湖南省长沙市高二数学 暑假作业5 函数的奇偶性及周期性 理 湘教版

作业
：函数的奇偶性及周期性
参考时量：
60分钟
完成时间：
月
日
一、选择题
1、函数()f x 为奇函数,且当0x >时,2
1
()f x x x
=+
,则(1)f -= (A) 2- (B) 0 (C) 1 (D) 2 【答案】A
2、定义在R 上的函数()f x 满足(6)()f x f x +=.当31x -≤<-时，2
()(2)f x x =-+，当13x -≤<时，()f x x =。

则
( B )
（A ）335 （B ）336 （C ）3381678 （D ）2012
3、设()f x 是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[11]-，上，0111()2
01x x ax f x bx x <+-⎧⎪
=+⎨⎪+⎩≤≤≤，
，，，其中a b ∈R ，．若1322f f ⎛⎫⎛⎫
= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，则3a b +的值为（ A ）
A:-10 B ：10 C:2 D:-2
【答案】A
【解析】∵()f x 是定义在R 上且周期为2的函数，∴()()11f f -=，即2
1=
2
b a +-+①。

又∵311=1222f f a ⎛⎫⎛⎫
=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，
1322f f ⎛⎫⎛⎫
= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
， ∴14
1=
23
b a +-+②。

联立①②，解得，=2. =4a b -。

∴3=10a b +-。

4、设f (x )是偶函数，且当x >0时是单调函数，则满足f (2x )＝f (
x ＋1
x ＋4
)的所有x 之和为( C ) A ．－9
2
B ．－7
2
C ．－8
D ．8
解析：∵f (x )是偶函数，f (2x )＝f (
x ＋1x ＋4) ∴f (|2x |)＝f (|x ＋1
x ＋4
|) 又∵f (x )在(0，＋∞)上为单调函数， ∴|2x |＝|x ＋1
x ＋4
|， 即2x ＝
x ＋1x ＋4或2x ＝－x ＋1x ＋4
整理得2x 2＋7x －1＝0或2x 2
＋9x ＋1＝0
设方程2x 2＋7x －1＝0的两根为x 1，x 2，方程2x 2
＋9x ＋1＝0的两根为x 3，x 4. 则(x 1＋x 2)＋(x 3＋x 2)＝－72＋(－9
2)＝－8.
答案：C
5、已知函数f (x )是R 上的偶函数，g (x )是R 上的奇函数，且g (x )＝f (x －1)，若f (0)＝2，则f （2012）的值为（ Ａ）
A ．2
B ．0
C ．－2
D ．±2 解析：由g (x )＝f (x －1) ①
g (－x )＝f (－x －1)， 即－g (x )＝f (x ＋1) ②
① ＋②得f (x ＋1)＋f (x －1)＝0 ∴f (x ＋1)＝－f (x －1) 即f (x ＋2)＝－f (x ) f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x ) 则f (x )是以4为周期的周期函数 f (2 012)＝f (0)＝2. 答案：A 6、已知函数
)(x f 是定义在R 上的奇函数，当0≥x 时，
)3|2||(|2
1
)(222a a x a x x f --+-=，若R ∈∀x ，)()1(x f x f ≤-，则实数a 的取值范
围为（ B ） A.]61,61[-
B.]66,66[-
C. ]31,31[-
D. ]3
3,33[-
二、填空题
7、设()f x 是定义在R 上的周期为2的函数，当[1,1)x ∈-时，
242,10,(),
01,x x f x x x ⎧-+-≤<=⎨
≤<⎩，则3
()2f = 1 . 8、定义在实数集上的偶函数f(x)满足f(x ＋2)＝f(x)，且f(x)在[－3，－2]上单调递减，
又α，β是锐角三角形的两内角，则f(sin α)与f(cos β)的大小关系是________． f(sin α)＞f(cos β) 9、已知)(x f 是定义在R 上的奇函数.当0>x 时,x x x f 4)(2
-=,则不等式x x f >)(的解集用区间表示为___________. 【答案】()()+∞-,50,5
10、设a 为实常数,()y f x =是定义在R 上的奇函数,当0x <时,2
()97a f x x x
=++,若
()1f x a ≥+对一切0x ≥成立,则a 的取值范围为________
【答案】87
a ≤-. 三、解答题
11、知函数()f x 的定义在0≠x 上函数，对定义域内的任意21,x x 都有
)()()(2121x f x f x x f +=，且当1>x 时，,0)(>x f 1)2(=f
（1）求证：()f x 是偶函数 ；（2）)(x f 在),0(+∞是增函数；（3）解不等式2)12(2
<-x f 11【解析】
121212(1)1(1)(1)(1)(1)0
1[(1)(1)](1)(1)02(1)(1)01[(1)]()(1)()()()x x f f f f x x f f f f f x x
x f x f x f f x f x f x ==∴=+∴===-∴-⨯-=-+-∴=-∴-===-∴⨯-=+-∴-=∴令令令是偶函数
111212222222
1
1
1
12122
2
2
(2)0()()()()()()()(
)011()0(
)0()()00+x x
x x f x f x f x f x f x f f x x x x x x f x x x f x f f x f x x x x >>∴-=-=+-=>>∴
>>>∴>∴->∴∞设时，函数在（，）上是增函数
12、定义在[－1,1]上的奇函数f(x)，已知当x∈[－1,0]时，f(x)＝1
4x －
a
2x
(a∈R)．
(1)写出f(x)在[0,1]上的解析式；
(2)求f(x)在[0,1]上的最大值；
(3)若f(x)是[0,1]上的增函数，求实数a的取值范围.
解：(1)设x∈[0,1]，则－x∈[－1,0]，f(－x)＝1
4－x －
a
2－x
＝4x－a·2x，
∴f(x)＝a·2x－4x，x∈[0,1]．
(2)∵f(x)＝a·2x－4x，x∈[0,1]，令t＝2x，t∈[1,2]，∴g(t)＝a·t－t2＝－(t－
a 2)2＋
a2
4
.
当
a
2
≤1，即a≤2时，g(t)max＝g(1)＝a－1；
当1<
a
2
<2，即2<a<4时，g(t)max＝g(
a
2
)＝
a2
4
；
当
a
2
≥2，即a≥4时，g(t)max＝g(2)＝2a－4.
综上：当a≤2时，f(x)的最大值为a－1，
当2<a<4时，f(x)的最大值为
a2
4
，
当a≥4时，f(x)的最大值为2a－4.
(3)因为函数f(x)在[0,1]上是增函数，
所以f′(x)＝a ln2·2x－ln4·4x＝2x ln2(a－2·2x)≥0恒成立，
即a－2·2x≥0恒成立，a≥2·2x恒成立．
∵2x∈[1,2]，∴a≥4.
13、定义在R上的增函数y＝f(x)对任意x，y∈R都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)．
(1)求f(0)；
(2)求证：f(x)为奇函数；
(3)若f(k·3x)＋f(3x－9x－2)<0对任意x∈R恒成立，求实数k的取值范围．解答：(1)令x＝y＝0，得f(0＋0)＝f(0)＋f(0)，即f(0)＝0.
(2)证明：令y＝－x，得f(x－x)＝f(x)＋f(－x)，又f(0)＝0，
则有0＝f(x)＋f(－x)．即f(－x)＝－f(x)对任意x∈R成立，
所以f(x)是奇函数．
(3)因为f(x)在R上是增函数，又由(2)知f(x)是奇函数．
f(k·3x)<－f(3x－9x－2)＝f(－3x＋9x＋2)，
所以k·3x<－3x＋9x＋2，
法一：32x－(1＋k)·3x＋2>0对任意x∈R成立．
令t＝3x>0，问题等价于t2－(1＋k)t＋2>0对任意t>0恒成立．
令f (t )＝t 2
－(1＋k )t ＋2，其对称轴为x ＝1＋k 2
，
当1＋k 2<0即k <－1时，f (0)＝2>0，符合题意；
当1＋k 2≥0即k ≥－1时，对任意t >0，f (t )>0恒成立
⇔⎩⎪⎨⎪⎧
1＋k 2≥0，Δ＝＋k
2
－4×2<0，
解得－1≤k <－1＋2 2.综上所述，当k <－1＋22时， f (k ·3x )＋f (3x －9x －2)<0对任意x ∈R 恒成立．
法二：由k ·3x <－3x ＋9x ＋2，得k <3x
＋23
x －1.
u ＝3x ＋2
3
x －1≥22－1，即u 的最小值为22－1，
要使对x ∈R 不等式k <3x
＋23
x －1恒成立， 只要使k <22－1.。