2020-2021高三数学上期中试卷(带答案)(18)

2020-2021高三数学上期中试卷(带答案)(18)
一、选择题
1．数列{}n a 的前n 项和为2
1n S n n =++,()()1N*n n n b a n =-∈,则数列{}n b 的前50项
和为（ ） A ．49
B ．50
C ．99
D ．100
2．已知等比数列{}n a ，11a =，41
8
a =，且12231n n a
a a a a a k +++⋅⋅⋅+<，则k 的取值范围是（ ） A ．12,23
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
B ．1
,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
C ．12,23⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
D ．2
,3
⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
3．在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边,若sin 3cos 0b A a B -=,且2b ac =，则
a c
b
+的值为( ) A ．2
B ．2
C ．
22
D ．4
4．某校运动会开幕式上举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度的看台的某一列的正前方，
从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为
和
，第一排和最后一排
的距离为56米（如图所示），旗杆底部与第一排在同一个水平面上．若国歌长度约为秒，要使国歌结束时国旗刚好升到旗杆顶部，升旗手升旗的速度应为()（米 /秒）
A ．
110
B ．
310
C ．
12
D ．
710
5．若x ，y 满足20400x y x y y -+≥⎧⎪
+-≤⎨⎪≥⎩
，则2z y x =-的最大值为（ ）．
A ．8-
B ．4-
C ．1
D ．2
6．如图，有四座城市A 、B 、C 、D ，其中B 在A 的正东方向，且与A 相距120km ，
D 在A 的北偏东30°方向，且与A 相距60km ；C 在B 的北偏东30°方向，且与B 相距
6013km ，一架飞机从城市D 出发以360/km h 的速度向城市C 飞行，飞行了15min ，
接到命令改变航向，飞向城市B ，此时飞机距离城市B 有（ ）
A ．120km
B ．606km
C ．605km
D ．3km
7．已知x ，y 满足条件0
{20
x y x
x y k ≥≤++≤(k 为常数)，若目标函数z ＝x ＋3y 的最大值为8，则k ＝( ) A ．－16 B ．－6
C ．-83
D ．6
8．若不等式1221m x x
≤+-在()0,1x ∈时恒成立，则实数m 的最大值为（ ） A ．9
B ．
92 C ．5 D ．52
9．在ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，S 表示ABC V 的面积，若
cos cos sin ,c B b C a A += )
2223S b a c =+-，则B ∠=
A ．90︒
B ．60︒
C ．45︒
D ．30︒
10．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若341118a a a ++=则11S =（ ） A ．9
B ．22
C ．36
D ．66
11．“中国剩余定理”又称“孙子定理”1852年英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1至2019中能被3除余1且被5除余1的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列{}n a ，则此数列的项数为（ ） A ．134
B ．135
C ．136
D ．137
12．若01a <<，1b c >>，则( ) A ．()1a
b c
<
B ．
c a c
b a b
->- C ．11a a c b --<
D ．log log c b a a <
二、填空题
13．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，2a =，且
()()()2sin sin sin b A B c b C +-=-，则ABC ∆面积的最大值为______.
14．已知数列{}n a 、{}n b 均为等差数列，且前n 项和分别为n S 和n T ，若321
n n S n T n +=+，则
4
4
a b =_____． 15．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，22a =，且对于任意1n >，*n N ∈，满足
11n n S S +-+=2(1)n S +，则10S 的值为__________
16．数列{}n a 满足11a =，对任意的*n N ∈都有11n n a a a n +=++，则
122016
111a a a +++=L _________． 17．在平面内，已知直线12l l P ，点A 是12,l l 之间的定点，点A 到12,l l 的距离分别为和，点
是2l 上的一个动点，若AC AB ⊥，且AC 与1l 交于点C ，则ABC ∆面积的最小
值为____．
18．已知数列{}n a 满足11a =，11
1n n
a a +=-
+，*n N ∈，则2019a =__________． 19．某公司租赁甲、乙两种设备生产A,B 两类产品,甲种设备每天能生产A 类产品5件和B 类产品10件,乙种设备每天能生产A 类产品6件和B 类产品20件．已知设备甲每天的租赁费为200元,设备乙每天的租赁费为300元,现该公司至少要生产A 类产品50件,B 类产品140件,所需租赁费最少为__________元． 20．设等差数列{}n
a 的前n 项和为n S ．若35a =，且1S ，5S ，7S 成等差数列，则数列
{}n a 的通项公式n a =____．
三、解答题
21．在ABC V 中，3
B π
∠=，7b =，________________，求BC 边上的高．
从①21
sin 7
A =
， ②sin 3sin A C =， ③2a c -=这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．
22．已知数列{n a }的前n 项和1
*1()
2()2
n n n S a n N -=--+∈，数列{n b }满足n b =2n n a ．
(I)求证数列{n b }是等差数列，并求数列{n a }的通项公式； (Ⅱ)设2log n n n c a =，数列{
22n n c c +}的前n 项和为T n ，求满足*25
()21
n T n N <∈的n 的最大值.
23．已知等比数列{}n a 的公比1q >，且满足：23428a a a ++=，且32a +是24,a a 的等差中项.
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）若1122
log ,n n n n n b a a S b b b ==+++L ，求使1·262n n
S n ++>成立的正整数n 的最小值．
24．设数列{}n a 满足113,23n
n n a a a +=-=⋅．
（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式n a ；
（Ⅱ）若n n b na =，求数列{}n b 的前n 项和n S ． 25．已知{}n a 是递增的等差数列，2a ，4a 是方程的根.
（1）求{}n a 的通项公式； （2）求数列2n n a ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
的前n 项和.
26．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1250,15a a S +==，数列{}n b 满足：
12b a =，且131(2).n n n n n nb a b a b ++++=（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）若
21
1
(5)log n n n c a b +=+⋅，求数列{}n c 的 前n 项和.n T
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题 1．A 解析：A 【解析】
试题分析：当1n =时，113a S ==；当2n ≥时，
()
()()2
2111112n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=++--+-+=⎣⎦
,把1n =代入上式可得
123a =≠.综上可得3,1
{2,2
n n a n n ==≥.所以3,1{2,12,n n b n n n n n -==-≠为奇数且为偶数
.数列{}n b 的前50项
和为
()()
503235749224650S =--+++++++++L L ()()2434925250322492
2
++=--⋅
+⋅
=.故A 正确.
考点：1求数列的通项公式;2数列求和问题.
2．D
解析：D
设等比数列{}n a 的公比为q ，则3
411
8a q a =
=，解得12
q =， ∴1
1
2n n a -=
， ∴1121
111222n n n n n a a +--=
⨯=， ∴数列1{}n n a a +是首项为
12
，公比为1
4的等比数列，
∴1223111(1)
21224(1)134314
n n n n
a a a a a a +-++⋅⋅⋅+==-<-， ∴23k ≥．故k 的取值范围是2
[,)3+∞．选D ．
3．A
解析：A 【解析】 【分析】
由正弦定理，化简求得sin 0B B =，解得3
B π
=
，再由余弦定理，求得
()2
24b a c =+，即可求解，得到答案．
【详解】
在ABC ∆
中，因为sin cos 0b A B -=,且2b ac =，
由正弦定理得sin sin cos 0B A A B =， 因为(0,)A π∈，则sin 0A >，
所以sin 0B B =
，即tan B =3
B π
=
，
由余弦定理得2
2
2
2
2
2
2
2
2cos ()3()3b a c ac B a c ac a c ac a c b =+-=+-=+-=+-， 即()2
24b a c =+，解得2a c
b
+=，故选A ． 【点睛】
本题主要考查了正弦定理、余弦定理的应用，其中利用正弦、余弦定理可以很好地解决三角形的边角关系，熟练掌握定理、合理运用是解本题的关键．通常当涉及两边及其中一边的对角或两角及其中一角对边时，运用正弦定理求解；当涉及三边或两边及其夹角时，运用余弦定理求解.
4．B
解析：B
试题分析： 如下图：
由已知，在ABC ∆中，105,45,56ABC ACB BC ∠=∠
==o o ,从而可得：30BAC ∠=o 由正弦定理，得：
56
sin 45sin 30
AB =o o
， 103AB ∴=,
那么在Rt ADB ∆中，60ABD o ∠=,3
sin 6010315AD AB ∴==⨯=o ， 即旗杆高度为15米，由3155010÷=，知：升旗手升旗的速度应为3
10
（米 /秒）. 故选B ．
考点：解三角形在实际问题中的应用．
5．D
解析：D 【解析】
作出不等式组20
400x y x y y -+≥⎧⎪
+-≤⎨⎪≥⎩
，所表示的平面区域，如图所示，
当0x ≥时，可行域为四边形OBCD 内部，目标函数可化为2z y x =-，即2y x z =+，平移直线2y x =可知当直线经过点(0,2)D 时，直线的截距最大，从而z 最大，此时，
max 2z =，
当0x <时，可行域为三角形AOD ，目标函数可化为2z y x =+，即2y x z =-+，平移直线2y x =-可知当直线经过点(0,2)D 时，直线的截距最大，从而z 最大，max 2z =， 综上，2z y x =-的最大值为2． 故选D ．
点睛：利用线性规划求最值的步骤： (1)在平面直角坐标系内作出可行域．
(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形．常见的类型有截距型（ax by +型）、斜率型（
y b x a
++型）和距离型（()()22
x a y b +++型）． (3)确定最优解：根据目标函数的类型，并结合可行域确定最优解． (4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值． 注意解答本题时不要忽视斜率不存在的情形.
6．D
解析：D 【解析】 【分析】
先判断三角形DAB 为直角三角形,求出BD ,然后推出CBD ∠为直角,可得CD ,进一步可得
cos BDF ∠,最后在三角形EDB 中用余弦定理可得BF . 【详解】
取AB 的中点E ,连DE ,设飞机飞行了15分钟到达F 点,连BF ,如图所示:则BF 即为所求.
因为E 为AB 的中点,且120AB km =,所以60AE km =, 又60DAE ∠=o ,60AD km =,所以三角形DAE 为等边三角形,所以
60DE km =,60ADE ∠=o ,
在等腰三角形EDB 中,120DEB ∠=o ,所以30EDB EBD ∠=∠=o , 所以90ADB ∠=o ,由勾股定理得2BD 22221206010800AB AD =-=-=, 所以3BD km =,
因为9030CBE ∠=+o o 120=o ,30EBD ∠=o ,所以CBD ∠90=o , 所以222108006013240CD BD BC =
+=+⨯=km ,
所以6033
cos BD BDC CD ∠=
==
,
因为
1
36090
4
DF km =
⨯=,
所以在三角形BDF中,
22222
3
2cos(603)90260390
BF BD DF BD DF BDF
=+-⋅⋅∠=+-⨯⨯⨯
g
10800
=,
所以603
BF=km.
故一架飞机从城市D出发以360/
km h的速度向城市C飞行，飞行了15min，接到命令改变航向，飞向城市B，此时飞机距离城市B有603km.
故选D.
【点睛】
本题考查了利用余弦定理解斜三角形,属于中档题.
7．B
解析：B
【解析】
【分析】
【详解】
由z＝x＋3y得y＝－
1
3
x＋
3
z
，先作出
{
x
y x
≥
≤
的图象，如图所示，
因为目标函数z＝x＋3y的最大值为8，所以x＋3y＝8与直线y＝x的交点为C，解得
C(2,2)，代入直线2x＋y＋k＝0，得k＝－6.
8．B
解析：B
【解析】
【分析】
设f（x）
12
21
x x
=+
-
，根据形式将其化为f（x）
()
1
1
52
2
21
x x
x x
-
=++
-
．利用基本不等式求最值，可得当且仅当x
1
3
=时
()
1
12
2
1
x x
x x
-
+
-
的最小值为2，得到f（x）的最小值为f
（
13）92=，再由题中不等式恒成立可知m ≤（12
21x x +-）min ，由此可得实数m 的最大
值． 【详解】
解：设f （x ）11
222211x x x x
=+=+--（0＜x ＜1） 而122
1x x
+=
-[x +（1﹣x ）]（1221x x +-）()1
152221x x x x -=++- ∵x ∈（0，1），得x ＞0且1﹣x ＞0
∴()1122
1x x x x -+≥-
=2， 当且仅当()112211x x x x -==-，即x 13=时()1
122
1x x x x -+-的最小值为2 ∴f （x ）1221x x =+-的最小值为f （13）92= 而不等式m 1221x x ≤+-当x ∈（0，1）时恒成立，即m ≤（1221x x
+-）min 因此，可得实数m 的最大值为9
2
故选：B ． 【点睛】
本题给出关于x 的不等式恒成立，求参数m 的取值范围．着重考查了利用基本不等式求函数的最值和不等式恒成立问题的处理等知识，属于中档题．
9．D
解析：D 【解析】 【分析】
由正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式可得sin A ＝1，即A ＝900，由余弦定理、三角形面积公式可求角C ，从而得到B 的值． 【详解】
由正弦定理及cos cos sin ,c B b C a A +=得2
sin cos sin cos sin ,C B B C A +=
()2sin sin sin 1C B A A ⇒+=⇒=,因为000180A <<，所以090
A =；
由余弦定理、三角形面积公式及)
222S b a c
=
+-，得1sin 2cos 2ab C ab C
=, 整理得tan C =，又00090C <<,所以060C =,故030B =.
故选D 【点睛】
本题考查正、余弦定理、两角和的正弦公式、三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查计算能力和转化思想，属于中档题．
10．D
解析：D 【解析】
分析：由341118a a a ++=，可得156a d +=，则化简11S =()1115a d +，即可得结果. 详解：因为341118a a a ++=， 所以可得113151856a d a d +=⇒+=， 所以11S =()111511666a d +=⨯=，故选D.
点睛：本题主要考查等差数列的通项公式与等差数列的求和公式， 意在考查等差数列基本量运算，解答过程注意避免计算错误.
11．B
解析：B 【解析】 【分析】
由题意得出1514n a n =-，求出15142019n a n =-≤，即可得出数列的项数. 【详解】
因为能被3除余1且被5除余1的数就是能被15整除余1的数，故1514n a n =-.由
15142019n a n =-≤得135n ≤，故此数列的项数为135，故答案为B.
【点睛】
本题主要考查阅读能力及建模能力、转化与化归思想及等差数列的通项公式及数学的转化与化归思想.属于中等题.
12．D
解析：D 【解析】 【分析】
运用不等式对四个选项逐一分析 【详解】
对于A ，1b c >>Q ，1b c ∴>，01a <<Q ，则1a
b c ⎛⎫> ⎪⎝⎭
，故错误 对于B ，若c a c
b a b
->-，则bc ab cb ca ->-，即()0a c b ->，这与1b c >>矛盾，故错误
对于C ，01a <<Q ，10a ∴-<，1b c >>Q ，则11a a c b -->，故错误
对于D ，1b c >>Q ，c b log a log a ∴<，故正确 故选D 【点睛】
本题考查了不等式的性质，由未知数的范围确定结果，属于基础题．
二、填空题
13．【解析】【分析】根据正弦定理将转化为即由余弦定理得再用基本不等式法求得根据面积公式求解【详解】根据正弦定理可转化为化简得由余弦定理得因为所以当且仅当时取所以则面积的最大值为故答案为：【点睛】本题主要
【解析】 【分析】 根据正弦定理将
()()()2sin sin sin b A B c b C +-=-转化为
()()()a b a b c b c +-=-，即2
2
2
b c a bc +-=，由余弦定理得2221
cos 22b c a A bc +-==，
再用基本不等式法求得4bc ≤，根据面积公式1
sin 2
ABC S bc A ∆=求解. 【详解】 根据正弦定理
()()()2sin sin sin b A B c b C +-=-可转化为
()()()a b a b c b c +-=-，化简得2
22b
c a bc +-=
由余弦定理得2221
cos 22
b c a A bc +-=
=
sin ==
A 因为2222+=+≥b c a bc bc 所以4bc ≤，当且仅当b c =时取""=
所以1sin 4244
∆=
=≤=ABC S bc A
则ABC ∆
【点睛】
本题主要考查正弦定理，余弦定理，基本不等式的综合应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
14．【解析】【分析】根据等差数列中等差中项的性质将所求的再由等差数列的求和公式转化为从而得到答案【详解】因为数列均为等差数列所以【点睛】本题考查等差中项的性质等差数列的求和公式属于中档题
解析：
238
【解析】 【分析】
根据等差数列中等差中项的性质，将所求的17
4417
a a a
b b b +=+，再由等差数列的求和公式，转化为
7
7
S T ，从而得到答案. 【详解】
因为数列{}n a 、{}n b 均为等差数列 所以
7
47
4141422a a b b a a b b ==++ ()
()177177
7272a a S b b T +==+
37223
718
⨯+=
=+ 【点睛】
本题考查等差中项的性质，等差数列的求和公式，属于中档题.
15．91【解析】【分析】由Sn+1+Sn ﹣1＝2（Sn+1）可得Sn+1﹣Sn ＝Sn ﹣Sn ﹣1+2可得an+1﹣an ＝2利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出【详解】∵对于任意n ＞1n ∈N*满足Sn+
解析：91 【解析】 【分析】
由S n+1+S n ﹣1＝2（S n +1），可得S n+1﹣S n ＝S n ﹣S n ﹣1+2，可得a n+1﹣a n ＝2．利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出． 【详解】
∵对于任意n ＞1，n∈N *
，满足S n+1+S n ﹣1＝2（S n +1）， ∴n≥2时，S n+1﹣S n ＝S n ﹣S n ﹣1+2， ∴a n+1﹣a n ＝2．
∴数列{a n }在n≥2时是等差数列，公差为2． 则10S ＝1+9×298
22
⨯+⨯=91． 故答案为91 【点睛】
本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能
力，属于中档题．
16．【解析】试题分析：所以所以考点：累加法；裂项求和法 解析：
4032
2017
【解析】
试题分析：111,
n n n n a a n a a n +--=+-=，所以
()11221112
n n n n n n n a a a a a a a a ---+=-+-++-+=
L ，所以
11121n a n n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭
，122016111140322120172017
a a a ⎛
⎫+++=-= ⎪⎝⎭L . 考点：累加法；裂项求和法.
17．6【解析】【分析】【详解】如图所示设由题意知与相似所以所以所以当且仅当即时等号成立所以面积的最小值为6
解析：6 【解析】 【分析】 【详解】 如图所示，
设BF x =，由题意知3,2AE AF ==
ABF ∆与CAE ∆相似，所以AB BF CA AE =,所以3
AC AB x
=,所以2
11322ABC S AB AC AB x
∆=
=⨯ 21363(4)622x x x x =⨯⨯+=+≥，当且仅当632
x
x =，即2x =时，等号成立，所以CAE ∆面积的最小值为6. 18．-2【解析】【分析】根据题干中所给的表达式得到数列的周期性进而得到结果【详解】根据题干表达式得到可以得数列具有周期性周期为3故得到故得到故答案
为：-2【点睛】这个题目考查了求数列中的某些项一般方法是
解析：-2 【解析】 【分析】
根据题干中所给的表达式得到数列的周期性，进而得到结果. 【详解】
根据题干表达式得到234123
1111
,2, 1.1211a a a a a a =-
=-=-=-=-=+++ 567455
1111
,2, 1.1211a a a a a a =-
=-=-=-=-=+++ 可以得数列具有周期性，周期为3，故得到20193673.÷= 故得到2019 2.a =- 故答案为：-2. 【点睛】
这个题目考查了求数列中的某些项，一般方法是求出数列通项，对于数列通项不容易求的题目，可以列出数列的一些项，得到数列的周期或者一些其它规律，进而得到数列中的项.
19．2300【解析】【分析】【详解】设甲种设备需要生产天乙种设备需要生产天该公司所需租赁费为元则甲乙两种设备生产AB 两类产品的情况为下表所示:产品设备 A 类产品（件）（≥50） B 类产品（件）（≥140
解析：2300 【解析】 【分析】 【详解】
设甲种设备需要生产天, 乙种设备需要生产
天, 该公司所需租赁费为元,则
200300z x y =+，甲、乙两种设备生产A,B 两类产品的情况为下表所示:
产品 设备
A 类产品 （件）
（≥50）
B 类产品 （件）（≥140）
租赁费（元）
甲设备
5
10
200
乙设备
6
20
300
则满足的关系为5650
{10201400,0
x y x y x y +≥+≥≥≥即:6
105
{
214
0,0
x y x y x y +
≥+≥≥≥, 作出不等式表示的平面区域,
当200300z x y =+对应的直线过两直线6
10{5214
x y x y +
=+=的交点（4,5）时，目标函数200300z x y =+取得最低为2300元．
20．【解析】设等差数列的公差为d∵且成等差数列∴解得 ∴ 解析：21n -
【解析】
设等差数列{}n a 的公差为d ， ∵35a =，且1S ，5S ，7S 成等差数列， ∴111125,7211020a d a a d a d +=⎧⎨
++=+⎩解得11
,2
a d =⎧⎨=⎩ ∴21n a n =-
三、解答题
21．选择①，33h =；选择②，3h =；选择③，3
h =【解析】 【分析】 （1）选择①21
sin 7
A =
，可由sin sin a b A B =解得2a =，再由2222cos b a c ac B =+-解得3c =，最后由sin h c B =可得解；
（2）选择②sin 3sin A C =，由sin sin()3sin A B C C =+=得5sin 3C C =，结合
22sin cos 1C C +=
得sin 14
C =
，最后由sin h b C =可得解. （3）选择③2a c -=，由2222cos b a c ac B =+-可得：227a c ac +-=，结合
2a c -=解得1c =，最后由sin h c B =可得解. 【详解】
（1
）选择①sin 7
A =
，解答如下： 在ABC V ，由正弦定理得：
sin sin a b A B
=，
=2a =， 由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，
221
2222
c c =+-⨯⨯，解得1c =-（舍去）或3c =，
则BC
边上的高sin h c B = （2）选择②sin 3sin A C =，解答如下：
在ABC V 中，[]sin sin ()sin()A B C B C π=-+=+， 由sin 3sin A C =可得：sin()3sin 3
C C π
+
=，
整理得5sin C C =┄①， 又22sin cos 1C C +=┄②，
由①②得sin 14
C =
， 则BC
边上的高sin 14h b C ===
. （3）选择③2a c -=，解答如下：
在ABC V 中，由余弦定理得：2222cos b a c ac B =+-，
3
B π
∠=
Q
，b =
227a c ac ∴+-=┄①，
又2a c -=┄②， 由①②解得1c =， 则BC
边上的高sin h c B =. 【点睛】
本题考查了正余弦定理解三角形，考查了计算能力，属于中档题.
22．(I)(Ⅱ)
【解析】
试题分析：（1）由和项求通项，注意分类讨论：当2n ≥时，
1
111.2n n n n n n a S S a a ---⎛⎫
=-=-+- ⎪
⎝⎭即
1
1111222 1.2n n n n n n n a a a a ----⎛⎫
=+⇒=+ ⎪
⎝⎭
1 1.n n b b -⇒=+根据等差数列定义可证，并求
出通项公式()111,n b n n =+-⨯=所以.2n n
n a = （2）因为,
n c n =2211
.2n n c c n n +=-+所以裂项相消法求和得1111212
n T n n =+--++，这是一个递增数列，而4
52525
2121
T T ，，因此n 的最大值为4. 试题解析：解：（1）：在1
122n n n s a -⎛⎫=--+ ⎪
⎝⎭中，令1,n =可得
11111
12,.2
a S a a ==--+=
当2n ≥时，1
1112,2n n n S a ---⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭
所以1
111.2n n n n n n a S S a a ---⎛⎫
=-=-+- ⎪
⎝⎭
即1
11112,22 1.2n n n n n n n a a a a ----⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭
而12, 1.n n
n n n b a b b -=∴=+
即当12, 1.n n n b b -≥-=又1121,b a ==
所以，数列{}n b 是首项和公差均为1的等差数列． 于是()111,n b n n =+-⨯=所以.2n n
n a = （2）因为2
2log log 2,n n n n
c n a ===所以
()22211.·22
n n c c n n n n +==-++ 111111
1111111...132435112212n T n n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-+-=+-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
-++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
由25,21n T <
得111251,21221n n +--<++即1113.1242
n n +>++ 又()1112f n n n =
+++单调递减，()()1113
4,5,3042
f f == n ∴的最大值为4.
考点：等差数列定义及通项公式，裂项相消法求和
【方法点睛】将数列的通项分成两个式子的代数和的形式，然后通过累加抵消中间若干项的方法，裂项相消法适用于形如（其中{a n }是各项均不为零的等差数列，c 为常数）的数列. 裂项相消法求和，常见的有相邻两项的裂项求和（如本例），还有一类隔一项的裂项求和，如（n≥2）或.
23．（1）2n
n a =；（2）6．
【解析】
试题分析：（1）求等比数列的通项公式，关键是求出首项和公比，这可直接用首项1a 和公比q 表示出已知并解出即可（可先把已知化简后再代入）；（2）求出n b 的表达式后，要求其前n 项和，需用错位相减法．然后求解不等式可得最小值． 试题解析：（1）∵32a +是24,a a 的等差中项，∴()32422a a a +=+， 代入23428a a a ++=，可得38a =，
∴2420a a +=，∴212
118
{20a q a q a q =+=，解之得12
2a q =⎧⎨=⎩
或132
{12
a q ==， ∵1q >，∴122
a q =⎧⎨
=⎩，∴数列{}n a 的通项公式为2n
n a = （2）∵112
2
log 2log 2?2n n n
n n n b a a n ===-，
∴(
)2
1222?
2n
n S n =-⨯+⨯++L ，．．．．．．．．．．．．．．．①
(
)23
1
21222?2?2n n S n n +=-⨯+⨯+++L ，．．．．．．．．．．．．．②
②—①得()
2
31111
2122222?2?222?2
12
n
n n n n n n
S n n n ++++-=+++-=-=---L
∵1·
262n n S n ++>，∴12262n +->，∴16,5n n +>>， ∴使1·
262n n S n ++>成立的正整数n 的最小值为6 考点：等比数列的通项公式，错位相减法．
24．（Ⅰ）3n
n a =；（Ⅱ）()1121334
n n S n +⎡⎤=
-⋅+⎣⎦. 【解析】 【分析】
（Ⅰ）由已知，当1n ≥时，()()()111211n n n n n a a a a a a a a ++-=-+-++-+L ，结合题意和等比数列前n 项和公式确定数列的通项公式即可；
（Ⅱ）结合(Ⅰ)的结果可知3n
n b n =⋅，利用错位相减求和的方法求解其前n 项和即可.
【详解】
（Ⅰ）由已知，当1n ≥时，
()()()111211n n n n n a a a a a a a a ++-=-+-++-+L
12323233n n L -=⨯+⨯++⨯+
()
1233311n n -=⋅+++++L (
)11
231
12
n +⎡⎤=⋅-+⎢⎥⎣⎦
13n +=
∵13a =，即关系式也成立，
∴数列{}n a 的通项公式3n
n a =. （Ⅱ）由3n
n n b na n ==⋅，
得231323333n
n S n =⨯+⨯+⨯++⋅L ，
而()2
3
4
1
3132333133
n
n n S n n +=⨯+⨯+⨯++-⋅+⋅L ，
两式相减，可得
()
231233333n n n S n +-=++++-⋅L ()
111133322n n S n ++⎡⎤=---⋅⎢⎥⎣⎦
∴()1
121334
n n S n +⎡⎤=
-⋅+⎣⎦. 【点睛】
数列求和的方法技巧：
(1)倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和． (2)错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和． (3)分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和． 25．（1）112n a n =+;（2）1422
n n n S ++=-. 【解析】 【分析】 （1）方程的两根为2,3，由题意得233,2a a ==，在利用等差数列的通项
公式即可得出；（2）利用“错位相减法”、等比数列的前n 项和公式即可求出．
【详解】
方程x 2－5x ＋6＝0的两根为2，3. 由题意得a 2＝2，a 4＝3.
设数列{a n }的公差为d ，则a 4－a 2＝2d ，故d ＝12，从而得a 1＝3
2
. 所以{a n }的通项公式为a n ＝1
2
n ＋1. （2）设2n n a ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
的前n 项和为S n ，
由（1）知2n n a ＝1
22n n ++， 则S n ＝
232＋342＋…＋12n n +＋12
2
n n ++，
12S n ＝332＋442＋…＋112n n ++＋222n n ++， 两式相减得
1
2S n ＝34＋311122n +⎛⎫+⋅⋅⋅+ ⎪⎝⎭－222n n ++
＝34＋111142n -⎛
⎫- ⎪⎝⎭－
2
22n n ++， 所以S n ＝2－
14
2
n n ++. 考点：等差数列的性质；数列的求和． 【方法点晴】
本题主要考查了等差数列的通项公式、“错位相减法”、等比数列的前n 项和公式、一元二次方程的解法等知识点的综合应用，解答中方程
的两根为2,3，由题意得
233,2a a ==，即可求解数列的通项公式，进而利用错位相减法求和是解答的关键，着重
考查了学生的推理能力与运算能力，属于中档试题．
26．（1）23n a n =-，1
4n n b -=；（2）4(1)
n n
T n =
+
【解析】 【分析】
（1）将1250,15a a S +==转化为1,a d 的形式列方程组，解方程组求得1,a d 的值，进而求得数列{}n a 的通项公式，由此化简131(2)n n n n n nb a b a b ++++=，判断出数列{}n b 是等比数列，进而求得数列{}n b 的通项公式.
（2）利用裂项求和法求得数列{}n c 的前n 项和n T . 【详解】
（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，
所以11120,1,2,2354
5152n a d a d a n a d +=⎧⎪
∴=-==-⎨⨯+=⎪⎩
； 由1311(2),(6n 12n 1)b 4nb n n n n n n n n nb a b a b nb +++++=⇒=--+=，
1
4n n
b b +∴
=，所以数列{}n b 是以4为公比，首项121b a ==的等比数列，14.n n b -∴=
（2）因为2111111(),(5)log (22)(2)41
n n n c a b n n n n +===-+⋅++ 1211111111b b b (1).42233414(n 1)
n n n T n n ∴=+++=-+-+-++-=++L L 【点睛】
本小题主要考查利用基本元的思想求等差数列的通项公式，考查等比数列的通项公式，考查裂项求和法，考查运算求解能力，属于中档题.。