2.3函数的单调性

§2.3 函数的单调性
教学分析
在研究函数的性质时，单调性是一个重要内容．实际上，在初中学习函数时，已经重点研究了一些函数的增减性，只是当时的研究较为粗略，未明确给出有关函数增减性的定义，对于函数增减性的判断也主要根据观察图像得出．而本节内容，正是初中有关内容的深化和提高．给出函数在某个区间上是增函数或减函数的定义，明确指出函数的增减性是相对于某个区间来说的，还说明判断函数的增减性既有从图像上进行观察的较为粗略的方法，又有根据定义进行证明的较为严格的方法，最好根据图像观察得出猜想，用推理证明猜想的正确性，这样就将以上两种方法统一起来了．
由于函数图像是发现函数性质的直观载体，因此，在本节教学时可以充分使用信息技术创设教学情境，以利于学生作函数图像，有更多的时间用于思考、探究函数的单调性．还要特别重视让学生经历这些概念的形成过程，以便加深对单调性的理解．
三维目标
1．函数单调性的研究经历了从直观到抽象，以图识数的过程，在这个过程中，让学生通过自主探究活动，体验数学概念的形成过程的真谛，学会运用函数图像理解和研究函数的性质．
2．理解并掌握函数的单调性及其几何意义，掌握用定义证明函数单调性的步骤，会求函数的单调区间，提高应用知识解决问题的能力．
3．能够用函数的性质解决日常生活中的简单的实际问题，使学生感受到学习函数单调性的必要性与重要性，增强学生学习函数的紧迫感，激发学生学习的积极性．重点难点
教学重点：函数的单调性．
教学难点：增函数、减函数形式化定义的形成．
课时安排1课时
教学过程
导入新课
德国有一位著名的心理学家名叫艾宾浩斯(Hermann Ebbinghaus,1850—1909)，他以自己为实验对象，共做了163次实验，每次实验连续要做两次无误的背诵．经过一定时间后再
增大时，你能看出对应的函数值(记忆量y)有什么变化趋势吗？描出这个函数图像的草图(这就是著名的艾宾浩斯曲线)．从左向右看，图像是上升的还是下降的？你能用数学符号来刻画吗？通过这个实验，你打算以后如何对待刚学过的知识？(可以借助信息技术画图像) 学生：先思考或讨论，回答：记忆量y随时间间隔t的增大而增大；以时间间隔t为横轴，以记忆量y为纵轴建立平面直角坐标系，描点连线得函数的草图——艾宾浩斯遗忘曲线如图1所示．
图1
遗忘曲线是一条衰减曲线，它表明了遗忘的规律．随着时间的推移，记忆保持量在递减，
刚开始遗忘速度最快，我们应利用这一规律，在学习新知识时一定要及时复习巩固，加深理解和记忆．教师提示、点拨，并引出本节课题．
推进新课
新知探究
提出问题
①如图2所示的是一次函数y＝x，二次函数y＝x2和y＝－x2的图像，它们的图像有什
么变化规律？这反映了相应的函数值的哪些变化规律？
图2
②函数图像上任意点P(x，y)的坐标有什么意义？
③如何理解图像是上升的？
④对于二次函数y＝x2，列出x，y的对应值表(如下表)．完成下表并体会图像在y轴右
⑥增函数的定义中，把“当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)”改为“当x1＞x2时，都有f(x1)＞f(x2)”，这样行吗？
⑦增函数的定义中，“当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)”反映了函数值有什么变化趋势？
⑧增函数的几何意义是什么？
⑨类比增函数的定义，请给出减函数的定义及其几何意义？
⑩函数y＝f x在区间D上具有单调性，说明了函数y＝f x在区间D上的图像有什么变化趋势？
讨论结果：①函数y＝x的图像，从左向右看是上升的；函数y＝x2的图像在y轴左侧是下降的，在y轴右侧是上升的；函数y＝－x2的图像在y轴左侧是上升的，在y轴右侧是下降的．
②函数图像上任意点P的坐标(x，y)的意义：横坐标x是自变量的取值，纵坐标y是自变量为x时对应的函数值的大小．
③按从左向右的方向看函数的图像，意味着图像上点的横坐标逐渐增大即函数的自变量逐渐增大．图像是上升的意味着图像上点的纵坐标逐渐变大，也就是对应的函数值随着逐渐增大．也就是说从左向右看图像上升，反映了函数值随着自变量的增大而增大．
④在区间(0，＋∞)上，任取x1，x2，且x1＜x2，那么就有y1＜y2，也就是有f(x1)＜f(x2)．这样可以体会用数学符号来刻画图像上升．
⑤一般地，设函数f(x)的定义域为I：如果对于定义域I内某个区间D上的任意
．．两个自
变量的值x1，x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函
．．数．
⑥可以．增函数的定义：由于当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，即都是相同的不等号“＜”，也就是说前面是“＜”，后面也是“＜”，步调一致；“当x1＞x2时，都有f(x1)＞f(x2)”都是相同的不等号“＞”，也就是说前面是“＞”，后面也是“＞”，步调一致．因此我们可以简称为：步调一致增函数．
⑦函数值随着自变量的增大而增大．
⑧从左向右看，图像是上升的．
⑨一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意
．．两个自
变量的值x1，x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数．
．．．．简称为：步调不一致减函数．减函数的几何意义：从左向右看，图像是下降的．函数值变化趋势：函数值随着自变量的增大而减小．总结：如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数(或减
函数)，那么就说函数y ＝f (x )在这一区间具有(严格的)单调性．．．，区间D 叫作y ＝f (x )的单调．．递增．．(．或减．．)．区间．．．．
⑩函数y ＝f (x )在区间D 上，函数值的变化趋势是随自变量的增大而增大(减小)，几何意义：从左向右看，图像是上升(下降)的．
应用示例
例1 说出函数f (x )＝1x
的单调区间，并指明在该区间上的单调性． 活动：学生思考函数单调性的几何意义，由图像得单调区间．
解：(－∞，0)和(0，＋∞)都是函数的单调区间，在这两个区间上函数f (x )＝1x
是减少的．
点评：本题主要考查函数单调性的几何意义，以及图像法判断函数单调性．图像法判断函数的单调性适合于选择题和填空题．如果解答题中给出了函数的图像，通常用图像法判断单调性．函数的图像类似于人的照片，我们能根据人的照片来估计其身高，同样我们根据函数的图像可以分析出函数值的变化趋势即单调性．
图像法求函数单调区间的步骤是：第一步，画函数的图像；第二步，观察图像，利用函数单调性的几何意义写出单调区间．
变式训练
图3是定义在区间[－5,5]上的函数y ＝f (x )的图像，根据图像说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？
图3
活动：教师提示利用函数单调性的几何意义．学生先思考或讨论后再回答，教师点拨、提示并及时评价学生．图像上升则在此区间上是增函数，图像下降则在此区间上是减函数．
解：函数y ＝f (x )的单调区间是[－5，－2)，[－2,1)，[1,3)，[3,5]．其中函数y ＝f (x )在区间[－5，－2)，[1,3)上是减函数，在区间[－2,1)，[3,5]上是增函数.
例2 画出函数f (x )＝3x ＋2的图像，判断它的单调性，并加以证明．
活动：学生自己画出图像，当学生没有证明思路时，教师再提示，及时纠正学生解答过程中出现的问题，并标出关键的地方，以便学生总结定义法的步骤．
图4
解：作出f (x )＝3x ＋2的图像(如图4)．由图看出函数的图像在R 上是上升的，函数是R 上的增函数．
下面进行证明：
任取x 1、x 2∈R ，且x 1＜x 2，则x 1－x 2＜0.
所以f (x 1)－f (x 2)＝(3x 1＋2)－(3x 2＋2)＝3(x 1－x 2)＜0，
即f (x 1)＜f (x 2)．
由单调函数的定义，可知函数f (x )＝3x ＋2是R 上的增函数．
点评：本题主要考查函数的单调性，以及定义法判断函数的单调性．
定义法判断或证明函数的单调性的步骤是：第一步，在所给的区间上任取．
两个自变量x 1和x 2，通常令x 1＜x 2；第二步，比．
较f (x 1)和f (x 2)的大小，通常是用作差比较法比较大小，此时比较它们大小的步骤是作差、变形、看符号；第三步，再．
归纳结论．定义法的步骤可以总结为：一“取(去．)”、二“比．”、三“再(赛．)”，因此简称为“去比赛．．．
”． 变式训练
1．证明函数y ＝2x －1
在区间[2,6]上是单调递减的． 证明：设x 1、x 2是区间[2,6]上任意两个值，且x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝
2x 1－1－2x 2－1＝x
2－－x 1－x 1－
x 2－＝x 2－x 1x 1－x 2－
. 由2≤x 1＜x 2≤6，所以x 2－x 1＞0，(x 1－1)(x 2－1)＞0.
所以x 2－x 1x 1－x 2－
＞0. 于是f (x 1)－f (x 2)＞0，即f (x 1)＞f (x 2)．
所以函数y ＝2x －1
在区间[2,6]上是单调递减的． 2．画出函数y ＝－2x ＋1的图像，判断它的单调性，并加以证明．
解：作出函数y ＝－2x ＋1的图像(如图5)．
由图5可以看出函数y ＝－2x ＋1的图像在R 上是下降的，即函数是R 上的减函数．
图5
证明：设x 1、x 2是R 上任意两个值，且x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝(－2x 1＋1)－(－2x 2＋1)＝－2(x 1－x 2)，
因为x 1＜x 2，
所以x 1－x 2＜0，－2(x 1－x 2)＞0.
于是f (x 1)－f (x 2)＞0，即f (x 1)＞f (x 2)．
所以函数y ＝－2x ＋1在R 上是减函数.
案不唯一.
知能训练
1．利用图像法写出基本初等函数的单调性．
解：①正比例函数：y ＝kx (k ≠0)
当k ＞0时，函数y ＝kx 在定义域R 上是增函数；当k ＜0时，函数y ＝kx 在定义域R 上是减函数．
②反比例函数：y ＝k x (k ≠0)
当k ＞0时，函数y ＝k x 的单调递减区间是(－∞，0)，(0，＋∞)，不存在单调递增区间；当k ＜0时，函数y ＝k x
的单调递增区间是(－∞，0)，(0，＋∞)，不存在单调递减区间． ③一次函数：y ＝kx ＋b (k ≠0)
当k ＞0时，函数y ＝kx ＋b 在定义域R 上是增函数；当k ＜0时，函数y ＝kx ＋b 在定义域R 上是减函数．
④二次函数：y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)
当a ＞0时，函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的单调递减区间是⎝ ⎛⎦⎥⎤
－∞，－b 2a ，单调递增区间是⎣⎢⎡⎭
⎪⎫－b 2a ，＋∞； 当a ＜0时，函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的单调递减区间是⎣⎢⎡⎭⎪⎫
－b 2a ，＋∞，单调递增区间是⎝ ⎛⎦
⎥⎤－∞，－b 2a . 点评：以上基本初等函数的单调性作为结论记住，可以提高解题速度．
2．已知函数y ＝kx ＋2在R 上是增函数，求实数k 的取值范围．
答案：k ∈(0，＋∞)．
3．二次函数f (x )＝x 2－2ax ＋m 在(－∞，2)上是减函数，在(2，＋∞)上是增函数，求
实数a 的值．
答案：a ＝2.
4．已知f (x )是定义在(0，＋∞)上的减函数，若f (2a 2＋a ＋1)＜f (3a 2－4a ＋1)成立，
则a 的取值范围是__________．
解析：∵f (x )的定义域是(0，＋∞)，∴⎩⎪⎨⎪⎧
2a 2＋a ＋1>0，3a 2－4a ＋1>0.解得a ＜13或a ＞1. ∵f (x )在(0，＋∞)上是减函数，∴2a 2＋a ＋1＞3a 2－4a ＋1.∴a 2
－5a ＜0.
∴0＜a ＜5.∴0＜a ＜13或1＜a ＜5，即a 的取值范围是⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，13∪(1,5)． 答案：⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，13∪(1,5) 点评：本题实质是解不等式，但是这是一个不具体的不等式，是抽象不等式．解与函数有关的抽象不等式时，常用的技巧是利用函数的单调性“剥掉外衣”，转化为整式不等式．
课堂练习：P39 1、2、3
课堂小结
本节学习了：①函数的单调性；②判断函数单调性的方法：定义法和图像法．
课后作业
习题2—3 A 组3、4、5.。