第21章一元二次方程 单元测试(含答案)2024-2025学年数学人教版九年级上册

第21章一元二次方程
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.下列方程中，一定为一元二次方程的是( )
A. x+3y=4
B. 5y=5y2
C. 4x−4=0
D. a x2−x=1
2.方程2(x2−1)+1=3x(x−1)中二次项系数，一次项系数和常数项分别是( ).
A. 1，−3，1
B. −1，−3，1
C. 1，3，−1
D. −3，3，−1
3.下列方程中有一个根为−1的方程是( )
A. x2+2x=0
B. x2+2x−3=0
C. x2−5x+4=0
D. x2−3x−4=0
4.方程(x−1)(x−2)=1的根是( )
A. x1=1，x2=2
B. x1=−1，x2=−2
C. x1=0，x2=3
D. 以上都不对
5.把一元二次方程x2+4x−m=0变形成(x+n)2=3，则mn=( )
A. −2
B. −1
C. 1
D. 3
6.方程x2−x+3=0的根的情况是( )
A. 有两个不相等的实数根
B. 有两个相等的实数根
C. 无实数根
D. 只有一个实数根
7.把长为2m的绳子分成两段，使较长一段的长的平方等于较短一段的长与原绳长的积．设较长一段的长为x m，依题意，可列方程为( )
A. x2=2(2−x)
B. x2=2(2+x)
C. (2−x)2=2x
D. x2=2−x
8.关于x的一元二次方程(a−2)x2+x+a2−4=0的一个根是0，则a的值为( )
A. 2
B. −2
C. 2或−2
D. 0
9.如果关于x的方程a x2+x−1=0有两个实数根，则a的取值范围是( )
A. a>−1
4B. a≥−1
4
C. a≥−1
4
且a≠0 D. a>−1
4
且a≠0
10.对于实数a，b，定义运算“⊗”为a⊗b=b2−ab，例如：3⊗2=22−3×2=−2，则关于x的方程(k−3)⊗x=k−1的根的情况，下列说法正确的是( )
A. 有两个不相等的实数根
B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根
D. 无法确定
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。

11.写出一个以0和2为根的一元二次方程：______.
12.当k 满足条件______时，关于 x 的方程(k−3)x 2+2x−7=0是一元二次方程．
13.关于x 的一元二次方程x 2+bx +c =0可变形为(x−m)(x−1)=0，则b +c 的值是__________.
14.如果m 是方程x 2−2x−6=0的一个根，那么代数式2m 2−4m−7的值为__________.
15.阅读下面的诗词然后解题．
大江东去浪淘尽，千古风流数人物．
而立之年督东吴，早逝英年两位数．
十位恰小个位三，个位平方与寿符．
哪位学子算得快，多少年华属周瑜？
请你通过列方程式，算出周瑜去世时的年龄为__________.
16.下面是用配方法解关于x 的一元二次方程3x 2+2x−1=0的具体过程，3x 2+2x−1=0.
解：第一步：x 2+23x−13=0
第二步：x 2+23x =13
第三步：x 2+23x +(13)2=13+(13)2
第四步：(x +13)2=49∴x +13=±23∴x 1=13，x 2=−1
以下四条语句与上面四步对应：“①移项：方程左边为二次项和一次项，右边为常数项；②求解：用直接开方法解一元二次方程；③配方：根据完全平方公式，在方程的两边各加上一次项系数一半的平方；④二次项系数化1，方程两边都除以二次项系数”，则第一步，第二步，第三步，第四步应对应的语句分别是______.
三、解答题：本题共7小题，共56分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.(本小题8分)
选择适当的方法解方程：
(1)2(x−3)=3x(x−3).
(2)2x 2−3x +1=0.
18.(本小题8分)
为解方程(x 2−2)2−5(x 2−2)+4=0，我们可以将x 2−2视为一个整体，然后设x 2−2=y ，则原方程化为y 2−5y +4=0，解此方程得y 1=1，y 2=4，
当y =1时，x 2−2=1，∴x =± 3，
当y=4时，x2−2=4，∴x=±6，
∴原方程的解为x
=−3，x2=3，x3=−6，x4=6.
1
以上方法叫做换元法解方程，达到了降次的目的，体现了转化思想．
用上述方法解下列方程：
(1)(2x+5)2−4(2x+5)+3=0；
(2)x4−8x2+7=0.
19.(本小题8分)
已知关于x的一元二次方程x2+x+m2−2m=0有一个实根为−1，求m的值及方程的另一个实根.
20.(本小题8分)
已知关于x的一元二次方程x2+(2−m)x+1−m=0.
(1)求证：方程总有两个实数根；
(2)若m<0，且此方程的两个实数根的差为3，求m的值.
21.(本小题8分)
已知等腰△ABC的两边长b，c恰好是关于x的一元二次方程x2−(2k+1)x+5(k−34)=0的两个根．若
△ABC的另一边长a=4，试求△ABC的周长．
22.(本小题8分)
小明大学毕业后和同学创业，合伙开了一家网店，暑期销售原创设计的手绘图案T恤衫．已知每件T恤衫的成本价为60元，当销售价为100元时，每天能售出20件；经过一段时间销售发现，当销售价每降低1元时，每天就能多售出2件．
(1)若降价8元，则每天销售T恤衫的利润为多少元？
(2)小明希望每天获得的利润达到1050元并且优惠最大，则每件T恤衫的销售价应该定为多少？
(3)为了保证每件T恤衫的利润率不低于55%，小明每天能否获得1200元的利润？若能，求出定价；若不
×100%)
能，请说明理由．(利润率=利润
成本
23.(本小题8分)
如图，在矩形ABCD中，AB=4cm，BC=9cm，点P从点A出发，沿AB边向终点B以1cm/s的速度移动，同时点Q从点B出发，沿BC边向终点C以2cm/s的速度移动．若其中有一个动点先到达终点，则两个动点同时停止运动，设运动时间为ts.
(1)填空：AP=__________cm，BQ=__________cm；(用含t的代数式表示)
(2)当t(t≠0)为何值时，PQ=4cm？
(3)在动点P，Q运动过程中，是否存在某一时刻使得五边形APQCD的面积为矩形面积的2
若存在，请求
3
出此时t的值；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：A.方程是二元一次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
B.方程是一元二次方程，故本选项符合题意；
C.方程是一元一次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
D.当a=0时，方程是一元一次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
故选：B.
根据一元二次方程的定义逐个判断即可．
本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，只有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．
2.【答案】A
【解析】解：把方程2(x2−1)+1=3x(x−1)转化为一般形式得：x2−3x+1=0，二次项系数，一次项系数和常数项分别是1，−3，1.
故选：A.
一元二次方程的一般形式是：a x2+bx+c=0(a,b,c是常数且a≠0)特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中a x2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
去括号的过程中要注意符号的变化，以及注意不能漏乘，移项时要注意变号．确定二次项系数、一次项系数、常数项时不能漏掉前面的符号，特别是负号．
3.【答案】D
【解析】解：A、当x=−1时，x2+2x=1−2=−1，所以x=−1不是方程x2+2x=0的解；
B、当x=−1时，x2+2x−3=1−2−3=−4，所以x=−1不是方程x2+2x−3=0的解；
C、当x=−1时，x2−5x+4=1+5+4=10，所以x=−1不是方程x2−5x+4=0的解；
D、当x=−1时，x2−3x−4=1+3−4=0，所以x=−1是方程x2−3x−4=0的解．
故选：D.
利用一元二次方程解的定义对各选项分别进行判断．
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
4.【答案】D
【解析】解：方程整理得：x 2−3x +1=0，
这里a =1，b =−3，c =1，
∵Δ=b 2−4ac =9−4=5，
∴x =3±
52，则x 1=3+ 52
，x 2=3− 52.故选：D.
方程整理为一般形式，找出a ，b ，c 的值，计算出根的判别式的值大于0，代入求根公式即可求出解．此题考查了解一元二次方程-公式法，利用此方法解方程时，首先将方程整理为一般形式，找出a ，b 及c 的值，确定出根的判别式的值，当根的判别式的值大于等于0时，代入求根公式即可求出解．
5.【答案】A
【解析】略
6.【答案】C
【解析】解：∵a =1，b =−1，c =3，
∴Δ=b 2−4ac =(−1)2−4×1×3=−11<0，
所以方程没有实数根．
故选：C.
把a =1，b =−1，c =3代入Δ=b 2−4ac 进行计算，然后根据计算结果判断方程根的情况．
本题考查了一元二次方程a x 2+bx +c =0(a ≠0,a,b,c 为常数)的根的判别式Δ=b 2−4ac.当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程没有实数根．
7.【答案】A
【解析】解：∵较长一段的长为xm ，
∴较短一段的长为(2−x)m ，
依题意得：x 2=2(2−x).
故选：A.
由题意设较长一段的长为xm ，可得出较短一段的长为(2−x)m ，根据较长一段的长的平方等于较短一段的长与原绳长的积，列出关于x 的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
8.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查的是一元二次方程的定义，正确理解二次项系数不为0是解题的关键.由一元二次方程的定义，可知a−2≠0，一根是0，代入(a−2)x2+x+a2−4=0可得a2−4=0，进而通过解方程即可求得a的值.【解答】
解：∵(a−2)x2+x+a2−4=0是关于x的一元二次方程，
∴a−2≠0，即a≠2.①
由一个根是0，代入(a−2)x2+x+a2−4=0，
可得a2−4=0，
解之得a=±2.②
由①②得a=−2.
故选B.
9.【答案】C
【解析】解：根据题意得a≠0且△=12−4a⋅(−1)≥0，
解得a≥−1
且a≠0.
4
故选：C.
根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到a≠0且△=12−4a⋅(−1)≥0，然后求出两不等式的公共部分即可．
本题考查了根的判别式：一元二次方程a x2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b2−4ac有如下关系：当△>0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△<0时，方程无实数根．10.【答案】A
【解析】略
11.【答案】x2−2x=0
【解析】解：∵0+2=2，0×2=0，
所以以0和2为根的一元二次方程为x2−2x=0，
故答案为：x2−2x=0.
此题为一道开放型的题目，答案不唯一，只要写出一个即可．
本题考查了根与系数的关系，能熟记根与系数的关系的内容是解此题的关键．
12.【答案】k≠3
【解析】解：根据题意得k−3≠0，
解得k≠3.
故答案为k≠3.
根据一元二次方程的定义得到k−3≠0，然后解不等式即可．
本题考查了一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．
13.【答案】−1
【解析】解：由方程x2+bx+c=0可变形为(x−m)(x−1)=0，可知此方程有一个根是x=1.
将x=1代入原方程就可得出b+c= −1，
故答案为−1.
本题考查解一元二次方程的因式分解法及方程解的概念，同时也体现了整体意识.
14.【答案】5
【解析】【分析】
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
先把m代入方程x2−2x−6=0，得到m2−2m=6，再代入代数式2m2−4m−7，即可求出答案．
【解答】
解：把m代入方程x2−2x−6=0，得到m2−2m−6=0，
所以m2−2m=6，
∴2m2−4m−7
=2(m2−2m)−7
=2×6−7
=5.
15.【答案】36岁
【解析】设周瑜去世时的年龄的个位数字为x，则十位数字为x−3，依题意，得10(x−3)+x=x2，解得x1
=5，x2=6，当x=5时，周瑜去世时的年龄为25岁，未到而立之年(30岁)，不符合题意；当x=6时，周瑜去世时的年龄为36岁，符合题意．
16.【答案】④①③②
【解析】【分析】
本题主要考查解一元二次方程-配方法，解题的关键是掌握配方法解一元二次方程的步骤．
把二次项系数化为1以后，把常数项移到等号右边，两边都加上一次项系数一半的平方，再运用开平方法求解．
【解答】
解：3x 2+2x−1=0，
把二次项系数化1得：x 2+23x−13=0，
移项得：x 2+23x =13，
配方得：x 2+23x +(13)2=13+(13)2，即(x +13)2=49，
开方得：x +13=±23，
解得：x 1=13，x 2=−1，
故第一步，第二步，第三步，第四步应对应的语句分别是④①③②，
故答案为：④①③②．
17.【答案】解：(1)2(x−3)=3x(x−3).
(x−3)(3x−2)=0，
∴x−3=0或3x−2=0，
∴x 1=3或x 2=23
.(2)2x 2−3x +1=0.
(x−1)(2x−1)=0，
∴x−1=0或2x−1=0，
∴x 1=1或x 2=12
. 【解析】(1)方程移项后，左边分解因式后，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．
(2)方程左边分解因式后，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．
本题考查了解一元二次方程-因式分解法：把一元二次方程变形为一般式，再把方程左边进行因式分解，然后把方程转化为两个一元一次方程，解这两个一元一次方程得到原方程的解．
18.【答案】【小题1】
解：将2x +5视为一个整体，设2x +5=y ，则原方程化为y 2−4y +3=0，
解此方程得y 1=1，y 2=3，
当y =1时，2x +5=1，
∴x =−2，
当y=3时，2x+5=3，
∴x=−1，
∴原方程的解为x
=−2，x2=−1；
1
【小题2】
设x2=y，则原方程化为y2−8y+7=0，解此方程得y1=1，y2=7，
当y=1时，x2=1，
∴x=±1，
当y=7时，x2=7，
∴x=±7，
∴原方程的解为x
=−1，x2=1，x3=−7，x4=7.
1
【解析】1.见答案
2.见答案
19.【答案】解：把x=−1代入方程，得1−1+m2−2m=0，解得m1=0，m2=2.设方程的另一个实根为x2，则由一元二次方程根与系数的关系可得−1+x2=−1，∴x
=0.
2
【解析】见答案
20.【答案】(1)证明：∵一元二次方程x2+(2−m)x+1−m=0，
∴Δ=(2−m)2−4(1−m)
=m2−4m+4−4+4m=m2.
∵m2≥0，
∴Δ≥0.
∴该方程总有两个实数根．
(2)解：∵一元二次方程x2+(2−m)x+1−m=0，
解方程，得x1=−1，x2=m−1.
∵m<0，
∴−1>m−1.
∵该方程的两个实数根的差为3，
∴−1−(m−1)=3.
∴m =−3.
【解析】(1)证明一元二次方程的判别式大于等于零即可；
(2)用m 表示出方程的两个根，比较大小后，作差计算即可．
本题考查了一元二次方程根的判别式，方程的解法，熟练掌握判别式，并灵活运用实数的非负性是解题的关键．
21.【答案】解：由题意知，Δ=[−(2k +1)]2−4×5(k−
34)=4k 2−16k +16=4(k−2)2≥0，∵△ABC 是等腰三角形，
∴①当b =c 时，Δ=4(k−2)2=0，
解得k =2，
方程化为x 2−5x +
254=0，解得x 1=x 2=52，
∵52+52
=5>4，∴52，52，4能构成等腰三角形，
此时△ABC 的周长为52+52
+4=9；②当b =a =4或c =a =4时，
把x =4代入方程，得16−4(2k +1)+5(k−
34)=0，
解得k =114，
方程化为x 2−132x +10=0，
解得x 1=52
，x 2=4，∵4+52>4，∴4，4，52
能构成等腰三角形，此时△ABC 的周长为4+4+52
=212.综上所述，△ABC 的周长为9或212.
【解析】见答案
解：(100−60−8)×(20+2×8)=1152(元)，
答：若降价8元，则每天销售T恤衫的利润为1152元；
【小题2】
设每件T恤衫降价x元，则每天可销售(20+2x)件，
依题意，得(100−60−x)(20+2x)=1050，
整理，得x2−30x+125=0，
解得x1=25，x2=5，
∵要优惠最大，
∴x=25，
当x=25时，销售价为100−25=75(元)，
∴当每件T恤衫的销售价为75元时，小明每天获得的销售利润达到1050元并且优惠最大；【小题3】
不能．
理由如下：设每件T恤衫降价x元，
∵为了保证每件T恤衫的利润率不低于55%，
∴100−60−x
×100%≥55%，
60
解得x≤7，
依题意，得(100−60−x)(20+2x)=1200，
整理，得x2−30x+200=0，
解得x1=10，x2=20.
∵为了保证每件T恤衫的利润率不低于55%，降价必须不超过7元，
∴x
=10，x2=20都不符合题意，舍去．
1
答：为了保证每件T恤衫的利润率不低于55%，小明每天不能获得1200元的利润．
【解析】1.见答案
2.见答案
3.见答案
t
2t
【小题2】
∵AB =4cm ，∴PB =(4−t)cm ，(0≤t ≤4)
由勾股定理可得PQ = (2t )2+(4−t )2= 5t 2−8t +16(cm )，当PQ =4cm 时， 5t 2−8t +16=4，解得t =0(舍去)或t =85，∴当t =85
 s 时，PQ =4cm ；【小题3】
不存在，理由如下：
假设五边形APQCD 的面积为矩形面积的23，
则△PBQ 的面积为矩形面积的13，
则S △PBQ =13×4×9=12(c m 2)，
又∵S △PBQ =12PB ⋅BQ =12(4−t )⋅2t =t (4−t )，
∴t(4−t)=12，即t 2−4t +12=0.
此时b 2−4ac =(−4)2−4×12=−32<0，方程无实数根，
即不存在某一时刻可使五边形APQCD 的面积为矩形面积的23.
【解析】1.略
2.见答案
3.见答案。