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第七章 空间解析几何与向量代数
第一节 向量及其线性运算
1),,(z y x --,),,(z y x --,),,(z y x --;),,(z y x -,),,(z y x -,),,(z y x -;),,(z y x --- 2 )0,0,(0x ；)0,,(00y x ；0z z = 3 )0,0,22
(
a 、)0,22,0(a 、)0,0,22(a -、)0,2
2,0(a -、 ),0,22(
a a 、),22,0(a a 、),0,22(a a -、),2
2
,0(a a -
4 3,3,1-；19；
)3,3,1(19
1
-
5 )0,2
3
,
4(
第二节 数量积 向量积
1 )3
1
,38,38(,4)(2121=M M P P 2 μλ2=
3 )52(30
1
k j i --± 4 解：)3
132()3132(|3132||)(31|b a b a b a b a a
+⋅+=+=--
3
3
2913132294=
⨯+⋅⨯⨯+⋅=b b b a a a 5 解： )1,2,0(-=AB ，)0,2,2(-=AC
k j i k
j
i AC AB
4220
2
212
0---=--=⨯ 6||2
1
sin ||||2
1
=⨯=∠=
∴
∆AC AB A AC AB S ABC
第三节 曲面及其方程
1 x z y 322=+，旋转抛物面；)(cot 2222y x z +=α，圆锥面；
25)(9222=+-z y x 和259222=-+y z x ，旋转双叶双曲面和旋转单叶双曲面 2 64
315)813()8
3()8
7(22
2
=++++-z y x 即01126614288822=--+-++z y x z y x
第四节 空间曲线及其方程
1 21y z +=
2 ⎪⎩⎪⎨⎧
==⎪⎩⎪⎨⎧
==⎩⎨⎧==+0
cos :0
sin
:0:222y b z a x zox x b
z a y yoz z a y x xoy
3 ⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨⎧
-==+=)
2cos 2(sin 2cos sin 1θθθθz y x 或
⎪
⎩⎪
⎨⎧-±==+=θθ
θ
cos 22sin cos 1z y x
第五节 平面及其方程
1 （1） z=3； （2） 02=-y x ； （3） 02=-+z x ； （4）0)()()(=-+-+-c z c b y b a x a
2 解：平面与向量a 和b 都平行，则平面的法线向量n 与a 和b
都垂直，所以
k j i k j i b a n
20
11102-+=-=⨯=
所以平面的点法式方程为：
0)3(2)1()2(=---+-z y x
即 032=+-+z y x 3 解：平面的法线向量
所以平面的点法式方程为：
0)1(3)1(9)1(6=++-+--z y x
即 0396=--z y x
k j i k
j i AC AB n
3963
1
333
++-=---=⨯=
第六节 空间直线及其方程
1 311121-=-=--z y x ，⎪⎩
⎪
⎨⎧+=+=-=t
z t y t
x 31121 2 ⎪⎩⎪
⎨⎧=---=-0
618
22y z x 3 0)1()1(2=-+--z y x
4 ⎪⎩⎪
⎨⎧=---=+0
112
21z y x
5 解： 方法1：
过点M 作平面和直线L 垂直的平面方程，此平面的法线向量为
k j k
j
i n +=--=1
1
1
112
则此平面方程为 01=-+z y
平面与直线L 的交点P 由方程组⎪⎩
⎪
⎨⎧=-+=+-+=-+-0
1010
42z y z y x z y x 求得)23,21,1(-P 所以点M 与直线L 之间的距离2
2
3||==PM d 方法2：
如图所示：
直线上有一点)1,1,1(-A
则向量),
1,0,2(=AM
直线L 的方向向量)3,3,0(=s
所以距离
2
2
3||||||sin ||||sin ||||=⨯====s s AM s s AM AM PM d
θθ
方法3：
直线L 的参数方程为：⎪⎩
⎪
⎨⎧+=+-==t z t y x 31311，则垂足的坐标)31,31,1(t t P ++-
则向量)13,3,2(+-=t t MP
而s MP ⊥，所以0=⋅s MP
即6
1,
0399=
⇒=-+t t t 所以2
2
3||=
=MP d 6 解：平面过原点，所以可设平面的一般方程为
0=++Cz By Ax （1）
已知的两个平面的交线⎩⎨
⎧=--+=-+-0
250
832z y x z y x 上 有点 )5
4
,0,514(),
3,1,0(Q P
则点Q P ,在平面上，将Q P ,坐标代入（1）中，有 C B C A 3,7
2
-=-=
所以方程（1）为：
037
2
=+--Cz Cy Cx 即平面方程为 07212=-+z y x
综合题
1、 解：如图
B
D AB =AO +OB =AC 21+DB 21，DC =DO +OC =AC 21+DB 2
1
,AB DC //
故四边形A B C D 为平行四边形。

2、
3、解：2
2014310cos λ
λ
θ++=•=b a b a
（1） 当0<θcos <1，即63
10
≠->λλ且时，a 与b 夹角是锐角。

（2） 当-1<θcos <0，即3
10
-<λ时，a 与b 夹角是钝角。

（3） 当θcos =0，即310
-=λ时，a 与b 垂直。

（4） 当θ=0，即6=λ时，a 与b
同向。

（5） 当πθ或0=，即6=λ时，a 与b
平行。

6、解：过两平面交线L 的平面束方程为0)323(532=--++-+-z y x z y x λ，即
λλλλ35)3()12()32(+=-+-++z y x ，L 的方向向量)3,12,32(λλλ--+=n。

两个平面的法向量为)3,1,2(1-=n ，)1,2,3(2-=n
，由n
n n n n n n n 2211•=•，求得1=λ。

角平分面方程为：0825=-++Z y x 。

7、解：平面的法向量为1n =5
11111---k
j i =k j i
246-+-
直线的方向向量为2n =k j i
+-23，故1n =22n -，所以直线与平面垂直。

8、解：直线的方向向量为1n =1
0302λk
j i =k j i
λλ32--
平面的法向量为2n =k j i
-+2
（1）若平行，1n 与2n 垂直，数量积为0，得到1=λ。

L ：⎩⎨
⎧=-+=-+0
230
12z x y x ，∏：12=-+z y x
取L 上一点P （0，1，2），过P 点垂直于∏的直线l 方程为：
1
2211--=-=z y x ，∏ 与L 的交点为（
61，34，611），则6
1
)612()134()610(222=-+-+-=d （2）当1≠λ时，相交。

⎪⎩
⎪
⎨
⎧=-+=-+=-+1
20230
12z y x z x y x λ，求得交点坐标为（)1(423--λλ，)1(42--λ，)1(42---λλ） 第七章 测验题
1、 填空题 （1）（10
17
-
，0，0）
（2）（1-，2，4），（8，4-，2-） （3）7；72，76-，7
3
（4）
2
5 （5）
2
2 （6）0)3()2(=-+-+z y x （7）
1
34z y x == （8）⎩
⎨⎧=++=-01z y x z y
（9）
（10）⎪⎩
⎪⎨⎧==-
295
25422x y z
2、证明: CD BC BD +==(2182e e +)+)(321e e -=)(521e e +=AB 5 ∴D B A ,,共线。

3、证明：由)1,1,1(-=AD ，)1,1,1(-=CB ，则AD //CB ，所以D C B A ,,,共面。

)0,1,1(-=AB ，)1,2,0(-=AC ，设平面的法向量为n ，则可取
n =AC AB ⨯=1
20011--k
j i =k j i
2---
所求平面方程为0)1(2)1()1(=-+-+-z y x 。

4、解：过L
的平面束方程为
0)4(5=+-+++z x z y x λ，即
04)1(5)1(=+-+++λλλz y x ，平面的法向量为)1,5,1(1λλ-+=n。

原平面的法向
量为)8,4,1(2--=n ，则2
1214cos n n n n
•=π=22，求得43-=λ。

将43-=λ代入平面束
方程，可得所求平面方程为012720=-++z y x 。

5、解：设所求点为),,(000z y x M ，记直线1l ：⎩⎨
⎧==0
y x ，直线2l ：⎩⎨⎧==10y z ，M 到1l 距离的
平方为2
020y x +。

2l 的方向向量为)0,0,1(，过M 垂直于2l 的平面1∏为00=-x x ，
1∏与2l 的交点为0,1,0===z y x x 。

M 到2l 的距离平方为
2020200)1()(z y x x +-+-，得2020y x +=2
020200)1()(z y x x +-+-，整理得
122
0200--=z x y 。

轨迹方程为1222--=z x y ，双曲抛物面。

6、解：过点M 且平行于平面∏的平面方程为0)3(2)2(=---+z y x ,取1L 上的点
)0,3,1(1-=M ，)2,4,2(2=M ，则)0,0,1(1=MM ，)2,1,4(2=MM ，过1L 和L 的平
面的法向量可取n =⨯1MM 2MM 2
14001k
j i ==k j
+-2，过1L 和L 的平面方成为：
0)3(2=+--z y 。

L 的方程为⎩⎨⎧=+--=---+0
)3(20
)3(2)2(z y z y x 。

7、解：直线记为L ，点记为M ，L 的方向向量（即过点M 且垂直L 的平面∏的法向量）
为n 1
02111-=k
j i
=k j i
23--，平面∏的方程：0)3(2)2(3)1(=-----z y x 。

求出
L 与∏的交点为)2,25,21(，222)23()22
5()211(-+-+-=d =26。

8、解：yoz 坐标平面上的投影曲线为⎩⎨
⎧=++=2
02
z y y x
zox 坐标平面上的投影曲线为⎩
⎨⎧=--=x z x y 2)24(0
2
xoy 坐标平面上的投影曲线为⎩⎨⎧==x
y z 2
20
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第九章 多元函数微分法及其应用 第一节 多元函数的基本概念
1. 求定义域
(1){(x,y ) 1
xy e e ≤≤}； (2)2k Z k k y x ∈,1+2≤+≤22； (3){(x,y,z )22219x y z <++≤}.
2.求极限
(1)00
1)2x y →→=;
(2)0 ;
(3)22
2
2200
2sin
2lim 0()xy
x y x y x y e →→+=+; (4)20
sin cos lim
.2x y xy xy
x xy →→=.
3.判断下列极限是否存在，若存在，求出极限值
(1)沿直线y=kx 趋于点（0，0）时，2222
2222
01lim 1x x k x k x k x k →--=++,不存在;
(2)沿直线y =0,极限为1；沿曲线y
极限为0，不存在 ; (3)22222222
11
00x y x y x y x y x y x y x y x y
+≤
≤+≤+=+→+++.极限为0 . 4.因当220x y +≠时，
22
2
222
0.x y x y y x y x y ≤=≤++, 所以0
lim (,)0(0,0)x y f x y f →→==，故连续.
第二节 偏导数
1. 求下列函数的偏导数
(1)2(1).2(1)xy y y xy +=+; 2x (1+xy );
(2)yz cos(xyz )+2xy ; xz cos(xyz )+2x ; (3)22()1()x y x y -+- , 2
2()
1()x y x y --+-.
2.
6
π.
3.11(11x
y =+-==.
4.
1
2
2222
2222222222
2222222222
2222
1
ln()
ln(),
2
12.,2()2,()()()z x y x y z x x x x y x y
z x y x x y x x y x y z y x y x y -=+=-+∂=-=-∂++∂+--=-=∂++∂-=∂+
5.
22
2202
01
0sin
,lim (,)0(0,0),1sin
00lim 1
0sin 00(0,0)lim 0x y x y x x x y
f x y f x f x x x
f y y y
→→∆→∆→≤≤+==∆-∂∆+=∂∆-∂+∆==∂∆因为所以连续.
（0，0），不存在，
.
第三节 全微分
1. 求下列函数的全微分 解：(1)
2
1z z dz dx dy x y x dy
dy ∂∂=+∂∂-==+
.
(2)
1ln ln yz yz yz u u u du dx dy dz x y z
yzx dx zx xdy yx xdz -∂∂∂=
++∂∂∂=++.
2.解：
3322
222222
00
3333
2222(0,0)0033322322200,(,)(0,0)lim (,)0(0,0),000000(0,0)lim 1,lim 1
1
x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y
f x y f y x y
x f f x y x y x x y x y y x y z x y →→∆→∆→+≤=+≤+→→+++==+∆∆+--+∆∆+====∆∆∆+∆∆+∆∆+∆∆+∆-∆∆∆==∆+∆.所以连续.
两个偏导数都存在，为222222211(0,0)0,.x y x y x y
x y x y x y y x ρρ→→-∆∆∆∆+∆∆=∆+∆-
∆+∆∆+∆=→==
≠当沿时，故不可微
第四节
1.解：
3222352
2
1''
(1)22323(21)(5456)
1
(2)
1
(3)()ln()
v v
dz
uv w u v w x u v x x x x
dx
dz
dx x
dz z du z du
vu f x u u g x
dx u dx v dx
-
=⋅+⋅+⋅=++-
===
+
∂∂
=⋅+⋅=⋅+⋅
∂∂
.
.
.
2.解：
(1)
2222
2
1
121
(arctan
21()
u
xy xy v
z z x z y u u
v
ye xe e u v
u
u x u y u u v u v v
v
∂∂∂∂∂
=+=⋅⋅+⋅=+
∂∂∂∂∂++
+
.
22
1
(arctan
u
v
z z x z y u
e u v
v x v y v u v v
∂∂∂∂∂
=+=-
∂∂∂∂∂+
.
(2)
'
'
'
()(1)
()()
()
u
f x xy xyz y yz
x
u
f x xy xyz x xz
y
u
f x xy xyz xy
z
∂
=++++
∂
∂
=+++
∂
∂
=++⋅
∂
3. 解：
''''
1212
.
z z z
f a f b f f
t x y
z z z
a b
t x y
∂∂∂
=⋅+⋅==
∂∂∂
∂∂∂
=+
∂∂∂
，，，
所以，
4. 解：
'22
2
'222''22
2
2
''22''22
()2
2(()2())
2()24()
z
f x y x
x
z
f x y x f x y
x
z
x f x y y xyf x y
x y
∂
=+⋅
∂
∂
=+++
∂
∂
=⋅+⋅=+
∂∂
第五节 1.解：令
(,,)sin()01cos()1cos()1cos()1cos()
x z y z F x y z x y z xyz F z yz xyz x F xy xyz F z xz xyz y F xy xyz =++-=∂-=-=-∂-∂-=-=-∂-
2. .解：令
2222
2222(0,0,1)2
(,,)10
()|1x z F x y z x y z F z x x F z z x
z x z x z
x z x z z
z
x =++-=∂=-=-∂∂-⋅
--∂∂=-=-∂∂=-∂ 3.证明：
''11''
'
'1212'1''
12()().x z c c z
x a b a b c z y a b z z
a
b C x y
φφφφφφφφφφφ⋅⋅∂=-=-=∂-+-+⋅∂=
∂+∂∂+=∂∂所以
6.（1）解：方程两边对y 求导，得：
222460222642146212622242(62)(62)
2(61)(61)
22(61)61
dz dx
x y
dy dy dx dz x y z dy
dy dx dz x y dy dy dx dz x z y dy dy
y y z x x z
x y
x y
dx y z y z dy
x z x z dz y dy x z z =+++=-=-+=-------⎧⎪⎨⎪⎩⎧⎪⎨⎪⎩-++==
=-
++-==
++
（3）
''12''12
()(1)2u u v f u x f x x x v u v
g g vy x x
x ∂∂∂=⋅++⋅∂∂∂∂∂∂=⋅-+⋅⋅∂∂∂⎧⎨⎩
'''121'''
121''
12'''''''1212121''''''''21212112
''
12''
11''11'''''212121(1)(21)212221121
122u v
xf f uf x x u v g vyg g x x
uf f g vyg uvyf g uf f g u x vyg vxyf g xf f g xf f g vyg xf uf g g u
y vyg vxyf g xf f g ∂∂-⋅
-=∂∂∂∂+-=∂∂---+∂==∂-++-----∂=∂-++'''''11111'''''''2121211221
g xf g uf g vyg vxyf g xf f g --=--++-
7.证明：
x t dy f dx f dt =+ ①
0x y t dF F dx F dy Fdt =++= x y t
F dx F dy
dt F +=-
②
y x t t F F dt
dy dx F F dx
=--⋅ ③ 由①，
x t dy dt
f f dx dx
=+ ④ ③代入④，得
()(1)y x x t t t t y t x x t t
t t y x t t x
t t x t t x t t y
F F dy
dy f f dx F F dx f F f F
dy f F dx F F f F f F f F dy F dx F f F f F dy dx F f F =+--⋅+
=-+-⋅=-∴
=+
第六节 多元函数微分学的几何应用
1．
解：切向量),cos ,sin (=b t a t a T 。

切线：
b
z z t a y y t a x x 。

＝。

＝。

－。

---cos sin ,
法平面：0)()(cos )(sin =-+-+--。

z z b y y t a x x t a . 在任一点 ()
000z y x ，，处，
()()
2
2
1,0,0100cos b
a b T T +== ，，γ是定数，
所以交成定角。

2．
解： 令 ()0ln
,.=-+=z y
x
y z y x F , 11)1,1,1(1
==
=x x x F ,
01
1)1,1,1(1
=-
==y y y
F ,
).
1,0,1(1
-=-=n F z
切平面方程为： (x-1)-(z-1)=0,即x-z=0
法线方程为：⎪⎩⎪
⎨⎧=---=-0
111
11y z x .
3.
证明：令0),,(=-++=
a z y x z y x F。

x z x F x 21
),y ,(=。

y z x F y 21
),y ,(=
,21
),y ,(。

z z x F z =
切平面：
.0)(1
)(1
)(1
=-+-+-。

z z z y y y x x x 即
,1=。

＋。

＋。

z a z
y a y x a x
截距和为 a a a z y x z y x ==++++
))((。

.
第七节 方向导数与梯度
1 .
解：
()⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛==52,514,2l e ，,
()y x y x l z 4+25
1
=
522+512=∂∂. 2.
解： ()()12,3,413
1
=
12,3,412+3+41=
2
22l e
, ()xy xz yz z u y u x u l u 123413
1cos cos cos ++=∂∂+∂∂+∂∂=∂∂γβα . 3.
解： grad ()()
,,,2222y x z x xyz yz x =
grad ()(),2,3,123,2,1--=-u
=∂∂n
u
|grad u |()()15723122
22=-++-= .
第八节 多元函数的极值
1．
解：令
()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=---=∂∂=---=∂∂00xy y x a x y
f
xy y x a y x
f
得驻点：()()()⎪⎭
⎫
⎝⎛3,3,0,,0,0,0a a a a
y x f 222-=∂∂, x y
f
22
2-=∂∂, y x a y x f 222--=∂∂∂, 当0=a 时，只有驻点()0,0,不取极值;
当0≠a 时，在()0,0点，a B C A ===,0,0, 02
2<-=-a B AC ，无极值 ;
在()a ,0点，a B C a A -==-=,0,2,02
2
<-=-a B AC ，无极值.同理，在()0,a 点
无极值.
在⎪⎭
⎫ ⎝⎛3,3a a 点,,3,32a B a C A -=-==,0,0994222
<>-
=-A a a B AC 取极大值273a .
2.
解：令
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧=+=∂∂=-+=∂∂0820422x y z
y x x
z
, 得驻点()6,4- ,
()()()()32684464246,42
=⨯+-⨯-⨯-⨯+-=-f .
在边界上，当20,0≤≤=y x 时，y z 8=,取最大值16，最小值0； 当20,1≤≤=y x 时,310-=y z ,取最大值17，最小值3-;
当10,0≤≤=x y 时,x x z 42
-=,取最大值,0最小值3-; 当10,2≤≤=x y 时, 162+=x z 取最大值17，最小值16 ; 所以在该区域上的最大值为32，最小值为3-.
3.
解：点()y x ,到三直线的距离的平方和为：
()2
2
22221162,⎪⎪⎭⎫
⎝⎛+-+++=y x y x y x f ()2
221625
1-+++=y x y x ,
令
()()⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧=-++=∂∂=-++=∂∂01625
4
201625
2
2y x y y f
y x x x f
, 解得唯一驻点⎪⎭⎫ ⎝⎛516,58， 故所求点为：⎪⎭
⎫
⎝⎛516,58.
4
解：设椭圆上的点的坐标为()z y x ,,， 到原点的距离的平方为： 2222z y x d ++=
距离的平方的最值点也是距离的最值点，
令：
()()
()1,,22222-+++-++++=z y x z y x z y x z y x F μλ
由 ⎪⎩⎪
⎨⎧=+-==++==++=02022022μλμλμλz F y y F x x F z
y x
解得，y x = 代入：
⎩
⎨⎧=+++=12
2z y x y x z
解出： ,2
3
1±-=
=y x 32 =z 坐标是可能的两个极值点，由题意：
距离的最大值和最小值一定存在，最值一定是极值，可能取极值的点只有2个，
()
3593223122
2
2 =+⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛±-=d
所以最长距离为359+，最短距离为359-.
第九章综合题答案
1.解:矩形的对角线为:22y x u +=
y y
x y x y
x x y u x u u y x ∆++
∆+=
∆+∆≈∆2
2
2
2
当1.0,05.0,8,6-=∆=∆==y x y x 时, 05.0)1.0805.06(8
612
2
-=⨯-⨯+≈∆u
所以矩形的对角线约减少5厘米. 2.解:因为2
222221sin
)(0y x y
x y x +≤++≤,且0lim 22)0,0(),(=+→y x y x 所以
)0,0(01
sin
)(lim 2
222)
0,0(),(f y
x y x y x ==++→,.所以函数在)0,0(点连续 01
sin
lim )
0,0()0,(lim
)0,0(2200
'=∆∆∆=∆-∆=→∆→∆x
x x x
f x f f x x x
同理可得0)0,0('
=y f ,所以函数在)0,0(点偏导数存在. 在)0,0(点,函数增量与全微分的差为:
2
2
2222''1sin
1sin
)(])0,0()0,0([)0,0(ρρ=∆+∆∆+∆=∆+∆-∆y x y x y f x f f y x 01
sin
lim
2
20
=→ρ
ρρρ,所以函数在)0,0(点可微.
3.(1)解:
x y y
x x y x x y v u y v x v v z x u u z x z 2
2cos cos sin cos cos sin .cos 1..+=+=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂
x y y
x y xy v x u v y x y v v z y u u z y z cos cos sin cos sin ..2
2+-=--=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂ (2)解:
'2'1'2'12.2.f ye xf ye f x f x
z
xy xy +=+=∂∂
'2'12f xe yf y
z
xy +-=∂∂ 4.解:
y x e f x f x
z
++=∂∂.cos .'3'1 '
'13
''33)(2''112'3'1'
'33''31'3''13''11'12
2cos 2cos sin )(cos ).cos (cos sin f xe f e xf f e xf f e xf e f e e f x f x xf x z y x y x y x y x y x y x y x +++++++++++-=+++++-=∂∂
)
sin ()sin (cos '
'33''32'3''13''122f e yf f e f e yf x y
x z y x y x y x ++++-++-=∂∂∂
5证明:
23.21.y u x u s u ∂∂+∂∂=∂∂, 21
.)23.(y u x u t u ∂∂+-∂∂=∂∂
所以2
222)2123()23.21.()()(
y
u x u y u x u t u s u ∂∂+∂∂-+∂∂+∂∂=∂∂+∂∂ 2222)()(.23.23)4143()()4341()(
y
u
x u y u x u y u x u y u x u ∂∂+∂∂=∂∂∂∂-∂∂∂∂++∂∂++∂∂= 又因为)23
.21.(23)23.21.(2122222222y u x y u y x u x u s u ∂∂+∂∂∂+∂∂∂+∂∂=∂∂
]2
1
.)23.([21]21.)23.([232222222
2y u x y u y x u x u t u ∂∂+-∂∂∂+∂∂∂+-∂∂-=∂∂ 所以22
22
2222
222222222241432434343241y
u x u y u y x u x u y u y x u x u t u s u ∂∂+∂∂=
∂∂+∂∂∂-∂∂+∂∂+∂∂∂+∂∂=∂∂+∂∂
6．证明：因为'''''',,y
z x y z x F F z y F F y x F F x z
-=∂∂-=∂∂-=∂∂ 所以
1..-=∂∂∂∂∂∂z
y
y x x z 7．证明：u u t y .'.'ψϕ-=∂∂，''ψϕ+=∂∂x y ，'
'2''222ψϕu u t y +=∂∂，''''22ψϕ+=∂∂x
y 所以，2
2222x y u t y ∂∂=∂∂ 8．（1）解：方程两边对x 求导，得：⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=+1
32dx dz
dx
dy x dx dz z dx dy
y 所以，z y z x z y z
x dx dy 2333
231-+-=--=，z y y
x z y x y dx dz 2323
212--=
--=
（2）解：方程两边对x 求导，得：
⎪⎩
⎪⎨⎧=∂∂+∂∂=+∂∂+∂∂1
30322x u y x v v v x v x x u
u ，
所以，xy v u x v v y x u v x
v
x u ---=-=∂∂223222933331，xy v u vy
u v y
x u y
v u x v -+=-=∂∂2
222
2
2
93331
3 同理可得：xy v u xu v y u -+=∂∂22293，xy
v u y
u y v ---=∂∂2
2393 9．解：设曲线的参数方程为⎪⎩
⎪
⎨⎧===)
()
(y z z y y y x x ，切向量为：)
2,
,(),1,(a a a dy dz dy dx T =
原方程两边对y 求导，得：⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧=+-=+a y dy dx
x y dy
dz z dy dx
x 222222
解得：
x
y a dy dx -=，z a
dy dz -=。

切向量为：)1,2,0(2
1
)22,1,0(),1,()
2,
,(--=-
=--=a a a z
a
x y a T 切线方程为：⎪⎩⎪⎨⎧
-=--=-122
0a
z a y a x
法平面方程为：02:,0)2()(2=-=-+--z y a z a y 即 10．证明：2
'22'
1)
()(.
a x c z F a x
b y F F x -+-+-+-=，a x F F y -=1.'1，a x F F z -=1'2 在任一点),,(000z y x 的切平面的法向量为： ⎭
⎬⎫⎩⎨⎧----+--=='20'10'22
00'1200),,(1,1,)()(),,(000F a x F a x F a x z c F a x y b F F F n z y x z y z
切平面方程为：
01)(1)())
()()(
('
200'100'22
00'12000=--+--+--+---F a x z z F a x y y F a x z c F a x y b x x
点(a,b,c)满足平面方程，所以曲面上任一点的切平面通过点(a,b,c)。

11．解：令1),,(222-++=z y x z y x F
),,(),,(000222),,(000z y x F F F F F F n z
y z z y x z y z =++=
12．解：122
22=+b y a x 的参数方程为：,sin ,cos t b y t a x ==4)2
,2(
π=t b a p 对应 相应的切向量为：)2,2()4cos ,4sin
(b
a b a -=-=ππ
τ 2
0,2
),
cos ,(cos ),
(
2
2
2
2
π
βπαπ
βατ<
<<<=++-=b
a b b
a a e
逆时针旋转
2
π
得内法线得方向向量为： ),()]2cos(),2[cos(2222b a b b a a n ++-=++=πβπα
所求方向导数为：ab
b a b
a a
b b
b a b a a b
a a
y z b a b x z p p )
(2)(2.
2)(2.2)
(|)(|222222222222+=+--+--=+-∂∂++-∂∂
13.解:令)34,34(),0,4(),)(4,0(),)(0,0(:,0
)4(0)4(舍舍解得驻点⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=---=∂∂=---=∂∂xy y x x y
z xy y x y x
z
27
64)34
,34(,0)0,4(=
=f f 18
)3,3(),6(2),(,61,610)5,1(,4
9
)23,1(),3(),1(,50,1,
0),(,61,0-=--=≤≤=+-==
-=≤≤==≤≤=f x x y x f x y x f f y y y f y x y x f x y 最小值为时当最小值为最大值为时当时当
18)3,3(,27
64
)34,34(,0)0,6(-===f f f 最小值为所以所求最大值为最大值为
14.解:设矩形的一边长为x,则另一边长为(p-x)，绕(p-x)旋转,则体积V 为: p x p p x x px dx dV x p x V 3
1
,32,032),(22
=-==-=-=得令
πππ
由问题的实际意义知有最大值,且驻点唯一,所以当边长为p p 3
1
,32时,绕短边旋转体积最大.
注:本题也可用条件极值的方法完成.
第九章测试题答案
1.选择题
(1):B (2):B (3):B (4):C (5):D 2.填空题:
(1):{}
041|),(222≥-<+y x y x y x 且 (2):01116816=+-+z y x
(3):
),(),('1y y e xy xyf e xy f x
z
+=∂∂ (4):极大值8
1
)6,6,6(=πππu
(5):1)0,1()1,0(=±=±z z 3求函数的偏导数
(1):解
x
x x x x x x ye y
x z
e y x x e y x x e x x z
e y x x e y x xe x z
2222222222
222222224)1242(2)(4)12(2)(2)(22=∂∂∂+++=++++=∂∂++=++=∂∂ (2)解:令则,3ln sin ),,(2--
=z y y x z y x F
y
z
z y z y x F F y z y y xz F F x z z
y
z x 2ln cos 2sin 22
-=-=∂∂=-=∂∂
(3)解:不存在所以不存在)0,0(,,lim lim lim )0,0(02
00x x x x x f x
x x x x z f ∆∆=∆∆=∆∆=→∆→∆→∆
0)0,0(,0lim lim lim )0,0(0
400==∆=∆∆=∆∆=→∆→∆→∆y y y y y f y x y y z
f 所以
4.解:对方程)(z y x z ϕ+=两边求微分得:
dy z y z f dx z y f f z y dy z dx f dx f dz f dx f du z y dy
z dx dz dz
z y dy z dx dz )
(1)())(1()(1)(.,
)
(1)()()('
'2''2'
1''2
'1
'2
'1
''ϕϕϕϕϕϕϕϕϕ-+-+=-++=+=-+=
++=
5解:
.
,,,,033而在其它点处都连续都间断上的所有点处所以函数在直线函数无定义时即当x y x y y x -=-==+
6.解:
j
i u grad z u x y u y x u z y x
23)0,0,0(0|6|2|)24(|3
|)32(|)0,0,0()0,0,0()0,0,0()0,0,0()0,0,0()0,0,0(-===-=-+==++=所以
7解:令:
.
)78
,0,716(,0,0154|,
0|,154|,)78,0,716(.
)1,0,2(,0,
0,154
|,0|,154|,)1,0,2(,,0,0,)182()2(4)821(4)821()2)(84()821(8)182()82)(84()84)(182()
7
8
,0,716(),1,0,2(:,716,2082442:,,0
2
:,01
8240182842)
78,0,716(22)78,0,716(2)
78,0,716(222)1,0,2(22)1,0,2(2)1,0,2(222
222
2
2
22
21222是极大值点所以且所以点在是极小值点所以且所以点在所以因为驻点处求得驻点得代入原方程解得-<>--=∂∂==∂∂∂=-=∂∂=-->>-=∂∂==∂∂∂==∂∂=-=∂∂=∂∂-+∂∂+--=∂∂--∂∂-+---∂∂=∂∂∂-++∂∂++∂∂+-+-=∂∂--=-=∴=++-+⎪⎩⎪⎨⎧=-==-+-=-=∂∂=-++-=-=∂∂------A B AC y z C y x z
B x z A A B A
C y z C y x z B x z A y z x z x z y
z
y x z y z x z y
z z x x z y z y x z x z x z
z x x z x z x z x x x x x x y x z x z y F F y z x z z x F F x z z y z x
第九章 重积分
第一节 二重积分的概念与性质
1．1）、
361a π；2）、π3
16
. 2． <><>,,,. 3．1）、ππ100,36；2）、ππ)122(4,)122(4++-；3)、3
4
,
32-； 4．解： {}
2
22),(ρ≤+=y x y x D 是有界闭区域，又cD y x f ∈),(. 于是
由二重积分中值定理，知：D ∈∃),(ηξ，使
2),(),(2
22πρηξρf dxdy y x f y x =⎰⎰
≤+
∴dxdy y x f y x ⎰⎰
≤+→2
22),(1
lim
2
ρρπρ
=22
),(1
lim
πρηξπρ
ρf →=),(lim 0
ηξρf →=),(lim 0
),(ηξηξf →
=)0,0(f .
第二节 二重积分的计算法
1．（1）解：
3
1
11110201022=-=-=-⎰⎰⎰⎰⎰
dx x x dy dx x dxdy x x D
（2）解：
⎰⎰D
xydxdy =⎰⎰b
a
ydy xdx 00=2
241b a 3．（1）、
dx y x f dy y ⎰
⎰--1
111
2
),(；
（2）、
++⎰⎰⎰
⎰
1
2
2
120
21
),(),(dy y x f dx dy y x f dx x
dy y x f dx x ⎰⎰-2
10
3
2),(
（3）、
dy y x f dx x
⎰⎰
3
12
1
),(
4．（1）解：
⎰⎰⎰⎰-+-=D
D
y x d d e
dxdy e
θρρρ2
22)
(=ρρθρπd e
d 2
1
20
-⎰⎰
=1
0]2
1[22ρπ--
⋅e =)1(1--e π （2）解：
⎰⎰⎰⎰=+D
D
d d dxdy y x θρρρ)(sin sin
2
2
=ρρρθπ
π
πd d sin 220⎰⎰
π
π
ρρρπ2]sin cos [2+-⋅==26π- （3）解：
⎰⎰⎰⎰
=+D
D
d d dxdy y x θρρ222 （D 关于x 轴对称）
=2⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎰⎰⎰⎰301023cos 2022πππθρρθρρθd d d d =2⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⋅⎰233cos 38313π
πθθπd =329329
2-+π 5．解：
=
⋅=+=⎰⎰⎰⎰θρρρσd d d y x V D
D
2
22)(⎰⎰
-22
cos 0
3
π
πθ
ρρθa d d =
θθπ
πd a ⎰-22
4
4
cos 4
=432
3
a π 第三节 三重积分
1．（1）解一：⎰⎰⎰Ω
=xzdxdydz ⎰⎰⎰-1
11
02x y
zdz dy xdx =0)(612111
7
1
121
2=-=⎰⎰⎰--dx x x dy y xdx x
解二：因为被积函数),,(z y x f 关于变量x 是奇函数，积分区域Ω关于yoz 面对称， 所以
0⎰⎰⎰Ω
=xzdxdydz
（2）解：
⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ω
Ω
=dz d d z zdxdydz θρρ=⎰⎰⎰π
ρ
ρρθ20
R
h
R
h zdz d d
=ρρπρ
d z h
R
h R
⎰
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡⋅⋅
2212=2241h R π
2．解：由题设，知：⎰⎰⎰Ω
++=
dv z y x M )(；
又由对称性，有 ⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ω
Ω
Ω
==zdv v yd xdv
而
=
⎰⎰⎰Ω
xdv ⎰⎰⎰
=
2
1
2
1
2
1
23dz dy xdx ； 故，2
9233=⨯=M 3．（1）解：
⎰⎰⎰⎰⎰⎰
Ω
Ω
⋅=+dz d d dxdydz y x θρρρ2
2
6
)(21
321
12
20
π
ρρρπρρθρπ=
-==⎰⎰⎰⎰d dz d d
（2）解：
⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ω
Ω
⋅=+dz d d dxdydz y x θρρρ2
22)(πθθρρθπ
πθ
π
π3cos 822
4cos 20
2
3
22
===⎰⎰
⎰⎰--d dz d d
（3）解：
dz d d z xyzdv θρθθρ⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ω
Ω=sin cos 3
⎰⎰⎰⎰
⎰=
--==---2
3
330
234423
3
60
53
4cos sin 2
2
π
ρρρρρρρρρθθθd d zdz d d （4）解：⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰===Ω
Ξ
40
1
320
3
8
cos sin sin cos π
π
π
ϕϕϕθθϕϕϕdr r d d d drd r v zd
（5）解：
()
()
552
43
20
3
42
2
15
4
sin sin b a dr r d d d drd r v d y x
a
b
-=
==+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ω
Ξ
πϕϕθθϕϕπ
π
（6）解：因为被积函数),,(z y x f 关于变量z 是奇函数，积分区域Ω关于xoy 面对称，所以积分为零.
第四节 重积分的应用
1． 解：6
10
20
2π
ρρθθρρρ
ρ
π=
===
⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ω
Ω
dz d d dz d d dv V
2． 解：由22y x z +=
，有 2
2
y
x x z x +=
'，2
2
y
x y z y +=
'
所以 21)()(12
22
2222
2
=++++
='+'+y x y y x x z z y x 又 {}
0,2),(2
2≥≤+=x x y x y x D xy ；
因此，πσσ222===
⎰⎰⎰⎰xy
xy
D D d d A
3．解：因为σd y dI 2
)1(+=，所以5
9)1()1(1
1
1
2
2
2=
+=+=
⎰⎰⎰⎰-y
D
dx dy y d y I σ 4．（1）解：因为3
2
)1(10
2
1
10
2=-===
⎰⎰⎰⎰⎰dy y dx dy d M y
D
σ 所以 53231
1102
===
⎰⎰⎰⎰y D xdx dy xd M
x σ ； 83
231
1102
===⎰⎰⎰⎰y D
dx ydy yd M y σ 故，所求质心为 )8
3
,53(),(=y x
（2）解：由对称性，有 0=x ，而
b dx x a a b ydy dx ab yd ab d yd y a
x a a b
a D
D
D π
ππσπσσ
34)(222
20
223
00
2
2=
-=
⋅===⎰
⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰- 故，所求质心为 )34,
0(),(b y x π
= 5．解：由对称性，有 0=x F ，而
)(21sin sin )
(02
3222
3222a b Gm d d Gm d d Gm d y x y Gm
F b a D D
y -===+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰πρθθθρρρθρσπ所以 ))(2
1
,0(),(a b Gm F F F y x -==π
6．解：由对称性，有 0==y x ，⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰=
=
D
D
D
D
d zd d d z z σ
σ
σ
μσμ
由题知，{}
1),(2
2≤+=y x y x D ；所以
πσ=⎰⎰D
d
3
)()1()1(2
1
20
2
2π
ρρρθθρρρσσπ
=-=-=+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰d d d d d y x zd D
d
D
故，31=
z . 即()⎪⎭⎫ ⎝
⎛
=31,0,0,,z y x 综合题
1．（1）解：20179)(1212
3
32112222-=-==⎰⎰⎰⎰⎰dx x x dy y dx x dxdy y
x x x D
（2）解：
1sin 1)sin (sin sin sin 21010-=-==⎰⎰⎰⎰⎰dy y y y dx dy y y dxdy y y
y y D
2．（1）
⎰
⎰⎰
⎰--=x
x D
dy y x f dx dxdy y x f 11
1
),(),(
或
⎰
⎰⎰
⎰⎰⎰--++=y
o
y
D
dx y x f dy dx y x f dy dxdy y x f 10
1
10
1
),(),(),(
（2）
⎰⎰⎰
⎰=x
x
D
dy y x f dx dxdy y x f 33
1
),(),(
或
⎰
⎰⎰⎰⎰⎰+=y
y
D
dx y x f dy dx y x f dy dxdy y x f 1
93
3
313
1
),(),(),(
3．（1）解：交换积分次序.原积分=
)1cos 1(2
1sin sin 010
2
21
0-==⎰⎰⎰y dy y y dx y dy （2）解：交换积分次序.原积分=⎰⎰⎰==-212
12212ln ln 1
ln x xdx dy x x x d （3）分析：为去掉绝对值符号，需由曲线2x y =将积分区域D 分成上、下两部分
解：1511)221()()(2104
21100221022=+-=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-+-=⎰⎰⎰⎰⎰dx x x dy y x dx dy x y dx I x x
3． 证明：因
dxdy y f x f dy y f dx x f dx x f dx x f D
b a b a b
a
b
a
⎰⎰⎰⎰⎰
⎰
==)()
()(1)()(1)(
同理，
dxdy x f y f dx x f dy y f dx x f dx x f D
b a b a b
a
b
a
⎰⎰⎰⎰⎰
⎰==)()
()(1)()(1)(
所以
dx x f dx x f b
a
b
a
⎰
⎰
)(1)(==⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎰⎰dxdy x f y f y f x f D )()()()(21dxdy y f x f y f x f D ⎰⎰+)
()()()(2122 dxdy y f x f y f x f D ⎰⎰≥
)()()()(221=⎰⎰-=D
a b dxdy 2)(. 得证. 5．（1）⎰⎰=θ
π
ρρθρθρθsin 20
2
)sin ,cos (d f d I （2）⎰⎰+=θθπρρθρθρθsin cos 10
20)sin ,cos (d f d I
6．（1）+
=
⎰
⎰
θπρρθρθρθcos 10
40)sin ,cos (d f d I ⎰
⎰θπ
πρρθρθρθsin 10
24
)sin ,cos (d f d
（2）⎰
⎰
+=
1
sin cos 120
)sin ,cos (θ
θπ
ρρθρθρθd f d I
7．解：由对称性，我们仅需算出第一卦限部分的面积1A ，于是 14A A = 而1A 的方程为：222y x a z --=
，于是
z
y y z z x x z -=∂∂-=∂∂, D y x ∈),( 其中ax y x D ≤+22:，所以
dxdy y z
x z A D
⎰⎰∂∂+∂∂+=221)()(
1dxdy y x a a D
⎰⎰--=222 )12
(
)sin 1(20
22
cos 20
2
2
2
-=-=-=
⎰
⎰
⎰
π
θ
π
π
θθρρρ
θa d a
d a a d
故 )2(2424-==πa A A 8．（1）解：原积分=
364
128141101206
1050
30
21
===
⎰⎰⎰⎰⎰⎰
dx x dy y dx x dz z dy y xdx x xy
x （2）解：原积分=
32
524181213022121
2
1
===
⎰⎰⎰⎰⎰⎰
dx x dy y dx zdz dy dx x y x
9．（1）解：原积分dr r d d d drd r r R
⎰⎰⎰⎰⎰⎰=⋅=
Ω
440
20
2
2sin sin π
π
ϕϕθθϕϕ5
5
22R π-=
（2）解：原积分⎰⎰⎰⎰⎰⎰=⋅=
Ωϕαπϕϕθθϕϕcos 41
0202
2sin sin 1dr d d d drd r r
⎰-⋅=αϕϕϕϕπ0)sin cos sin 4(2d π49= . （其中，4
1cos =α）
10．（1）解：由对称性，上V V 2==2
)221(34sin 22400220-==⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ω
a dr r d d dv a πϕϕθπ
π
（2）解：πϕϕθθϕϕπ
ππ24
21
sin sin 4
1
224
20
2
====
⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ω
Ω
dr r d d d drd r dv V 11．解：dxdy y x dz dxdy y x dv y x
I xy
xy
D y x D z ⎰⎰⎰
⎰⎰⎰⎰⎰+=+=+=
+Ω
2220
2
222
)()()(2
2ρρρ
（由对称性）=6
42240
45
112)2(4a dy y y x x dx a
a
ρρ
=
++⎰⎰
第九章测验题
1．B,B,D,D,B
2．（1）、π3
2
；（2）、⎰⎰⎰⎰-+222021010),(),(y y y dx y x f dy dx y x f dy ；
（3）、0；（4）、
42a π；（5）、5
2- 3．（1）解：由对称性，有 原积分42
220
24
9)9sin (2)9(R R d d d y R
D
π
πρρθρθσπ
+=+=+=
⎰⎰⎰⎰
（2）解：由对称性，有：原积分==⎰
⎰-x
ydy dx
10
1046
1
)2(21
23=
+-⎰dx x x x （3）解：交换积分次序，有：原积分3
1
212111032
1
3
-=
+=+=
⎰⎰
⎰
dy y
y xdx dy y y y
4．（1）解：
ππ34)1(222102
10=-===⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩdz z dxdy dz dv e dv e z
D z z 上 （2）解：⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰===
Ω
Ω
a
dr r d d d drd r
dv V 20
24
20
2
sin sin π
π
ϕϕθθϕϕ
[]320
34
03281631cos 2a r a
πϕππ
-=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡⋅-⋅= （3）解：
⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰=⋅=+Ω
Ω
5
2
10
3
20
222)(ρπ
ρρθθρρρdx d d dx d d dv z y πρρρπ310
4
3105)2
15(2⨯=-
=⎰d 5． 解：σρd y dI 2
)
1(+=；由对称性，有
ρρρσρ105
368)337(32)1(2)1(2102461
21
2
21
=---=
+=+=⎰⎰⎰⎰⎰dx x x x dy y dx d y I x
D 6．证明：令⎰⎰⎰⎰-=
1
21
3
1
2
1
3
)()()()(dx x xf dx x f dx x f dx x xf
J
⎰⎰⎰⎰⎰⎰-=⋅-⋅=D
D
D
dxdy y x y f x f dxdy y yf x f dxdy y f x xf ))(()()()()()(232323
同理：⎰⎰-=
D
dxdy x y x f y f
J ))(()(23
于是，有 0)]()()[()()(22
2≥--=
⎰⎰D
dxdy y f x f y f x f y x J 所以，0≥J . 得证.
第十一章 曲线积分与曲面积分
第一节 对弧长的曲线积分
1．填空
1）πe 2）20ln 13 3）0 2．计算下列积分
1）解：dt t a t t a t a ds y L
])cos 1([])sin ([)cos 1(20
222
'-+'--=⎰⎰π
3
20
2315
256cos 1)cos 1(2a dt t t a =
--=⎰π
2）解：dt dt dz dt dy dt dx ds 2
22⎪⎭
⎫
⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=
()()
dt e dt e t
e t e
t
e t e
t t t t
t t
3cos sin sin cos 22
2
=+++-=
∴
⎰⎰++=++20222222223sin cos 11dt e e t e t e ds z y x t t
t t L
()
22
2
1232323----=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==⎰e e dt e t t
第二节 对坐标的曲线积分
1. 填空
1）－64 2）0 3）()ds R Q L
25
1+⎰
2. 计算下列对坐标的曲线积分
1） 解：
⎰
⎰+⋅--⋅=+-L
dt t k t a t a t a t a dz z xdy ydx π
232
cos cos )sin (sin
()23302323
1
a k dt t k a πππ-=+-=⎰
2） 解：圆周的参数方程为：t y t x sin ,cos ==，t 从0变到π2
⎰+-++L
y
x dy
y x dx y x 22)()(。