山东省冠县武训高级中学高二数学 6.4 不等式的解法举例同步辅导教材

6.4 不等式的解法举例
一、本讲进度
6.4 不等式的解法举例
课本第17页至第19页
二、本讲主要内容
常见类型的不等式的解法
三、学习指导
1、求不等式的解就是研究条件不等式成立的条件，或者说求出使不等式成立的变量的取值X 围。

在解不等式过程中，每次对不等式进行变形都要保持前后不等式同解。

不等式的同解原理是解不等式的理论根据，主要内容有：
（1）不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得不等式与原不等式是同解不等式；
（2）不等式两边都乘以（或除以）同一个正数或同一个大于零的整式，所得不等式与原不等式是同解不等式；
（3）不等式两边都乘以（或除以）同一个负数或同一个小于零的整式，并把不等式改变方向后，所得不等式与原不等式是同解不等式。

2、解一元二次不等式（组），一元二次不等式（组）是解其它不等式（组）的基础。

熟练掌握逻辑联结词“或”“且”的含义及集合的“并”“交”运算是解不等式的关键。

应充分利用数轴及二次函数图象等工具，体现数形结合思想。

解高次不等式及有理分式不等式，用序轴标根法。

解无理不等式，通过去根号把它同解变形为有理不等式（组）。

解绝对不等式，通过平方法、零点分段讨论法、绝对值的意义等去掉绝对值符号。

对于|x-a|+|x-b|<c 或|x-a|-|x-b|>c 型的不等式，还可借助绝对值表示的几何意义求解。

超越不等式，通过函数单调性的性质求解。

3、含字母问题，应选择正确的分类标准合理地进行讨论。

四、典型例题
【例1】 解不等式：x 2-(a+a 2)x+a 3<0。

解题思路分析：
因x 2-(a 2+a)x+a 3=(x-a)(x-a 2)，不等式解的一般形式为两根a 与a 2之间，下面比较a 与a 2大小。

a-a 2=a(1-a)
当a=0或a=1时，a=a 2，原不等式为x 2<0，或(x-1)2<0，不等式无解
当0<a<1时，a(1-a)>0，a>a 2， 不等式解为a 2<x<a
当a>1或a<0时，a(1-a)<0，a<a 2，不等式解为a<x<a 2
【例2】 解不等式：ax 2+4x+4>0。

解题思路分析：
首先对二次项系数a 讨论，以确定不等式的类型：当a=0时，原不等式为4x+4>0，x>-1。

当a ≠0时，不等式为二次不等式，其解的情况应考虑判别式△=16-16a=16(1-a)及二次项系数a 的符号这两个因素，也就是讨论的标准为a 与1与0的大小比较。

当a>1时，不等式可化为0a
4x a 4x 2>++ △’=0a
)a 1(16a 44)a 4(22<-=⋅-，不等式的解为R 当0<a<1时，不等式可化为0a 4x a 4x 2>++，△’>0，解的形式为两根之外，求得方程0a
4x a 4x 2=++
两根为a a 122x -±-=，a a 122a a 122-+-<---，不等式的解为a a 122x ---<，或a
a 122x -+->。

当a<0时，不等式可化为0a
4x a 4x 2<++，△’>0，解的形式为两根之间，不等式的解为a
a 122x a a 122---<<-+-，注意此时两根大小已改变。

当a=1时，原不等式可化为x 2+4x+4>0，(x+2)2
>0
∴x ≠-2
注：含字母的二次不等式的讨论，涉及到的因素较多，如二次项系数是否为0，判别式△的符号，两根的大小关系。

在判别式△<0时，应注意区别不等式的解是R 或φ。

关于不等式解的一般形式是两根之间还两根之外，应由二次项符号及不等号方向两者同时决定，当二次项为正（负）及不等号方向为大于（小于）时，不等式解的形式为两根之外；否则为两根之间。

通常将二次项系数化为常数。

【例3】 已知不等式组⎪⎩⎪⎨⎧<+++>--0k 5x )5k 2(x 202x x 22的整数解的集合是{-2}，某某数k 的取值X 围。

解题思路分析：
不妨记A={x|2x 2
+(2k+5)x+5k<0}={x|(x+k)(2x+5)<0}，B={x|x<-1，或x>2}。

∵-2∈A
∴(-2+k)(-4+5)<0
∴ k<2……………………………………①
再考虑单元素集{-2}在整数集中的唯一性 显然，若-k<-
25，则A={x|-k<x<-2
5}，-2∉A 故必有-k>-25，A={x|-25<x<-k} 结合数轴分析，数-k 在数轴上对应的点向右可运动到3对应的点为止
即 k 2
5-<-
≤3 ∴ -3≤k ≤2
5………………………………② 由①②得：-3≤K<2 【例4】 解下列不等式
（1）(x+5)(x+2)(x-1)(x-4)≤-80；
（2）x
m 1x 2x x m 1x 2x -++>+-- （m>1）。

解题思路分析：
（1）这是一个高次不等式，第一步可通过换元的途径转化为二次问题
∵(x+5)(x-4)=x 2+x-20
(x+2)(x-1)=x 2+x-2
含未知数的项x 2+x 为公共项
∴ 可令x 2+x=t 则 (t-20)(t-2)≤-80 ∴ t 2-22t+120≤0 ∴ (t-10)(t-12)≤0
∴ (x 2+x-10)(x 2+x-12)≤0
第二步再分解二次因式：
)4x )(3x )(2
411x )(2411x (+----+--≤0 利用序轴标根法可得不等式解为： -4≤x ≤2411--，或2
411+-≤x ≤3 注：也可令x 2+x-2=u ，或x 2+x-11=v ，此时不等式可化为(v-9)(v+9)≤-80，v 2≤1，
-1≤v ≤1，此时更加简捷一些。

（2）移项、通分得：
0)1x )(1x (x 1m m
x 2>+---
由m>1得
01
m m >- ∴
0)1x )(1x (x )1m m x )(1m m x (>+--+-- ∵
01m 111m m >-=-- ∴11
m m >-，11m m >- ∴11
m m -<-- 由序轴标根法：
原不等式的解为：
1x 1m m -<<--，或0<x<1，或1
m m x -> 注：本题第二小题尽管出现了字母，但并未出现分类讨论的情形。

因此，同学们对含参问题不要心存恐惧。

一方面，在解题意识中要有分类讨论的思想准备，但从何处开始讨论，讨论的标准是什么，要看具体题目的要求，所以另一方面要积累分类讨论的基本技能，一般说，当运算到某一步后会出现多种情况，或者欲施加运算的对象条件不够时，均需要讨论。

【例5】 求函数1
x 3x x 2y 2++=
的定义域和值域。

解题思路分析：
求函数定义域，实际上就是解不等式（组），求函数值域，不管是用基本不等式，还是用单调性，也都涉及到不等式的性质。

欲使函数有意义，1x 3x x 22++≥0，)253x )(253x (x +-----≥0
由序轴标根法可得：
x ≥0，或2
53x 253+-<<-- ∴ 函数定义域为)253,253(
+---∪[0，+∞） 再求函数t=1
x 3x x 22++的值域 当x=0时， y=0
当x ≠0时，t=3x
1x 2++ 若x>0，x 1x +
≥2，x 1x ++3≥5，0≤t ≤52 若253x 253+-<<--，-x 1x 3+<≤-2，3x
1x 0++<≤1，t ≥2 ∴ 函数值域为[0，
510]∪[2，+∞） 【例6】 某地区上年度电价为每千瓦时0.8元，年用电量为a 千瓦时，本年度计划将电价降到每千瓦时0.55元至0.75元之间，而用户期望电价为每千瓦0.4元。

经测算，下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比（比例系数为k ），该地区电力成本价为每千瓦0.3元，设k=0.2a ，当电价最低定为多少时仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%？
解题思路分析：
解决实际应用题，首先要理清数量之间关系，如本题：收益 = 实际用电量×(实际电价-成本价)。

其次，将关键文字语言转换成适当的数学模型，如“新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反
比”翻译为数学模型就是“设实际电价为x ，则新增用电量=
4
.0x k -”，“电力部门的收益比去年至少增长20%”翻译为数学模型就是“本年度收益)3.0x )(a 4.0x k (-+-，去年收益(0.8-0.3)a ，)3.0x )(a 4
.0x k (-+-≥(0.8-0.3)a(1+20%)”。

令 k=0.2a ，解不等式：
)3.0x )(a 4
.0x a 2.0(
-+-≥(0.8-0.3)(1-20%)a 即 x 2-1.1x+0.3≥0 得：x ≥0.6，或x ≤0.5
又 0.55≤x ≤0.75
∴x=0.6
五、同步练习
（一）选择题
1、设命题甲：0<x<5，命题乙：|x-2|<3，则
A 、甲是乙的充分非必要条件
B 、甲是乙的必要非充分条件
C 、甲是乙的充要条件
D 、甲既不是乙的充分条件也不是必要条件
2、不等式组⎪⎩
⎪⎨⎧+->+->x 2x 2x 3x 30x 的解集是
A 、{x|0<x<2|
B 、{x|0<x<2.5}
C 、{x|0<x<6}
D 、{x|0<x<3}
3、不等式4
x 3x 22--≥的解集是 A 、（-∞，-2]∪[-3，3]∪（2，+∞）
B 、（-∞，-2]∪[-3，3]∪[2，+∞）
C 、(-∞，-2)∪(-3，3)∪（2，+∞）
D 、[-2，-3)∪(3，2]
4、若a>b ，关于x 的不等式0b
x )a x (5
>--的解集是 A 、{x|x<b ，或x>a} B 、{x|x<a ，或x>b}
C 、{x|b<x<a}
D 、{x|-a<x<b}
5、不等式x 4x ->解集是
A 、{x|2<x ≤4}
B 、{x|2<x<4}
C 、{x|x>2}
D 、{x|0≤x ≤4}
6、已知关于x 的不等式kx x x 32>-的解集为（0，3]，则实数k 的取值X 围是
A 、k<0
B 、k ≥0
C 、0<k<3
D 、-
0k 2
3<< 7、已知log a (a 2+1)<log a 2a<0，则a 的取值X 围是 A 、0<a<1 B 、
21<a<1C 、0<a<2
1 D 、a>0且a ≠1 8、已知{x|ax 2+bx+c>0}=(-3
1,2)，则关于x 的不等式cx 2+bx+a<0的解的区间是 A 、（-2，31） B 、（-3，2
1） C 、(-∞，-3)∪(21,+∞) D 、(-∞，-2)∪(3
1，+∞) 9、与不等式2x 3x 2--≥1同解的不等式是 A 、x-1≥0 B 、x 2-3x+2≥0 C 、lg(x 2
-3x+2)>0 D 、2
x 1x x x 23--++≥0 10、函数f(x)=(a-2)x 2+2(a-2)x-4定义域为R ，值域为（-∞，0]，则实数a 的取值X 围是 A 、（-∞，2] B 、（-∞，-2） C 、{-2} D 、）-2，2）
（二）填空题
11、不等式
x x
1<的解集为____________________。

12、不等式(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)≥120的解是____________________。

13、当不等式2≤x 2
+px+10≤6中恰有一个解时，实数p 的值是________。

14、若3x -<2+sin α（α∈R ）恒成立，不等式的解集是__________。

15、不等式lgx 2<(lgx)2的解集是____________________。

（三）解答题
16、已知集合A={x|0x 212x 3x 2<-++},B={x 2-ax+b ≤0}，且A ∩B={x|2
1<x ≤3}，某某数a 、b 应满足的条件。

17、若关于x 的不等式2x >2mx+3的解集为（4，n ），求m 、n 的值。

18、已知当m ∈(1，2)时，不等式mx 2
+2(m-1)x-2>0成立，某某数x 的取值X 围。

19、已知函数f(x)=x 2x log 1x 121-++ （1）求函数f(x)的定义域；
（2）解不等式f[x(x-21)]>2
1 20、关于实数x 的不等式2)1a (x 2+-≤2
)1a (2-与x 2-3(a+1)x+2(3a+1)≤0（a ∈R ）的解集为A 与B ，求使A ⊆B 的a 的取值X 围。

六、参考答案
（一）选择题
1、A 。

化简|x-2|<3得-1<x<5，若记集合P={x|0<x<5}，Q={x|-1<x<5}，则P ⊂Q ，甲是乙的充分不必要条件。

2、C 。

去绝对值符号。

当x ≥2时，原不等式可化为2x 2
-12<0，-6x 6<<，∴2≤x<6；当0<x<2，原不等式恒成立，∴0<x<2，综上所述，0<x<6。

3、A 。

因式的零点分别为-2，-3，3，2，用序轴标根法。

4、A 。

原不等式等价于(x-a)(x-b)>0，x<b ，或x>a 。

5、A 。

原不等式同解于⎪⎩⎪⎨⎧->≥->x 4x 0x 40x ， 解之得2<x ≤4。

6、A 。

令x=3，则3k<0，k<0。

7、B 。

∵ a 2
+1≥2a ，当且仅当a=1时等号成立，
∴⎩⎨⎧><<1a 21a 0 ∴1a 2
1<<。

8、B 。

由{x|ax 2+bx+c>0}=（-3
1，2）得: ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=⨯--+-<a c 231c b 310a 即⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧-==-<32a c 3
5a b 0a 由a<0，
a
c <0得c>0 设{x|cx 2+bx+a<0}={x|x 1<x 2<x 3}（x 1<x 2）
则 ⎪⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎪⎨⎧⨯-=-===⋅+-=-=-=-=-=+21323a c 1c a x x 213253235a c a b c b x x 2121 ∴x 1=-3，x 2=
21 ∴{x|cx 2+bx+a<0}=(-3，
21) 9、D 。

∵
2x 3x 2--≥1 ∴2
x 1x --≥0 又 x 3-x 2+x-1=x 2(x-1)+x-1=(x-1)(x 2+1) ∴2x 1x x x 23--+-≥0 ⇔2x )1x )(1x (2-+-≥0 ⇔2
x 1x --≥0。

10、C 。

⎪⎩⎪⎨⎧=-----<-0)2a (4)2a (4)4)(2a (402a 2
⎩
⎨⎧-=<2a 2a ∴a=-2
（二）填空题
11、(-1，0)∪(1，+∞) x x 1<⇔0x 1x 2>-⇔0x
)1x )(1x (>+-，用序轴标根法。

12、x ≤-1，或x ≥6 原不等式可化为(x 2-5x+4)(x 2-5x+6)-120≥0，令t 2=x 2-5x+5，
则 (t-1)(t+1)-120≥0
∴t ≥11，或t ≤-11
由 t ≥11得：x 2-5x+5≥11，x ≤-1，或x ≥6
由t ≤-11得：x 2-5x+5≤-11，无解。

13、±4 设f(x)=x 2+px+10，，由图象可知，f(x)=6只有一解，f(x)=6即为x 2+px+4=0，△=p 2-16=0，p=±4。

14、 [3，4） 原不等式 ⇔
3x -<(2+sin α)min ⇔13x <-⇔ 3≤x<4。

15、(0，1)∪(100，+∞) 令t=lgx ，则t 2-2t>0
∴t<0，或t>2
∴0<x<1，或x>100
（三）解答题
16、解：0x 212x 3x 3<-++可化为021x )1x )(2x (>--+ ∴ -2<x<-1，或x>2
1 ∴ A={x|-2<x<-1，或x>
2
1 显然B ≠R ，B ≠φ，设B={x|x 1≤x ≤x 2}（x 1<x 2）
结合数轴可知，⎪⎩
⎪⎨⎧≤≤-=21x 13x 12 将x=3代入x 2-ax+b=0得3a-b=9
又 -3≤x 1x 2≤
23 ∴ -3≤b ≤2
3 ∴ a ，b 满足的关系式为3a-b=9，-3≤b ≤
23 17、解：令y x =
则 x=y 2
∴原问题转化为：关于y 的不等式2my 2-2y+3<0的解为（2，n ） ∴⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧==+>m 23n 2m 1n 20m ∴⎪⎩
⎪⎨⎧==38n 81m
18、解；整理mx 2+2(m-1)x-2>0得：(x 2
+2x)m-2x-2>0
令 f(m)=(2x 2+2x)m-2x-2
则 f(m)>0 ⇔⎩
⎨⎧≥≥0)2(f 0)1(f ∴⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≥-01x x 02x 22 ∴⎪⎩
⎪⎨⎧--≤+-≥-≤≥251x ,251x 2x ,2x 或或
∴ x ≤2
51--，或x ≥2 19、解（1）x 满足⎪⎩⎪⎨⎧>-≠+0x
2x 01x ，⎩⎨⎧<<-≠2x 01x ∴f(x)定义域为（0，2）
（2）易证f(x)在（0，2）上递减
又 f(1)=2
1 ∴ 原不等式可化为f[x(x-
21)]>f(1) ∴ 0<x(x-2
1)<1
∴
0x 4
171<<-，或417121+< 20、解：A=3x|2a ≤x ≤a 2+1}，B={x|(x-2)[x-(3a+1)]≤0} （1）当a<3
1时，3a+1<2，B=[3a+1，2] 由数轴可知⎩
⎨⎧+≥≤+1a 3a 221a 2，a=-1，满足条件 （2）当a>3
1时，3a+1>2，B=[2，3a+1] 则 ⎩
⎨⎧≥+≤+2a 21a 31a 2，1≤a ≤3，满足条件 （3）当a=31时，B={2}，A=[9
10,32]，舍 综上所述，1≤a ≤3，或a=-1
七、附录
例1的解：
∵x 2-(a+a 2)x+a 3=(x-a)(x-a 2)
∴当a>1，或a<0时，不等式的解为a<x<a 2
当0<a<1时，不等式的解为a 2<x<a
当a=0，或a=1时，不等式解为φ
例2的解
当a=0时，4x+4>0，x>-1，为原不等式的解
当0<a<1时，原不等式可化为x 2+
0a 4x a 4>+ 解方程x 2+0a
4x a 4=+得x=a a 121-±- ∴ 不等式的解为a a 122x ---<，或a
a 122x -+-> 当a>1时，原不等式可化为x 2+0a
4x a 4>+ ∵0a
)a 1(162<-=
∆ ∴ 不等式的解为R 当a<0时，原不等式可化为x 2+0a
4x a 4<+ 0a )a 1(162
>-=∆ ∴原不等式的解为a
a 122x a a 122---<<-+- 当a=1时，原不等式可化为(x+2)2>0，x ≠-2，原不等式解为x ∈R ，且x ≠-2
例4的解
（1）[(x+5)(x-4)][(x+2)(x-1)]≤-80
(x 2+x-20)(x 2
+x-2)≤-80
令 t=x 2+x
则 (t-20)(t-2)≤-80 ∴t 2-22t+120≤0
∴(t-10)(t-12)≤0
∴ (x 2+x-10)(x 2+x-12)≤0
∴)4x )(3x )(2411x )(2411x (+-+-----≤0 画序轴：
∴ -4≤x ≤
2411--，或2
411+-≤x ≤3即为原不等式的解 例6的解 设实际电价为x （元），则用电量增至a 4
.0x k +-，去年收益为(0.8-0.3)a ，今年收益为)3.0x )(a 4
.0x k (-+- 当k=0.2a 时，由已知得：
)3.0x )(a 4
.0x a 2.0(
-+-≥≥a %)201)(3.08.0(+- 化简得： x 2
-1.1x+0.3∴0
∴x ≥0.6，或x ≤0.5
又 0.55≤x ≤0.75
∴0.6≤x ≤0.75
∴ 当实际用电价最低为每千瓦时0.6元时，仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%。