【高中数学】第4章 4.3.1

§4.3 空间直角坐标系 4.3.1 空间直角坐标系
【课时目标】 1．了解空间直角坐标系的建系方式．2．掌握空间中任意一点的表示方法．3．能在空间直角坐标系中求出点的坐标．
1．如图所示，为了确定空间点的位置，我们建立空间直角坐标系：以单位正方体为载体，以O 为原点，分别以射线OA 、OC 、OD ′的方向为正方向，以线段OA 、OC 、OD ′的长为单位长，建立三条数轴：x 轴、y 轴、z 轴，这时我们说建立了一个______________________________，其中点O 叫做________________，x 轴、y 轴、z 轴叫做________________，通过每两个坐标轴的平面叫做________________，分别称为__________________________，通常建立的坐标系为右手直角坐标系，即________指向x 轴的正方向，________指向y 轴的正方向，________指向z 轴的正方向．
2．空间一点M 的坐标可用有序实数组(x ，y ，z )来表示，有序实数组(x ，y ，z )叫做点M 在此空间直角坐标系中的坐标，记作M (x ，y ，z )，其中x 叫做点M 的____________，y 叫做点M 的____________，z 叫做点M 的____________．
一、选择题
1．在空间直角坐标系中，点A (1,2，－3)关于x 轴的对称点为( ) A ．(1，－2，－3) B ．(1，－2,3) C ．(1,2,3) D ．(－1,2，－3) 2．设y ∈R ，则点P (1，y,2)的集合为( ) A ．垂直于xOz 平面的一条直线 B ．平行于xOz 平面的一条直线 C ．垂直于y 轴的一个平面 D ．平行于y 轴的一个平面
3．结晶体的基本单位称为晶胞，如图是食盐晶胞的示意图(可看成是八个棱长为1
2
的小
正方体堆积成的正方体)．其中实圆•代表钠原子，空间圆代表氯原子．建立空间直角坐标系Oxyz 后，图中最上层中间的钠原子所在位置的坐标是( )
A ．⎝⎛⎭⎫12，12，1
B ．(0,0,1)
C ．⎝⎛⎭⎫1，12，1
D ．⎝⎛⎭
⎫1，12，12 4．在空间直角坐标系中，点P (3,4,5)关于yOz 平面的对称点的坐标为( )
A ．(－3,4,5)
B ．(－3，－4,5)
C ．(3，－4，－5)
D ．(－3,4，－5)
5．在空间直角坐标系中，P (2,3,4)、Q (－2，－3，－4)两点的位置关系是( ) A ．关于x 轴对称 B ．关于yOz 平面对称 C ．关于坐标原点对称 D ．以上都不对 6．点P (a ，b ，c )到坐标平面xOy 的距离是( )
A ．a 2＋b 2
B ．|a |
C ．|b |
D ．|c |
二、填空题
7．在空间直角坐标系中，下列说法中：①在x 轴上的点的坐标一定是(0，b ，c )；②在yOz 平面上的点的坐标一定可写成(0，b ，c )；③在z 轴上的点的坐标可记作(0,0，c )；④在xOz 平面上的点的坐标是(a,0，c )．其中正确说法的序号是________．
8．在空间直角坐标系中，点P 的坐标为(1，2，3)，过点P 作yOz 平面的垂线PQ ，则垂足Q 的坐标是______．
9．连接平面上两点P 1(x 1，y 1)、P 2(x 2，y 2)的线段P 1P 2的中点M 的坐标为⎝⎛⎭⎫
x 1＋x 22，y 1＋y 22，那么，已知空间中两点P 1(x 1，y 1，z 1)、P 2(x 2，y 2，z 2)，线段P 1P 2的中点M 的坐标为____________________．
三、解答题
10．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，E 、F 、G 是DD 1、BD 、BB 1的中点，且正方体棱长为1．请建立适当坐标系，写出正方体各顶点及E 、F 、G 的坐标．
11．如图所示，已知长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的对称中心在坐标原点O ，交于同一顶点的三个面分别平行于三个坐标平面，顶点A (－2，－3，－1)，求其他七个顶点的坐标．
能力提升
12．如图所示，四棱锥P－ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD＝60°，E 是CD的中点，P A⊥底面ABCD，P A＝2．试建立适当的空间直角坐标系，求出A、B、C、D、P、E的坐标．
13．如图所示，AF、DE分别是⊙O、⊙O1的直径，AD与两圆所在的平面均垂直，AD ＝8．BC是⊙O的直径，AB＝AC＝6，OE∥AD，试建立适当的空间直角坐标系，求出点A、B、C、D、E、F的坐标．
1．点坐标的确定实质是过此点作三条坐标轴的垂面，一个垂面与x轴交点的横坐标为该点的横坐标，一个垂面与y轴交点的纵坐标为该点的纵坐标，另一个垂面与z轴交点的竖坐标为该点的竖坐标．
2．明确空间直角坐标系中的对称关系，可简记作：“关于谁对称，谁不变，其余均相反；关于原点对称，均相反”．
①点(x，y，z)关于xOy面，yOz面，xOz面，x轴，y轴，z轴，原点的对称点依次为(x，y，－z)，(－x，y，z)，(x，－y，z)，(x，－y，－z)，(－x，y，－z)，(－x，－y，z)，(－x，－y，－z)．
②点(x，y，z)在xOy面，yOz面，xOz面，x轴，y轴，z轴上的投影点坐标依次为(x，y,0)，(0，y，z)，(x,0，z)，(x,0,0)，(0，y,0)，(0,0，z)．
§4．3 空间直角坐标系 4．3．1 空间直角坐标系
答案
知识梳理
1．空间直角坐标系Oxyz 坐标原点 坐标轴 坐标平面 xOy 平面、yOz 平面、zOx 平面 右手拇指 食指 中指 2．横坐标 纵坐标 竖坐标 作业设计
1．B [两点关于x 轴对称，坐标关系：横坐标相同，纵竖坐标相反．] 2．A 3．A
4．A [两点关于平面yOz 对称，坐标关系：横坐标相反，纵竖坐标相同．] 5．C [三坐标均相反时，两点关于原点对称．] 6．D 7．②③④ 8．(0，2，3)
9．⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22，z 1＋z 22 10．解
如图所示，建立空间直角坐标系，则A (1,0,0)，B (1,1,0)，C (0,1,0)，D (0,0,0)，A 1(1,0,1)，
B 1(1,1,1)，
C 1(0,1,1)，
D 1(0,0,1)，
E ⎝⎛⎭⎫0，0，12，
F ⎝⎛⎭
⎫12，1
2，0， G ⎝
⎛⎭⎫1，1，12． 11．解 由于已经建立了空间直角坐标系，由图可直接求出各点的坐标：B (－2,3，－1)，C (2,3，－1)，D (2，－3，－1)，A 1(－2，－3,1)，B 1(－2,3,1)，C 1(2,3,1)，D 1(2，－3,1)．
12．解 如图所示，以A 为原点，以AB 所在直线为x 轴，AP 所在直
线为z 轴，过点A 与xAz 平面垂直的直线为y 轴，建立空间直角坐标系．则相关各点的坐标分别是
A (0,0,0)，
B (1,0,0)，
C (32，32，0)，
D (12，32，0)，P (0,0,2)，
E (1，3
2
，0)．
13．解 因为AD 与两圆所在的平面均垂直，OE ∥AD ，所以OE 与两圆所在的平面也都垂直．
又因为AB ＝AC ＝6，BC 是圆O 的直径，所以△BAC 为等腰直角三角形且AF ⊥BC ，BC ＝62．
以O为原点，OB、OF、OE所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则原点O及A、B、C、D、E、F各个点的坐标分别为O(0,0,0)、A(0，－32，0)、B(32，0,0)、C(－32，0,0)、D(0，－32，8)、E(0,0,8)、F(0,32，0)．
高考数学：试卷答题攻略
一、“六先六后”，因人因卷制宜。

考生可依自己的解题习惯和基本功，选择执行“六先六后”的战术原则。

1.先易后难。

2.先熟后生。

3.先同后异。

先做同科同类型的题目。

4.先小后大。

先做信息量少、运算量小的题目，为解决大题赢得时间。

5.先点后面。

高考数学解答题多呈
现为多问渐难式的“梯度题”，解答时不必一气审到底，应走一步解决一步，步步为营，由点到面。

6.先高后低。

即在考试的后半段时间，如估计两题都会做，则先做高分题;估计两题都不易，则先就高分题实施“分段得分”。

二、一慢一快，相得益彰，规范书写，确保准确，力争对全。

审题要慢，解答要快。

在以快为上的前提下，要稳扎稳打，步步准确。

假如速度与准确不可兼得的话，就只好舍快求对了。

三、面对难题，以退求进，立足特殊，发散一般，讲究策略，争取得分。

对于一个较一般的问题，若一时不能取得一般思路，可以采取化一般为特殊，化抽象为具体。

对不能全面完成的题目有两种常用方法：1.缺步解答。

将疑难的问题划分为一个个子问题或一系列的步骤，每进行一步就可得到一步的分数。

2.跳步解答。

若题目有两问，第一问做不上，可以第一问为“已知”，完成第二问。

四、执果索因，逆向思考，正难则反，回避结论的肯定与否定。

对一个问题正面思考受阻时，就逆推，直接证有困难就反证。

对探索性问题，不必追求结论的“是”与“否”、“有”与“无”，可以一开始，就综合所有条件，进行严格的推理与讨论，则步骤所至，结论自明。

理综求准求稳求规范第一：认真审题。

审题要仔细，关键字眼不可疏忽。

不要以为是“容易题”“陈题”就一眼带过，要注意“陈题”中可能有“新意”。

也不要一眼看上去认为是“新题、难题”就畏难而放弃，要知道“难题”也可能只难在一点，“新题”只新在一处。

第二：先易后难。

试卷到手后，迅速浏览一遍所有试题，本着“先易后难”的原则，确定科学的答题顺序，尽量减少答题过程中的学科转换次数。

高考试题的组卷原则是同类题尽量按由易到难排列，建议大家由前向后顺序答题，遇难题千万不要纠缠。

第三：选择题求稳定。

做选择题时要心态平和，速度不能太快。

生物、化学选择题只有一个选项，不要选多个答案;对于没有把握的题，先确定该题所考查的内容，联想平时所学的知识和方法选择;若还不能作出正确选择，也应猜测一个答案，不要空题。

物理题为不定项选择，在没有把握的情况下，确定一个答案后，就不要再猜其他答案，否则一个正确，一个错误，
结果还是零分。

选择题做完后，建议大家立即涂卡，以免留下后患。

第四：客观题求规范。

①用学科专业术语表达。

物理、化学和生物都有各自的学科语言，要用本学科的专业术语和规范的表达方式来组织答案，不能用自造的词语来组织答案。

②叙述过程中思路要清晰，逻辑关系要严密，表述要准确，努力达到言简意赅，切中要点和关键。

③既要规范书写又要做到文笔流畅，不写病句和错别字，特别是专业名词和概念。

④遇到难题，先放下，等做完容易的题后，再解决，尽量回忆本题所考知识与我们平时所学哪部分知识相近、平时老师是怎样处理这类问题的。

⑤尽量不要空题，不会做的，按步骤尽量去解答，努力抓分。

记住：关键时候“滥竽”也是可以“充数”的。