实分析 复习一

常见可数集举例:
如:代数数全体是可数集,等
整系数多项式方程的实根称为代数数； 不是代数数的实数称为超越数。
第三节一维开集·闭集 及其性质
定义3.1
若集合E的每一个点都E的内点， 则称E为开集。
4.开集的性质
A
B
定理3.1 a. 任意多个开集之并仍为开集； b. 有限个开集之交仍为开集。
定义: 若Ec为开集，则称E为闭集。
若 x 1 ,x 2 X ,x 1 x 2 ,有 f( x 1 ) f( x 2 )
称f为单射；
若 f （ X ） ＝ Y ,即 y Y , x X ,有 f( x ) y
则称f为满射；
若f既为单射又是满射，则称f为一一映射。
2 对等与势
定义2.2 设A,B是两非空集合，若存在
G k (k , k )
其中 ( k , k ) 互不相交,它们是G的构成 区间.
( )(
)(
)
(
)(
规定G的测度为它的构成区间长度的和,
并记为mG: mG (k k)
k
定义２．２
设 F 为非空闭集，任取一个包含 F 的开区 间(a,b),令 G=(a,b)-F 为集，定义闭集 F 的测 度为： mF (b a) mG ．
定A 理 { x 1 ,x (2 ,： ,x n , ):设 x i ( 0 ,1 )则 } A ,
推论 n维Euc空 lid间 Rn的势为
平面与直线有“相同多”的点
推论 例1 闭区间[0,1]与闭正方形[0,1;0,1]
具有相同的势
正方形的一条边与正方形的面积有 “相同多”的点
定义
若E是实直线R的子集 ,若 E R ，
则称E为R中稠密集.
当 E 的补集在R中稠密时,则称 E为
疏朗集.
即 E为疏朗集 ( E ) 在R中稠密。
例1 ：Cantor三分集
Cantor集的构造:
将[0，1]均分为三段，删去中间的开区间

1 3
,
2 3

，将剩下的两个区间
0,
3 132
1
注：第n次共去掉2n-1个长为1/3n 的开区间
c. P没有内点 d. P中的点全为聚点,没有孤 立点, P为完备(全)集.
e. P~ (0,1) ~ [0,1] ~ R+~ (a,b) (a<b)
第五节 集的势·序集
5. 连续势集的定义
定义：与[0,1]区间对等的集合称为连续势集，
非空集簇，则存在一集B使得 ,BA
是单元素集。
本章主要基本知识:
1.集合的并、交、差、补等概念，以及 集合的运算律．点集的内点、聚点、 孤立点、边界等基本概念.
2.直线上开集、闭集的构造定理. 康托集是本章的一个重要例子.
3.可列集的定义和性质.可列集是无限集 中基数最小的一类集合者. 连续集及其性质. 掌握可列集、连续集的基本例子.
根据开集与闭集的互余关系，可得如下闭集 的构造定理.
定理4.1-2
设F是非空的有界闭集，则F是由一闭 区间中去掉有限个或可数个互不相交的开区 间(F的余区间)而成。
二．自密集、疏朗集、完备(全)集
定义
（i）若 EE ，即 E的每一点都是
自身的聚点，则称 E是自密集；
（ii）若 EE，则称 E是完备(全)集。
(三进 )0.a 制 1a2a3 数 0.a 2 1a 2 2a 2 3 (二进 ) 制
则显然是一一对应，则立得 [0,1] P 。 所以 P C 证毕。
连续势集的性质（并集）
连续势集的（有限个，可数个，连 续势个）并仍为连续势集
半序集定义
设A是一集合，为A中的某些元素的关系
例4 P C 。
证明：回忆一下前面的 p进位表示法以
及Cantor集的构造立刻看到，这里用三 进制小数表示(0,1)中的点，将会更方便于 讨论。
我们先来看看，去掉的三等分区间中 的点用三进制表示的话，有什么规律。显 然，第一次删去的区间
内的点对应的三进制数第一位必然是1，进一步观察
不难发现，只要 x点在某个删去的区间内，则 x的三 进制表示中，必有某一位是1。反之，如果 x不是分
着A到B的一一映射f（f既单又满），
则称A与B对等,
记作
A~ B
约定
~
注：称与A对等的集合为与A有相同 的势（基数），记作 A B
势是对有限集元素个数概念的推广
3.可数集合
1).可数集的定义
与自然数集N对等的集合称为可数 集或可列集，其基数记为 0
1, 2, 3, 4, 5, 6,… a1, a2, a3, a4, a5, a6, …
即： A B ,若 B A ,则 A B .)
连续统假设
从前面我们已经看到： n0
Cantor认为在 0与 之间不存在别的基 数，即不存在这样的集合A,使得 0 A 但Cantor证明不了,这就是著名的Cantor连 续统假设。
2 连续势集的性质（卡氏积）
有限个、可数个连续势的卡氏积仍为连续势集
推论
例2 闭区间[0,1]与R等势,又闭正方 形[0,1;0,1]与整个平面等势,且它们的
势均为
例3 设E表示[0,1] 上一切有界实函数 的类,证明E的势为 M 2
首先 E {A (x )|A [0 ,1 ]~ } 2 [0 ,1 ]
所以 E 2
０
１
其次 E~{f在平面坐标系下| 的 f E图}象2RR 所以 E 2
注：A可数当且仅当 A可以写成无 穷序列的形式{a1, a2, a3, …}
例：1）Z = {0，1，-1，2，-2，3，-3， …}
2）[0,1]中的有理数全体 ={0,1,1/2,1/3,2/3,1/4,3/4,1/5,2/5, …}
可数集性质：
定理2.1 任何无穷集都包含一个可 数子集。
（即可数集 是无限集中具有最小势的集合)
1 3
,

2 3
,1
再次
三等分，删去中间的两个区间 1 , 2, 7 , 8。 9 9 9 9
如此继续下去，最终剩下的点集记作P，称之
为Cantor集。
Cantor集的性质
a. P是闭集.
b. mP=0. 去掉的区间长度和
1
n1 3n
2n1
1
第四节 开集的构造
目的：掌握Cantor集的构造， 熟悉直线上开集与闭集的构造。
重点与难点：Cantor集的构造。
定义4.1 设G是直线上有界开集，如果开区
间满足下面条件:
(,)G, 且,G
则称区间 ( , ) 为G的构成区间.
定理4.1-1 直线R中任何非空的有界开集G都可 表示为有限个或可数个互不相交的构 成区间的并。
可以证明，上述定义 F 的测度与区间的选 择无关．
定义２．3
设 E 为有界集，
1） (1). E 的外测度定义为一切包含 E 的开集的测 度的下确界，并记成 m*E inf {mG}
GE
2） (2). E 的内测度定义为一切含于 E 中的闭集 的测度的上确界，并记成 m*E sup{mF}.
闭集的(等价)定义
若 E E ,则E为闭集. R中只有空集和R既开又闭， 存在大量既不开又不闭的集合，如： E=[0,1)
定理3.3 任何集E的导集 E`为闭集
闭集性质:
任意一簇闭集之交为闭集； 任意有限个闭集之并仍为闭集。
直线上的连续函数用开集、闭集的刻划
例 f(x)是直线上的连续函数当且仅当 对任意实数a，E={x|f(x)≤a}和 E1={x|f(x)≥a}都是闭集
4.无最大基数定理. 5.伯恩斯坦定理.
它是判断两个集合对等的有效方 法．
第二章 勒贝格测度
第二节 有界点集的 外、内测度·可测集
直线上的开集的测度
定理：直线上的任一非空(有界)开集都 可唯一地表示成有限个或可数个互不 相交的构成区间的并。
( )(
)(
)
(
)(
定义2.1 设G为非空(有界)开集,则G可 唯一地表示成有限个或可数个互不相交 的开区间的并。
可数集的性质（并集） •有限集与可数集的并仍为可数集 •有限个可数集的并仍为可数集 •可数个可数集的并仍为可数集
例:有限个可数集的卡氏积是可数集 设A，B是可数集，则A×B也是可数集 A B {x ,(y )|x A ,y B }
{x,(y)|y B } x A
x固定，y在变 从而A×B也是可数集（可数个可数集的并） 利用数学归纳法即得有限个乘积的情形


E ( A) (E A)


定理1.2 (De Morgan公式)
(
A)c AcFra bibliotek
( A)c Ac


注：通过取余集，使A与Ac，∪与∩互相转换
差 A B 或 ： A \B { x :x A 但 x B }
余C ： sASA（其中S为全集）,简记为Ac
4 无最大势定理
定 理 5.1(C antor定 理 ): 设 A 是 一 个 任 意 的 非 空 集 合 ， 则 2AA .
从而说明无限也是分很多层次， 且不存在最大的集合.
定理5.2 (Bernstein定理)
设 A,B是两个集 A的， 子 A* 若 ， 集B 有 使 ~A*, 及 B的子 B*， 集A 使 ~B*,则 A~B.
3).假设A、B是两个集合，若A与B 的某个真子集B*对等，但不与B对等，则说 A的势小于B的势，记作 A B ，或说B的势 大于A的势，记作 A B 。
3)中 ,若 AB,且 AB ， 则 称 AB 注 ： 不 能 用 A 与 B 的 一 个 真 子 集 对 等 描 述
如 ： ( 1 ,1 )~ ( 1 ,1 ) ( , )
其势记为 ， 显然：n0
例：1）R~ (0,1) ~ [0,1] ~ [0,1) ~ R+~ (a,b) (a<b) 2）无理数集为连续势集 （无理数要比有理数多得多，同理超越数要比 代数数多得多）
基数的大小比较
定义5.1
1)若A~B,则称 AB；
2)若A~B1 B,则称AB； 相当于：A到B有一个单射.
定理3.2 E为闭集的充分必要条件是
证明:
E' E
由于 EE' EE' {E的孤立点}全 故EE等价E于 ' E
定义
称 集 合 :E' {E 的 孤 立 点 全 体 }E' E 为 E 的 闭 包 ,记 为 E .
E'E
若 E ' E ，则称 E为完全集．
定义3.3
A B
注A ： B A B c
笛卡尔乘积
A B { a ,b ( ):a A ,b B }
n
A i {x 1 ( ,x 2 , ,x n ):x i A i,i 1 ,2 , ,n } i 1

A i {x 1 ,(x 2 , ,x n , ):x i A i,i 1 ,2 , ,n , }
且满足:
⑴自反性: aa ⑵反对称性: 若 ab,ba,则 ab ⑶传递性: 若 ab,bc,则 ac
则称A按 成一半序集（偏序集）。
2 Zorn引理与选择公理
Zorn引理：设(A,) 是一偏序集，A中的 每个全序子集有上界，则A必有极大元。
选择公理：设 {A}为一簇两两不交的
i 1
第二节 映射.集的对等.可列集
一.映射
1.定义
De2.f1设集X合 Y , ,f--对应规 ,x 则 X有 , 唯一 确定y与 的之对 ,则应 称 f为定义 X上在 的一个 f 映 ,记为 f :XY,xX,f(x):xyf(x)
定义域 D(f)
原
像
像 值域 R(f)
单射,满射,一一对应(一一映射)
点，且在某位出现1，则在经过若干次删除手续后，
x必然在删去的区间内，即 x P 。因此，除了分 点外，x在 P 中当且仅当其三进制表示中不出现数1。
由Cantor集的作法中去掉的点为小数 位出现1的点的全体，从而Cantor集P为小 数位只是0,2的点的全体.
现在作对应P到[0,1]的对应如下:(严格 说是P到[0,1]的二进制数之间的对应)
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复习一
第一篇
第一章 集与点集
第一节
集及其运算
集合:具有某种特定性质的事物的总体. 通常用大写英文字母A，B，X，Y… 等表示.
A {a 1,a 2, ,a n} 有限集
M{xx所具有的}特征
定理1.1 分配律
E ( A) (E A)