河北省2019年中考数学第7章圆第2节点直线与圆的位置关系精讲试题

第二节点、直线与圆的位置关系
的操作探究
纵观河北近五年中考，点、直线与圆的位置关系，一般设置
,河北五年中考真题及模拟)
切线的性质与判定
1．(2019保定中考模拟)如图，∠ACB＝60°，半径为2的⊙O切BC于点C，若将⊙O在CB上向右滚动，则当滚动到⊙O与CA也相切时，圆心O移动的水平距离为( C )
A．2π B．4π C．2 3 D．4
2．(2019河北中考)如图，半圆O的直径AB＝4，以长为2的弦PQ为直径，向点O方向作半圆M，其中P 点在AQ
︵
上且不与A点重合，但Q点可与B点重合．
发现：AP
︵
的长与QB
︵
的长之和为定值l，求l；
思考：点M与AB的最大距离为________，此时点P，A间的距离为________；
点M与AB的最小距离为________，此时半圆M的弧与AB所围成的封闭图形的面积为________；
探究：当半圆M与AB相切时，求AP
︵
的长．(结果保留π， cos35°＝
6
3
，cos55°＝
3
3
)
图①
解：发现：如图①，连接OP ，OQ ，则OP ＝OQ ＝PQ ＝2.∴∠POQ＝60°，∴PQ ︵的长＝60π·2180＝2π
3
，
∴l ＝12π·4－2π3＝4π3
；
图②
思考：3；2；
32；π6－3
4
； 探究：半圆M 与AB 相切，分两种情况：
①如图②，当半圆M 与AO 切于点T 时，连接PO ，MO ，TM.则MT⊥AO，OM ⊥PQ.在Rt △POM 中，sin ∠POM ＝PM PO ＝12，∴∠POM ＝30°，OM ＝ 3.在Rt △TOM 中，OT ＝（3）2－12
＝2，∴cos ∠AOM ＝OT OM
＝
6
3
，即∠AOM＝35°，∴∠POA ＝35°－30°＝5°，
图③
∴AP ︵的长＝5π·2180＝π18
.
②如图③，当半圆M 与BO 切于点S 时，连接QO ，MO ，SM.由对称性，可得BQ ︵的长＝π
18
，由l ＝
4π3，得AP ︵的长＝4π3－π18＝23π18.综上所述，AP ︵的长为π18或23π18
.
,中考考点清单)
点与圆的位置关系(设r 为圆的半径，d 为点到圆心的距离)
1.
位置关系,点在圆内,点在圆上,点在圆外 数量(d 与r)
的大小关系,__d ＜r__,__d ＝r__,__d ＞r__
直线与圆的位置关系(设r 为圆的半径，d 为圆心到直线的距离)
2.
位置关系,相离,相切,相交
公共点个数,0,1,2
公共点的名称,无,切点,交点
数量关系,__d＞r__,__d＝r__,__d＜r__
切线的性质与判定
3．判定切线的方法有三种：①利用切线的定义，即与圆有__唯一公共点__的直线是圆的切线；②到圆心的距离等于__半径__的直线是圆的切线；③经过半径的外端点并且__垂直__于这条半径的直线是圆的切线．
4．切线的五个性质：①切线与圆只有__一个__公共点；②切线到圆心的距离等于圆的__半径__；
③切线垂直于经过切点的__半径__；④经过圆心垂直于切线的直线必过__切点__；⑤经过切点垂直于切线的直线必过__圆心__．
切线长定理
5．经过圆外一点作圆的切线，这点与__切点__之间的线段的长度，叫做这点到圆的切线长．经圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长__相等__，这一点和圆心的连线平分两条切线的__夹角__．
三角形的外心和内心
6．三角形的外心：三角形外接圆的圆心，是三角形__三边垂直平分线__的交点，到__三角形三个顶点的距离__相等．
7．三角形的内心：三角形内切圆的圆心，是三角形__三条角平分线__的交点，到__三角形三边的距离__相等．
【方法点拨】
1．判断直线与圆相切时：(1)直线与圆的公共点已知时，连半径证垂直；(2)直线与圆的公共点未知时，过圆心作直线的垂线证垂线段等于半径．
2．利用切线的性质解决问题，通常连过切点的半径，构造直角三角形来解决．
3．直角三角形的外接圆与内切圆半径的求法：若a，b是Rt△ABC的两条直角边，c为斜边，则(1)
直角三角形的外接圆半径R＝c
2
；(2)直角三角形的内切圆半径r＝
a＋b－c
2
.
,中考重难点突破)
点与圆和直线与圆的位置关系
【例1】⊙O的半径为8，圆心O到直线l的距离为4，则直线l与⊙O的位置关系是( D )
A．相切B．相交
C．相离 D．不能确定
【解析】利用点与直线的位置关系判断．
【答案】B
1．在同一平面直角坐标系中有5个点：A(1，1)，B(－3，－1)，C(－3，1)，D(－2, －2)，E(0，－3)．画出△ABC的外接圆⊙P，并指出点D与⊙P的位置关系．
解：所画的⊙P如图所示；由图可知⊙P的半径为5，连接PD.∵PD＝12＋22＝5，∴点D在⊙P 上．
切线的性质及判定
【例2】(2019廊坊二模)如图，在△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O交BC于点D，交AB于点
E.过点D作DF⊥AB，垂足为F，连接DE.
(1)求证：直线DF与⊙O相切；
(2)若AE＝7，BC＝6，求AC的长．
【解析】(1)连接AD，OD.由AB＝AC，得∠B＝∠ACB，由直径得∠ADC＝90°＝∠BFD；由等角的余角相等得∠O DF＝∠BFD，得到∠ODF＝90°，证得相切；(2)连接CE，分别在Rt△AEC和Rt△BCE中求得CE2，得方程求得AC的长．
【答案】解：(1)如图，连接AD，OD.
∵AC为直径，∴∠ADC＝90°.
∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB.
∵DF⊥AB，∴∠BFD＝90°.
∵OC＝OD，∴∠ACB＝∠ODC，
∴∠ODA＝∠BDF.
∵∠ADC＝∠ODC＋∠ODA＝90°，
∴∠ODC＋∠BDF＝90°，
∴∠ODF＝90°，∴直线DF与⊙O相切；
(2)如图，连接CE.
∵AC为直径，∴∠AEC＝90°.
设半径为r，则AC＝2r.
在Rt△AEC中，CE2＝AC2－AE2＝4r2－49.
在Rt△BCE中，BE＝2r－7，CE2＝BC2－BE2＝36－(2r－7)2＝－4r2＋28r－13，∴4r2－49＝－4r2＋28r－13，∴8r2－28r－36＝0，∴2r2－7r－9＝0，解得r＝4.5或r＝－1(舍去)，∴AC＝2r＝9，∴AC 的长为9.
2．(益阳中考)如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是直径，过C点的切线与AB的延长线交于P 点，若∠P＝40°，则∠D的度数为__115°__．
,(第2题图)) ,(第3题图)) 3．(哈尔滨中考)如图，AB为⊙O的直径，直线l与⊙O相切于点C，AD⊥l，垂足为D，AD交⊙O于点E，连接OC，BE.若AE＝6，OA＝5，则线段DC的长为__4__．
4．(2019沧州九中二模)如图所示，点O在∠APB的平分线上，⊙O与PA相切于点C.
(1)求证：直线PB与⊙O相切；
(2)PO的延长线与⊙O交于点E，若⊙O的半径为3，PC＝4，求弦CE的长．
解：(1)过点O作OD⊥PB于点D，连接OC.
∵AP与⊙O相切，∴OC⊥AP.
又∵PO平分∠APB，
∴OD＝OC，
∴PB是⊙O的切线；
(2)过点C作CF⊥PE于点F.
在Rt△OCP中，OP＝OC2＋CP2＝5.
∵S△OCP＝1
2
OC·CP＝
1
2
OP·CF，∴CF＝
12
5
.
在Rt△COF中，OF＝OC2－CF2＝9 5，
∴EF＝3＋9
5
＝
24
5
.
在Rt△CFE中，CE＝CF2＋EF2＝125
5
.
教后反思
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2019-2020学年数学中考模拟试卷
一、选择题
1．如图，菱形ABCD 的边长是4厘米，∠B=60°，动点P 以1厘米/秒的速度自A 点出发沿AB 方向运动至B 点停止，动点Q 以2厘米/秒的速度自B 点出发沿折线BCD 运动至D 点停止．若点P 、Q 同时出发运动了t 秒，记△BPQ 的面积为S 厘米2
，下面图象中能表示S 与t 之间的函数关系的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
2．下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形的是（ ） A ．3cm ，4cm ，8cm B ．8cm ，7cm ，15cm C ．13cm ，12cm ，20cm D ．5cm ，5cm ，11cm
3．在函数y =x 的取值范围是（ ）
A.x 2≠-
B.x 0>
C.x 2>-
D.x 2≥-
4．如图，在ΔABC 中，AB AC =，AD BC ⊥，垂足为D ，E 是AC 的中点.若DE 5=，则AB 的长为（ ）
A ．2.5
B ．7.5
C ．8.5
D ．10
5．如图，设一枚5角硬币的半径为1个单位长度，将这枚硬币放置在平面内一条数轴上，使硬币边缘上一点P 与原点O 重合，让这枚硬币沿数轴正方向无滑动滚动，转动一周时，点P 到达数轴上点P '的位置，则点P '所对应的数是（ ）
A ．2π
B ．6.28
C ．π
D ．3.14
6．下列正比例函数中，y 随x 的值增大而增大的是（ ）
A.y ＝﹣2014x
B.y ﹣1）x
C.y ＝（﹣π﹣3）x
D.y ＝（1﹣π2
）x
7．抛物线y=ax 2
+bx+c 交x 轴于A （-1，0），B （3，0），交y 轴的负半轴于C ，顶点为D ．下列结论：①2a+b=0；②2c ＜3b ；③当m≠1时，a+b ＜am 2+bm ；④当△ABD 是等腰直角三角形时，则a=1
2
；其中正确的有（ ）个．
A.4
B.3
C.2
D.1
8．如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，3BC =，4AC =，AB 的垂直平分线DE 交BC 的延长线于点E ，则DE 的长为( )
A ．
158
B ．
103
C ．
2512
D ．
125
9．函数（1）y ＝2x+1，（2）y ＝﹣3x
，（3）y ＝x 2
+2x+2，y 值随x 值的增大而增大的有（ ）个． A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个
10．不等式组次330
15x x x
->⎧⎨
-≥-⎩的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
11．如图，反比例函数m
y x
=
的图象与一次函数y ＝kx ﹣b 的图象交于点P ，Q ，已点P 的坐标为（4，1），点Q 的纵坐标为﹣2，根据图象信息可得关于x 的方程
m
x
＝kx ﹣b 的解为（ ）
A ．﹣2，﹣2
B ．﹣2，4
C ．﹣2，1
D ．4，1
12．如图，在菱形ABCD 中，∠A ＝60°，AD ＝4，点F 是AB 的中点，过点F 作FE ⊥AD ，垂足为E ，将△AEF 沿点A 到点B 的方向平移，得到△A'E'F'，设点P 、P'分别是EF 、E'F'的中点，当点A'与点B 重合时，四边形PP'CD 的面积为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ． 4
二、填空题
13．如图，在长方形ABCD 中，DC ＝6cm ，在DC 上存在一点E ，沿直线AE 把△ADE 折叠，使点D 恰好落在BC 边上的点F 处，若△ABF 的面积为24cm 2
，那么折叠的△ADE 的面积为_____．
14．当a ＜0，b ＞0_____．
15．不透明袋子中装有17个球，其中有8个红球、6个黄球，3个绿球，这些球除颜色外无其他差别.从袋子中随机取出1个球，则它是绿球的概率是____________. 16．数据0.0007用科学记数法表示为____.
17．如图，在平面直角坐标系中，点B 在y 上，OA AB =,反比例函数()0k
y x x
=
>的图像经过点A ，若ABO ∆的面积是4，则k 的值为___.
18．如图，在⊙O中，弦BC垂直平分半径OA，若半径为2，则图中阴影部分的面积为___．
三、解答题
19．如图，已知AB是⊙O的直径，AC是弦（不是直径），OD⊥AC垂足为G交⊙O于D，E为⊙O上一点（异于A、B），连接ED交AC于点F，过点E的直线交BA、CA的延长线分别于点P、M，且ME＝MF．（1）求证：PE是⊙O的切线．
（2）若DF＝2，EF＝8，求AD的长．
（3）若PE＝6，sin∠P＝1
3
，求AE的长．
20．为了深入培养学生交通安全意识，加强实践活动，新华中学八年级（1）班和交警队联合举行了“我当一日小交警”活动，利用星期天到交通路口值勤，协助交通警察对行人、车辆及非机动车辆进行纠章．在这次实践活动中，若每一个路口安排5名学生，那么还剩下4人；若每个路口安排6人，那么最后一个路口不足3人，但不少于1人．
（1）求新华中学八年级（1）班有多少名学生？
（2）在值勤过程中，学生发现每辆汽车驶出路口后有三种方式前行：左转、直行、右转，而且每种前行方式的可能性相同．请通过画树形图或列表的方法，求连续驶出路口的两辆汽车前行路线相同的概率．
21．如图，在□ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，∠AEF的角平分线交AB于点M，∠EFC的角平分线交CD于点N，连接MF、NE．
（1）求证：四边形EMFN是平行四边形．
（2）小明在完成（1）的证明后继续进行了探索，他猜想：当AB＝AD时，四边形EMFN是矩形．请在下
列框图中补全他的证明思路．
22．幸福村在推进美丽乡村建设中，决定建设幸福广场，计划铺设相同大小、规格的红色和蓝色地砖，经过调查，获取信息如下表：
若购买红色地砖400块，蓝色地砖600块，需付款8600元；若购买红色地砖1000块，蓝色地砖350块，需付款9900元．
（1）红色地砖和蓝色地砖的单价各多少元？
（2）经过测算，需要购置地砖1200块，其中蓝色地砖的数量不少于红色地砖的一半，并且不超过600块，如何购买付款最少？最少是多少元？请说明理由．
23．某学校要开展校园文化艺术节活动，为了合理编排节目，对学生最喜爱的歌曲、舞蹈、小品、相声四类节目进行了一次随机抽样调查（每名学生必须选择且只能选择一类），并将调查结果绘制成如下不完整统计图．
请你根据图中信息，回答下列问题：
（1）本次共调查了名学生．
（2）在扇形统计图中，“歌曲”所在扇形的圆心角等于度．
（3）补全条形统计图（标注频数）．
（4）根据以上统计分析，估计该校2000名学生中最喜爱小品的人数为人．
24．某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价是30元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价是
40元时，销售量是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具．
（1）不妨设该种品牌玩具的销售单价为x元（x＞40），请你分别用x的代数式来表示销售量y件和销售该品牌玩具获得利润w元，并把结果填写在表格中：
（2）在（1）问条件下，若商场获得了10000元销售利润，求该玩具销售单价x应定为多少元．
（3）在（1）问条件下，若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于44元，且商场要完成不少于540件的销售任务，求商场销售该品牌玩具获得的最大利润是多少？
25．如图，在四边形OABC中，AB∥OC，O为坐标原点，点A在y轴的正半轴上，点C在x轴的正半轴
上，点B坐标为（2，），∠BCO＝60°，OH⊥BC，垂足为H．动点P从点H出发，沿线段HO向点O 运动；动点Q从点O出发，沿线段OA向点A运动．两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度．设点P 运动的时间为t秒．
（1）求OH的长．
（2）设PQ与OB交于点M．
①探究：当t为何值时，△OPM为等腰三角形；
②线段OM长度的最大值为．
【参考答案】***
一、选择题
二、填空题
13．50
3
cm2
14．-15．
317
16．4710-⨯ 17．
18．
4
3
π-三、解答题
19．（1）详见解析；（2）（3）【解析】 【分析】
（1）连接OE ，根据余角的性质和等腰三角形的性质得到∠D ＝∠OED ，求得OE ⊥PE ，于是得到结论； （2）根据垂径定理得到CD AD =，求得∠FAD ＝∠AED ，根据相似三角形的性质得到结论； （3）设OE ＝x ，解直角三角形即可得到结论． 【详解】
（1）证明：连接OE ，
∵OD ⊥AC ， ∴∠DGF ＝90°，
∴∠D+∠DFG ＝∠D+∠AFE ＝90°， ∴∠DFG ＝∠AFE ， ∵ME ＝MF ， ∴∠MEF ＝∠MFE ， ∵OE ＝OD ， ∴∠D ＝∠OED ， ∴∠OED+∠MEF ＝90°， ∴OE ⊥PE ， ∴PE 是⊙O 的切线； （2）∵OD ⊥AC ， ∴CD AD =，
∴∠FAD＝∠AED，∵∠ADF＝∠EDA，∴△DFA～△DAE，
∴AD DF DE AD
=，
∴AD2＝DF•DE＝2×10＝20，
∴AD＝
（3）解：设OE＝x，
∵sin∠P＝
1
3 OE
OP
=，
∴OP＝3x，
∴x2+（）2＝（3x）2，解得：x＝3，
过E作EH垂直AB于H，
sin∠P＝EH1
PE3
==，
∴EH＝，
∵OH2+EH2＝OE2，
∴OH＝1，∴AH＝2，
∵AE2＝HE2+AH2，
∴AE＝
【点睛】
本题考查了切线的判定和性质，垂径定理，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
20．（1）新华中学八年级（1）班有44或49名学；（2）1 3
【解析】
【分析】
（1）设有x个交通路口，则八年级（1）班人数为（5x+4）名，根据题意列不等式组求解可得；（2）由树状图求得所有等可能的结果与两辆汽车前行路线相同的情况，继而利用概率公式即可求得答案．
【详解】
解：（1）设有x个交通路口，则八年级（1）班人数为（5x+4）名，
根据题意得
546(1)1 546(1)3 x x
x x
+--≥
⎧
⎨
+--
⎩＜
，
解得：7＜x≤9，
∵x为正整数，
∴x＝8或9，所以5x+4＝44或49．
答：新华中学八年级（1）班有44或49名学；
（2）列表可得：
由上表可知，所有可能发生的结果共有9种，并且它们发生的可能性都相等，
连续驶出路口的两辆汽车前行路线相同的有3种，分别为（左转，左转），（直行，直行），（右转，右转），
∴连续驶出路口的两辆汽车前行路线相同的概率为31 =
93
，
答：连续驶出路口的两辆汽车前行路线相同的概率是1
3
．
【点睛】
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意树状图法或列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率＝所求情况数与总情况数之比．
21．（1）见解析；（2）∠EFM＝∠BMF，AM＝BM（或：M是AB中点）．
【解析】
【分析】
（1）根据平行四边形的性质可得∠A=∠C，∠AEF＝∠CFE，AD=BC，根据角平分线的定义和中点的定义可得∠AEM＝∠CFN，AE＝CF，利用ASA即可证明△AME≌△CNF，可得EM＝FN，∠FEM＝∠FEN，根据内错角相等可得EM//FN，即可证明四边形EMFN是平行四边形；（2）由AE=BF，AE//BF可得四边形ABFE是平行四边形，可得EF//AB，可得∠MEF=∠AME，∠EFM=∠BMF，由角平分线可得∠AEM=∠MEF，即可证明∠AEM=∠AME，可得AE=AM，由AB=AD可得M为AB中点，即可证明BM=BF，进而可得∠BMF=∠BFM，即可证明∠BFM=∠EFM，可得∠EFM+∠EFN=90°，可得四边形EMFN是矩形．
【详解】
(1)在□ABCD中，∠A＝∠C，AD∥BC，AD＝BC
∵E、F分别是AD、BC的中点，
∴AE＝1
2
AD，CF＝
1
2
BC，
又∵AD＝BC，
∴AE＝CF，
∵AD∥BC，
∴∠AEF＝∠CFE，
∵EM平分∠AEF，FN平分∠EFC，
∴∠AEM＝∠FEM＝1
2
∠AEF，∠CFN＝∠FEN＝
1
2
∠CFE，
∵∠AEF＝∠CFE，∠AEM＝1
2
∠AEF，∠CFN＝
1
2
∠CFE，
∴∠AEM＝∠CFN，
在△AME和△CNF中
A C
AE CF
AEM CFN ∠=∠
⎧
⎪
=
⎨
⎪∠=∠
⎩
，
∴△AME≌△CNF（ASA），
∵∠FEM＝∠FEN，
∴EM∥FN，
∵△AME≌△CNF，
∴EM＝FN，
∵EM∥FN，EM＝FN，
∴四边形EMFN是平行四边形．（2）∵AE=BF，AE//BF，
∴四边形ABFE是平行四边形，∴AB//EF，
∴∠MEF=∠AME，∠EFM=∠BMF，∵∠AEM=∠MEF，
∴∠AEM=∠AME，
∴AE=AM，
∵E为AD中点，AB=AD，
∴M为AB中点，即AM=BM，
∵AE=BF，
∴BM=BF，
∴∠BMF=∠BFM，
∴∠BFM=∠EFM ， ∵∠EFN=∠CFN ，
∴∠EFM+∠EFN=90°，即∠MFN=90°， ∴四边形EMFN 是矩形．
故答案为：∠EFM ＝∠BMF ，AM ＝BM （或：M 是AB 中点）． 【点睛】
本题考查平行四边形的判定及矩形的判定，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；有一个角是直角的平行四边形是矩形.
22．（1）红色地砖每块8元，蓝色地砖每块10元；（2）购买蓝色地砖700块，红色地砖500块，费用最少，最少费用为8980元． 【解析】 【分析】
（1）根据题意结合表格中数据，购买红色地砖4000块，蓝色地砖6000块，需付款86000元；购买红色地砖10000块，蓝色地砖3500块，需付款99000元，分别得出方程得出答案； （2）利用已知得出x 的取值范围，再利用一次函数增减性得出答案． 【详解】
（1）设红色地砖每块x 元，蓝色地砖每块y 元，由题意可得：
4006000.98600
10000.83509900x y x y +⨯=⎧⎨
⨯+=⎩
， 解得8
10x y =⎧⎨
=⎩
， 答：红色地砖每块8元，蓝色地砖每块10元；
（2）设购置蓝色地砖a 块，则购置红色地砖（1200﹣a ）块，所需的总费用为y 元，
由题意可得：a 1200a 21200a 600
⎧
-⎪⎨⎪-⎩…
…，
解得：600≤a≤800， 当600≤a＜700时，
y ＝8a×0.8+0.9×10（1200﹣a ）＝10800﹣2.6a ， 当a ＝700时y 有最小值为：10800﹣2.6×700＝8980，
当700＜x≤800时，y ＝8a×0.8+10（1200﹣a ）＝﹣3.6a+12000， 当a ＝800时，y 有最小值为：﹣3.6×800+12000＝9120， ∵9120＜9180，
∴购买蓝色地砖700块，红色地砖500块，费用最少，最少费用为8980元． 【点睛】
此题主要考查了一次函数的应用以及二元一次方程组的应用，正确得出函数关系式是解题关键． 23．（1）本次共调查了50名学生；（2）72°；（3）补全条形统计图见解析；（4）该校2000名学生中最喜爱小品的人数为640人； 【解析】 【分析】
（1）用最喜爱相声类的人数除以它所占的百分比即可得到调查的总人数；
（2）用360°乘以最喜爱歌曲类人数所占的百分比得到“歌曲”所在扇形的圆心角的度数； （3）先计算出最喜欢舞蹈类的人数，然后补全条形统计图； （4）用2000乘以样本中最喜爱小品类的人数所占的百分比即可； 【详解】
（1）14÷28%＝50，
所以本次共调查了50名学生；
（2）在扇形统计图中，“歌曲”所在扇形的圆心角的度数＝360°×10
50
＝72°； （3）最喜欢舞蹈类的人数为50﹣10﹣14﹣16＝10（人）， 补全条形统计图为：
（4）2000×
16
50
＝640， 估计该校2000名学生中最喜爱小品的人数为640人； 【点睛】
本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
24．（1）见解析；（2）玩具销售单价为50元或80元时，可获得10000元销售利润；（3）商场销售该品牌玩具获得的最大利润为8640元． 【解析】 【分析】
（1）由销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具得y=600﹣（x﹣40）×10=1000﹣10x，利润=（x﹣30）×(1000﹣10x )=﹣10x2+1300x﹣30000；
（2）令﹣10x2+1300x﹣30000=10000，求出x的值即可；
（3）首先求出x的取值范围，然后把w=﹣10x2+1300x﹣30000转化成y=﹣10（x﹣65）2+12250，结合x 的取值范围，求出最大利润．
【详解】
解：：（1）根据题意可得：y=600﹣（x﹣40）×10=1000﹣10x，
利润=（x﹣30）×(1000﹣10x )=﹣10x2+1300x﹣30000；
（2）﹣10x2+1300x﹣30000=10000
解之得：x1=50，x2=80．
答：玩具销售单价为50元或80元时，可获得10000元销售利润．
（3）根据题意得：
10010540
44
x
x
-≥
⎧
⎨
≥
⎩
解之得：44≤x≤46，w=﹣10x2+1300x﹣30000=﹣10（x﹣65）2+12250，∵a=﹣10＜0，对称轴是直线
x=65，∴当44≤x≤46时，w随x增大而增大，∴当x=46时，W最大值=8640（元）．
答：商场销售该品牌玩具获得的最大利润为8640元．
【点睛】
本题考查了二次函数的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解．
25．（1）OH=；（2）①t=或t=2;②线段OM长的最大值为3 2
【解析】
【分析】
（1）根据题意得出△BOC为等边三角形，进而得出OH的长；
（2）①利用（i）若OM＝PM，（ii）若OP＝OM，（iii）若OP＝PM，分别分析得出即可；
②PQ⊥OB时，OM长度的值最大，即△OPQ是等边三角形，根据等边三角形的性质即可得到结论．【详解】
解：（1）由已知在Rt△OAB中，AB＝2，OA＝
∴OB ＝4，tan ∠AOB ＝
3
， ∴∠AOB ＝30°，∴∠BOC ＝60°,
又∵∠BCO ＝60°，∴△BOC 是等边三角形
∵OH ⊥BC ，∠BCO ＝60°，∴OH ＝（2）①△OPM 为等腰三角形时，则: （i ）若OM ＝PM ，则∠MPO ＝∠MOP ＝∠POC
∴PQ ∥OC ，此时△OPQ 是直角三角形，且∠MPO ＝30°
∴OP ＝2OQ ，即t ＝2t
∴t , （ii ）若OP ＝OM ，则∠OPM ＝∠OMP ＝75°， ∴∠OQP ＝45°
过点P 作PE ⊥OA ，垂足为E ，则有EQ ＝EP
∴EP ＝OQ-OE ，即2
(t) ＝t －12(t)
解得t ＝2.
（iii ）若 OP ＝PM ，则 ∠PMO ＝∠POM ＝30°，这时PQ ∥OA ， 这种情况不可能
②当PQ ⊥OB 时，OM 长度的值最大，即△OPQ 是等边三角形，
∴t ＝t,
∴t
∴OP ＝OQ ＝PQ ∴OM ＝
3
2
， ∴线段OM 长的最大值为32
. 【点睛】
此题主要考查了四边形综合以及锐角三角函数关系和等边三角形、等腰三角形的性质等知识，利用分类
讨论得出是解题关键．
2019-2020学年数学中考模拟试卷
一、选择题
1．下列算式中，正确的是( ).
A ．221a a a a ÷⨯
= B ．2323a a a -=- C ．3262()a b a b = D ．()236a a --=
2．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，∠B ＝60°，OP ⊥AC 交于点P ，OP ＝43，则⊙O 的半径为( )
A ．8
B ．123
C ．83
D ．12
3．将一幅三角尺如图所示的方式摆放（两条直角边在同一条直线上，且两锐角顶点重合），连接另外两条锐角顶点，并测得147∠=，则2∠的度数为（ ）
A ．60°
B ．58°
C ．45°
D ．43°
4．如图，在ABC ∆中，5AB =，3AC =，4BC =，将ABC ∆绕一逆时针方向旋转40︒得到ADE ∆，点B 经过的路径为弧BD ，则图中阴影部分的面积为( )
A ．1463π-
B ．33π+
C ．3338π-
D ．259
π 5．下列各式计算正确的是（ ）
A ．a 2×a 3＝a 6
B 2=
C ．21111x x x -=-+
D ．（x+y ）2＝x 2+y 2
6．某书店4月份营业额为2.2万元，5月份营业额为2.42万元。

如果保持同样的增长率，6月份应完成营业额( )
A ．2.64万元
B ．2.662万元
C ．2.724万元
D ．2.86万元
7．下列命题中哪一个是假命题（ ）
A ．8的立方根是2
B ．在函数y ＝3x 的图象中，y 随x 增大而增大
C ．菱形的对角线相等且平分
D ．在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等
8．如图，点P 是矩形ABCD 的对角线AC 上一点，过点P 作EF ∥BC ，分别交AB ，CD 于E 、F ，连接PB 、PD ．若AE=2，PF=8．则图中阴影部分的面积为（ ）
A ．10
B ．12
C ．16
D ．18
9．如图，在平面直角坐标系中，∠α的一边与x 轴正半轴重合，顶点为坐标原点，另一边过点A （1，
2），那么sin α的值为（ ）
B.12
C.2 10．如图，△ABC 中，∠B ＝70°，则∠BAC ＝30°，将△ABC 绕点C 顺时针旋转得△EDC ．当点B 的对应点D 恰好落在AC 上时，∠CAE 的度数是（ ）
A ．30°
B ．40°
C ．50°
D ．60°
11．如图，直线AD ∥BC ，若∠1＝42°，∠BAC ＝78°，则∠2的度数为（ ）
A.42°
B.50°
C.60°
D.68°
12．不等式组5243x x +>⎧⎨-≥⎩
的最小整数解是（ ） A ．﹣3
B ．﹣2
C ．0
D ．1
二、填空题
13．因式分解：39x x -=__．
14．把多项式33327a b ab -分解因式的结果是_____．
15．如图，∠3=40°，直线b 平移后得到直线a ，则∠1+∠2=_____°．
16．一元二次方程23210x x -+=的根的判别式∆_______0.（填“>”，“=”或“<”）
17．如图，在圆心角为120°的扇形OAB 中，半径OA ＝2，C 为AB 的中点，D 为OA 上任意一点（不与点O 、A 重合），则图中阴影部分的面积为____．
18．如图，在正方形ABCD 中，AB=12，点E 为BC 的中点，以CD 为直径作半圆CFD ，点F 为半圆的中点，连接AF ，EF ，图中阴影部分的面积是_________。

三、解答题
19．有甲、乙两个不透明的盒子，甲盒中装有编号为1，2，3三个球，乙盒中装有编号为4，5，6三个球，每个盒子中的球除编号外其它完全相同，将盒子中的球摇均后，从每个盒子中随机各取一个球．
（1）从甲盒中取出的球号数是3的概率是 ；
（2）请用列表法或画树状图法，求从两个盒子中取出的球号数都是偶数的概率．
20．给定关于x 的二次函数y ＝kx 2﹣4kx+3（k≠0），
（1）当该二次函数与x 轴只有一个公共点时，求k 的值；
（2）当该二次函数与x 轴有2个公共点时，设这两个公共点为A 、B ，已知AB ＝2，求k 的值；
（3）由于k 的变化，该二次函数的图象性质也随之变化，但也有不会变化的性质，某数学学习小组在探究时得出以下结论：
①与y 轴的交点不变；②对称轴不变；③一定经过两个定点；
请判断以上结论是否正确，并说明理由．
21．如图，某人在山坡坡脚C 处测得一座建筑物定点A 的仰角为60°，沿山坡向上走到P 处再测得该建筑物顶点A 的仰角为45°．已知BC ＝60m ，山坡的坡比为1：2．
（1）求该建筑物的高度（即AB 的长，结果保留根号）；
（2）求此人所在位置点P 的铅直高度（即PD 的长，结果保留根号）．
22．先化简2(
1)(2)x x x x x
--÷++，然后从－2，－1， 0， 1中选取一个你认为合适的数作为x 的值代入求值．
23．如图，抛物线y ＝ax 2x 轴交于A （﹣3，0），B （9，0）两点，与y 轴交于点C ，连接AC ，BC ．点P 沿AC 以每秒1个单位长度的速度由点A 向点C 运动，同时，点Q 沿BO 以每秒2个单位长度的速度由点B 向点O 运动，当一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动，连接PQ ，过点Q 作QD ⊥x 轴，与抛物线交于点D ，连接PD 与BC 交于点E ．设点P 的运动时间为t 秒（t ＞0）
（1）求抛物线的表达式；
（2）①直接写出P ，D 两点的坐标（用含t 的代数式表示，结果需化简）．
②在点P ，Q 运动的过程中，当PQ ＝PD 时，求t 的值；
（3）点M 为线段BC 上一点，在点P ，Q 运动的过程中，当点E 为PD 中点时，是否存在点M 使得PM+12BM 的值最小？若存在，请求出PM+12
BM 的最小值；若不存在，请说明理由．
24．某公司要购买一种笔记本供员工学习时使用.在甲文具店不管一次购买多少本，每本价格为2元.在乙文具店购买同样的笔记本，一次购买数量不超过20时，每本价格为2.4元；一次购买数量超过20
时，超过部分每本价格为1.8元.
设在同一家文具店一次购买这种笔记本的数量为x(x为非负整数).
(Ⅰ)根据题意，填写下表：
(Ⅱ)设在甲文具店购买这种笔记本的付款金额为1y元，在乙文具店购买这种笔记本的付款金额为2y 元，分别写出1y，2y关于x的函数关系式；
(Ⅲ)当50
x≥时，在哪家文具店购买这种笔记本的花费少？请说明理由.
25．已知点A(﹣1，4)在反比例函数y＝k
x
的图象上，B(﹣4，n)在正比例函数y＝
1
2
x的图象上
(1)写出反比例函数y＝k
x
的解析式；
(2)求出点B的坐标．
【参考答案】***
一、选择题
二、填空题
13．(+3)(3)
x x x-
14．3ab（a+3b）（a﹣3b）．15．220
16．＜
17．2
3
π.
18．18+18π三、解答题
19．（1）从甲盒中取出的球号数是3的概率是1
3
；（2）从两个盒子中取出的球号数都是偶数的概率为
2
9
．【解析】
【分析】
（1）直接利用概率公式计算得出答案；
（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与从两个盒子中取出的球号数都是偶数的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
【详解】
（1）从甲盒中取出的球号数是3的概率是：1
3
；
故答案为：1
3
；
（2）画树状图得：
∵共有9种等可能的结果，两个盒子中都取出偶数的有2种情况，
∴从两个盒子中取出的球号数都是偶数的概率为：2
9
．
【点睛】
此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
20．（1）3
2
（2）1（3）①②③
【解析】
【分析】
（1）由抛物线与x轴只有一个交点，可知△=0；
（2）由抛物线与x轴有两个交点且AB=2，可知A、B坐标，代入解析式，可得k值；（3）通过解析式求出对称轴，与y轴交点，并根据系数的关系得出判断．
【详解】
（1）∵二次函数y＝kx2﹣4kx+3与x轴只有一个公共点，
∴关于x的方程kx2﹣4kx+3＝0有两个相等的实数根，
∴△＝（﹣4k）2﹣4×3k＝16k2﹣12k＝0，
解得：k1＝0，k2＝3
2
，
k≠0，
∴k＝3
2
；
（2）∵AB＝2，抛物线对称轴为x＝2，
∴A、B点坐标为（1，0），（3，0），
将（1，0）代入解析式，可得k＝1，
（3）①∵当x＝0时，y＝3，
∴二次函数图象与y轴的交点为（0，3），①正确；
②∵抛物线的对称轴为x＝2，
∴抛物线的对称轴不变，②正确；
③二次函数y＝kx2﹣4kx+3＝k（x2﹣4x）+3，将其看成y关于k的一次函数，
令k的系数为0，即x2﹣4x＝0，
解得：x1＝0，x2＝4，
∴抛物线一定经过两个定点（0，3）和（4，3），③正确．
综上可知：正确的结论有①②③．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质，与x、y轴的交点问题，对称轴问题，以及系数与图象的关系问题，是一道很好的综合问题．
21．(1) 建筑物的高度为 (2)点P的铅直高度为（20）米．
【解析】
【分析】
（1）过点P作PE⊥BD于E，PF⊥AB于F，在Rt△ABC中，求出AB的长度即可；
（2）设PE＝x米，则BF＝PE＝x米，根据山坡坡度为1：2，用x表示CE的长度，然后根据AF＝PF列出等量关系式，求出x的值即可．
【详解】
解：（1）过点P作PE⊥BD于E，PF⊥AB于F，
又∵AB⊥BC于B，
∴四边形BEPF是矩形，
∴PE＝BF，PF＝BE
∵在Rt△ABC中，BC＝90米，∠ACB＝60°，
∴AB＝BC•tan60°＝60（米），
故建筑物的高度为
（2）设PE＝x米，则BF＝PE＝x米，
∵在Rt△PCE中，tan∠PCD＝
1
2 PE
CE
，
∴CE＝2x，
∵在Rt△PAF中，∠APF＝45°，
∴AF＝AB﹣BF＝﹣x，
PF ＝BE ＝BC+CE ＝60+2x ，
又∵AF ＝PF ，
∴60﹣x ＝60+2x ，
解得：x ＝﹣20，
答：人所在的位置点P 的铅直高度为（20）米．
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用，要求学生借助仰角关系构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形，难度适中．
22．－12
． 【解析】
【分析】
首先对括号内的分式的分母分解因式,把除法转化为乘法,然后进行分式的加法计算即可化简,然后代入使原式有意义的x 的值计算即可
【详解】
原式=11[(1)]12
x x x -+⋅++ ＝21211()12
x x x x ---⋅++ ＝(2)112
x x x x -+⋅++ ＝1x x -
+ 只能选x ＝1，当x ＝1时， 原式＝-11112
=-+． 【点睛】
此题考查分式的化简求值，掌握运算法则是解题关键
23．（1）293y x x =-++；（2）P 132t ⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭，D )
2926t t t ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦；。