旋转几何综合章末练习卷(Word版 含解析)

旋转几何综合章末练习卷（Word 版 含解析）
一、初三数学 旋转易错题压轴题（难）
1．已知抛物线y=ax 2+bx-3a-5经过点A(2，5)
（1）求出a 和b 之间的数量关系．
（2）已知抛物线的顶点为D 点，直线AD 与y 轴交于(0，-7)
①求出此时抛物线的解析式；
②点B 为y 轴上任意一点且在直线y=5和直线y=-13之间，连接BD 绕点B 逆时针旋转90°，得到线段BC ，连接AB 、AC ，将AB 绕点B 顺时针旋转90°，得到线段BH ．截取BC 的中点F 和DH 的中点G ．当点D 、点H 、点C 三点共线时，分别求出点F 和点G 的坐标．
【答案】（1）a+2b=10；（2）①y= 2x 2+4x-11，②G 1(
478，91-8+)，
F 1(-8，33-4+)，
G 2(8，-8
)，F 2(218，-4) 【解析】
【分析】
（1）把点A 坐标代入抛物线y=ax 2+bx-3a-5即可得到a 和b 之间的数量关系；
（2）①求出直线AD 的解析式，与抛物线y=ax 2+bx-3a-5联立方程组，根据直线与抛物线有两个交点，结合韦达定理求出a ，b ，即可求出解析式；
②作AI ⊥y 轴于点I ，HJ ⊥y 轴于点J.设B （0，t ），根据旋转性质表示粗H 、D 、C 坐标，应含t 式子表示直线AD 的解析式，根据D 、H 、C 三点共线，把点C 坐标代入求出
131t -4+=，2t -4
=，分两类讨论，分别求出G 、F 坐标。

【详解】
解：（1）把A （2,5）代入y=ax 2+bx-3a-5得4a+2b-3a-5=5
∴a+2b=10
∴a 和b 之间的数量关系是a+2b=10
（2）①设直线AD 的解析式为y=kx+c
∵直线AD 与y 轴交于（0，-7），A （2,5）
∴2k c 5{c -7+==解得k 6{c -7
==即直线AD 的解析式为y=6x-7 联立抛物线y=ax 2+bx-3a-5与直线AD ：y=6x-7 得2y ax +bx-3a-5{y 6x-7
== 消去y 得ax 2+（b-6）x-3a+2=0
∵抛物线与直线AD 有两个交点
∴由韦达定理可得：x A +x D =b-6-a =2a 2a +，x A x D =-3a 2a
+
∵A （2,5）
∴x A =2即x D =
2a -22a +∵x D =b -2a =a-104a ∴2a -22a +=a-104a 解得a=2∴b=10-a 2
= 4 ∴此时抛物线的解析式为y= 2x 2+4x-11
②如图所示：作AI ⊥y 轴于点I ，HJ ⊥y 轴于点J.设B （0，t ）
∵A （2，5），∴AI=2，BJ=5-t
∵AB 绕点B 顺时针旋转90°，得到线段BH
∴AB=BH ，∠ABH=90°，∠AIB=∠BJH=90°
∵∠IAB+∠IBA=90°，∠ABH+∠IBA+∠JBH=180°
∴∠IBA+∠JBH=90°即∠IAB=∠JBH
∴△AJB ≌△BJH 即AI=BJ=2，BI=IH=5-t
∴H （5-t ，t-2）
∵D （-1，-13）∴y B -y D =t+13
同理可得：C （t+13，t-1）
设DH 的解析式为y=k 1x+b 1
∴1111-k b -13{5-t k b t-2+=+=（）解得11t 11k 6-t {t 11b -13-t-6
+=+= 即直线AD 的解析式为t 1111y x-13-66t t t ++=
-- ∵D 、H 、C 三点共线
∴把C （t+13，t-1）代入AD t 1111y x-13-66t t t ++=--得：t 1111t-1t 13-13-66t t t ++=+--（）
整理得2t 2+31t+82=0解得131305t -4+=，231-305t -4= 由图可知：①当131305t -
+=如图1所示： 此时H （51305+，39305-+） ，C （305-21-，35305-+） ∵点G 为DH 中点，点F 为BC 中点
∴G 1（47305+，91305-+） ，F 1（305-21-，33305-+） 由图可知：当231-305t -
=如图2所示： 此时H （51-305，39-305-） ，C （30521+，35-305-） ∵点G 为DH 中点，点F 为BC 中点
∴G 2（47-305，91-305-） ，F 2（30521+，33-305-） （14分） ∴综上所述：G 1（
47305+，91305-+） ，F 1（305-21-，33305-+） G 2（47-3058，91-305-8
） ，F 2（305218+，33-305-4）。

【点睛】
本题为含参数的二次函数问题，综合性强，难度较大，解题关键在于根据旋转性质，用含参数式子分别表示点的坐标，函数关系式，结合韦达定理，分类讨论求解。

2．阅读材料并解答下列问题：如图1，把平面内一条数轴x 绕原点O 逆时针旋转角00)90(θ︒︒<<得到另一条数轴,y x 轴和y 轴构成一个平面斜坐标系.xOy
规定：过点P 作y 轴的平行线，交x 轴于点A ，过点P 作x 轴的平行线，交y 轴于点B ，若点A 在x 轴对应的实数为a ，点B 在y 轴对应的实数为b ，则称有序实数对(),a b 为点P 在平面斜坐标系xOy 中的斜坐标．如图2，在平面斜坐标系xOy 中，已知60θ︒=，点P 的斜坐标是()3,6，点C 的斜坐标是()0,6.
（1）连接OP ，求线段OP 的长；
（2）将线段OP 绕点O 顺时针旋转60︒到OQ （点Q 与点P 对应），求点Q 的斜坐标； （3）若点D 是直线OP 上一动点，在斜坐标系xOy 确定的平面内以点D 为圆心，DC 长为半径作D ，当⊙D 与x 轴相切时，求点D 的斜坐标，
【答案】（1）37OP =；（2）点Q 的斜坐标为（9，3-）；（3）点D 的斜坐标为：（
32
，3）或（6，12）． 【解析】 【分析】 （1）过点P 作PC ⊥OA ，垂足为C ，由平行线的性质，得∠PAC=60θ
=︒，由AP=6，则
AC=3，33PC =，再利用勾股定理，即可求出OP 的长度；
（2）根据题意，过点Q 作QE ∥OC ，QF ∥OB ，连接BQ ，由旋转的性质，得到OP=OQ ，∠COP=∠BOQ ，则△COP ≌△BOQ ，则BQ=CP=3，∠OCP=∠OBQ=120°，然后得到△BEQ 是等边三角形，则BE=EQ=BQ=3，则OE=9，OF=3，即可得到点Q 的斜坐标；
（3）根据题意，可分为两种情况进行分析：①当OP 和CM 恰好是平行四边形OMPC 的对角线时，此时点D 是对角线的交点，求出点D 的坐标即可；②取OJ=JN=CJ ，构造直角三角形OCN ，作∠CJN 的角平分线，与直线OP 相交与点D ，然后由所学的性质，求出点D 的坐标即可．
【详解】
解：（1）如图，过点P 作PC ⊥OA ，垂足为C ，连接OP ，
∵AP ∥OB ，
∴∠PAC=60θ=︒，
∵PC ⊥OA ，
∴∠PCA=90°，
∵点P 的斜坐标是()3,6，
∴OA=3，AP=6，
∴1cos602
AC AP ︒==， ∴3AC =，
OC=+=，
∴22
PC=-=，336
6333
在Rt△OCP中，由勾股定理，得
22
OP=+=；
6(33)37
（2）根据题意，过点Q作QE∥OC，QF∥OB，连接BQ，如图：
由旋转的性质，得OP=OQ，∠POQ=60°，
∵∠COP+∠POA=∠POA+∠BOQ=60°，
∴∠COP=∠BOQ，
∵OB=OC=6，
∴△COP≌△BOQ（SAS）；
∴CP=BQ=3，∠OCP=∠OBQ=120°，
∴∠EBQ=60°，
∵EQ∥OC，
∴∠BEQ=60°，
∴△BEQ是等边三角形，
∴BE=EQ=BQ=3，
∴OE=6+3=9，OF=EQ=3，
∵点Q在第四象限，
∴点Q的斜坐标为（9，3-）；
（3）①取OM=PC=3，则四边形OMPC是平行四边形，连接OP、CM，交点为D，如图：
由平行四边形的性质，得CD=DM，OD=PD，∴点D为OP的中点，
∵点P的坐标为（3，6），
∴点D的坐标为（3
2
，3）；
②取OJ=JN=CJ，则△OCN是直角三角形，
∵∠COJ=60°，
∴△OCJ是等边三角形，
∴∠CJN=120°，
作∠CJN的角平分线，与直线OP相交于点D，作DN⊥x轴，连接CD，如图：
∵CJ=JN，∠CJD=∠NJD，JP=JP，
∴△CJD≌△NJD（SAS），
∴∠JCD=∠JND=90°，
则由角平分线的性质定理，得CD=ND；
过点D作DI∥x轴，连接DJ，
∵∠DJN=∠COJ=60°，
∴OI∥JD，
∴四边形OJDI是平行四边形，
∴ID=OJ=JN=OC=6，
在Rt△JDN中，∠JDN=30°，∴JD=2JN=12；
∴点D的斜坐标为（6，12）；
综合上述，点D的斜坐标为：（3
2
，3）或（6，12）．
【点睛】
本题考查了坐标与图形的性质，解直角三角形，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意，正确寻找圆心D的位置来解决问题，属于中考创新题型．注意运用分类讨论的思想进行解题．
3．已知：如图①，在矩形ABCD中，AB＝5，
20
3
AD=，AE⊥BD，垂足是E．点F是点E
关于AB的对称点，连接AF、BF．
（1）求AE和BE的长；
（2）若将△ABF沿着射线BD方向平移，设平移的距离为m（平移距离指点B沿BD方向所经过的线段长度）．当点F分别平移到线段AB、AD上时，求出相应的m的值；（3）如图②，将△ABF绕点B顺时针旋转一个角α（0°＜α＜180°），记旋转中的ABF为A BF
''，在旋转过程中，设A F''所在的直线与直线AD交于点P，与直线BD 交于点Q，若△DPQ为等腰三角形，请直接写出此时DQ的长．
【答案】（1）4；3（2）3或16
3
（3）
2512525
31010
3243
-
、、
10
3
【解析】
【分析】
（1）由矩形的性质，利用勾股定理求解BD的长，由等面积法求解AE，由勾股定理求解BE即可，
（2）利用对称与平移的性质得到：AB∥A′B′，∠4＝∠1，BF＝B′F′＝3．当点F′落在AB上时，证明BB′＝B′F′即可得到答案，当点F′落在AD上时，证明△B′F′D为等腰三角形，从而可得答案，
（3）分4种情况讨论：①如答图3﹣1所示，点Q落在BD延长线上，证明A′Q＝A′B，利用勾股定理求解',,
F Q BQ从而求解DQ，②如答图3﹣2所示，点Q落在BD上，证明点A′落在BC边上，利用勾股定理求解,
BQ从而可得答案，③如答图3﹣3所示，点Q落在BD上，证明∠A′QB＝∠A′BQ，利用勾股定理求解,
BQ，从而可得答案，④如答图3﹣4所示，点Q落在BD上，证明BQ＝BA′，从而可得答案．
【详解】
解：（1）在Rt △ABD 中，
AB ＝5，203AD =
， 由勾股定理得：222025533BD ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭
． 11,22
ABD S BD AE AB AD =⋅=⋅． 25
3
2053 4.AB AD AE BD ⨯⋅∴=== 在Rt △ABE 中，AB ＝5，AE ＝4，
由勾股定理得：BE ＝3．
（2）设平移中的三角形为△A′B′F′，如答图2所示：
由对称的性质可知，∠1＝∠2．
由平移性质可知，AB ∥A′B′，∠4＝∠1，BF ＝B′F′＝3．
①当点F′落在AB 上时，
∵AB ∥A′B′，
∴∠3＝∠4，
∴∠3＝∠2，
∴BB′＝B′F′＝3，即m ＝3；
②当点F′落在AD 上时，
∵AB ∥A′B′，∴∠6＝∠2，
∵∠1＝∠2，∠5＝∠1，∴∠5＝∠6，
,AB AD ⊥
∴ A′B′⊥AD ，
'''',B F D B DF ∴∠=∠
∴△B′F′D 为等腰三角形，
∴B′D ＝B′F′＝3，
2516333
BB BD B D ''∴=-=-=，即163m =．
（3）DQ 的长度分别为2512525310103243
-
-、、或103． 在旋转过程中，等腰△DPQ 依次有以下4种情形：
①如答图3﹣1所示，点Q 落在BD 延长线上，且PD ＝DQ ，
∴ ∠2＝2∠Q ，
∵∠1＝∠3+∠Q ，∠1＝∠2，
∴∠3＝∠Q ，
∴A′Q ＝A′B ＝5， ∴F′Q ＝F′A′+A′Q ＝4+5＝9．
在Rt △BF′Q 中，由勾股定理得：222293310BQ F Q F B ''=+=+=． 253103
DQ BQ BD ∴=-=-； ②如答图3﹣2所示，点Q 落在BD 上，且PQ ＝DQ ，∴∠2＝∠P ，
∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠P ，∴BA′∥PD ，
∵PD ∥BC ，∴此时点A′落在BC 边上．
∵∠3＝∠2，∴∠3＝∠1，
∴BQ ＝A′Q ，∴F′Q ＝F′A′﹣A′Q ＝4﹣BQ ．
在Rt △BQF′中，由勾股定理得：'2'22,BF F Q BQ +=
即：2223(4),BQ BQ +-= 解得：258
BQ =， 25251253824
DQ BD BQ ∴=-=-=； ③如答图3﹣3所示，点Q 落在BD 上，且PD ＝DQ ，
∴ ∠3＝∠4．
∵∠2+∠3+∠4＝180°，∠3＝∠4，149022
∴∠︒
∠＝﹣． ∵∠1＝∠2，1
49012
∴∠=︒-
∠． 1
49012
A Q
B ∴∠'∠︒∠＝＝﹣，
1
18019012
A BQ A Q
B ∴∠'︒∠'∠︒∠＝﹣﹣＝﹣，
∴∠A′QB ＝∠A′BQ ，∴A′Q ＝A′B ＝5， ∴F′Q ＝A′Q ﹣A′F′＝5﹣4＝1．
在Rt △BF′Q 中，由勾股定理得：223110BQ =+=，
25
103
DQ BD BQ ∴=-=
-； ④如答图3﹣4所示，点Q 落在BD 上，且PQ ＝PD ，
∴ ∠2＝∠3．
∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠2＝∠3， ∴∠1＝∠4， ∴BQ ＝BA′＝5，
2510533
DQ BD BQ ∴=-=
-=． 综上所述，DQ 的长度分别为2512525310103243
-
-、、或10
3．
【点睛】
本题是几何变换压轴题，涉及旋转与平移变换、矩形、勾股定理、等腰三角形等知识
点．第（3）问难度很大，解题关键是画出各种旋转图形，依题意进行分类讨论；在计算过程中，注意识别旋转过程中的不变量，注意利用等腰三角形的性质简化计算．
4．如图，在矩形ABCD中，6
AB cm
=，8
AD cm
=，连接BD，将ABD
△绕B点作顺时针方向旋转得到A B D
'''
△（B′与B重合），且点D'刚好落在BC的延长上，A D''与CD相交于点E．
（1）求矩形ABCD与A B D
'''
△重叠部分（如图1中阴影部分A B CE
''）的面积；（2）将A B D
'''
△以每秒2cm的速度沿直线BC向右平移，如图2，当B′移动到C点时停止移动．设矩形ABCD与A B D
'''
△重叠部分的面积为y，移动的时间为x，请你直接写出y关于x的函数关系式，并指出自变量x的取值范围；
（3）在（2）的平移过程中，是否存在这样的时间x，使得AA B''
△成为等腰三角形？若存在，请你直接写出对应的x的值，若不存在，请你说明理由．
【答案】（1）2
45
2
cm；（2）
2
2
3316
24(0)
225
88020016
(4)
3335
x x x
y
x x x
⎧
--+≤<
⎪⎪
=⎨
⎪-+≤≤
⎪⎩
；（3）存在，使得AA B''
△成为等腰三角形的x的值有：0秒、
3
2
669
-
．
【解析】
【分析】
（1）先用勾股定理求出BD的长，再根据旋转的性质得出10
B D BD cm
''==，
2
CD B D BC cm
'=''-=，利用B D A
∠'''的正切值求出CE的值，利用三角形的面积差即可求阴影部分的面积；
（2）分类讨论，当
16
5
x
≤<时和当
16
4
5
x
≤≤时，分别列出函数表达式；
（3）分类讨论，当AB A B
'=''时；当AA A B
'=''时；当AB AA
'='时，根据勾股定理列方程即可．
【详解】
解：（1）6
AB cm
=，8
AD cm
=，
10
BD cm
∴=，
根据旋转的性质可知10
B D BD cm
''==，2
CD B D BC cm
'=''-=，
tan
A B CE
B D A
A D CD
''
'''
∠==
'''
，
682CE ∴=， 3
2
CE cm ∴=，
()286345
22222
A B CE A B D CED S S S cm ''''''⨯∴==
-⨯÷=-； （2）①当1605x ≤<
时，22CD x '=+，3
2
CE x =， 233
+22
CD E S x x '∴=
△， 221333
68242222
y x x x ∴=⨯⨯-=--+；
②当
1645x ≤≤时，102BC x =-，()4
1023
CE x =- ()2
21488020010223333
y x x x ∴=⨯-=-+．
（3）①如图1，当AB A B '=''时，0x =秒；
②如图2，当AA A B '=''时，1825A N BM BB B M x '=='+'=+
，24
5
A M N
B '==， 2236AN A N +'=，
22
2418623655x ⎛
⎫⎛⎫∴-++= ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭，
解得：x =
秒，（x =舍去）； ③如图2，当AB AA '='时，1825A N BM BB B M x '=='+'=+
，24
5
A M N
B '==， 2222AB BB AN A N +'=+'
22
2
24183646255x x ⎛
⎫⎛⎫∴+=-++ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
解得：3
2
x =
秒．
综上所述：使得AA B ''△成为等腰三角形的x 的值有：0秒、
32秒、95
．
【点睛】
本题主要考查了图形的平移变换和旋转变换，能够数形结合，运用分类讨论的思想方法全面的分析问题，思考问题是解决问题的关键．
5．在△AOB中，C，D分别是OA，OB边上的点，将△OCD绕点O顺时针旋转到△OC′D′．（1）如图1，若∠AOB=90°，OA=OB，C，D分别为OA，OB的中点，证明：①AC′=BD′；
②AC′⊥BD′；
（2）如图2，若△AOB为任意三角形且∠AOB=θ，CD∥AB，AC′与BD′交于点E，猜想
∠AEB=θ是否成立？请说明理由．
【答案】（1）证明见解析；
（2）成立，理由见解析
【解析】
试题分析：（1）①由旋转的性质得出OC=OC′，OD=OD′，∠AOC′=∠BOD′，证出
OC′=OD′，由SAS证明△AOC′≌△BOD′，得出对应边相等即可；
②由全等三角形的性质得出∠OAC′=∠OBD′，又由对顶角相等和三角形内角和定理得出
∠BEA=90°，即可得出结论；
（2）由旋转的性质得出OC=OC′，OD=OD′，∠AOC′=∠BOD′，由平行线得出比例式，得出，证明△AOC′∽△BOD′，得出∠OAC′=∠OBD′再由对顶角相
等和三角形内角和定理即可得出∠AEB=θ．
试题解析：（1）证明：①∵△OCD旋转到△OC′D′，
∴OC=OC′，OD=OD′，∠AOC′=∠BOD′，
∵OA=OB，C、D为OA、OB的中点，
∴OC=OD，
∴OC′=OD′，
在△AOC′和△BOD′中，，
∴△AOC′≌△BOD′（SAS），
∴AC′=BD′；
②延长AC′交BD′于E，交BO于F，如图1所示：
∵△AOC′≌△BOD′，
∴∠OAC′=∠OBD′，
又∠AFO=∠BFE，∠OAC′+∠AFO=90°，
∴∠OBD′+∠BFE=90°，
∴∠BEA=90°，
∴AC′⊥BD′；
（2）解：∠AEB=θ成立，理由如下：如图2所示：
∵△OCD旋转到△OC′D′，
∴OC=OC′，OD=OD′，∠AOC′=∠BOD′，
∵CD∥AB，
∴，
∴，
∴，
又∠AOC′=∠BOD′，
∴△AOC′∽△BOD′，
∴∠OAC′=∠OBD′，
又∠AFO=∠BFE，
∴∠AEB=∠AOB=θ．
考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；旋转的性质．
6．如图1，矩形ABCD中，E是AD的中点，以点E直角顶点的直角三角形EFG的两边EF，EG分别过点B，C，∠F＝30°.
（1）求证：BE＝CE
（2）将△EFG绕点E按顺时针方向旋转，当旋转到EF与AD重合时停止转动.若EF，EG分
别与AB，BC相交于点M，N.（如图2）
①求证：△BEM≌△CEN；
②若AB＝2，求△BMN面积的最大值；
③当旋转停止时，点B恰好在FG上（如图3），求sin∠EBG的值.
【答案】（1）详见解析；（2）①详见解析；②2；③62
.
【解析】
【分析】
（1）只要证明△BAE≌△CDE即可；
（2）①利用（1）可知△EBC是等腰直角三角形，根据ASA即可证明；
②构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题；
③如图3中，作EH⊥BG于H．设NG=m，则BG=2m，BN=EN=3m，EB=6m．利用面积法求出EH，根据三角函数的定义即可解决问题.
【详解】
（1）证明：如图1中，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=DC，∠A=∠D=90°，
∵E是AD中点，
∴AE=DE，
∴△BAE≌△CDE，
∴BE=CE．
（2）
①解：如图2中，
由（1）可知，△EBC是等腰直角三角形，∴∠EBC=∠ECB=45°，
∵∠ABC=∠BCD=90°，
∴∠EBM=∠ECN=45°，
∵∠MEN=∠BEC=90°，
∴∠BEM=∠CEN，
∵EB=EC，
∴△BEM≌△CEN；
②∵△BEM≌△CEN，
∴BM=CN，设BM=CN=x，则BN=4-x，
∴S△BMN=1
2
•x（4-x）=-
1
2
（x-2）2+2，
∵-1
2
＜0，
∴x=2时，△BMN的面积最大，最大值为2．
③解：如图3中，作EH⊥BG于H．设NG=m，则BG=2m，BN=EN=3m，EB=6m．∴3（3m，
∵S△BEG=1
2
•EG•BN=
1
2
•BG•EH，
∴EH=3?(13)
m m
+3+3
m，
在Rt△EBH中，sin∠EBH=
3+3
62
2
6
EH
EB m
+
==
．
【点睛】
本题考查四边形综合题、矩形的性质、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定
和性质、旋转变换、锐角三角函数等知识，解题的关键是准确寻找全等三角形解决问题，学会添加常用辅助线，学会利用参数解决问题，
7．请认真阅读下面的数学小探究系列，完成所提出的问题：
()1探究1：如图1，在等腰直角三角形ABC 中，90ACB ∠=，BC a =，将边AB 绕点B
顺时针旋转90得到线段BD ，连接.CD 求证：BCD 的面积为2
1.(2
a 提示：过点D 作BC 边上的高DE ，可证ABC ≌)BDE
()2探究2：如图2，在一般的Rt ABC 中，90ACB ∠=，BC a =，将边AB 绕点B 顺
时针旋转90得到线段BD ，连接.CD 请用含a 的式子表示BCD 的面积，并说明理由．
()3探究3：如图3，在等腰三角形ABC 中，AB AC =，BC a =，将边AB 绕点B 顺时针
旋转90得到线段BD ，连接.CD 试探究用含a 的式子表示BCD 的面积，要有探究过程．
【答案】（1）详见解析；（2）BCD 的面积为
2
12
a ，理由详见解析；（3）BCD 的面积为
2
14a ． 【解析】 【分析】
()1如图1，过点D 作BC 的垂线，与BC 的延长线交于点E ，由垂直的性质就可以得出
ABC ≌BDE ，就有DE BC a.==进而由三角形的面积公式得出结论；
()2如图2，过点D 作BC 的垂线，与BC 的延长线交于点E ，由垂直的性质就可以得出
ABC ≌BDE ，就有DE BC a.==进而由三角形的面积公式得出结论；
()3如图3，过点A 作AF BC ⊥与F ，过点D 作DE BC ⊥的延长线于点E ，由等腰三角形
的性质可以得出1
BF BC 2
=
，由条件可以得出AFB ≌BED 就可以得出BF DE =，由三角形的面积公式就可以得出结论． 【详解】
()1如图1，过点D 作DE CB ⊥交CB 的延长线于E ，
BED ACB90
∠∠
∴==，
由旋转知，AB AD
=，ABD90
∠=，
ABC DBE90
∠∠
∴+=，
A ABC90
∠∠
+=，
A DBE
∠∠
∴=，
在ABC和BDE中，
ACB BED
A DBE
AB BD
∠=∠
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
，
ABC
∴≌()
BDE AAS
BC DE a
∴==，
BCD
1
S BC DE
2
=⋅，
2
BCD
1
S a
2
∴=；
()2BCD的面积为2
1
a
2
，
理由：如图2，过点D作BC的垂线，与BC的延长线交于点E，BED ACB90
∠∠
∴==，
线段AB绕点B顺时针旋转90得到线段BE，
AB BD
∴=，ABD90
∠=，
ABC DBE90
∠∠
∴+=，
A ABC90
∠∠
+=，
A DBE
∠∠
∴=，
在ABC和BDE中，
ACB
BED A DBE AB BD ∠=∠⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
， ABC ∴≌()BDE AAS ， BC DE a ∴==，
BCD 1
S BC DE 2=⋅，
2BCD 1
S a 2
∴=；
()3如图3，过点A 作AF BC ⊥与F ，过点D 作DE BC ⊥的延长线于点E ，
AFB E 90∠∠∴==，11BF BC a 22
==， FAB ABF 90∠∠∴+=，
ABD 90∠=，
ABF DBE 90∠∠∴+=，
FAB EBD ∠∠∴=，
线段BD 是由线段AB 旋转得到的，
AB BD ∴=，
在AFB 和BED 中， AFB E FAB EBD AB BD ∠=∠⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
， AFB ∴≌()BED AAS ， 1BF DE a 2
∴==
， 2BCD
1111S
BC DE a a a 2224
=
⋅=⋅⋅=， BCD ∴的面积为21
a 4
．
【点睛】 本题考查了旋转的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的面积等，综合性较强，有一定的难度，正确添加辅助线、熟练掌握和灵活运
用相关的性质与定理是解题的关键.
8．（1）发现
如图，点A 为线段BC 外一动点，且BC a =，AB b =.
填空：当点A 位于____________时，线段AC 的长取得最大值，且最大值为_________.（用含a ，b 的式子表示）
（2）应用
点A 为线段BC 外一动点，且3BC =，1AB =.如图所示，分别以AB ，AC 为边，作等边三角形ABD 和等边三角形ACE ，连接CD ，BE .
①找出图中与BE 相等的线段，并说明理由；
②直接写出线段BE 长的最大值.
（3）拓展
如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为()2,0，点B 的坐标为()5,0，点P 为线段AB 外一动点，且2PA =，PM PB =，90BPM ∠=︒，求线段AM 长的最大值及此时点P 的坐标.
【答案】（1）CB 的延长线上，a+b ；（2）①DC=BE,理由见解析；②BE 的最大值是4;（3）AM 的最大值是2，点P 的坐标为（22）
【解析】
【分析】
（1）根据点A 位于CB 的延长线上时，线段AC 的长取得最大值，即可得到结论； （2）①根据等边三角形的性质得到AD=AB ，AC=AE ，∠BAD=∠CAE=60°，推出
△CAD ≌△EAB ，根据全等三角形的性质得到CD=BE ；②由于线段BE 长的最大值=线段CD 的最大值，根据（1）中的结论即可得到结果；
（3）连接BM ，将△APM 绕着点P 顺时针旋转90°得到△PBN ，连接AN ，得到△APN 是等腰
直角三角形，根据全等三角形的性质得到PN=PA=2，BN=AM，根据当N在线段BA的延长线时，线段BN取得最大值，即可得到最大值为22+3；如图2，过P作PE⊥x轴于E，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论．
【详解】
解：（1）∵点A为线段BC外一动点，且BC=a，AB=b，
∴当点A位于CB的延长线上时，线段AC的长取得最大值，且最大值为BC+AB=a+b，
故答案为CB的延长线上，a+b；
（2）①CD=BE，
理由：∵△ABD与△ACE是等边三角形，
∴AD=AB，AC=AE，∠BAD=∠CAE=60°，
∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC，
即∠CAD=∠EAB，
在△CAD与△EAB中，
AD AB
CAD EAB
AC AE
⎧
⎪
∠∠
⎨
⎪
⎩
＝
＝
＝
，
∴△CAD≌△EAB，
∴CD=BE；
②∵线段BE长的最大值=线段CD的最大值，
由（1）知，当线段CD的长取得最大值时，点D在CB的延长线上，
∴最大值为BD+BC=AB+BC=4；
（3）∵将△APM绕着点P顺时针旋转90°得到△PBN，连接AN，
则△APN是等腰直角三角形，
∴PN=PA=2，BN=AM，
∵A的坐标为（2，0），点B的坐标为（5，0），
∴OA=2，OB=5，
∴AB=3，
∴线段AM长的最大值=线段BN长的最大值，
∴当N在线段BA的延长线时，线段BN取得最大值，
最大值=AB+AN，
∵22，
∴最大值为22+3；
如图2，过P作PE⊥x轴于E，
∵△APN是等腰直角三角形，
∴PE=AE=2，
∴OE=BO-AB-AE=5-3-2=2-2，
∴P（2-2，2）．
【点睛】
考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，最大值问题，旋转的性质．正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
9．已知△ABC是边长为4的等边三角形，边AB在射线OM上，且OA＝6，点D是射线OM上的动点，当点D不与点A重合时，将△ACD绕点C逆时针方向旋转60°得到△BCE，连接DE．
（1）如图1，求证：△CDE是等边三角形．
（2）设OD＝t，
①当6＜t＜10时，△BDE的周长是否存在最小值？若存在，求出△BDE周长的最小值；若不存在，请说明理由．
②求t为何值时，△DEB是直角三角形（直接写出结果即可）．
【答案】(1)见解析;(2)①见解析;②t＝2或14.
【解析】
【分析】
（1）由旋转的性质得到∠DCE=60°，DC=EC，即可得到结论；
（2）①当6＜t＜10时，由旋转的性质得到BE=AD，于是得到
C△DBE=BE+DB+DE=AB+DE=4+DE，根据等边三角形的性质得到DE=CD，由垂线段最短得到当CD⊥AB时，△BDE的周长最小，于是得到结论；
②存在，当点D与点B重合时，D，B，E不能构成三角形；当0≤t＜6时，由旋转的性质得到∠ABE=60°，∠BDE＜60°，求得∠BED=90°，根据等边三角形的性质得到∠DEB=60°，求得
∠CEB=30°，求得OD=OA-DA=6-4=2=t；当6＜t＜10时，此时不存在；当t＞10时，由旋转的性质得到∠DBE=60°，求得∠BDE＞60°，于是得到t=14．
【详解】
（1）∵将△ACD绕点C逆时针方向旋转60°得到△BCE，
∴∠DCE＝60°，DC＝EC，
∴△CDE是等边三角形；
（2）①存在，当6＜t＜10时，
由旋转的性质得，BE＝AD，
∴C△DBE＝BE+DB+DE＝AB+DE＝4+DE，
由（1）知，△CDE是等边三角形，
∴DE＝CD，
∴C△DBE＝CD+4，
由垂线段最短可知，当CD⊥AB时，△BDE的周长最小，
此时，CD＝，
∴△BDE的最小周长＝CD+4＝；
②存在，∵当点D与点B重合时，D，B，E不能构成三角形，
∴当点D与点B重合时，不符合题意；
当0≤t＜6时，由旋转可知，∠ABE＝60°，∠BDE＜60°，
∴∠BED＝90°，
由（1）可知，△CDE是等边三角形，
∴∠DEB＝60°，
∴∠CEB＝30°，
∵∠CEB＝∠CDA，
∴∠CDA＝30°，
∵∠CAB＝60°，
∴∠ACD＝∠ADC＝30°，
∴DA＝CA＝4，
∴OD＝OA﹣DA＝6﹣4＝2，
∴t＝2；
当6＜t＜10时，由∠DBE＝120°＞90°，
∴此时不存在；
当t＞10时，由旋转的性质可知，∠DBE＝60°，
又由（1）知∠CDE＝60°，
∴∠BDE＝∠CDE+∠BDC＝60°+∠BDC，
而∠BDC＞0°，
∴∠BDE＞60°，
∴只能∠BDE＝90°，
从而∠BCD＝30°，
∴BD＝BC＝4，
∴OD ＝14，
∴t ＝14，
综上所述：当t ＝2或14时，以D 、E 、B 为顶点的三角形是直角三角形．
【点睛】
本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，三角形周长的计算，直角三角形的判定，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
10．已知ABC ∆是边长为4的等边三角形，点D 是射线BC 上的动点，将AD 绕点A 逆时针方向旋转60得到AE ，连接DE ．
(1).如图，猜想ADE ∆是_______三角形；（直接写出结果）
(2).如图，猜想线段CA 、CE 、CD 之间的数量关系，并证明你的结论；
(3).①当BD=___________时，30DEC ∠=；（直接写出结果）
②点D 在运动过程中，DEC ∆的周长是否存在最小值？若存在．请直接写出DEC ∆周长的最小值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）等边三角形；（2）AC CD CE +=，证明见解析；（3）①BD 为2或8时，30DEC ∠=；②最小值为423+
【解析】
【分析】
（1）根据旋转的性质得到,60AD AE DAE =∠=，根据等边三角形的判定定理解答； （2）证明ABD ACE ∆≅∆，根据全等三角形的性质得到BD CE =，结合图形计算即可； （3）①分点D 在线段BC 上和点D 在线段BC 的延长线上两种情况，根据直角三角形的性质解答；②根据ABD ACE ∆≅∆得到CE BD =，根据垂线段最短解答．
【详解】
解：（1）由旋转变换的性质可知，,60AD AE DAE =∠=，
ADE ∴∆是等边三角形，
故答案为等边三角形；
（2）AC CD CE +=，
证明：由旋转的性质可知，60,DAE AD AE ∠==，
ABC ∆是等边三角形
60AB AC BC BAC ∴∠︒＝＝，＝，
60BAC DAE ∴∠∠︒＝＝，
BAC DAC DAE DAC ∴∠+∠∠+∠＝，即BAD CAE ∠∠＝，
在ABD ∆和ACE ∆中，
AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
, ABD ACE SAS ∴∆∆≌（）
BD CE ∴=，
CE BD CB CD CA CD ∴++＝＝＝；
（3）①BD 为2或8时，30DEC ∠=，
当点D 在线段BC 上时，3060DEC AED ∠︒∠︒＝，＝，
90AEC ∴∠︒＝，
ABD ACE ∆∆≌，
9060ADB AEC B ∴∠∠︒∠︒＝＝，又＝，
30BAD ∴∠︒＝，
122
BD AB ∴＝＝， 当点D 在线段BC 的延长线上时，3060DEC AED ∠︒∠︒＝，＝，
30AEC ∴∠︒＝，
ABD ACE ∆∆≌，
3060ADB AEC B ∴∠∠︒∠︒＝＝，又＝，
90BAD ∴∠︒＝，
28BD AB ∴＝＝，
BD ∴为2或8时，30DEC ∠︒＝；
②点D 在运动过程中，DEC ∆
的周长存在最小值，最小值为4+
理由如下：
ABD ACE ∆∆≌，
CE BD ∴＝，
则DEC ∆的周长DE CE DC BD CD DE BC DE +++++＝＝＝，
当CE 最小时，DEC ∆的周长最小，
ADE ∆为等边三角形，
DE AD ∴=， AD
的最小值为
DEC ∴∆
的周长的最小值为4+
【点睛】
本题考查的是旋转变换的性质、全等三角形的判定和性质、直角三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．。