ′(x )＝－8x －3x 2－3<0(x >0)恒成立，而φ(1)＝0，
所以当x >1时，φ(x )<0，当x ∈(0,1)时，φ(x )>0.
所以当x >1时，h ′(x )<0，当x ∈(0,1)时，h ′(x )>0.
故h (x )在(1，＋∞)上为减函数，在(0,1)上为增函数，即h (x )max ＝h (1)＝2. 当x →＋∞时，h (x )→－∞，当x →0＋
时，h (x )→－∞. 根据函数的大致图象可知a ≤2.
4．已知函数f (x )＝ax －1e x .
(1)若曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))的切线方程是y ＝1e x －1e ，求实数a 的值；
(2)若对任意x ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤12，2，曲线y ＝f (x )的图象恒在直线y ＝x 的上方，求实数a 的取值范围．
解析：(1)f (1)＝a －1e ，f ′(x )＝a ＋1－ax e x
， 所以f ′(1)＝1e ，
所以切线方程为y ＝1e x ＋a －2e ，所以a －2e ＝－1e
， 所以a ＝1.
(2)若对任意x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，曲线y ＝f (x )的图象恒在直线y ＝x 的上方，则x ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤12，2时，ax －1
e x >x 恒成立，
即x ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤12，2时，a >e x ＋1x 恒成立 设g (x )＝e x
＋1x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，则g ′(x )＝e x －1x 2，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2， 设h (x )＝e x －1x 2，h ′(x )＝e x ＋2x 3>0在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上恒成立，所以h (x )在x ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤12，2上单调递增，
即g ′(x )＝e x －1x 2在x ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤12，2上单调递增． 因为g ′⎝ ⎛⎭
⎪⎫12＝e 12－4<0，因为g ′(2)＝e 2－14>0， 所以g ′(x )＝e x
－1x 2在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2有零点m ， 所以g (x )＝e x ＋1x 在⎣⎢⎡⎦
⎥⎤12，m 上单调递减，在(m,2]上单调递增， 所以⎩⎪⎨⎪⎧ a >g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，a >g (2)，
即⎩⎪⎨⎪⎧ a >e ＋2，a >e 2＋12，
所以a >e 2＋12.。