河北省衡水中学2012届高三数学下学期第三次模拟试题（A）文

绝密*启用前 试卷类型：A
河北省衡水中学2012届高三数学下学期第三次模拟试题（A ）文
说明：本试卷分第I 卷（选择题60分）和第Ⅱ卷（非选择题90分）两部分。

共24题。

本试卷共150分，考试时间120分钟
第I 卷
一、选择题（每小题5分，共60分。

下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）
1．若i 为虚数单位，则1
1i i +-=（ ）
A ．-1
B ．1
C ．i -
D ．i 2．已知非空集合
{}
2|1A x R x a =∈=-，则实数a 的取值范围为( )
A.1a >
B.1a ≥
C.1a <
D.1a ≤
3. 以双曲线1
32
2
=-x y 的一个焦点为圆心，离心率为半径的圆的方程是 （ ）
A ．2)2(22=-+y x
B ．4)2(2
2=+-y x
C ．
4)2(22=-+y x D ．
2)2(2
2=+-y x 4．设m ，n 是不同的直线，α，β是不同的平面，且,m n α⊂. 则“α∥β”是“m ∥β且n ∥β”的（ ） A ．充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
5. 设)(x f 为定义在R 上的奇函数，当0≥x 时，
b x x f x
++=22)((b 为常数)，则)1(-f =（ ） A .3 B.1 C.－1 D.－3
6．在等差数列
{}n a 中，设n S 为其前n 项和，已知
2313
a a =，则
45
S S 等于 （ ）
A.815
B.40121
C.1625
D.57
7.在边长为1的菱形ABCD 中，∠ABC=60O ，将菱形沿对角线AC 折起，使折起后BD=1，则三棱锥B-ACD 的体积为 （ ）
A.122
B.121
C.62
D.42
8. 某几何体的主视图与俯视图如图所示，左视图与主视图相同，且图中的四边形都是 边长为2
的正方形，两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是( )
A.203
B.4
3 C.6
D.4
9．要得到函数y=cos2x 的图象，只需将y=sin (2x+4π
)的图象( )
A ．向左平移8π个单位长度
B ．向右平移8π
个单位长度
C ．向左平移4π个单位长度
D ．向右平移4π
个单位长度
10．已知向量a ＝(x1，y1)，b ＝(x2，y2)，若|a|＝2，|b|＝3，a·b＝－6，则x1＋y1
x2＋y2的值为( )
A.23
B ．－23 C.5
6
D ．－5
6
11. 已知函数()ln(1)1f x x x =-+-，则函数()f x （ ） A.没有零点 B.有唯一零点 C.有两个零点
12
,x x ，并且
1210,12x x -<<<<
D. 有两个零点
12
,x x ，并且
1213
x x <+<
12.已知两点 A (1,2), B (3,1) 到直线L 的距离分别是
25,2-，则满足条件的直线L 共有 ____ 条。

A.1
B.2
C.3
D.4
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共4小题,每小题5分,共20分） 13. 运行如图所示的程序框图，输出的结果是 . 14.已知数列
{}n a 满足*
12121,log log 1()
n n a a a n N
+==+∈，
它的前n
左
俯视图
主视图
x=1,y=1,z =2
z ≤4?
开始
结束
是
否 z =x +y 输出z y = z x = y
Q
P
B
A
C
D
项和为
n
S ，则满足
1025
n S >的最小n 值是___________.
15. 若实数x y ，满足
22120x y x x y x ⎧⎪
⎨⎪++⎩，，-4≤≤≥，则y x z 23+=的最小值是 ；在平面直角坐标系中，此不等式组表示的平面区域的面积是 .
___.
三、解答题（共6个小题，共70分）
17．（本小题满分12分）已知函数f(x)＝2sin(ωx－π6)sin(ωx＋π
3)(其中ω为正常数，x ∈R)的最小正周期为π.
(1)求ω的值；
(2)在△ABC 中，若A<B ，且f(A)＝f(B)＝12，求BC
AB
的值
18. （本小题满分12分）某校为了解学生的学科学习兴趣，对初高中学生做了一个喜欢数学和喜欢语文的抽样调查，随机抽取了100名学生，相关的数据如下表所示：
数学 语文 总计 初中 36 14 50 高中 24 26 50
总计
60
40
100
(Ⅰ) 用分层抽样的方法从喜欢数学的学生中随机抽取5名，高中学生应该抽取几名? (Ⅱ) 在(Ⅰ)中抽取的5名学生中任取2名，求恰有1名高中学生的概率．
19. （本小题满分12分）如图所示，四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的菱形，Q 是棱PA 上的动点．
（Ⅰ）若Q 是PA 的中点，求证：PC//平面BDQ ；
（Ⅱ）若PB=PD ，求证：BD ⊥CQ ；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若PA=PC ，PB=3，
16.
∠ABC=60º，求四棱锥P-ABCD 的体积．
20. （本小题满分12分） 已知椭圆)0(1222
2>>=+b a b y a x 的离心率为36，且过点)1,2(过点C （-1，0）
且斜率为k 的直线l 与椭圆相交于不同的两点B A 、. （Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若线段AB 的中点的横坐标为21
-
，求斜率k 的值；
（Ⅲ）在x 轴上是否存在点M ，使25
MA MB 3K 1⋅+
+是与k 无关的常数？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，
请说明理由.
21、（本小题满分12分）设a R ∈，函数
1ln ()x
f x x +=
.
（Ⅰ）设a ＞0，若函数在区间
1(,)
2a a +上存在极值，求实数a 的取值范围； （Ⅱ）如果当x ≥1时，不等式
2()1k k f x x -≥
+恒成立，求实数k 的取值范围. 请考生在（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 请考生将所选题目后面的小矩形框涂黑。

22．（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲
如图，已知PA 是O 的切线，A 是切点，直线PO 交O 于B 、C 两点，D 是OC 的中点，连接AD 并延长交O
于点E ，若0
30PA APB =∠=.
（1）求AEC ∠的大小； （2）求AE 的长.
23．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程
已知圆
1
O 和圆
2
O 的极坐标方程分别为
22,cos()2
4
π
ρρθ=--=.
（1）把圆
1
O 和圆
2
O 的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）求经过两圆交点的直线的极坐标方程。

24．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲 已知不等式
12x x m
++-≥的解集是R.
（1）求实数m 的取值范围；
（2）在（1）的条件下，当实数m 取得6710m >
O
Q
P
B
A
C
D
数学三模A 卷答案 解得x ＝π4或x ＝7π
12
.
∵A，B 是△ABC 的内角，A<B ，且f(A)＝f(B)＝1
2，
∴A＝π4，B ＝7π12，∴C＝π－A －B ＝π6，
由正弦定理，得BC AB ＝sinA
sinC ＝sin π4sin π6＝2
21
2
＝
2.
18.解：(Ⅰ) 由表中数据可知, 高中学生应该抽取
5
24260⨯
=人. ………………4分
(Ⅱ) 记抽取的5名学生中,高中2名学生为A ，B ，初中3名学生为a ，b ，c ，
则从5名学生中任取2名的所有可能的情况有10种，它们是：(,)A B ，(,)A a ，(,)A b ，(,)A c ，(,)B a ，(,)B b ，(,)B c ，(,)a b ，(,)a c ，(,)b c .
其中恰有1名高中学生的情况有6种，它们是：(,)A a ，(,)A b ，(,)A c ，(,)B a ，(,)B b ，(,)B c .
故所求概率为
63
105=. ………12分 19．证明：（Ⅰ）连结AC ，交BD 于O ． 因为 底面ABCD 为菱形，
所以 O 为AC 中点． 因为 Q 是PA 的中点， 所以 OQ// PC ，
因为OQ ⊂平面BDQ ，PC ⊄平面BDQ ， 所以PC//平面BDQ ． ……………………4分 （Ⅱ）因为 底面ABCD 为菱形， 所以 AC ⊥BD ，O 为BD 中点．
因为 PB=PD ， 所以 PO ⊥BD ． 因为 PO ∩BD =O ，
所以 BD ⊥平面PAC ．因为 CQ ⊂平面PAC ， 所以 BD ⊥CQ ． ……………………8分 （Ⅲ）因为 PA=PC ， 所以 △PAC 为等腰三角形 ． 因为 O 为AC 中点， 所以 PO ⊥AC ．
由（Ⅱ）知 PO ⊥BD ，且AC ∩BD =O ，
所以 PO ⊥平面ABCD ，即PO 为四棱锥P-ABCD 的高． 因为四边形是边长为2的菱形，且∠ABC=60º， 所以BO=
3，
所以PO=6．
所以 1
23622
3P ABCD V -=⨯⨯=，即22P ABCD
V -=． ……………………12分 20. 解：（Ⅰ）∵椭圆离心率为63，
22c 6b 1,a 33a ∴=∴=. 又椭圆过点（2，1），代入椭圆方程，得22
211a b +=.所以22
5a 5,b 3==. ∴椭圆方程为22
x y 155+=，即22x 3y 5+=. ……………………………………3分
（Ⅱ） ∵直线L 过点C （-1，0）且斜率为K, 则设直线方程为y k(x 1)=+，
由⎩⎨⎧+==+),1(,
5322x k y y x 得
0536)13(2222=-+++k x k x k .……………5分
若上式是与K无关的常数，则6m-1=0，∴
1
6 m =
，
即在x轴上存在点M（1
6，0）使2
5
MA MB
3k1
⋅+
+是与K无关的常数. …………12分
8分
12分。