高二数学空间几何体试题

高二数学空间几何体试题
1.设底面为正三角形的直棱柱体积为V,那么表面积最小时,底面边长为 ( )
A．B．C．D．2
【答案】C
【解析】设底面边长为x，则表面积S＝x2＋V(x>0)，
S′＝ (x3－4V)，令S′＝0，得唯一极值点x＝.
2.某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是，则正视图中的的值是（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】该几何体是四棱锥，，．
【考点】三视图，棱锥的体积．
3.在体积为的球的表面上有A、B、C三点，，A、C两点的球面距离为，则球心到平面ABC的距离为。

【答案】
【解析】略
4.如图, 正方体或四面体，分别是所在棱的中点,则这四个点不共面的一个图是（）
【答案】D
【解析】选项A中, 选项B中,选项C中,故正确答案为D.
【考点】共面的判定.
5.在三棱柱中，平面，其垂足落在直线上.
（1）求证：；
（2）若为的中点，求三棱锥的体积.
【答案】(1)见解析(2)
【解析】（1）首先根据直三棱柱可得，再由条件平面易得，从而根据线面垂直的判定可证平面，即有；（2）根据条件中给出
的数据可得，因此可得，再由为的中点，因此可将转化为求，从而可得．
试题解析：（1）∵三棱柱为直三棱柱，∴平面，
又∵平面，∴，∵平面，且平面，∴，
又∵平面，平面, , ∴平面，又∵平面，∴； 5分（2）在直三棱柱中，，
∵平面，其垂足落在直线上，∴，
在中，, , ，，
在中，， 8分
由（1）知平面，平面，从而，，
∵为的中点，， 10分
∴． 12分
【考点】1．线面垂直的性质与判定；2．空间几何体的体积．
6.已知水平放置的△ABC的直观图△A′B′C′(斜二测画法)是边长为a的正三角形，则原△ABC 的面积为()
A．a2B．a2C．a2D．a2
【答案】D
【解析】斜二测画法中原图面积与直观图面积之比为1∶，则易知S＝ (a)2，∴S＝a2.
7.将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为（）
【答案】D
【解析】被截去的四棱锥的三条可见棱中，
在两条为长方体的两条对角线，
它们在右侧面上的投影与右侧面（长方形）的两条边重合，
另一条为体对角线，
它在右侧面上的投影与右侧面的对角线重合，
对照各图，只有D符合
【考点】简单空间图形的三视图
8.在三棱柱中，已知, ，此三棱柱各个顶点
都在一个球面上，则球的体积为（）.
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】直三棱柱的各项点都在同一个球面上，如图所示，所以中，，
所以下底面的外心为的中点，同理，可得上底面的外心为的中点，连接，则与侧棱平行，所以平面，再取的中点，可得点到的距
离相等，
所以点是三棱柱的为接球的球心，因为直角中，，所以，即外接球的半径，因此三棱柱外接球的体积为
，故选A.
【考点】组合体的结构特征；球的体积公式.
【方法点晴】本题主要考查了球的组合体的结构特征、球的体积的计算，其中解答中涉及到三棱
柱的线面位置关系、直三棱柱的结构特征、球的性质和球的体积公式等知识点的综合考查，着重
考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力和学生的空间想象能力，试题有一
定的难度，属于中档试题.
9.正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为A．B．16πC．9πD．
【答案】A
【解析】正四棱锥P-ABCD的外接球的球心在它的高上，记为O，PO=AO=R，，=4-R，
在Rt△中，，由勾股定理得，∴球的表面积
【考点】球的体积和表面积
10.已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，是边长为的正三角形，为球的
直径，且，则此棱锥的体积为
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为△是边长为的正三角形，所以△外接圆的半径，所以点到面的距离为，又因为为球的直径，所以点到面的距离为，所以棱锥的体积为，故选A.
【考点】1、外接球的性质及圆内接三角形的性质；2、棱锥的体积公式.
【方法点晴】本题主要考查外接球的性质及圆内接三角形的性质、棱锥的体积公式，属于难题.圆内接多面体问题是将多面体和旋转体相结合的题型，既能考查旋转体的对称形又能考查多面体的各种位置关系，做题过程中主要注意以下两点：①多面体每个面都分别在一个圆面上，圆心是多边形外接圆圆心；②注意运用性质.。