高中数学人教A版选修2-13.2.2向量法在空间平行关系中的应用.docx

3.2.2向量法在空间平行关系中的应用
1．l ，m 是两条直线，方向向量分别为a ＝(x 1，y 1，z 1)，b ＝(x 2，y 2，z 2)，
若l ∥m ，则( )
A ．x 1＝x 2，y 1＝y 2，z 1＝z 2
B ．x 1＝kx 2，y 1＝py 2，z ＝qz 2
C ．x 1x 2＋y 1y 2＋z 1z 2＝0
D ．x 1＝λx 2，y 1＝λy 2，z 1＝λz 2
2．设M (3，－1,4)，A (4,3，－1)若OM →＝AB →，则点B 应为( )
A ．(－1，－4,5)
B ．(7,2,3)
C ．(1,4，－5)
D ．(－7，－2，－3)
3．平面α的一个法向量为v 1＝(1,2,1)，平面β的一个法向量为
v 2＝(－2，－4，－2)，则平面α与平面β( )
A ．平行
B ．垂直
C ．相交
D ．不确定
4．设平面α的法向量为(1,2，－2)，平面β的法向量为(－2，－4，k )，若α∥β，则k ＝( )
A ．2
B ．－4
C ．4
D ．－2
5．若AB →＝λCD →＋uCE →(λ，u ∈R )，则直线AB 与平面CDE 的位置关系是________．
6．已知A 、B 、C 三点的坐标分别为A (1,2,3)，B (2，－1,1)，C (3，λ，λ)， 若AB →⊥AC →，则λ等于________．
7．如图，已知P 是正方形ABCD 平面外一点，M 、N 分别是PA 、BD 上的点，且PM
：MA ＝BN ：ND ＝5：8.
求证：直线MN ∥平面PBC .
8．在底面是菱形的四棱锥P －ABCD 中，∠ABC ＝60°，PA
＝AC ＝a ，PB ＝PD ＝2a ，F 为PC 的中点，点E 在PD 上，
且PE ED
＝2，求证：BF ∥平面AEC .
9．已知三棱锥P －ABC ，D 、E 、F 分别为棱PA 、PB 、PC 的中点，求证平面DEF ∥
平面ABC.
10．如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F、G、H、M、N分别是正方体六个表面的中心，证明平面EFG∥平面HMN.
3.2.2 向量法在空间平行关系中的应用
1. [答案] D[解析] 由向量平行的充要条件可得．
2. [答案] B[解析] ∵OM →＝AB →＝OB →－OA →，
∴OB →＝OM →＋OA →＝(7,2,3)．故选B.
3． [答案] A[解析] 由v 1∥v 2故可判断α∥β.
4．[答案] C[解析] ∵α∥β，∴1－2＝2－4＝－2k ，∴k ＝4，故选C. 5． [答案] AB ∥平面CDE 或AB ⊂平面CDE
6． [答案] 145
7．[证明] MN →＝MP →＋PB →＋BN →
＝－PM →＋PB →＋BN →
＝－513PA →＋PB →＋513
BD → ＝－513(BA →－BP →)＋PB →＋513
(BA →＋BC →) ＝513BP →－BP →＋513BC →＝513BC →－813
BP →， ∴MN →与BC →、BP →共面，
∴MN →∥平面BCP ，
∵MN ⊄平面BCP ，
∴MN ∥平面BCP .
8． [解析] ∵BF →＝BC →＋12CP →＝AD →＋12(CD →＋DP →)＝AD →＋12CD →＋32
DE → ＝AD →＋12(AD →－AC →)＋32(AE →－AD →)＝32AE →－12
AC →，∴BF →、AE →、AC →共面． 又BF ⊄平面AEC ，从而BF ∥平面AEC .
9． [证明] 证法一：如图．
设PD →＝a ，PE →＝b ，PF →＝c ，则由条件知，PA →＝2a ，PB →＝2b ，PC →＝2c ，
设平面DEF 的法向量为n ，则n ·DE →＝0，n ·DF →＝0，
∴n ·(b －a )＝0，n ·(c －a )＝0，
∴n ·AB →＝n ·(PB →－PA →)＝n ·(2b －2a )＝0，
n ·AC →＝n ·(PC →－PA →)＝n ·(2c －2a )＝0，∴n ⊥AB →，n ⊥AC →
，
∴n 是平面ABC 的法向量，
∴平面DEF ∥平面ABC .
证法二：设PD →＝a ，PE →＝b ，PF →＝c ，则PA →＝2a ，PB →＝2b ，PC →=2c ，
∴DE →＝b －a ，DF →＝c －a ，AB →＝2b －2a ，AC →＝2c －2a ，
对于平面ABC 内任一直线l ，设其方向向量为e ，由平面向量基本定理知，存在惟一实数对
(x ，y )，使e ＝xAB →＋yAC →＝x (2b －2a )＋y (2c －2a )＝2x (b －a )＋2y (c －a )＝2xDE →＋2yDF →，∴e 与DE →、DF →
共面，即e ∥平面DEF ，∴l ⊄平面DEF ，∴l ∥平面DEF .
由l 的任意性知，平面ABC ∥平面DEF .
10． [证明] 如图，建立空间直角坐标系D －xyz ，设正方体的棱
长为2，易得E (1,1,0)，F (1,0,1)，G (2,1,1)，H (1,1,2)，M (1,2,1)，N (0,1,1)．
∴EF →＝(0，－1,1)，EG →＝(1,0,1)，
HM →＝(0,1，－1)，HN →＝(－1,0，－1)．
设m ＝(x 1，y 1，z 1)，n ＝(x 2，y 2，z 2)分别是平面EFG 、平面HMN 的法向量，
由⎩⎪⎨⎪⎧
m ·EF →＝0m ·EG →＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧ －y 1＋z 1＝0x 1＋z 1＝0， 令x 1＝1，得m ＝(1，－1，－1)．
由⎩⎪⎨⎪⎧ n ·HM →＝0n ·HN →＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧ y 2－z 2＝0－x 2－z 2＝0.
令x 2＝1，得n ＝(1，－1，－1)．
∴m ＝n ，即平面EFG ∥平面HMN .。