苏教版高中数学选修2-12.6.2 求曲线的方程.docx

2．6.2 求曲线的方程
双基达标 (限时15分钟)
1．到直线4x ＋3y －5＝0的距离为1的点的轨迹方程为________．
解析 可设动点坐标为(x ，y )，则|4x ＋3y －5|5
＝1， 即|4x ＋3y －5|＝5.
∴所求轨迹为4x ＋3y －10＝0和4x ＋3y ＝0.
答案 4x ＋3y －10＝0和4x ＋3y ＝0
2．过点P (1，1)且互相垂直的两条直线l 1与l 2分别与x 、y 轴交于A 、B 两点，则AB 中点M
的轨迹方程为________．
解析 如图所示，由直角三角形的性质可知PM ＝MO ，即(x
－1)2＋(y －1)2＝x 2＋y 2，
∴x ＋y －1＝0.
答案 x ＋y －1＝0
3．已知定点A (0，－1)，B (0，1)，动点M 满足条件MA －MB ＝2，
则点M 的轨迹方程是______________．
解析 由三角形两边之和大于第三边知，当点M 不在直线AB 上时MA －MB <AB ＝2，故 点M 在直线AB 上．
答案 x ＝0(y ≥1)
4．已知M (－2，0)，N (2，0)，则以MN 为斜边的直角三角形的直角顶点P 的轨迹方程
______________．
解析 设P (x ，y )，由勾股定理，得PM 2＋PN 2＝MN 2，
即(x ＋2)2＋y 2＋(x －2)2＋y 2＝42，即x 2＋y 2＝4且y ≠0.
答案 x 2＋y 2＝4(x ≠±2)
5．已知点A (－2，0)，B (2，0)，C (0，3)，则△ABC 底边AB 的中线的方程是________．
解析 直接法求解，注意△ABC 底边AB 的中线是线段，而不是直线．
答案 x ＝0(0≤y ≤3)
6．如图所示，设点A 、B 的坐标分别为(－5，0)、(5，0)．直线
AM 、BM 相交于点M ，且它们的斜率之积是－49
，求点M 的轨迹方程．
解 设点M 的坐标为(x ，y )，因为点A 的坐标是(－5，0)．
所以直线AM 的斜率k AM ＝y x ＋5
(x ≠－5)， 同理，直线BM 的斜率k BM ＝
y x －5(x ≠5)． 由已知有y x ＋5·y x －5
＝－49(x ≠±5)， 化简，得点M 的轨迹方程为x 225＋y 2
1009
＝1(x ≠±5)． 综合提高 (限时30分钟)
7．已知圆x 2＋y 2＝1，从这个圆上任意一点P 向x 轴作垂线段PP ′，则线段PP ′的中点M 的
轨迹方程是____________．
解析 设M (x ，y )，则P (x ，2y )，代入x 2＋y 2＝1
则有x 2＋4y 2＝1，即x 2＋y 2
14
＝1. 答案 x 2＋y 2
14
＝1 8．直角坐标平面xOy 中，若定点A (1，2)与动点P (x ，y )满足OP →·OA →＝4，则点P 的轨迹方
程是________．
解析 由题意，OP →＝(x ，y )，OA →＝(1，2)，则OP →·OA →＝x ＋2y ，由题设可得x ＋2y ＝4，
即x ＋2y －4＝0.
答案 x ＋2y －4＝0
9．设动点P 是曲线y ＝2x 2＋1上任意一点，定点A (0，－1)，点M 分P A 所成的比为2∶1，
则点M 的轨迹方程是__________．
解析 设点M 的坐标为(x 0，y 0)，因为点A (0，－1)，点M 分P A 所成的比为2∶1，所以
P 点的坐标为(3x 0，3y 0＋2)，代入曲线y ＝2x 2＋1得y 0＝6x 02－13
，即点M 的轨迹方程是y ＝6x 2－13
. 答案 y ＝6x 2－13
10．把椭圆x 216＋y 29＝1的每个点的横坐标缩短到原来的14，纵坐标缩短到原来的13
，则所得曲线方程为__________．
解析 原方程化为(x 4)2＋(y 3
)2＝1，所得曲线为x 2＋y 2＝1. 答案 x 2＋y 2＝1
11．平面上动点P 到定点F (1，0)的距离比P 到y 轴的距离大1，求动点P 的轨迹方程．
解 由题意，动点P 到定点F (1，0)的距离比到y 轴的距离大1，由于F (1，0)到y 轴的 距离为1，则
当x ＜0时，直线y ＝0上的点适合条件；
当x ≥0时，原命题等价于点P 到F (1，0)与到直线x ＝－1的距离相等，故点P 在以F 为焦点，x ＝－1为准线的抛物线上，其轨迹方程为y 2＝4x .
综上所述，动点P 的轨迹方程为y 2＝4x (x ≥0)或y ＝0(x ＜0)．
12．如图，已知点F (1，0)，直线l ：x ＝－1，P 为平面上的动点，
过P 作直线l 的垂线，垂足为点Q ，且QP →·QF →＝FP →·FQ →.
求动点P 的轨迹C 的方程．
解 设点P (x ，y )，则Q (－1，y )，
由QP →·QF →＝FP →·FQ →得
(x ＋1，0)·(2，－y )＝(x －1，y )·(－2，y )，
化简得C ：y 2＝4x .
所以动点P的轨迹C的方程为y2＝4x.
13．(创新拓展)△ABC的顶点A固定，点A的对边BC的长为2a，边BC上的高长为b，边BC沿一条定直线移动，求△ABC外心的轨迹方程．
解如图所示，以BC所在定直线为x轴，过A作x轴的垂线为y轴，建立直角坐标系，则A点的坐标为(0，b)．设△ABC的外心为M(x，y)，
作MN⊥BC于N，则MN是BC的垂直平分线．
∵BC＝2a，∴BN＝a，MN＝|y|，
又M是△ABC的外心，
∴M∈{M|MA＝MB}．
而MA＝x2＋（y－b）2，
MB＝|BN|2＋|MN|2＝a2＋y2，
∴x2＋（y－b）2＝a2＋y2.
化简，得所求轨迹方程为x2－2by＋b2－a2＝0.。