2019版高考数学二轮复习中档大题保分练3

中档大题保分练(03)
(满分：46分 时间：50分钟)
说明：本大题共4小题，其中第1题可从A 、B 两题中任选一题； 第4题可从A 、B 两题中任选一题. 共46分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
1．(A)(12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos C ＋cos A cos B ＝2cos A sin B ．
(1)求tan A ；
(2)若b ＝25，AB 边上的中线CD ＝17，求△ABC 的面积． 解：(1)由已知得cos C ＋cos A cos B ＝cos[π－(A ＋B )]＋cos A cos B
＝－cos(A ＋B )＋cos A cos B ＝sin A sin B ， 所以sin A sin B ＝2cos A sin B ．
因为在△ABC 中，sin B ≠0，所以sin A ＝2cos A ，则tan A ＝2． (2)由(1)得，cos A ＝
55，sin A ＝255
， 在△ACD 中，CD 2
＝b 2
＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫c 22
－2·b ·c 2·cos A ，
代入条件得c 2－8c ＋12＝0，解得c ＝2或6． 当c ＝2时，S △ABC ＝1
2bc sin A ＝4；
当c ＝6时，S △ABC ＝12．
1．(B)(12分)(2018·南充诊断)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2a n －2． (1)证明：{a n }是等比数列，并求其通项公式；
(2)求数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫n ＋1a n 的前n 项和T n ． (1)证明：当n ＝1时，a 1＝2.由S n ＝2a n －2，S n ＋1＝2a n ＋1－2得a n ＋1＝2a n ＋1－2a n ，即a n ＋1
＝2a n ，
所以a n ＋1
a n ＝2，所以数列{a n }是以2为首项，2为公比的等比数列，于是a n ＝2n ．
(2)解：令b n ＝n ＋1a n ＝n ＋1
2
n ，
则T n ＝221＋322＋423＋…＋n ＋1
2
n ，
①
①×12，得12T n ＝222＋323＋424＋…＋n 2n ＋n ＋1
2n ＋1，
②
①－②得12T n ＝1＋122＋123＋…＋12n －n ＋12n ＋1
＝12＋12⎝ ⎛
⎭⎪
⎫1－12n 1－12－n ＋12n ＋1＝32－n ＋32
n ＋1． 所以T n ＝3－
n ＋3
2n
．
2．(12分)在如图所示的多面体ABCDE 中，AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，且AC ＝AD ＝CD ＝DE ＝2，AB ＝1．
(1)请在线段CE 上找到点F 的位置，使得恰有直线BF ⊥平面CDE ，并证明； (2)在(1)的条件下，求多面体ABCDF 的体积． 解：(1)F 为线段CE 的中点．
证明如下：由已知AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，∴AB ∥ED ， 设H 是线段CD 的中点，连接FH ， 则FH ∥12DE ，且FH ＝1
2
DE ．
∵AB ∥12DE ，且AB ＝1
2
DE ，
∴四边形ABFH 是平行四边形，∴BF ∥AH ． ∵AH ⊥CD ，AH ⊥DE ，CD ∩DE ＝D ，
∴AH ⊥平面CDE ，∴BF ⊥平面CDE ． (2)∵V ABCDF ＝V A ­BCD ＋V F ­BCD ＝V B ­ACD ＋V B ­CDF
＝13×S △ACD ×AB ＋13×S △CDF ×AH ＝33＋33＝233， ∴多面体ABCDF 的体积为233
．
3．(12分)近年，随着我国汽车消费水平的提高，二手车行业得到迅猛发展，某汽车交易市场对2017年成交的二手车交易前的使用时间(以下简称“使用时间”)进行统计，得到频率分布直方图如图1．
图1
(1)记“在2017年成交的二手车中随机选取一辆，该车的使用年限在(8,16]”为事件A ，试估计A 的概率；
(2)根据该汽车交易市场的历史资料，得到散点图如图2，其中(单位：年)表示二手车的使用时间，y (单位：万元)表示相应的二手车的平均交易价格．
图2
由散点图看出，可采用y ＝e a ＋b 作为二手车平均交易价格y 关于其使用年限的回归方程，
相关数据如下表⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫表中Y i ＝ln y i ，Y －
＝110∑i ＝I 10Y i ；
②该汽车交易市场对使用8年以内(含8年)的二手车收取成交价格4%的佣金，对使用时间8年以上(不含8年)的二手车收取成交价格10%的佣金．在图1对使用时间的分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值．若以2017年的数据作为决策依据，计算该汽车交易市场对成交的每辆车收取的平均佣金．
附注：①对于一组数据(u 1，v 1)，(u 2，v 2)，…，(u n ，v n )，其回归直线v ＝α＋βu 的斜率
和截距的最小二乘估计分别为β^
＝
∑i ＝1
n
u i v i －n u －
v
－
∑i ＝1
n
u 2i －n u －
2
，α^＝v －－β^u －． ②参考数据：e 2.95≈19.1，e 1.75≈5.75，e 0.55≈1.73，e －0.65≈0.52，e －1.85≈0.16．
解：(1)由频率分布直方图得，该汽车交易市场 2017 年成交的二手车使用时间在(8,12]的频率为0.07×4＝0.28，在(12,16]的频率为0.03×4＝0.12，
所以P (A )＝0.28＋0.12＝0.40．
(2)①由y ＝e a ＋b 得ln y ＝a ＋b ，即Y 关于的线性回归方程为Y ^
＝a ＋b ，
因为b ^
＝
∑i ＝1
10
x i Y i －10x －·Y
－
∑i ＝1
10
x 2i －10x －
2
＝79.75－10×5.5×1.9385－10×5.52
＝－0.3，
a ^＝Y －－
b ^x －
＝1.9－(－0.3)×5.5＝3.55， 所以Y 关于的线性回归方程为Y ^
＝3.55－0.3， 即y 关于的回归方程为y ^
＝e 3.55－0.3．
②根据①中的回归方程y ^
＝e 3.55－0.3和图1，对成交的二手车可预测： 使用时间在(0,4]的平均成交价格为e 3.55－0.3×2＝e 2.95≈19.1，对应的频率为0.2； 使用时间在(4,8]的平均成交价格为e 3.55－0.3×6＝e 1.75≈5.75，对应的频率为0.36； 使用时间在(8,12]的平均成交价格为e 3.55－0.3×10＝e 0.55≈1.73，对应的频率为0.28； 使用时间在(12,16]的平均成交价格为e 3.55－0.3×14＝e －0.65≈0.52，对应的频率为0.12； 使用时间在(16,20]的平均成交价格为e 3.55－0.3×18＝e －1.85≈0.16，对应的频率为0.04； 所以该汽车交易市场对于成交的每辆车可获得的平均佣金为：(0.2×19.1＋0.36×5.75)×4%＋(0.28×1.73＋0.12×0.52＋0.04×0.16)×10%＝0.29 092≈0.29万元．
4．(A)(10分)选修4－4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系Oy 中，曲线C 1的参数方程为⎩
⎨⎧
x ＝a cos φ，
y ＝b sin φ(a ＞b ＞0，φ为参数), 在
以O 为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2是圆心在极轴上，且经过极点的圆．已知曲线C 1上的点M ⎝
⎛⎭⎪⎫1，
32对应的参数φ＝π3，射线θ＝π3与曲线C 2
交于点D ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
1，π3． (1)求曲线C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；
(2)若点A (ρ1，θ)，B ⎝ ⎛
⎭⎪⎫ρ2，θ＋π2在曲线C 1上，求1ρ21＋1ρ22的值．
解：(1)将M ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
1，
32及对应的参数φ＝π3 代入曲线C 1的参数方程⎩⎨
⎧
x ＝a cos φ，
y ＝b sin φ
得⎩⎪⎨
⎪
⎧
1＝a cos π
3，
32
＝b sin π3，解得⎩⎨⎧
a ＝2，
b ＝1.
所以C 1的普通方程为x 2
4
＋y 2＝1，
设圆C 2的半径R ，则圆C 2的方程为ρ＝2R cos θ(或(－R )2
＋y 2
＝R 2
)，将点D ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
1，π3代入
得：∴R ＝1，∴圆C 2的方程为：ρ＝2cos θ，化为直角坐标方程2＋y 2＝2，即(－1)2＋y 2＝1．
(2)∵A (ρ1，θ)，B ⎝
⎛
⎭⎪⎫ρ2，θ＋π2均在曲线C 1上，
∴
ρ1cos θ
2
4＋(ρ1sin θ)2
＝1，
ρ2sin θ
2
4
＋(ρ2cos θ)2＝1．
所以1
ρ21＋1
ρ22＝⎝
⎛⎭⎪⎫cos 2
θ4＋sin 2θ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2
θ4＋cos 2θ＝14＋1＝54． 4．(B)(10分)选修4－5：不等式选讲 已知函数f ()＝|－3|＋|＋4|． (1)求f ()≥f (4)的解集；
(2)设函数g ()＝(－3)(∈R )，若f ()＞g ()对∀∈R 成立，求实数的取值范围． 解：(1)f ()＝|－3|＋|＋4|，∴f ()≥f (4)， 即|－3|＋|＋4|≥9，
∴⎩⎨⎧ x ≤－4，3－x －x －4≥9 ①
或⎩
⎨⎧ －4＜x ＜3，3－x ＋x ＋4≥9
②
或⎩
⎨⎧
x ≥3，x －3＋x ＋4≥9
③
解不等式①：≤－5；②：无解；③：≥4， 所以f ()≥f (4)的解集为{|≤－5或≥4}．
(2)f ()＞g ()即f ()＝|－3|＋|＋4|的图象恒在g ()＝(－3)，∈R 图象的上方，可以作出f ()
＝|－3|＋|＋4|＝⎩⎨⎧
－2x －1，x ≤－4，
7，－4＜x ＜3，
2x ＋1，x ≥3
的图象，
而g ()＝(－3)，∈R 图象为恒过定点P (3,0)，且斜率变化的一条直线，作出函数y ＝f ()，
y ＝g ()图象如图，
其中PB＝2，可求：A(－4,7)，
∴PA＝－1，由图可知，要使得f()的图象恒在g()图象的上方，实数的取值范围为－1＜≤2．。