三角恒等变形同角三角函数的基本关系(含解析)

三角恒等变形同角三角函数的基本关系(含解
析)
-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1
三角恒等变形
第一节 同角三角函数的基本关系
例题：已知角A 、B 、C 为△ABC 的三个内角，OM →＝(sin B ＋cos B ，cos C )，ON →＝(sin C ，sin B －cos
B )，OM →·ON →＝－15.
(1)求tan 2A 的值；
(2)求2cos 2A 2－3sin A －1
2sin?A ＋π4
的值．
解：(1)∵OM →·ON →＝(sin B ＋cos B )sin C ＋cos C (sin B －cos B )＝sin(B ＋C )－cos(B ＋C )＝－15，
∴sin A ＋cos A ＝－15，①
两边平方并整理得：2sin A cos A ＝－2425，
∵－2425<0，∴A ∈(π2，π)，
∴sin A －cos A ＝1－2sin A cos A ＝75.②
联立①②得：sin A ＝35，cos A ＝－45，
∴tan A ＝－34，
∴tan 2A ＝2tan A 1－tan 2A ＝－321－916
＝－247. (2)∵tan A ＝－34，
∴2cos 2 A 2－3sin A －12sin?A ＋π4
＝cos A －3sin A cos A ＋sin A ＝1－3tan A 1＋tan A ＝1－3×－341＋－34
＝13.
A 组
1．已知sin α＝55，sin(α－β)＝－1010，α、β均为锐角，则β等于________．
解析：∵α、β均为锐角，∴－π2<α－β<π2，∴cos(α－β)＝1－sin 2(α－β)＝31010.
∵sin α＝55，∴cos α＝ 1－(55)2＝255.
∴sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)＝22.
∵0<β<π2，∴β＝π4.答案：π4
2．已知0<α<π2<β<π，cos α＝35，sin(α＋β)＝－35，则cos β的值为________．
解析：∵0<α<π2，π2<β<π，∴π2<α＋β<32π.∴sin α＝45，cos(α＋β)＝－45，
∴cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝(－45)×35＋(－35)×45＝－2425.答案：－2425
3．如果tan α、tan β是方程x 2－3x －3＝0的两根，则sin(α＋β)cos(α－β)
＝________. 解析：tan α＋tan β＝3，tan αtan β＝－3，则sin(α＋β)cos(α－β)＝sin αcos β＋cos αsin βcos αcos β＋sin αsin β
＝tan α＋tan β1＋tan αtan β＝31－3
＝－32.答案：－32 4．(2008年高考山东卷改编)已知cos(α－π6)＋sin α＝453，则sin(α＋7π6)的值是___． 解析：由已知得32cos α＋12sin α＋sin α＝453，即12cos α＋32sin α＝45，
得sin(α＋π6)＝45，sin(α＋76π)＝－sin(α＋π6)＝－45.答案：－45
5．(原创题)定义运算a *b ＝a 2－ab －b 2，则sin π12*cos π12＝________.
解析：sin π12*cos π12＝sin 2π12－sin π12cos π12－cos 2π12＝－(cos 2π12－sin 2π12)－12×2sin π12cos π12＝－cos π6－12sin π6＝－1＋234.答案：－1＋234
6．已知α∈(π2，π)，且sin α2＋cos α2＝62.
(1)求cos α的值；(2)若sin(α－β)＝－35，β∈(π2，π)，求cos β的值．
解：(1)因为sin α2＋cos α2＝62，两边同时平方得sin α＝12.
又π2<α<π.所以cos α＝－32.
(2)因为π2<α<π，π2<β<π，所以－π<－β<－π2，故－π2<α－β<π2. 又sin(α－β)＝－35，得cos(α－β)＝45.
cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)
＝－32×45＋12×(－35)＝－43＋310.
B 组
·1＋tan α1－tan α
的值为________． 解析：cos2α1＋sin2α·1＋tan α1－tan α＝cos 2α－sin 2α(sin α＋cos α)2·1＋tan α1－tan α
＝cos α－sin αsin α＋cos α·1＋tan α1－tan α＝1－tan α1＋tan α·1＋tan α1－tan α
＝1. 2．已知cos(π4＋x )＝35，则sin2x －2sin 2x 1－tan x
的值为________． 解析：∵cos(π4＋x )＝35，∴cos x －sin x ＝352，
∴1－sin2x ＝1825，sin2x ＝725，∴sin2x －2sin 2x 1－tan x ＝2sin x (cos x －sin x )cos x －sin x
cos x
＝sin2x ＝725. 3．已知cos(α＋π3)＝sin(α－π3)，则tan α＝________.
解析：cos(α＋π3)＝cos αcos π3－sin αsin π3＝12cos α－32sin α，sin(α－π3)
＝sin αcos π3－cos αsin π3＝12sin α－32cos α，
由已知得：(12＋32)sin α＝(12＋32)cos α，tan α＝1.
4．设α∈(π4，3π4)，β∈(0，π4)，cos(α－π4)＝35，sin(3π4＋β)＝513，则sin(α＋β)＝________.
解析：α∈(π4，3π4)，α－π4∈(0，π2)，又cos(α－π4)＝35，∴sin(α－π4)＝45.
∵β∈(0，π4)，∴3π4＋β∈(3π4，π)．∵sin(3π4＋β)＝513，∴cos(3π4＋β)＝－1213，
∴sin(α＋β)＝－cos[(α－π4)＋(3π4＋β)]
＝－cos(α－π4)·cos(3π4＋β)＋sin(α－π4)·sin(3π4＋β)＝－35×(－1213)＋45×513＝5665，
即sin(α＋β)＝5665.
5．已知cos α＝13，cos(α＋β)＝－13，且α，β∈(0，π2)，则cos(α－β)的值等于________．
解析：∵α∈(0，π2)，∴2α∈(0，π)．∵cos α＝13，∴cos2α＝2cos 2α－1＝－79，∴sin2α＝1－cos 22α＝429，而α，β∈(0，π2)，∴α＋β∈(0，π)，∴sin(α＋β)＝1－cos 2(α＋β)＝223，∴cos(α－β)＝cos[2α－(α
＋β)]＝cos2αcos(α＋β)＋sin2αsin(α＋β)＝(－79)×(－13)＋429×223＝2327.
6．已知角α在第一象限，且cos α＝35，则1＋2cos(2α－π4)sin(α＋π2)
＝________. 解析：∵α在第一象限，且cos α＝35，∴sin α＝45，则1＋2cos(2α－π4)sin(α＋π2)
＝1＋2(22cos2α＋22sin2α)cos α＝2cos 2α＋2sin αcos αcos α＝2(sin α＋cos α)＝2(45＋35)＝145.
7．已知a ＝(cos2α，sin α)，b ＝(1,2sin α－1)，α∈(π2，π)，若a ·b ＝25，则tan(α＋π4)的值为________．
解析：a ·b ＝cos2α＋2sin 2α－sin α＝1－2sin 2α＋2sin 2α－sin α＝1－sin α＝25，∴sin α＝35，又α∈(π2，π)，∴cos α＝－45，tan α＝－34，∴tan(α＋π4)＝tan α＋11－tan α＝17
. 的值为______．
解析：由tan(70°－10°)＝tan70°－tan10°1＋tan70°·tan10°
＝3， 故tan70°－tan10°＝3(1＋tan70°tan10°)，代入所求代数式得：
tan70°tan10°3(1＋tan70°tan10°)＋tan120°＝tan70°tan10°3(1＋tan70°tan10°)－3＝tan70°tan10°3tan70°tan10°
＝33. 9．已知角α的终边经过点A (－1，15)，则sin(α＋π4)
sin2α＋cos2α＋1
的值等于________． 解析：∵sin α＋cos α≠0，cos α＝－14，∴sin(α＋π4)sin2α＋cos2α＋1＝24cos α＝－ 2. 10．求值：cos20°sin20°·cos10°＋3sin10°tan70°－2cos40°.
解：原式＝cos20°cos10°sin20°＋3sin10°sin70°cos70°
－2cos40° ＝
cos20°cos10°＋3sin10°cos20°sin20°
－2cos40° ＝cos20°(cos10°＋3sin10°)sin20°
－2cos40° ＝2cos20°(cos10°sin30°＋sin10°cos30°)sin20°
－2cos40° ＝2cos20°sin40°－2sin20°cos40°sin20°
＝2. 11．已知向量m ＝(2cos x 2，1)，n ＝(sin x 2，1)(x ∈R )，设函数f (x )＝m ·n －1. (1)求函数f (x )的值域；(2)已知锐角△ABC 的三个内角分别为A ，B ，C ，若f (A )＝513，f (B )＝35，求f (C )
的值．
解：(1)f (x )＝m ·n －1＝(2cos x 2，1)·(sin x 2，1)－1＝2cos x 2sin x 2＋1－1＝sin x .
∵x ∈R ，∴函数f (x )的值域为[－1,1]．
(2)∵f (A )＝513，f (B )＝35，∴sin A ＝513，sin B ＝35.
∵A ，B 都为锐角，∴cos A ＝1－sin 2A ＝1213，cos B ＝1－sin 2B ＝45.
∴f (C )＝sin C ＝sin[π－(A ＋B )]＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B
＝513×45＋1213×35＝5665.∴f (C )的值为5665.
12．(2010年南京调研)已知：0<α<π2<β<π，cos(β－π4)＝13，sin(α＋β)＝45.
(1)求sin2β的值；(2)求cos(α＋π4)的值．
解：(1)法一：∵cos(β－π4)＝cos π4cos β＋sin π4sin β＝22cos β＋22sin β＝13，
∴cos β＋sin β＝23，∴1＋sin2β＝29，∴sin2β＝－79.
法二：sin2β＝cos(π2－2β)＝2cos 2(β－π4)－1＝－79.
(2)∵0<α<π2<β<π，∴π4<β－π4<3π4，π2<α＋β<3π2，∴sin(β－π4)>0，cos(α＋β)<0.
∵cos(β－π4)＝13，sin(α＋β)＝45，∴sin(β－π4)＝223，cos(α＋β)＝－35.
∴cos(α＋π4)＝cos[(α＋β)－(β－π4)]＝cos(α＋β)cos(β－π4)＋sin(α＋β)sin(β－π4)
＝－35×13＋45×223＝82－315.。