三角函数中“1”的代换

三角函数中“1”的代换
义县高中 高一数学组 胡克让
三角函数是高中数学的重要内容，与数列、立体几何、平面向量、方程等都有密切的联系。

这部分中基本计算公式特别的多，而且在解决三角函数问题时又是基础工具，能够熟练而又灵活的运用这些公式成了学习的难点。

这部分公式大致分为三类，现和大家一起来研究下同角基本函数关系式中与“1”有关的问题，希望能给同学们带来帮助。

在三角函数的求值，化简，证明时，常把数1表示为三角函数式或特殊角的三角函数值参与运算，使问题得以简化。

常见的代换有：
等等。

下面例析几道题，供同学们参考。

例1 已知，则的值为 .
分析：本题解法有二，一种是将
与联立成方程组求出与，再运用
与求出所求值；一种是先利用与对化简变形，发现只需要求出的
值即可，而将平方就能完成的求解，进而问题得以解决。

两种方法对比，显然后者简单，而且运算量很少。

解析： 例2 已知
，求下列各式的值： （1）
（2）
22222221sin cos 1(sin cos )2sin cos 1sec tan csc cot 1cos sec sin csc tan cot 1tan cot 44αα
αααα
αααα
αααααα
π
π
=+=+-=-=-=⋅=⋅=⋅=
=sin cos αα-=tan cot αα
+sin cos αα-=22sin cos 1αα+=sin αcos αsin tan cos ααα=cos cot sin ααα=sin tan cos ααα=cos cot sin ααα=tan cot αα+sin cos α
αsin cos αα-=sin cos α
αsin cos 2αα-=-Q 222225(sin cos )sin cos 2sin cos 4
1sin cos 8
sin cos sin cos tan cot 8cos sin sin cos αααααααααααααααααα∴=-=+-∴=-+∴+=+==-1tan 3α=-2232sin sin cos 5cos 2αααα-+1
1sin cos αα-
分析：这道题很多同学可能会去求解与的值，然后代入即解决了问题，这种思想简单直接，但运用起来却很繁琐，费力。

解决这道题简便的方法是将所求直接转化为的关系式，这就需要将原来代数式中的“1”用来代换。

解析：（1）原式
（分子分母同时除以）
（2）原式（分子分母同时除以）
例3 化简：
分析：可能会有很多同学认为这已经是最简形式，其实它还有更简单的形式——利用两角
和的正切公式变化，这就需要对原式中的相关“1”用代换。

解析：原式
例4 证明：
分析：本题可以由左证到右，或者由右证到左。

无论哪种方式都需要利用“1”的代换，下面我们一起来看看这两种方式，自己来体会。

解析：方法一（由右到左）
右边
=左边
因此
方法二（由左到右） 左边
右边
因此
“1”的这种代换应用在这部分是一个重要内容，利用它能使运算由繁变简，提高解题速度，但是这种题变换万千，要想能灵活解决还需要同学们积累解题经验，参透其中的奥秘。

sin αcos αtan α22sin cos αα+2232sin sin cos 5cos 21αααα-+=222232sin sin cos 5cos 2sin cos αααααα-+=+2cos α2232tan tan 51032tan 120ααα-+==+2222sin cos sin cos sin cos αααααα+=+-2cos α22tan 110tan 1tan 13ααα+==+-1tan 1tan θ
θ+-tan
4πtan
tan 4tan()41tan tan 4πθπθπθ+=
=+-2222tan sin tan sin αααα-=22222tan (1cos )tan tan cos ααααα=-=-222222sin tan cos tan sin cos αααααα=-=-2222tan sin tan
sin αααα-=2222222sin 1sin sin (1)sin (sec 1)cos cos ααααααα=-=-=-22sin
tan αα==2222tan sin tan sin αααα-=。